Chứng minh rằng ta có thể bỏ đi một điểm trong 100 điểm đó để 99 điểm còn lại cùng thuộc một đường thẳng... Cho đoạn thẳng AB và C là điểm nằm giữa hai điểm A,B.[r]
Trang 1ĐÈ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN NAM ĐỊNH
NĂM HỌC 2018-2019
Câu 1 (2 điểm)
(x+y)-y) (x+ry)l+x) U+x)d-y)
b) Chứng minh răng: Jt£tz ng tạ tên !
a) Rút gọn biểu thức P=
: l#——+——<2018
3 20172 2018 Câu 2 (2 điểm):
a) Giải phương trình: 2 la ~xNÍx°+2x—1l+ x| =-]
x—3y—2*+4/y(x—-y—l])+x=0 b) Giải hệ phương trình: ) — 38x -—2Y = y? -14y_8
y+1+1
Cho doan thang AB va C la điêm năm giữa hai điệm A,B Trên cùng một nửa mặt phăng bờ là - đường thăng AB, vẽ nửa đường tròn đường kính AB và nửa đường tròn đường kính BC Lây điêm
M thuộc nửa đường tròn đường kính BC ( M khác B, C) Kẻ MH vuông góc với BC ( H e BC), đường thăng MH căt nửa đường tròn đường kính AB tại K Hai đường thăng AK, CM giao nhau
tại E
a) Chứng minh BE = BC.AB
b)_ TừC kẻ CN vuông góc với AB (N thuộc nửa đường tròn đường kính AB), Gọi P là giao điêm của
NK và CE Chứng minh răng tâm đường tròn nội tiêp của các tam giác BNE và PNE cùng năm trên đường BP
c) Cho BC =2R Goi O,;0, lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác MCH và MBH xác
định vị trí điểm M dé chu vi tam giác Ø,/O, lớn nhất
Câu 4 (1,5 điểm):
a) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn 2x” +5y? =41+2xy
b)_ Có bao nhiêu số tự nhiên n không vượt quá 2019 thỏa mãn ø +2019 chia hết cho 6
Câu 5 (¡.5 điểm):
a) Cho các số thực đương thỏa mãn Ja +b =]
Chimg minh rang 3(a+b)’ —(a+b)+4ab> > [(a+3b)(b +3a)
b) Cho 100 diém trén mat phăng sao trong trong bât kỳ 4 điểm nào cũng có it nhất 3 điểm thăng hàng Chứng minh răng ta có thê bỏ đi một điêm trong 100 điêm đó đê 99 điệm còn lại cùng thuộc một đường thăng
Trang 2
BÀI GIẢI ĐỀ VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN NAM ĐỊNH 18-19
(GV Lưu Văn Thám — thực hiện)
Câu 1 (2 điểm)
a) Rút gọn biểu thức P= “ — 2 _—**
(œx+ry)d=y) (x+y)d+x) (U+x)d-y)
b) CMR: "m1 l+——+——<2018
(xt y)d-y) @+y)d+x) (đ+x)d-y) _ x(+x)-y°U-y)—x°y* (x+y) _ x+y+x-y -xy (x+y)
_(x†+yx =xy+y †+x-y-xy)_ xd+x)-y+x)+y d+x)d-+»)
_x-y+y -yx_ xq-y)-yd-y)_ xự-y)-yd-y)_d-y)[xd+y)-Ì _ v.v y
n n+l n (n+l n n+l n(n+l)
n (n+ n+l) n(n+]) nh (n+lŸ
—=,|ll++ > =1+—-—— Ap dung cho n tu | tới 2017 ta có:
n (n+l) n n+l
l+—+-.+,ll+=+c+r +,ll+ s+ > t,fl+ ›s'—
= —_ =2018- ! <2018 = (dpcm)
1 2 2 3 2016 2017 2017 2018 18
Câu 2 (2 điểm)
a) Giải phương trình: 2|d —x)Nx?+2x—1+ x| =]
x-3y-2+4/y(Œœx-y-])+x=0 (*) b)_ Giải hệ phương trình:
y+l+I
a) ()<©©2x=x —-I-2(-x)Nx+2x—]
<©>x *+2x+l=x +2x—-lI-2(-x)Nxˆ+2x-l+l1-2x+x”
2
> (x41) =|ý+°+2xz~1==z)|
Nà?+2x—1—(—x)=x+1 | v42x-1=2
<<>
>
lx? +2x-1-(-x) =-x-1 Vx? +2x-1=-2x
x 1-VJ6
<©\ |x<0 <©\ |x<0 & d6
=-l
| [ae + 2x-1=4x° 2x° +(x-1) =0 (VN) , +x6
Vậy phương trình có tập nghiệm Š ={—l— V6;-1+V6 }
Trang 3b)
y(x—y—])+x=(x—y)(y+l)>0 x—y>0
ĐKXD: 48-x>0 ©4x<68 ‹<€©ÌÏ<y<X<6
Œ)<©x-y-2y-2?4G-~y)(y+l) =0
> (x-y)-(x— yy + D +24 (x= yy +D -2(y +) =0
©vx-y(x-y=vy+1)+2y+lQx-y-vy+1)=0
©d>z-y-dy+1)Qjx-y+2u+l=0
® Với x=y=_- Ì, thay vào (**) không thỏa (loại)
e Với x = 2y + | thay vào (**) ta có:
4y(./y +1-1)
+1-1
<> 3,/7-2y —4,/y41+4=4y? +4y4+1-l4y-8
= 4y? -10y+4,/y+1-3,7-2y -11=0
A(y+1-4) | 30=7+2y) _9
y+1-2 1+7-2y 4@—3) 0(y~3) =0 y+I-2 1+/j7-2y
y+l-2 1+,/7-2y
4.6 y+1+2 1+,/7-2y
do-l<y<8=> y+1>0, 6—Jy+1>0, 3-7-2y >0> A>0
Nén (***) Sy-3=0> y=3 x=2y+l=7
Thử lại, hệ phương trình nhận nhiệm duy nhất (x ;y) = (7 ;3)
©>2(2y°-6y+y-3)+
«©2(y-3)\(2y++
Câu 3 (3 điểm) Cho đoạn thăng AB và C là điểm năm giữa hai điểm A,B Trên cùng một nửa mặt
a)
b)
phăng bờ là đường thắng AB, vẽ nửa đường tròn đường kính AB và nửa đường tròn đường kính BC Lây điểm M thuộc nửa đường tròn đường kính BC ( M khác B, C) Kẻ MH vuông góc với BC (
H BC), đường thăng MH cắt nửa đường tròn đường kính AB tại K Hai đường thang AK, CM giao nhau tại E
Chứng minh BE” = BC.AB
Từ C kẻ CN vuông góc với AB (N thuộc nửa đường tròn đường kính AB), Gọi P là giao điểm của
NK và CE Chứng minh răng tâm đường tròn nội tiếp của các tam giác BNE và PNE cùng năm trên đường BP
Cho BC =2R Goi O,;0, lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác MCH và MBH xác định
vị trí điểm M để chu vi tam giác O,O, lớn nhất
Trang 4
a) Chứng minh BE” = BC.AB,
Ta có ^AKB = 90° (góc nội tiếp chăn nhửa đường tròn)
=> BK LIAE— ^BKE= 907
Tuong tu ta co “CMB=90° = “BME = 90°
Suy raM, K cùng nhìn BE theo góc 90°
—= tứ giác BMKE nội tiếp > ^BEM = ^MKM (cùng M
chăn cung BM) mà ^BKM = ^BAE (cùng phụ ^ABK)
=> ^BEC = ^BAE, kết hợp với ^B chung
=> ABEC m ABAE (g.g)
b)_ Chứng mình tâm đường tròn nội tiệp ABNE và APNE
năm BP
AANB nội tiếp đường tròn đường kinh AB nên vuông tai A mà MC là đường cao (øt)
= BN = BA.BC (hệ thức lượng) mà BE” = BA.BC (cmt) > BE’ = BN’ => BE=BN
=> B thuộc trung trực EN và ABNE cân tại B > *BNE = “BEN (1)
^KNB = ^KAB (cùng chắn cung KB) mà ^KAB = ^CEB (cmt) ^PNB = ^PEB (2)
(1), (2) > ^BNE—- ^BNP = ^BEN - ^BEP — ^PNE = ^PEN => APNE can tai P
Do ABNE và APNE cùng là tam giác cân chung đáy NE nên các phân giác kẻ từ đỉnh cùng năm trên trung trực của NE, suy ra tâm đường nội tiếp hai tam giác trên cùng năm trên trung trực NE (đpem)
c)_ Xác định vị trí điểm M để chu vi tam giác O, HO, lớn nhất
Gọi ø1ao của O¡O; với MC, MC là G, E Gọi ® là chu vị AO HO,
Do O¡.O; là tâm đường tròn nội tiếp A MCH và AMBH nên ta có AMHO, = 1⁄2 MHC = % 90° = 45°
ABHM wm AMHC (g.g) vi BHM = “MHC = 90°, ^BMH = ^MCH (cùng phụ ^MBC)> = 7 = oe AMHO, » ABHO; (g.g) vi HMO, = % “HMC = 1⁄2 “HBM = ^HBO;, *MHO, = 45° = “BHO,
———= ma —— =—(cmt) > = => = , két hop voi
40,HO> = 90° = “CMB => AO,HO> œ ACMB (c.g.c) => ^HO›;O¡=^MBC => HBFO> nội tiếp( có
góc trong băng góc ngoài đối) => “MFO, = “BHO, = 45° = *MHO, ma “HMO; = “FMO; (gt)
—= ^MO;F =^MO;H => AMO;E = AMO;H (g.c.g) => HO; = FO) , MH = MF (3)
Chứng minh tương tự ta co HO; = GO; va MG = MH (4)
(3), (4= ME=MG =MH > AMFG vuông cân taiG > FG = MFV2 =MHV2
Cine tir (3), (4) > ® = 0,0, + HO, + HO; = 0,0) + FO, + GO, = FG = MHA/2
vay ® Ién nhat < MH I6n nhat © M 1a diém chinh gitta cung BC (dpem)
Câu 4 ( 1,5 điểm)
a) Tim tat cả các cặp số nguyên (x:y) thỏa mãn 2x? +5y? =41+2xy
b)_ Có bao nhiêu số tự nhiên n không vượt quá 2019 thỏa mãn ø” +2019 chia hết cho 6
a) Cách 1: Ta có: 2x2 +5y” =41+2xy ©x +2xy+ y' +x -4xy+4y” =4I
+y) =16 +y) =25
(x yy hoặc (x y (x-2y) =25 (x-2y) =16 (do 41 chỉ có thể viết thành tổng hai số chính phương là 16 và 23) x+y=t4 _ |x+y=+5
& hoặc
<S(x+ yy +(x-2y} =41<
Trang 5| (xty=4 FÍx+y=5 | {x=13/3 | (x=14/3
> hoặc hoặc
Do x xX, y nguyên nên phương trình nhận các nghiệm (x3y): ũ: 33), C1 5), © 3), (2; ~)
Cách 2 (hướng dẫn): 2x” +5y” =41+2xy © 4x’ -—4xy+ y+ 9y’ = 82 ©(2x- y)ˆ + 0yˆ = 82
2
y =9 (2x-yy =1
b) Taco: n° + 2019 =n’ —n + 2016 +n + 3 =(n— 1)n(nt1) + 2016 + (n + 3)
Do 2016 chia het cho 6, (n -1)n(n+1) là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3 mà 2
và 3 nguyên tô cùng nhau nên (n -1)n(n+1) chia hêt cho 6
Vậyn+2019:6 >n+3: ©n chia 6 dư 3 ©n = 6k + 3 (k e Z)
ma 0 <n< 2019 (et) © 0< 6k +3 < 2019 S0<k < 336 (dok € Z)
=> c6 337 gia tri k cting 1a c6 337 86 tu nhién n thda dé bai
=> 0yˆ<82—> y <9— y“e {0;1;4; 9} xét các giá trị của yˆ — | = Đáp số
Câu 5 (1.5 điểm)
a) Cho các số thực đương thỏa mãn Va +b =]
Chimg minh rang 3(a +b)’ —(a+b) + 4ab> sv +3b)(b + 3a)
b) Cho 100 diém trén mat phang sao trong trong bat ky 4 diém nao cũng có ít nhất 3 diém thang hang
Chứng minh rằng ta có thể bỏ đi một điểm trong 100 điểm đó đề 99 điểm còn lại cùng thuộc |
đường thắng
a) Taco: Jat+Vb =10.44+b+2Nab =1< 4ab = (1-a—byY © 4ab =14 a +b’ —2a—2b+4 2ab
Ap dụng bat dang thire Cauchy ta có: sve + 3b)(b+3a) < 1 TS a+b (1)
Ta Chứng minh : 3(a + b)“— (a + b) + 4ab > a + b (2)
(2) = 3(a* + 2ab + b’)— (a+b) +1 +4+a° +b’ —2a—2b+2ab>atb
© 4a” + 4b + I + 8ab — 4a — 4b > 0 © (2a + 2b — 1)” > 0 (luôn đúng), vậy (2) đúng
(1),(2)—= 34+) —(4.+b)+.4ab >> [[a +3B)Œ +39) (dpcm)
b) Xét AABC với A,B,C là 3 trong 100 điểm đã cho Nếu lây điểm thứ tư D thì D năm trên đường thăng AB hoặc Bc hoặc CA Không mất tính tổng, quát nếu ta giả sử D nằm trên BC
Xét điểm thứ năm E thì E phải năm trên đường thăng A
BC That vay:
e NéuE nam trén AB thi trong 4 điểm A,D,C,E
không có 3 điểm nao thang hang
e Nếu E nằm trên AD thì trong 4 điểm A,B,C,E
không có 3 điểm nảo thăng hàng
e_ Nếu E năm trên AC thì trong 4 điểm A,D,B,E B D C
không có 3 điểm nao thang hang
Tương tự ta chứng minh được 95 điểm còn lại đều thuộc đường thăng BC Cho nên nếu bỏ đi điểm
A thì 99 điểm còn lại đều thuộc đường thăng BC (đpcm)