GIAI HINH HOC 8 HKI

Giải: Vì EF là đường trung bình của hình-thang ABCD nên EF = 1/2AB +CD Khi đó SABCD =1/2AB+CD.GK = EF.GK = GH.GK =S GHIK * Ta có thể chứng minh công thức tính S.hình-thang ABCD bằng cách[r]

Bài 9 ABCD là một hìnhvuông cạnh 12cm AE = x(cm) (h.123) Tính x sao cho SΔ ABE bằng

1/3 diện tích hìnhvuông ABCD

S.Δvuông ABE là S’ = 1/2

AB.AE = 1/2.12.x = 6x (cm2 )

S.hìnhvuông ABCD là S= 12.12 = 144 (cm2 )

Theo đề bài ta có S’ = 1/3.S hay 6x = 144/3 ⇔ 6x = 48 (cm)

Suy ra x= 8 (cm)

Bài 10.Cho một tam giác vuông Hãy so sánh tổng diện tích của hai hìnhvuông dựng trên hai góc

vuông với diện tích hìnhvuông dựng trên cạnh huyền

các hìnhvuông ABDE, ACFG và BCHI

Ta so sánh SABDE + SACFG và SBCHI

ta có:

+ ABED là hình-vuông SABDE = AB2

+ ACFG là hình-vuông : SACFG = AC2

+ BCHI là hình-vuông:SBCHI = BC2

Trong tam giác vuông ABC, theo định lý Pitago AC2 = BA2 + AC2

Suy ra: SBCHI = SABED + SACFG

Bài 11 trang 119 Cắt hai tam giác vuông bằng nhau từ một tấm bìa Hãy ghép hai tam giác đó để

tạo thành

a) Một tam giác cân;

b) Một hình chữ nhật;

c) Một hình bình hành

Diện tích của các hình này có bằng nhau không? Vì sao?

Ta ghép hình sau:

Diên tích của các hình này bằng nhau vì đều bằng tổng của hai tam giác vuông trên.

Bài 12 trang 119 toán 8 Tính diện tích các hình dưới đây (h.124)( mỗi ô vuông là 1 đơn vị diện

tích)

Hình a:là một hình-chữ-nhật có S = 2.3 = 6 (Đơn vị diệntích).

Hình b: Ta vẽ thêm 2 đoạn thẳng (nét đứt), ta có S.hìnhbìnhhành = S.2hình tamgiác vuông và 1

hìnhvuông

S.hìnhbìnhhành (b) bằng = 2.1/2.1.2 +2.2 = 6 (đơn vị diệntích)

Hình c: Ta vẽ thêm 1 đoạn thẳng (nét đứt), ta có S.hình bìnhhành này bằng S.2tam giác vuông.

S.hìnhbìnhhành (c) bằng =2.1/2.3.2 = 6(đơn vị diệntích)

Bài 13 trang 119 SGK Toán 8

Cho hình 125, trong đó ABCD là hình chữnhật, E là một điểm bất kì nằm trên đường chéo AC, FG //

AD, và HK // AB

Chứng minh rằng hai hình chữ nhậtEFBK và EGDH có cùng diện tích

HD giải: Vì ABCD là hình-chữ-nhật nên SABC = SADC = 1/2 SABCD

FG//AD và HK//AB ⇒ AFEH là hình-chữnhật ⇒ SAFE = SAHE

FG//AD và HK//AB ⇒ EKCG là hình-chữnhật ⇒ SEKC =SEGC

Suy ra: SABC – SAFE – SEKC = SADC – SAHE – SEGC ⇒ S EFBK = S EGDH

Vậy hai hình.chữnhật EFBK và EGDH có cùng diện-tích

Bài 14 trang 119 Một đám đất hình chữnhật dài 700m, rộng 400m Hãy tính diện-tích đám đất đó

theo đơn vị m2, km2, a, ha

Giải: Diện-tích đám đất theo đơn vị m2 là:

S = 700.400 = 280000 ( m2)

Ta có: 1km2 = 1000000 ( m2)

1a = 100 (m2)

1ha = 10000 (m2)

Nên diện-tích đám đất tính theo các đơn vị trên là:

S = 0,28 km2 = 2800a = 28ha

Bài 15 Đố Vẽ hình chữ nhật ABCD có AB = 5cm, BC = 3cm.

a) Hãy vẽ một hình-chữ-nhật có dtích nhỏ hơn nhưng có chu vi lớn hơn hình-chữ -nhật ABCD Vẽ được mấy hình như vậy

b) Hãy vẽ hình vuông có chu vi bằng chu vi hình-chữ-nhật ABCD Vẽ được mấy hình-vuông như vậy?

So sánh diệntích hìnhchữnhật với diệntích hình-vuông có cùng chu vi vừa vẽ Tại sao trong các hình chữnhật có cùng chu vi thì hình-vuông có diệntích lớn nhất

HD: a) Chu vi hìnhchữnhật ABCD là : 16cm

– Hình.chữnhật có các kích thước 1cm, 12cm có S = 12 cm2 và chu vi 26cm

– Hình.chữnhật có các kích thước 2cm, 7cm có S = 12 cm2 và chu vi 18 cm

– Hình.chữnhật có các kích thước 1cm, 10cm có S = 10 cm2 và chu vi 22 cm

Như vậy, vẽ được nhiều Hình.chữnhật có diện tích bé hơn nhưng có chu vu lớn hơn Hình.chữnhậtt ABCD cho trước

b) Cạnh của hìnhvuông có chu vi bằng chu vi hình chữnhật ABCD là:

(3+5).2 / 4 = 4 cm

S.hìnhvuông MNPQ có cạnh ON = 4cm là

SMNPQ = 16 cm2

vậy SMNPQ > SABCD

Vẽ được một hình vuông như vậy

Giả sử hình chữ có các kích thước là a và b Khi đó:

+ S.hìnhchữnhật là a.b

+ Cạnh của hình vuông có chu vi bằng chu vi hìnhchữnhật là (a +b)/2

⇒ S.hìnhvuông là:

Vậy trong các hình chữ nhật có cùng chu vu thì hình vuông có diện tích lớn nhất

16 Giải thích vì sao diện-tích của Δ được tô đậm trong các hình 128,129, 130 bằng nửa diện-tích

hình chữ nhật tương ứng:

Ở mỗi hình 128, 129, 130; hình Δ và hình chữ nhật đều có cùng đáy a và cùng chiều cao h nên SΔ = 1/2 S.hình chữ nhật tương ứng

17. Cho ΔAOB vuông tại O với đường cao OM (h.131) Hãy giải thích vì sao ta có đẳng thức:

AB OM = OA OB

HD: Ta có cách tính S.ΔAOB với đường cao OM và cạnh đáy AB:

S = 1/2OM.AB ⇒ OM.AB = 2S

Ta lại có cách tính S.ΔAOB vuông với hai cạnh góc vuông OA, OB là

S = 1/2OA.OB ⇒OA.OB = 2S

Suy ra AB OM = OA OB (cùng bằng 2S)

18 Cho ΔABC và đường trung tuyến AM(h 132) Chứng minh rằng:

SAMB = SAMC

Từ A Kẻ đường cao AH vuông góc với BC ( H∈ BC)

Ta có :

SAMB = 1/2 BM AH

SAMC = 1/2 CM AH

mà BM = CM (vì AM là đường trung tuyến)

Vậy SAMB = SAMC

Luyện tập Toán 8 tập 1 trang 122, 123: bài 19 -25

a) Xem hình 133 hãy chỉ ra các Δ có cùng Dtích (lấy ô vuông làm đơn vị Dtích):

b) Hai Δ có Dtích bằng nhau thì có bằng nhau hay không?

HD: a) Δ1, Δ3, Δ6 có cùng diện-tích là 4 ô vuông.

Δ2, Δ8 có cùng diện-tích là 3 ô vuông

Δ4, Δ5, Δ7 không có cùng S với các Δ nào khác (Δ4 là 5 ô vuông, Δ5 ô vuông, Δ7 là 3,5 ô vuông) b) Rõ ràng là các Δcó S bằng nhau thì không nhất thiết bằng nhau Chẳng hạn hai Δ1 và Δ3 ở câu a)

Bài 20 trang 122 Vẽ hình chữ nhật có một cạnh của mộtΔ cho trước và có S bằng S.Δ đó Từ đó

suy ra một cách chứng minh khác về công thức tính S.Δ

Cho Δ ABC, đường cao AH Gọi I là trung điểm của AH, ta vẽ hình chữ nhật BCDE có CD = IH (Hình bên)

Khi đó:

ΔAIM = ΔBEM vì AI = BE (=1/2AH), ∠AMI = ∠BME(đối đỉnh) (Cạnh góc vuông – góc nhọn) ⇒ SAIM =

SBEM

Tương tư: ΔAIN = ΔCDN ⇒SAIN = SCDN

Vì vậy SBEM + SBMNC + SCDN = SAIM +SBMNC + SAIN hay SBCDE = SABC

Từ kết quả trên, tao có SABC = SBCDE = CD.BC =IH.BC =1/2AH.BC

Ta đã tìm được công thức tính SΔ bằng một phương pháp khác

Bài 21 Toán 8 tập 1 Tính x sao cho S.hình chữ nhật ABCD gấp 3 lần S.ΔADE (h.134)

Ta có AD = BC = 5cm

S.∆ADE: SADE = 1/2 2.5 = 5(cm)

S.hìnhchữnhậtABCD: SABCD = 5x

Theo đề bài ta có

SABCD= 3SADE nên 5x = 3.5

Vậy x = 3cm

Bài 22 ΔPAF được vẽ trên giấy kẻ ô vuông (h.135).

Hãy chỉ ra:

a) Một điểm I sao cho SPIF = SPAF

b) Một điểm O sao cho SPOF = 2 SPAF

c) Một điểm N sao cho SPNF =1/2 SPAF

Cần chú ý rằng Δ trên đều có chung đỉnh P nên nếu lấy các cạnh đối diện với đỉnh P đều nằm trên đường thẳng AF thì ta có đường cao vẽ từ P của các Δ này chính là đường cao ứng với cạnh AF của ΔAPF Khi đó

a) Để SPIF = SPAF thì có thể lấy điểm I nằm trên đường thẳng AF sao cho I khác A và FA = FI hay F là trung điểm của AI

b) Để SPOF = 2.SPAF thì có thể lấy điểm O nằm trên đường thẳng AF sao cho OF= 2AF hay là A là trung điểm của OF

c) SPNF =1/2SPAF thì có thể lấy N nằm trên đường thẳng AF sao cho NF =1/2AF hay N là trung điểm của AF

Bài 23 trang 123 Cho ΔABC Hãy chỉ ra một số vị trí của điểm M nằm trong tam giác đó sao cho:

SMAC = SAMB + SBMC

Lấy điểm N bất kỳ thuộc cạnh AC, gọi M là trung điểm của BN Khi đó:

+) SAMB = SAMN (Vì cùng chung đường cao AI và MB = MN)

+) SBMC = SCMN (Vì cùng chung đường cao CK và MB = MN)

Vậy SAMB + SBMC = SAMN + SCMN = SMAC

Từ kết quả trên tra có thể chọn lựa được vô số điểm M thỏa mãn điều kiện bài toán Chẳng hạn: Mà

là trung điểm của trung tuyến vẽ từ B, của đường cao vẽ từ B,

Bài 24 Tính diệntích Δân có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng b.

Cho ΔABC cân tại A: AB = AC =b, BC =a

Ta tính SABC

+ Vẽ đường cao AH của ΔABC, vì ΔABC cân tại A nên H là trung điểm của BC ⇒ HB =1/2BC = a/2 + Xét Δ vuông AHB, ta cóL

AH2 = AB2 – HB2 = b2 -(a/2)2 = b2 – a2/4 = (4b2 -a2)/4

25 Tính diệntích của một Δđều có cạnh là a.

Áp dụng kết quả của bài 24 (trên) với b =a, ta có:

S của một Δđều có cạnh bằng a là:

Bài 26.

Tính diện-tích hình-thang ABED theo các độ dài đã cho trên hình 140 và biết diện tích hình chữ nhật ABCD là 828 m2

Giải: Ta có SABCD = AB AD = 828 m2

Nêm AD = 828/23 = 36 (m)

SABED= (AB + DE).AD / 2

= (23 + 31).36 /2

= 972(m2)

Bài 27 Vì sao hình chữ nhật ABCD và hình-bình-hành ABEF (h.141) lại có cùng diện-tích ? Suy ra

cách vẽ một hình chữ nhật có cùng diện-tích với một hình-bình-hành cho trước

Hình chữ nhật ABCD và hình bìnhhành ABEF có đáy chung là AB và có chiều cao bằng nhau, vậy chúng có diện-tích bằng nhau

Suy ra cách vẽ một hình chữ nhật có cùng diện-tích với một hình bìnhhành cho trước:

– Lấy nột cạnh của hình bình-hành ABEF làm một cạnh của hình chữ nhật cần vẽ, chẳng hạn cạnh AB

– Vẽ đường thẳng EF

– Từ A và b vẽ các đường thẳng vuông góc với đường thẳng EF, chúng cắt đường thẳng EF lần lượt tại D, C vẽ các đoạn thẳng AD, BC ABCD là hình chữ nhật có cùng diện.tích với hình bình hành ABEF

đã cho

Bài 28 trang 126 Xem hình 142 (IG// FU) Hãy đọc tên một số hình có cùng diện.tích với

hình.bình.hành FIGE

Ta có IG // FU nên khoảng cách giữa hai đường thẳng IG và FU không đổi và bằng h Các hình.bình.hành FIGE, IGRE, IGUR có cạnh bằng nhau FE = ER = RU có cùng chiều cao ứng với cạnh đó nên diện.tích chúng bằng nhau Tức là SFIGR = SIGRE = SIGUR( = h FE) Mặt khác các tam giác IFG, GEU có cạnh đáy FR và EU bằng nhau, bằng hai lần cạnh hình.bìnhhành FIGE nên diện tích chúng bằng nhau:

SIFR = SGEU = SFIGE

Vậy SFIGE = SIGRE = SIGUR = SIFR = SGEU

Bài 29 Khi nối trung điểm của hai đáy hình-thang, tại sao ta được hai hình-thang có diện.tích bằng

nhau?

Cho hìnhthang ABCD, gọi E,F lần lượt là trung điểm của hai đáy AD, BC Gọi h là độ dài đuofng cao của ABCD

Ta có: SABFE = 1/2 (AE+BF).h = 1/2(ED+FC).h

= SCDEF (Vì AE = ED, BF = FC)

Vậy SABFE = SCDEF

Bài 3

Trên hình 143 ta có hình-thang ABCD với đường trung bình EF và hình chữ nhật GHIK Hãy so sánh dện tích hai hình này, từ đó suy ra một cách chứng minh khác về công thức diện-tích hình-thang

Giải: Vì EF là đường trung bình của hình-thang ABCD nên EF = 1/2(AB +CD)

Khi đó SABCD =1/2(AB+CD).GK = EF.GK = GH.GK =SGHIK

* Ta có thể chứng minh công thức tính S.hình-thang ABCD bằng cách dựng hình chữ nhật GHIK như trong hình vẽ (Cps một cạnh bằng chiều cao và một cạnh bằng đường trung bình của hình thang)

Ta cóΔDEK = ΔAEG và ΔCIF = ΔBHF (Cạnh góc vuông – góc nhọn)

⇒ S DEK = SAEG, SCIF=SBHF

Khi đó SABCD = SDEK+ SEABF + SEFIK + SCIF= SAEG + SEABF + SEFIK + SBHF

=SGHIK = GH.GK = EF.GK = 1/2 (AB +CD).GK

Bài 31 Xem hình 144 Hãy chỉ ra các hình có cùng diệntích (lấy ô vuông làm đơn vị diệntích)

Các hình 2,6,9 có cùng diện-tích là 6 ô vuông

Các hình 1, 5, 8 có cùng diện-tích là 8 ô vuông

Các hình 3,7 có cùng diện-tích là 8 ô vuông

Hình 4 có diệntích là 7 ô vuông nên không có diện-tích với một trong các hình đã cho

Bài 32 Hãy vẽ một tứ giác có độ dài hai đường chéo là 3,6cm, 6cm và hai đường chéo đó vuông góc

với nhau Có thể vẽ được bao nhiêu tứgiác như vậy? Hãy tính S.mỗi tứ giác vừa vẽ?

b) Hãy tính S.hìnhvuông có độ dài đường chéo là d

a) Học sinh tự vẽ tứgiác thỏa mãn điều kiện đề bài, chẳng hạn như tứgiác ABCD ở hình dưới có

AC = 6cm

BD = 3,6cm

AC ⊥ BD tại H với H là điểm tùy ý thuộc đoạn AC và BD

S.tứgiác vừa vẽ: SABCD = SABC + SACD =1/2AC.BH + 1/2AC.DH = 1/2AC.(BH +DH) =1/2 AC BD = 1/2 6 3,6 = 10,8 (cm2)

b) S.hìnhvuông có độ dài đường chéo là d

Hình vuông có hai đường chéo bằng nhau và vuông góc với nhau, nên S = 1/2d.d = 1/2.d2

Bài 33 trang 128 Vẽ hình chữ-nhật có một cạnh bằng đường chéo của một hình-thoi cho trước và

có diện tích bằng diện tích của hình-thoi đó Từ đó suy ra cách tính S.hìnhthoi

Cho hình-thoi ABCD, hai đường chéo cắt nhau tại I Ta vẽ hình chữ-nhật BDEF có BF = IC (như hình bên)

Khi đó Δ ACF = ΔABI, ΔCDE = ΔDIA (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

⇒ SBCF = SABI, SCDE = SDIA

Ta có: SBDEF = SBCD + SBCF + SCDE = SBCD + SABI + SDIA = SABCD

SABCD = SBDEF = BD.DE =BD.IC = BD.1/2AC = 1/2AC.BD

Vậy S.hìnhthoi bằng nửa S.hai đường chéo

Bài 34 Toán 8 tập 2 hình Cho một hình-chữ-nhật Vẽ tứ-giác có các đỉnh là trung điểm các cạnh

của hình chữ nhật Vì sao tứ-giác này là một hìnhthoi? So sánh diệntích hình.thoi và diện tích hình chữnhật, từ đó suy ra cách tính diệntích hình.thoi

Cho hình-chữ-nhật ABCD; M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của AB,BC, CD, DA

* Chứng minh MNPQ là hìnhthoi

Ta có MN = PQ = 1/2BD

NP = MQ = 1/2 AC

Mà AC = BD

⇒ MN = NP = PQ = QM nên tứgiác MNPQ là hìnhthoi (Có 4 cạnh bằng nhau)

* Theo bài 33 (các em tham khảo ở trên), ta có SMNPQ = SABNQ và SMNPQ = SNQDC

Vì vậy SABCD = SABNQ + SNQDC = 2SMNPQ

* Ta có S =2 ⇒ S = 1/2S = 1/2AB.BC = 1/2NQ.MP

Bài 35 Tính diệntích hình thoi có cạnh dài 6cm và một trong các góc của nó có số đo là 600

Cho hình_thoi ABCD có cạnh AB = 6cm, ∠A = 600

+ ABCD là hình_thoi ⇒ ΔBAD cân tại A Mà ∠A = 600 nên ΔABD là tam giác đều ⇒ BD = AB = 6cm + AC ⊥ BD và BI = ID = 3cm

Trong tam giác vuông AIB áp dụng định lý pitago

AI2 = AB2 – IB2 = 36 – 9 = 27 ⇒ AI = √27 (cm)

Suy ra: AC = 2AI = 2√27 (cm)

Vậy SABCD = 1/2AC.BD = 1/2.2√27 6 = 12√27 (cm2)

Bài 36 Cho một hìnhthoi và một hìnhvuông có cùng chu vi Hỏi hình nào có diện tích lớn hơn? Vì

sao?

Với một hình_thoi và một hìnhvuông có cùng chu vi thì hìnhvuông có S lớn hơn Vì hai hình này có chu vi bằng nhau nên mỗi cạnh của nó bằng nhau Giả sử là cạnh có độ dài bằng a

S.hìnhvuông là a2

Trong khi hình_thoi, ta gọi d1,d2 là độ dài các đường chéo ta có

S.hìnhthoi là 1/2d1.d2

Bài 37 Thực hiện các phép đo cần thiết( chính xác đến từng mm) để tính diện tích hình ABCDE

(h.152)

Giải: Đa giác ABCDE được chia thành tam giác ABC, hai tam giác vuông AHE, DKC và hình vuông HKDE

Thực hiện phép đo chính xác đến mm ta được:

BG= 19mm, AC = 48mm, AH = 8mm, HK = 18mm

KC = 22mm, EH = 16mm, KD = 23mm

Nên SABC = 1/2.BG AC = 1/2 19.48 = 456 (mm2)

SHKDE = (HE + KD).HK / 2 = (16 + 23).18 / 2= 351 (mm2)

Do đó

SABCDE = SABC + SAHE + SDKC + SHKDE = 456 + 64 + 253+ 351

Vậy SABCDE = 1124(mm2)

Bài 38 trang 130 Một con đường cắt một đám đất hình chữ nhật với các dữ liệu được cho trên hình

153 Hãy tính diện-tich phần con đường EBGF (EF // BG) và diện-tích hần còn lại của đám đất

Con đường hình bình hành EBGF có diện tích:

SEBGF = 50.120 = 6000 (m2)

Đám đất hình chữ nhật ABCD có diện tích:

S.phần còn lại của đám đất:

S= SABCD – SEBGF = 18000 – 6000 = 12000(m2)

Bài 39 Toán hình 8 tập 2 Thực hiện các phép vẽ và đo cần thiết để tính diệntích một đám đất có

dạng như hình 154, trong đó AB // CE và được vẽ tỉ lệ 1/5000

Giải: Chia đám đất ABCDE thành hình thang ABCE và tam giác ECD Cần vẽ đường cao CH của hình

thang và đường cao DK của tam giác Thực hiện các phép đo chính xác đến mm ta được AB = 30mm,

CE = 26mm, CH = 13mm, DK = 7mm

SECD =½ EC DK = ½ 267= 91 (mm2)

Do đó SABCDE = SABCE + SECD = 364 + 91 = 455 (mm2)

Vì bản đồ được vẽ với tỉ lệ xích 1/5000 nên S.đám đất là:

S = 455 5000 = 2275000 (mm2) = 2,275 (m2)

Bài 40.

Tính diện tích thực của hồ nước có sơ đồ là phần gạch sọc trên hình 155 (cạnh của mỗi hình vuông là 1cm, tỉ lệ1/10000)

S.phần gạch sọc trên hình gồm S.hình chữ nhật ABCD trừ đi diện tích các hình tam giác AEN, JKL, DMN và các hình thang BFGH, CIJK Ta có:

S.hình chữ nhật ABCD là 6 x 8 ô vuông

S.ΔAEN là 2 ô vuông

S.ΔJKL là 1,5 ô vuông

S.ΔDMN là 2 ô vuông

S.hình thang BFGH là 6 ô vuông

S.hình thang CIJK là 3 ô vuông

Do đó tổng diện tích của các hình phải trừ đi là:

2 + 1 + 2 +6 + 3 = 14,5 ô vuông

Nên diệntích phần gạch sọc trên hình là:

6 x 8 – 14,5 = 33,5 ô vuông

Do tỉ lệ xích 1/10000 là nên diệntích thực tế là:

33,5 x 10000 = 335000 cm2 = 33,5 m2

Bài 41 Cho hình chữ nhật ABCD Gọi H,I,E,K lần lượt là các trung điểm của BC, HC, DC, EC (h.159)

Tính: a) Diện tích tam giác DBE

b) Diện tích tứ giác EHIK

Hướng dẫn: a) Ta có: SDBE = 1/2 DE.BC

+ Vì E là trung điểm của DC nên DE = 1/2 DC

+ Khi đó: SDBE = 1/4DC.BC = 1/4 12 6,8 = 20,4 (cm2)

b) Ta có SEHIK = SEHC – SKIC

Vậy SEHIK = 10,2 – 2,55 = 7,65 (cm2)

Bài 42 Trên hình 160 ( AC//BF), hãy tìm tam giác có diện tích bằng diện tích của tứ giác ABCD.