Tài liệu Về bài toán chụp cắt lớp của máy CT- SCANNER pptx

Hệ số àx là đại lượng đặc trưng cơ bản cho cấu trúc vật chất, được xác định nhờ các phương pháp chụp cắt lớp máy tính và được dùng làm cơ sở trong việc tái tạo hình ảnh chụp cắt lớp.. B

Về bài toán chụp cắt lớp của máy CT-scanner

TS Huỳnh Lương Nghĩa, Trường Đại học Kỹ thuật Lê Quý Đôn

Tóm tắt

Bài báo giới thiệu cách đặt bài toán cơ bản trong kỹ thuật chụp cắt lớp máy tính X-quang và thuật toán giải quyết Đồng thời chỉ ra các đặc điểm của việc ứng dụng thuật toán trong thực tế liên quan tới vấn đề rời rạc hoá và biến đổi Fourie nhanh ( FFT)

Abstract

The article set up a image reconstruction’s task which is implemented by retrieving the data supplied from X-ray Also the problems concerned about solving algorithm are disscused

Especially attension is paid to digitizing the X-ray data and FFT ( Fast Fourier Transformation ) application in optimizing computerized tomography’ algorithm

1 Đặt bài toán cơ bản của chụp cắt lớp X-quang

1.1.Định luật hấp thụ tổng quát Ber

Từ việc nghiên cứu các cơ chế hấp thụ tia X của vật chất, ta có thể xây dựng biểu thức định lượng biểu diễn mối quan hệ giữa cường độ tia X I(x) và độ suy giảm tuyến tính à(x) như sau

Trong quá trình tương tác với vật chất, cường độ chùm tia Rơnghen trên một đơn vị diện tích bề mặt vuông góc với phương truyền sẽ giảm đi Trong những điều kiện nhất định

có thể coi sự suy giảm này tỷ lệ thuận với quãng đường đi Để dẫn ra công thức cơ bản về

sự thay đổi của cường độ I, ta xét một chùm tia chiếu đến với cường độ không đổi Io trên mặt phân giới A- A’ (hình 1)

Với những giả thiết ban đầu như trên hình vẽ, ta có:

) ( )

( ) ( )

dI

→

ư

= à

Hệ số tỷ lệ à trong (1) được gọi là hệ số hấp thụ tuyến tính, trong đó dấu trừ lấy từ

điều kiện à dương Hệ số này là hàm số của 3 toạ độ không gian (x,y,z)= (x1,x2,x3) tạo thành vectơ bán kính

→

x Hệ số à(x) là đại lượng đặc trưng cơ bản cho cấu trúc vật chất,

được xác định nhờ các phương pháp chụp cắt lớp máy tính và được dùng làm cơ sở trong việc tái tạo hình ảnh chụp cắt lớp

Tiến hành lấy tích phân biểu thức (1) ta được :

) ( )

) ( exp(

)

0

dx x I

x I

x

o ư∫

Biểu thức (2) là định luật hấp thụ tổng quát Ber Từ đây có thể rút ra một số nhận xét: Khi x càng lớn (lớp vật chất càng dày) thì cường độ chùm tia ló càng nhỏ, tức là tia Rơnghen bị hấp thụ càng nhiều

X

x x+dx

I(x+dx) I(x)

I O

Hình 1.: Sơ đồ biểu diễn mối tương quan I(x) theo à(x):

A

,

A

Khi à càng lớn thì chùm tia Rơnghen cũng bị hấp thụ càng nhiều

1.2 Khái niệm hình chiếu chụp cắt lớp

Sơ đồ ghi chụp thông tin về đối tượng do Haunsfield và Mac-Cormac đề xuất và thực hiện đầu tiên được chỉ ra trên hình 2 Nguồn tia Rơnghen tập trung (dưới dạng chùm hẹp)

di chuyển dọc theo đoạn định hướng AA', còn phần thu thì dọc theo đoạn BB' Phần phát và phần thu chuyển dịch một cách đồng bộ, việc chụp ( lấy ) thông tin - là cường độ tia ở đầu

ra phần phát và đầu vào phần thu - được tiến hành với các bước thiết lập trước Logarit của

tỉ số cường độ tia ở đầu vào phần thu đối với cường độ ban đầu được gọi là hình chiếu

Các đoạn định hướng AA' và BB' được cố định trên cùng một khung; khung này có thể xoay quanh trục O cố định Đối với mỗi vị trí của khung người ta tiến hành đo một bộ các hình chiếu tương ứng với tổ hợp các tia song song; bộ các hình chiếu này đôi lúc được gọi

là bộ hình quét

Để khôi phục lại cấu trúc bên trong của đối tượng được chiếu tia X cần phải có tập hợp các bộ hình quét cho tất cả các vị trí có thể của khung Trên thực tế việc chụp ( lấy ) thông tin được tiến hành tương ứng với một tập hợp rời rạc các góc quay có bước nhất định ∆θ Các thuật toán khôi phục cấu trúc (tái tạo ảnh) đối với các sơ đồ chụp thông tin phức tạp cũng trở nên rắc rối hơn, tuy nhiên tất cả chúng đều có thể nhận được từ các thuật toán

xử lý thông tin được xây dựng cho sơ đồ các tia song song Vì lý do này nên chỉ cần xét sơ

đồ quét bằng chùm các tia song song

Để trình bày tiếp tục ta đưa ra các định nghĩa, ký hiệu và giả thuyết sau đây Giả sử rằng các kích thước chiều ngang của tia Rơnghen vô cùng nhỏ và có thể bỏ qua ảnh hưởng

của tán xạ Lúc này có thể đặc trưng tia bằng cường độ của nó I ( x ) tại điểm x đã cho

trong tia Sự thay đổi cường độ I ( x )dọc theo tia sẽ được xác định chỉ bằng hệ số hấp thụ tuyến tính à ( x ) phù hợp với công thức Ber (2)

Gọi phân bố à ( x ) theo tiết diện quét cho trước là cấu trúc của đối tượng Chọn trong

mặt phẳng quét một hệ toạ độ Đề-các cố định Oxy với tâm O trên trục quay của hệ thống (hình 3) Gắn vơí khung di chuyển ( quay) một hệ toạ độ Đề-các di động Oζξ có trục Oζ hướng từ phần phát đến đầu thu dọc theo tia trung tâm ( đi qua trục quay ) Trục Oξ định hướng như chỉ ra trên hình 3 Vị trí của hệ toạ độ di động so với hệ toạ độ cố định được xác định bởi góc θ sao cho:

Hình 2 Sơ đồ thu chụp thông tin

ζ = xcosθ + ysinθ, ξ = -xsinθ + ycosθ (3)

x = ζcosθ - ξsinθ y = ζsinθ + ξcosθ (4) Tương ứng với công thức (2) ta có dạng:

[ ], ) exp(

) , (ξ θ I0 à x y dς

I

R

R

∫

ư

ư

, trong đó à[x,y] là hệ số hấp thụ tuyến tính à được lấy trên tia với vị trí hiện thời được xác định bằng góc θ và khoảng cách ξ tính từ tia hiện thời đến tia trung tâm (xem hình 3);

I0 là giá trị cường độ tia Rơnghen tại đầu ra phần phát, 2R là quãng đường tia đi qua

Tiếp theo ta giả thiết rằng: bên ngoài đối tượng nghiên cứu ( trong không khí ) à = 0,

do đó tích phân trong công thức (5) chỉ được lấy theo phần nằm bên trong cơ thể bệnh nhân, tuy nhiên rõ ràng là có thể coi giới hạn của tích phân này là vô cùng và điều này sẽ

được sử dụng sau đây

Ta chính xác hoá khái niệm hình chiếu đã giới thiệu trước đây: tích phân p(ξ, θ) sau

được gọi là hình chiếu:

[ ]ς à θ

ξ θ

∞

ư

=

ư

) ,

1.3 Bài toán cơ bản của chụp cắt lớp Rơnghen máy tính

Bài toán cơ bản của chụp cắt lớp Rơnghen máy tính là xác định ( biểu diễn ) đại

lượng à (x,y) qua tập hợp các hình chiếu p(ξ,θ)

Hiển nhiên là hệ số hấp thụ tuyến tính à (x,y) đặc trưng cho cấu trúc bên trong đối tượng nghiên cứu, còn tập hợp các hình chiếu thì biết được thông qua các kết quả đo đạc bên ngoài đối tượng Vì vậy bài toán chụp cắt lớp máy tính ( CT ) thường được gọi là bài toán khôi phục cấu trúc hoặc tái tạo hình ảnh

2 Thuật toán xác định hệ số hấp thụ tuyến tính à(x,y)

2.1 Định lý về tiết diện trung tâm

A

A )

B

B )

Y

ζ

ξ

O

R

ξ

Hình 3 Vị trí tương quan của các hệ toạ độ

Thực chất của định lý này là ở chỗ nó liên hệ ảnh Fourier của các hình chiếu đo được với ảnh Fourier của hệ số hấp thụ tuyến tính cần tìm Để phát biểu chính xác và chứng minh định lý cần có các định nghĩa sau

Định lý 1: Gọi f (x) là hàm thực của biến thực x; biến đổi Fourier của hàm f (x) ( hay gọi ngắn gọn là ảnh Fourier ) được gọi là hàm phức f*(ω) với biến thực ω được xác định theo công thức sau đây:

f*(ω) = (2π)-1/2∞∫

∞

ư

ưi x dx x

Biến đổi ngược Fourier có dạng:

f(x) = (2π)-1/2∫∞

∞

ư

ω ω

f*( )exp( )

(8)

Định lý 2 : Trong không gian n chiều biến đổi Fourier của hàm f ( )x với n biến thực ( )x = (x1, x2, xn) được xác định bằng tích phân bội n theo công thức:

∫ ∫

∞

∞

ư

∞

∞

ư

ưi x d x x

f( )exp( )

) (2

= ) (

*

Trong đó ω.x=ω1x1+ω2x2+ +ωnxn là tích vô hướng của vectơ ω và x ; d x là phần tử thể tích trong không gian n chiều

Biến đổi ngược trong không gian n chiều có dạng:

∫ ∫

∞

∞

ư

∞

∞

ư

ω ω ω

x)=(2 ) *( )exp( )

áp dụng các công thức vừa nêu có thể chứng minh định lý sau :

Định lý tiết diện trung tâm

Tồn tại đẳng thức sau:

à* (ρ,θ) = (2π)-1/2p*(ρ, θ+π/2) (11) , trong đó ρ , θ là toạ độ cực trong mặt phẳng ω = (ω1, ω2) = (u,v)

Dấu * ở vế trái công thức (11) có nghĩa là biến đổi Fourier hai chiều, còn ở vế phải - là biến đổi Fourier một chiều (theo đối số thứ nhất)

Như vậy, biến đổi Fourier 2 chiều à*(ρ, θ) của hệ số hấp thụ tuyến tính à(x,y) khi cố

định giá trị θ = ψ bằng biến đổi Fourier 1 chiều của hình chiếu p tại giá trị góc quay θ+π/2

ý nghĩa của ảnh Fourier à*(ρ,θ) khi θ = const chính là " mặt cắt " ( tiết diện ) mặt phẳng z

= à*(ρ,ψ) bằng mặt phẳng ψ = θ = const và điều này giải thích tên của định lý

2.2 Phương pháp biến đổi Fourier ngược

Đẳng thức nhận được (11) trong định lý về tiết diện trung tâm là cơ sở để giải bài toán cơ bản được đặt ra trong mục 1.3 - bài toán tìm phân bố của hệ số hấp thụ tuyến tính bên trong đối tượng theo các hình chiếu đo được bên ngoài đối tượng

Có thể xác định lời giải hình thức của bài toán trên cơ sở công thức biến đổi Fourier ngược ( 11 ) :

∞

ư

∞

∞

ư

+

p * ( , / 2 ) exp ( ( )) )

(2

= y)

x,

Hãy để ý là ta chỉ biết các gía trị của hàm dưới dấu tích phân p*(ρ,θ) tại các nút của lưới toạ độ cực rời rạc ( hình 4 ) không trùng với các nút của lưới toạ độ Đề-các khi rời rạc hoá công thức ( 13 ) ( ở đây rời rạc hoá được hiểu là việc chuyển tính toán từ vùng các đối

số và hàm số liên tục sang tính toán tại các điểm riêng biệt với số lượng hữu hạn) Lời giải

tự nhiên của vấn đề này là ngoại suy các gía trị của hàm số tại điểm chưa biết qua các gía trị của nó tại các điểm đã biết ( dưới đây sẽ được nói kỹ hơn )

Một vấn đề nghiêm trọng hơn là trong công thức ( 13 ) khi các gía trị (ux+vy) tăng, hàm dưới dấu tích phân sẽ dao động nhanh, dẫn đến các công thức cầu phương chuẩn không còn đúng nữa Thông thường sử dụng hai cách để giải quyết vấn đề này: trong cách thứ nhất người ta dùng các thuật toán và chương trình máy tính đặc biệt để lấy tích phân của các hàm dao động nhanh [4]

Cách thứ hai liên quan tới một chi tiết là: trong mức độ chính xác khôi phục ảnh cho trước, các thành phần cao tần của lời giải không mang thông tin hữu ích và thường chỉ chứa nhiễu ( sai số ) thiết bị Vì vậy nếu vứt bỏ các thành phần này ( các " đuôi cao tần " ) thì vẫn có thể sử dụng các chương trình tính toán mẫu

2.3 Phương pháp chiếu ngược

Phương pháp này cũng dựa trên việc biểu diễn hình chiếu như trong mục trên, tuy nhiên thứ tự tính toán và biểu thức cuối cùng khác với lời giải (13)

Hình chiếu ngược được xác định theo công thức:

g(x,y) = (2π)-12∫π ư θ+ θ θ θ

0

d ) , cos y sin x (

Thực chất đây là giá trị trung bình theo góc của tập hợp các hình chiếu ban đầu p Lưu

ý rằng việc xử lý sơ bộ thông tin ban đầu theo công thức này sẽ dẫn đến sự cải thiện đáng

kể kết quả cuối cùng là hình ảnh cắt lớp - do tính chất lọc ( đối với nhiễu thiết bị ) của toán

tử chiếu ngược

Sử dụng một số phép biến đổi trong lý thuyết hàm phức và tính chất của định lý tích chập ta có thể xây dựng lời giải bài toán cơ bản của chụp cắt lớp máy tính dưới dạng biến

đổi ngược Fourier của hình chiéu ngược g(x,y) như sau:

à(x,y) = ∫ ∫∞

∞

ư

ư

+ vy dudv ux

i h

g*( ) *( ) 1exp( ( ) 2

Trong đó ω =(ω1, ω2) ≡ (u,v);

U

V

O Hình 4 Mối tương quan giữa hệ toạ độ cực và hệ toạ độ vuông góc

h*( ω ) là biến đổi ngược Fourier của hàm h(x,y) =

1 r

ư

Nếu biết trước gốc hàm của g*(ω),h*(ω) thì có thể nhận được ngay lời giải dưới dạng tích chập của các gốc hàm này, vì vậy phương pháp này được gọi là phương pháp chập với hình chiếu ngược hay đơn giản là phương pháp chập

Như thực tế chỉ ra : cả phương pháp biến đổi Fourier lẫn phương pháp chập khi thực hiện đều cho sai số lớn, đôi khi đến mức không cho phép do bài toán khôi phục cấu trúc bên trong được đặt ra “ không chuẩn Trên thực tế sự “ không chuẩn “ bắt đầu thể hiện từ một ngưỡng rời rạc hoá nhất định: tức là càng muốn giải chính xác bao nhiêu ( bằng cách làm dầy các mắt lưới rời rạc, tăng số lượng các số hạng trong chuỗi triển khai của lời giải cần tìm ), thì lời giải nhận được lại càng tồi tệ bấy nhiêu Điều này có liên quan tới các thành phần tần số cao ( dao động nhanh ) của lời giải và được giải quyết dựa trên cơ sở lọc các thành phần tần số cao của lời giải Tuy cách tiếp cận này hạn chế độ chính xác của việc tái lập cấu trúc, tuy nhiên nếu giới hạn của độ chính xác là chấp nhận được trên thực tế thì phương pháp có hiệu quả

2.4 Phương pháp chiếu ngược với bộ lọc

Biểu thức (13) là cơ sở của phương pháp này Để cụ thể chúng ta xét lời giải (13) mà trong đó ta chuyển sang các toạ độ cực trên cả mặt phẳng (u,v) lẫn mặt phẳng (x,y)

Kết quả của phép thế (16) là tích phân ở vế phải đẳng thức (13) được viết lại dưới dạng sau:

à (r,φ) = (2π)-3/22∫π θ+∞∫ ρ ρ θ + π ρ θ ư φ ρ

)) cos(

exp(

) 2 / ,

(

p

Lưu ý rằng:

ρcos(θ-φ)=-ρcos(θ+πưφ),p*(ρ,θ+π/2)=p*(ρ,θ+3π/2) (18) Công thức thứ nhất trong (18) là đẳng thức lượng giác cơ bản, công thức thứ 2 rút ra từ

điều kiện thực hiện vật lý Tính đến các công thức này có thể viết tích phân ở vế phải đẳng thức (17) dưới dạng:

∞

ư

φ

ρ

à

0

* 2

/

2 )

,

Trên thực tế khi thực hiện công thức (19) biểu thức dưới dấu tích phân được nhân trước với một hàm A (ρ) được chọn một cách đặc biệt và được gọi là hàm apodize có tác dụng cắt các hài bậc cao Theo thuật ngữ sử dụng trong lý thuyết điều khiển tích của hạt nhân |ρ| trong phép chập (19) với hàm apodize được gọi là bộ lọc, còn toán tử giải phương trình chập (19) có sử dụng hàm apodize được gọi là phép lọc Do hàm nhận được sau khi tính tích phân bên trong của (19) được biến đổi theo công thức tương tự như phép chiếu ngược nên nói chung phương pháp này mang tên là phương pháp chiếu ngược dùng lọc

Trên thực tế người ta dùng các hàm apodize dưới các dạng sau:

a A* =









>

≤ max

max

ρ ρ

ρ ρ ρ

khi

khi

0







>

≤

ư +

max

max max

/ cos ) (

ρ ρ

ρ ρ ρ

πρ α

α

khi

khi

0 1

c A*= ( )









>

≤ max

max max

/ cos

ρ ρ

ρ ρ ρ

πρ

khi

khi

0 2

và một số dạng khác nữa

3 Rời rạc hóa trong chụp cắt lớp máy tính

Vì chụp cắt lớp sử dụng máy tính để điều khiển việc ghi nhận thông tin từ các phần tử

cảm biến, sau đó lưu giữ và chuẩn bị thông tin cho việc chẩn đoán, nên một trong số các vấn đề cơ bản là rời rạc hóa - tức là chuyển từ các phân bố liên tục theo toạ độ và thời gian sang các hàm rời rạc với các đối số rời rạc Nói chung, các khía cạnh thực tế cơ bản liên quan đến vấn đề rời rạc hóa bao gồm:

1 Biến đổi Fourier rời rạc

2 Thuật toán biến đổi Fourier nhanh (FFT)

3 Thiết lập ngưỡng rời rạc hoá cần thiết (Định lý Kachenhicop – Sennon)

4 Các phương pháp nội suy

5 Các phương pháp lặp khôi phục cấu trúc

Trong số này chỉ có khía cạnh cuối cùng là mang tính đặc thù của bài toán chụp cắt lớp nên ta xét kỹ dưới đây

Các phương pháp lặp khôi phục cấu trúc

Xét lại phương trình cơ bản (6) của chụp cắt lớp máy tính và giả thiết hàm à ( x , y )đã

được cho trước một cách gần đúng trong vùng D bằng một số hữu hạn các tham số, ví dụ như các giá trị à1, à2, às tại các nút của mạng lưới các phần tử hữu hạn Sử dụng một phép nội suy nào đó cho hàm à ( x , y )trong vùng, có thể tính tích phân dưới dạng hàm tuyến tính nào đó của các tham số ài cho mỗi tia với các tham số ε , θ:

i i

i

A

Lúc này trong tổng ở vế phải chỉ hiện diện các giá trị của hàm à ( x , y ) tại các phần tử

mà tia đang xét đi qua Tiến hành đo cho Msvị trí của tia; sau đó ký hiệu hình chiếu

)

,

( ξ θ

p với ξ = ξi, θ = θk là pik, thừa số A ) với à = ài, θ = θjlà Aij, ta nhận

được hệ phương trình sau:

=

=

s

N

i

ik i i

A

1

à

)

(21) với ma trận hệ số được mở rộng thành ma trận vuông bằng các trị số 0

Sử dụng dạng ghi chuẩn của hệ phương trình với ma trận vuông hoặc ma trận chữ nhật thay cho hệ (21) ta có:

=

=

s

N

i

i j

ij p A

1

Để giải hệ (22) có thể sử dụng các thuật toán chuẩn của đại số tuyến tính, tuy nhiên nếu chú ý rằng để đạt tới độ phân giải chấp nhận được của thiết bị phải sử dụng hàng nghìn giá trị à ( x , y ), thì ma trận Aij sẽ chứa khoảng 1010 phần tử Điều này dẫn đến là trên thực tế để giải các hệ dạng (22) người ta chỉ sử dụng phương pháp lặp Ngoài ra các phương pháp lặp còn được sử dụng để giải các hệ vô định và phiếm định, đồng thời chúng cũng dễ cải tiến để khắc phục các vấn đề liên quan với tính không chuẩn của bài toán xác định cấu trúc bên trong theo kết quả đo bên ngoài cấu trúc

Dưới đây liệt kê một số các thuật toán lặp phổ biến nhất dùng để giải các bài toán chụp cắt lớp máy tính [3]

a) Ph−¬ng ph¸p lƯp ®¬n gi¶n ThuỊt to¸n cña ph−¬ng ph¸p nµy lµ:

) ( )

( )

( )

l l jl j

j

k ij k k k

, trong ®ê k lµ sỉ vßng lƯp; trong tr−íng hîp ®¬n gi¶n nhÍt Hij = δij, trong ®ê δij lµ

ký hiÖu Croneker ( tøc Hij lµ ma trỊn ®¬n vÞ ) Tham sỉ τkvµ ma trỊn (k)

ij

H ®−îc chôn tõ

®iÒu kiÖn hĩi tô tỉt nhÍt cña ph−¬ng ph¸p lƯp

b) Ph−¬ng ph¸p tr−ît nhanh nhÍt

c) ThuỊt to¸n ART (algebraic reconstruction technique)

4 KÕt luỊn

Nh− ®· thÍy, chôp c¾t líp m¸y tÝnh X-quang lµ bµi to¸n phøc t¹p c¶ vÒ nĩi dung to¸n

hôc lĨn c¸ch thùc hiÖn vỊt lý Nh−ng chÝnh v× vỊy nªn viÖc gi¶i quyÕt nê rÍt ®a d¹ng vµ cho

phÐp c¶i tiÕn b»ng nhiÒu c¸ch kh¸c nhau, trong ®ê viÖc phỉi hîp hîp lý phÌn mÒm ( c¸c

thuỊt to¸n lôc vµ lƯp ) vµ phÌn cøng ( c¸c hÖ thỉng ®o l−íng ®iÒu khiÓn ) ®· vµ ®ang mang

l¹i nh÷ng kÕt qu¶ rÍt ®¸ng khÝch lÖ Hy vông theo h−íng nµy trong t−¬ng lai kh«ng xa sÏ cê

sù ®êng gêp cña c¸c chuyªn gia ViÖt nam

5 Tµi liÖu tham kh¶o

[2] Ôỉìỉía đỉìóaịỉìaöỉỉ ỉìîâðaưởỉĩ đ ìơôỉöỉíơ

Ïơð ñ ảêị Đ 2-õ òîìaõ Ïîô ðơô Ñ Óýââa Ì.,

Ìỉð, 1991 Òîì 1 – 407 ñ., òîì 2- 406 ñ