Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi toán 7 theo chuyên đề

1.Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau: P 2 : - Chứng minh hai tam giỏc bằng nhau chứa hai đoạn thẳng đú - Chứng minh hai đoạn thẳng đú là hai cạnh bờn của một tam giỏc cõn - Dựa vào đ

- Củng cố, khắc sâu, nâng cao các kiến thức về số hữu tỉ, các phép tính về số hữu tỉ

- Rèn kỹ năng vận dụng các kiến thức trên vào các dạng bài tập

Thật vậy

b

a =

db

cb d

c

; bd

a  thì

d

c d b

c a b

a c b

c

a  +

c a b

a

 +

11 8

6 12

7 4

1 4

5 8

6 4

1 4

−

và 3 1

−

<

3 1

−

Mà

3

1 5

2 2

1 3

3 5

2 7

3 2

1

3

1 8

3 5

2 3

3 2

1 5

−

và 5

1 Cách làm tương tự như câu b) yêu cầu học sinh về nhà làm tiếp

n a

+ +Xét a(b+n) và ab +an và b(a+n) = ab + bn

Vì b>0, n>0  b+n>0 do đó

- Nếu a>b thì an > bn  ab+an>ab+bn hay a(b+n)>b(a+n) 

n b

n a b

n a b

n a b

n a b

n a b

n a b

a

+

+

=4) Thực hiện phép tính một cách hợp lý

a)

0 5

3 5

3

) 4

1 3

1 2

1 ( 5

) 4

1 3

1 2

1 ( 3

) 12

1 11

1 10

1 8

1

(

5

) 12

1 11

1 10

1 8

5 2 5

4

3 3

3 2 3

12

5 11

5 10

5 8

5

12

3 11

3 10

3 8

3

25 , 1 3

5 5 , 2

75 , 0 1 5 , 1 12

5 11

5 5 , 0 625

,

0

12

3 11

3 3 , 0 375

,

0

= +

−

=

− +

− + + + +

−

−

+ +

−

=

− +

− + +

−

− +

−

+ +

−

=

− +

− + +

−

− +

−

+ +

1 7

5 4 , 0 3

3

2 1 1 35

4 25 14 6

1 2

3

35

4 7

5 5

2 6

1 3

1 2

1

35

4 6

1 7

5 5

2 3

1

2

1

= +

=

− + + + +

=

c)

2

1 6

1 12

1 20

1 30

1 42

1 56

1 72

8 9

8 1 9

1 9

8

2

1 1 3

1 2

1 4

1 5

1 5

1 4

1 6

1 5

1 7

1 6

1 8

1 9

1 8

1

9

8

1 2

1 2 3

1 3 4

1 4 5

1 5 6

1 6 7

1 7 8

1 8 9

1 9

1 1

2 , 0 25 , 0 3 1

13

2 7

1

3

1

+ +

4

Ta có:

) 13 4 ( 4

21 4

5

13 4

21 5

13 4

21 13

4

65 20 13

=



− +

m m

m

m m

m

M

M đạt giá trị lớn nhất khi

) 13 4 ( 4

11 0

1 54

, 0 06 , 2

32 , 1 19 , 0 11 ,

− +

=

A

26

23 2 : 5 , 0 4

1 2 8

- Tiếp tục củng cố, khắc sâu, nâng cao các phép tính về số hữu tỉ

- Rèn kỹ năng thực hiện phép tính 1 cách hợp lý, giải toán có dấu giá trị tuyệt đối? Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

1 54

, 0 06 , 2

32 , 1 19 , 0 11 , 1

− +

=

26

23 2 : 5 , 0 4

1 2 8

5 2

1 2

26 8

25 75

26 8

1 3 26

75 : 2

1 8

,

;

; ,

1

−

;

; ,

1

,

;

; ,

9 3

1 0,4) ( 3

2 0,5) ( 3

1

−

;

; ,

tổng của 16 số hữu tỉ đó là:

30

17 6

1 6

1 12

2 12

1 4

3 3

1 1 12

=

− + +

Điều này vô lý vì

30

17 6

1  −Vậy không thể điền được 16 số hữu tỉ vào bảng ô vuông 4.4 để

thỏa mãn đề bài

c) Tìm 2 số nguyên a, b khác nhau sao cho

b

1 a

1 b

1 a

Vậy a và b là 2 số nguyên liên tiếp (a,b0)

A là số liền trước của b thì

b

1 a

1 b

1 a

1 − =d) Cho x,y Q Chứng tỏ rằng:

+) x+yx+y

Thật vậy với x,yQ ta có: xx và -x x

yy và -y y

x+y x+y và -x-y x+y

Hay x+y  -(x+y)

?Dấu “=” xảy ra khi nào?

Dấu “=” xảy ra

xy0

7

4 Củng cố;

5 Hướng dẫn học ở nhà;

Xem lại các bài tập đã làm, tìm cách giải khác

Bài tập: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức?

a) E = 5,5 - 2x-1,5 b) F = - 10,2-3x-14

c) G = 4-5x-2-3y+12

Ký duyệt Ngày tháng năm

Xét lần lượt 4 trường hợp rồi thay số vào biểu thức để tính giá

+) Trường hợp 3: a=

3

1

; 4 1

b=-+) Trường hợp 4:

a=-3

1

; 4 1

b=-g) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

và 4

2y

2y2

2y2

1

ta có

73

9125

2

463

1

2

8

61412

62

93z42y1x12

93z6

42y

=



−

=+

−

−+++

; x

2) Chứng minh rằng từ TLT

d c

d c b a

b a 1 d

c b

a

+

−

= +

−





=+) Cách 1:

Từ

dc

dcba

badc

bad

bc

ad

ba

+

−+

ba

dcba

badc

badc

ba

+

−

=+

−

+

X:y:z=3:5:(-2) và 5x-y+3z=124

Ta có :

623

6.31z

155;

y93;

5

31.15

x

314

1246

515

3zy5x6

325

y15

5x2

b-42;

a

215

3050

9863

5c7b3a50

5c98

7b63

3a10

c14

b21

a5

c7

4) 3 đội công nhân trồng cây, biết 1/2 số cây đội I trồng bằng 2/3 số cây đội

II bằng 3/4 số cây đội III trồng Số cây đội II trồng ít hơn tổng số cây 2 đội

I và III là 55 cây Tính số cây mỗi đội đã trồng?

Gọi số cây 3 đội I, II, III lần lượt trồng là: a, b, c (a, b, c N*)

Ta có: Cách 1:

403

430

c45;

2

330

b

60;

a

30611552

33

42

bca3

−+

bca8

c9

b12

a4

3c3

−+

10

5) a) Cho ; a b c 0 ; a 2007

a

c c

b b

a

=

 + +

=

acb

cbaa

cc

b

b

++

++

acba

ba

acb

baca

caac

baac

baa

bc

c'b

b'

cba'c

c'b

b'

a

++

++

=

=

'c'b'a

cb

++

++

'c2

c2b3a'c2

c2'b3

b3'a

a'c

c'b

b'

a7

5b

a =  = và a2+b2=4736

74

473649

25

ba49

b25

a7

Vì tỉ số của a và b=5/7>0 a,b cùng dấu

Vậy a=40 ; b=56 hoặc a=-40 ; b=-56

8) Tổng các lt bậc 3 của 3 số hữu tỉ là -1009 Biết tỉ số giữa số thứ nhất và

1009729

216

64

zy

x

729

z216

y64

x9

z6

y4

x9

z4

xvà3

y2

x9

4z

3

3 3

+

++

tỉ số, chia tỉ

lệ ta

3a8

2a

- Biểu thức số cần tìm qua chữ

- Thiết lập dãy TSBN

và mối tương quan giữa các chữ

- Áp dụng tính chất của

……

Ký duyệt Ngày tháng năm

1) Chữa lại bài tập 7

2) Chữa lại bài tập 8

3) Tìm các số

1

9a

7

3a8

2a

45901

89

)9

21()a

a

a

(

1

789

9a

2a1a1

9a

8

2a

9

1

a

9 2

1

9 2

1 9

++

+++

−++

+

=

++++

−++

−+

z332

y218

x225

z16

y9

x5

10075

3218

z3y2x275

z332

z332

−+

y

3

x

x, y,z cùng dấu Vậy x=6y=8; z=10

Động viên, khuyến khích

HS tìm cách giải khác

y>0 và y-z>0 hoặc y<0 và y-z<0

Hay y>0 và y>z hoặc y<0 và y<z

Hay y>z hoặc y<0

b) 5(3y+1)(4y-3)>0

Khi 3y+1>0 và 4y-3>0 Hoặc 3y+1<0 và 4y-3<0

3

1yhoăo4

1yhoăo4

3yvà3

1y

b542

a210

c14

b21a10

4270

7042

c7b5a270

c7

14

5

4b4

3a

3

1219574

53

423

cba45c34b2

3

−+

−+

b12

ahay60

c448

b324

;4836.3

4b

;5436.2

3

Câu 4: (2,5đ)

Gọi số có 3 chữ số cần tì là abc(a,b,c là chữ số, a0)

Vì số đó  18 nên chia hết cho cả 2 và 9

 c chẵn và a+b+c9 (a+b+c=9; 18;27)

Vì

6

cba3

c2

1.Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau:

P 2 : - Chứng minh hai tam giỏc bằng nhau chứa hai đoạn thẳng đú

- Chứng minh hai đoạn thẳng đú là hai cạnh bờn của một tam giỏc cõn

- Dựa vào định lớ Py-ta- go để tớnh độ dài đoạn thẳng

2.Chứng minh hai gúc bằng nhau:

P 2 : - Chứng minh hai tam giỏc bằng nhau chứa hai gúc đú

- Chứng minh hai gúc đú là hai gúc ở đỏy của một tam giỏc cõn

- Chứng minh hai đường thẳng song song mà hai gúc đú là cặp gúc so

le trong ,đồng vị

3 Chứng minh ba điểm thẳng hàng:

P 2 : - Dựa vào số đo của gúc bẹt ( Hai tia đối nhau)

- Hai đường thẳng cựng vuụng gúc với đường thẳng thứ 3 tại một điểm

- Hai đường thẳng đi qua một điểm và song song với đường thẳng thứ 3

4 Chứng minh hai đường thẳng vuụng gúc

P 2 : - Tớnh chất của tam giỏc vuụng, định lớ Py – ta – go đảo

- Quan hệ giữa đường thẳng song song và đường thẳng vuụng gúc

5 So sỏnh hai đoạn thẳng, hai gúc :

P 2 : - Gắn hai đoạn thẳng , hai gúc vào một tam giỏc từ đú vận định lớ về quan hệ giữa cạnh và gúc đối diện trong một tam giỏc , BĐT tam giỏc

B Bài tập vận dụng

Bài 1 : Cho tam giác ABC có Â < 900 Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC

Chứng minh: DC = BE và DC ⊥BE

BAE= +BAC=DAC

* Gọi I là giao điểm của AB và CD

Từ bài 1 ta thấy : DC = BE và DC ⊥BE khi ∆ABD và ∆ ACE vuụng cõn, vậy

thẳng hàng

Ta cú bài toỏn 1.2

Bài 1 1: Cho tam giác ABC có Â < 900 Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai

đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC Từ B kẻ BK

Bài 1.2: Cho tam giác ABC có Â < 900 Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai

đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC Gọi M là trung điểm của DE kẻ tia M A Chứng minh rằng : MA ⊥BC

Phõn tớch tỡm hướng giải

HD: Gọi H là giao điểm của tia MA và BC

Để CM MA ⊥BC  ta cần CM ∆AHC vuụng tại H

Để CM ∆AHC vuụng tại H ta cần tạo ra 1 tam giỏc

C

E

D

B A

C

E

D

BA

AM = MN ; MD = ME (gt) và EMA=DMN( hai góc đối đỉnh)

 DN = AE ( = AC) và AE // DN vì N1=MAE ( cặp góc so le trong )

Xét ∆AHC và ∆DQN có : AC = DN , BAC= ADN và N1 =ACB

 ∆AHC = ∆DQN (g.c.g)  ∆AHC vuông tại H hay MA ⊥BC

* Khai thác bài toán 1.3

+ Từ bài 1.2 ta thấy với M là trung điểm của DE thì tia MA⊥BC , ngược lại nếu AH ⊥BC tại H thì tia HA sẽ đi qua trung điểm M của DE , ta có bài toán 1.4

18

+ACH =EAR ( cùng phụ CAH )

AC = AE (gt)  ∆AHB = ∆DQA ( Cạnh huyền – góc nhọn)

ER = AH ( 1) Từ (1) và (2)  ER = DQ

Lại có M1 =M2 ( hai góc đối đỉnh )

 ∆QDM = ∆REM ( g.c.g) MD = ME hay M là trung

điểm của DE

Ký duyệt Ngày tháng năm

2 1 R

1 Q

H M

C

E

D

B A

3n+ − 2n+ + − 3n 2n= 2 2

3n+ + − 3n 2n+ − 2n = 2 2

3 (3n + − 1) 2 (2n + 1) = 1

3 10 2 5n −  =  −n 3 10 2n n−  10 = 10( 3n -2n)

3n+ − 2n+ + − 3n 2n 10 với mọi n là số nguyên dương

Bài 2 : Chứng tỏ rằng:

A = 75 (42004 + 42003 + + 42 + 4 + 1) + 25 là số chia hết cho 100 HD: A = 75 (42004 + 42003 + + 42 + 4 + 1) + 25 = 75.( 42005 – 1) : 3 + 25

HD : + Nếu m + n chia hết cho p p m( − 1) do p là số nguyên tố và m, n  N*

3 +2− +4+ + chia hÕt cho 30 víi mäi n nguyªn d-¬ng

b) Chøng minh r»ng: 2a - 5b + 6c  17 nÕu a - 11b + 3c  17 (a, b, c  Z)

Bài 6 : a) Chøng minh r»ng: 3a+ 2b 17  10a+b 17 (a, b  Z )

lµ mét sè tù nhiên b) Cho 2 +n 1 lµ sè nguyªn tè (n > 2) Chøng minh 2 −n 1 lµ hîp sè

HD : b) ta có (2n +1)( 2n – 1) = 22n -1 = 4n -1 (1) Do 4n- 1 chia hêt cho 3 và 2 +n 1

lµ sè nguyªn tè (n > 2) suy ra 2n -1 chia hết cho 3 hay 2n -1 là hợp số

c c b

b b a

a M

+

+ +

+ +

Do (*) đúng với mọi a,b nên (1) đúng

Bài 3 : Với a, b, c là các số dương Chứng minh rằng

+ +

+ + +

+ +

z x

z y

y z

y x x

b) Cho a, b, c tho¶ m·n: a + b + c = 0 Chøng minh r»ng: ab+bc+ca 0

Chứng minh rằng tia HA vuông góc với DE

HD : Từ bài 1.3 ta dễ dạng giải bài toán 1.4

Trên tia AH lấy điểm A’ sao cho AH = HA’

Dễ CM được ∆AHC = ∆A’HB ( g.c.g)

 A’B = AC ( = AE) và HAC=HA B'

DAE+BAC= DAE= ABA'

Xét ∆DAE và ∆ABA’ có : AE = A’B , AD = AB (gt)

'

DAE=ABA ∆DAE = ∆ABA’(c.g.c)

ADE+B = ADE+MDA=

Suy ra HA vuông góc với DE

A' H M

C

E

D

B A

23

Bài 2 : Cho tam giác cân ABC (AB = AC) Trên cạnh BC lấy điểm D, trên

tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE Các đ-ờng thẳng vuông góc với BC

kẻ từ D và E cắt AB, AC lần l-ợt ở M, N Chứng minh rằng:

a) DM = EN

b) Đ-ờng thẳng BC cắt MN tại trung điểm I của MN

c) Đ-ờng thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua một điểm cố định khi D thay đổi trên cạnh BC

b) Để Cm Đ-ờng thẳng BC cắt MN tại trung

Bài 2.1 Cho tam giác cân ABC (AB = AC) Trên cạnh AB lấy điểm M, trên tia

AC lấy điểm N sao cho BM = CN Đường thẳng BC cắt MN tại I

Chứng minh rằng:

a) I là trung điểm của MN

b) Đ-ờng thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua một điểm cố định khi D thay đổi

N O

Bài 3 : Cho ∆ABC vuông tại A, K là trung điểm của cạnh BC Qua K kẻ đường

thẳng vuông góc với AK , đường thẳng này cắt các đường thẳng AB và AC lần

lượt ở D và E Gọi I là trung điểm của DE

a) Chứng minh rằng : AI ⊥ BC

b) Có thể nói DE nhỏ hơn BC được không ? vì sao?

*Phân tích tìm lời giải

a) Gọi H là giao điểm của BC và AI

Mà AI  AK DEBC , DE = BC khi K trùng với I khi đó ∆ABC vuông cân tại A

Ký duyệt Ngày tháng năm

N O

1

B D

K I H A

C

E