Giải số qui luật ứng xử đàn hồi nhớt của huet sayegh và 2s2p1d trong miền thời gian để phân tích ứng xử của kết cấu áo đường mềm

1.2 Tính cấp thiết Bởi vì dạng giải tích của hàm mô-đun dão cho mô hình Huet-Sayegh và 2S2P1D không tồn tại, nhiều phương pháp đã được đề xuất nhằm tích hợp các mô hình này vào trong các

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

CÔNG TRÌNH NCKH CẤP TRƯỜNG TRỌNG ĐIỂM

GIẢI SỐ QUI LUẬT ỨNG XỬ ĐÀN HỒI – NHỚT CỦA HUET-SAYEGH VÀ 2S2P1D TRONG MIỀN

THỜI GIAN ĐỂ PHÂN TÍCH ỨNG XỬ

CỦA KẾT CẤU ÁO ĐƯỜNG MỀM

MÃ SỐ: T2020-80TĐ

S K C 0 0 7 3 0 2

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT

ĐƯỜNG MỀM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA XÂY DỰNG

BÁO CÁO TỔNG KẾT

ĐỀ TÀI KH&CN CẤP TRƯỜNG TRỌNG ĐIỂM

GIẢI SỐ QUI LUẬT ỨNG XỬ ĐÀN HỒI – NHỚT CỦA HUET-SAYEGH VÀ 2S2P1D TRONG MIỀN THỜI GIAN ĐỂ PHÂN TÍCH ỨNG XỬ CỦA KẾT CẤU ÁO

ĐƯỜNG MỀM

Mã số: T2020-80TĐ

Chủ nhiệm đề tài: TS Nguyễn Huỳnh Tấn Tài

TP HCM, 12/2020

DANH SÁCH THÀNH VIÊN THAM GIA NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI

1 Nguyễn Huỳnh Tấn Tài, Khoa Xây Dựng,

MỤC LỤC

3.2.1 Ấn tĩnh một vật thể rắn có đáy phẳng vào bán không gian đàn hồi – nhớt 30

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

ACB Asphalt concrete of base

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ

Hình 1-1 Minh họa hư hỏng mặt đường kiểu hằn lún vệt bánh xe và kiểu nứt mỏi

Hình 1-2 Minh họa mô hình lưu biến của Huet-Sayegh (a) và 2S2P1D (b)

Hình 2-1 Xấp xỉ mô-đun dão AAR sử dụng phương pháp sắp đặt

Hình 2-2 Xấp xỉ mô-đun dão AAR và NER bằng tổng các hàm số mũ ở nhiệt độ tham chiếu (a) Hỗn hợp bê tông nhựa (b) Nhựa đường

Hình 2-3 Xấp xỉ mô-đun dão NER bằng tổng các hàm số mũ ở nhiều nhiệt độ khác nhau (a) Hỗn hợp bê tông nhựa 3 (b) Nhựa đường 4

Hình 3-1 Thí nghiệm tự chùng (a) So sánh giá trị đun dão tính toán với giá trị đun dão đưa vào trong tính toán (b) Sai khác tương đối giữa các giá trị của mô-đun dão AAR và NER

mô-Hình 3-2 Thí nghiệm từ biến (a) Độ mềm từ biến tính toán được (b) Sai khác tương đối giữa các giá trị độ mềm từ biến tính toán được trên cơ sử dữ liệu đầu vào là mô-đun dão AAR và mô-đun dão NER

Hình 3-3 Kết quả tính toán số của mô-đun động thay đổi theo tần số góc của hỗn hợp

bê tông nhựa (a) và nhựa đường (b) sử dụng dữ liệu đầu vào là mô-đun dão AAR và NER

Hình 3-4 Biểu đồ Cole-Cole (a) và Black (b) của hỗn hợp bê tông nhựa tính toán dựa trên số liệu đầu vào là mô-đun dão AAR và NER

Hình 3-5 Biểu đồ Cole-Cole (a) và Black (b) của nhựa đường tính toán dựa trên số liệu đầu vào là mô-đun dão AAR và NER

Hình 3-6 Mô hình chịu tác dụng của tải trọng nhiều bước (a) Ứng suất tác dụng (b) Biến dạng đáp ứng của hỗn hợp bê tông nhựa 3 ở các nhiệt độ khác nhau Kết quả tính toán không được thể hiện hết tất cả các giá trị ở các bước tính toán nhằm mục đích làm

rõ hình vẽ

Hình 3-7 Mô hình đàn hồi – nhớt ba phần tử

Hình 3-8 Định nghĩa bài toàn ấn một vật thể rắn vào một bán không gian đàn hồi – nhớt

Hình 3-9 Kết quả tính toán số (a) Lực ấn thay đổi theo thời gian (b) Sự phân bố của ứng suất tiếp xúc

Hình 3-10 Định nghĩa bài toán F/HWD Các vị trị đo chuyển vị bằng cảm biến (geophone) G1, G2, đến G9

Hình 3-11 Chuyển vị tại các cảm biến G1, G5 và G9 trong phân tích giả tĩnh (a) Chuyển

vị thay đổi theo thời gian (b) Giá trị của chậu lún ở thời điểm t=0.01, 0.019 và 0.025s Hình 3-12 Chuyển vị tại các cảm biến G1, G5 và G9 trong phân tích động lực học (a) Chuyển vị thay đổi theo thời gian (b) Giá trị của chậu lún tại các thời điểm t=0.01, 0.019 và 0.025s

Hình 3-13 Chậu lún ứng với chuyển vị lớn nhất (a) và thời gian tới tương ứng với chuyển vị lớn nhất (b) thu được trong phân tích giả tĩnh và phân tích động lực học

DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU

Bảng 2-1 Các thông số của mô hình Huet-Sayegh và 2S2P1D

Bảng 2-2 Các thông số chính của quá trình xấp xỉ

Bảng 3-1 Kết quả phân tích của bài toán F/HWD trong phân tích giả tĩnh và phân tích động

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

ĐƠN VỊ: KHOA XÂY DỰNG

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

Tp HCM, ngày 12 tháng 12 năm 2020 THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU

1 Thông tin chung:

- Tên đề tài: Giải số qui luật ứng xử đàn hồi – nhớt của Huet-Sayegh và 2S2P1D trong miền thời gian để phân tích ứng xử của kết cấu áo đường mềm

- Mã số: T2020-80TĐ

- Chủ nhiệm: Nguyễn Huỳnh Tấn Tài

- Cơ quan chủ trì: Trường ĐH Sư Phạm Kỹ Thuật Tp.HCM

- Thời gian thực hiện: 12 tháng, từ 1/2020 – 12/2020

2 Mục tiêu:

Giải số mô hình đàn hồi – nhớt của Huet-Sayegh và 2S2P1D trong miền thời gian để tích hợp vào trong chương trình tính toán bằng phương pháp phần tử hữu hạn Kết quả nghiên cứu giúp cải thiện độ chính xác của kết quả phân tích kết cấu áo đường

3 Tính mới và sáng tạo:

Các tác giả đã đề xuất một phương pháp giải số cho qui luật ứng xử đàn hồi – nhớt của Huet-Sayegh và 2S2P1D, trong đó độ chính xác cũng như thời gian tính toán được cải thiện một cách đáng kể

4 Kết quả nghiên cứu:

- Sai số tại mọi điểm của xấp xỉ mô-đun đàn hồi dão bằng tổng các hàm số mũ sử dụng các hệ số có giá trị thực là rất nhỏ, nhỏ hơn 1.5 10 4 đối với hỗn hợp bê tông nhựa và 7.5 10  4 đối với nhựa đường

- Nghiệm số khớp với nghiệm giải tích Điều đó xác thực tính đúng đắn của các giá trị mô-đun dão cũng như phương pháp xấp xỉ mô-đun dão bằng tổng của các hàm số mũ

- Khi so sánh với phương pháp giải trực tiếp (ví dụ phương pháp của Heck), thời gian tính toán với phương pháp đề xuất thấp hơn một cách đáng kể (khoảng 1000 lần) trong khi mức độ sai số tương đối 10  3vẫn có thể đạt được

5 Sản phẩm:

01 bài báo SCIE, Q1 (vượt yêu cầu so với đăng ký đề tài được duyệt là Q2)

01 bài báo hội nghị được đăng trong kỷ yếu nằm trong danh mục Scopus (sản phẩm vượt đăng ký)

Trưởng Đơn vị (ký, họ và tên)

Chủ nhiệm đề tài

TS Nguyễn Huỳnh Tấn Tài

INFORMATION ON RESEARCH RESULTS

1 General information:

Project title: Numerical resolution of Huet-Sayegh and 2S2P1D models for analysis

of asphalt pavement structures in time domain

Code number: T2020-80TD

Coordinator: Nguyen Huynh Tan Tai

Implementing institution: Ho Chi Minh City University of Technology and Education Duration: from 01/2020 to 12/2020

2 Objective(s):

To implement the Huet-Sayegh and 2S2P1D viscoelastic model in time domain in an existing finite element programme The results of this work help to improve the exactness of flexible pavement analysis

3 Creativeness and innovativeness:

The authors have proposed a method for finite element implementation of Sayegh and 2S2P1D viscoelastic model in time domain, in which the accuracy as well as computing time is significantly improved

Huet-4 Research results:

- The error of the approximation by sum of exponential functions using real valued decay rates and coefficients is very small, lower than 1.5 10 4 at every data point for asphalt mixtures and 7.5 10 4 for binder

- The numerical solutions agree with the exact solutions, which verify the accuracy of the AAR and NER moduli as well as its approximation by sum of exponential functions

- When comparing to the direct method (e.g method of Heck), the CPU time for the proposed formulation to complete the calculation is significantly lower (approximately 1000 times) while small relative error of the order of 103 can be obtained

5 Products:

01 SCIE and Q1 paper (01 SCIE, Q2 paper was proposed in the project)

01 book chapter indexed by Scopus (added product)

https://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/14680629.2020.1809501?journalCode

6 Effects, transfer alternatives of research results and applicability:

The research results provide useful information for civil engineers and researchers who would like to analyse the behaviour of flexible pavements The method proposed helps to improve the exactness of pavement analysis and design As a result, appropriate materials could be chosen to increase the service life of pavement structures The study results can also be used for postgraduate training and research

Chương 1: MỞ ĐẦU

1.1 Tổng quan tình hình nghiên cứu trong và ngoài nước

Bê tông nhựa được sử dụng rộng rải trong kết cấu áo đường nhờ vào các ưu điểm tuyệt vời của nó như tính dễ công tác, dễ sửa chữa và tính êm thuận trong lưu thông của các phương tiện Tuy nhiên, bê tông nhựa lại dễ bị hư hỏng dưới các tác dụng của tải trọng cũng như các tác động từ môi trường, trong đó hằn lún vệt bánh xe và nứt mỏi là hai dạng hư hỏng phổ biến nhất Ở nước ta, hằn lún vệt bánh xe được xác định là dạng hư hỏng phổ biến nhất do khí hậu nóng và tình trạng khai thác quá tải diễn ra phổ biến [1]

Vì hằn lún vệt bánh xe thường xuất hiện rất sớm sau khi thông xe, dạng hư hỏng này thu hút được nhiều sự quan tâm của các nhà quản lý, các kỹ sư và nhà khoa học hơn là dạng

hư hỏng kiểu nứt mỏi

Hình 1-1 Minh họa hư hỏng mặt đường kiểu hằn lún vệt bánh xe và kiểu nứt mỏi

Từ góc độ của thiết kế kết cấu, hư hỏng dạng nứt là thực sự nghiêm trọng Một khi kết cấu áo đường được thiết kế đủ cứng để kháng được hằn lún vệt bánh xe, mặt đường sẽ

có nhiều khả năng bị nứt dưới tác dụng của tải trọng trong dài hạn Rủi ro xuất hiện hư hỏng nứt tăng lên đáng kể khi mà kết cấu áo đường mỏng với chiều dày từ 12-15 cm được sử dụng rất phổ biến ở trong nước vì lý do kinh tế [2] Để có thế giảm thiểu được

hư hỏng kiểu nứt, ứng xử của kết cấu áo đường phải được phân tích một cách chính xác

và “gần” nhất có thể so với sự làm việc thực tế của nó, đồng thời chiều dày của kết cấu

áo đường phải được tính toán kỹ dựa vào các mô hình dự tính hư hỏng thích hợp

Đàn hồi – nhớt tuyến tính (LVE), tính phi tuyến, mỏi, và hằn lún vệt bánh xe là bốn dạng ứng xử chính của hỗn hợp bê tông nhựa, được xác định căn cứ vào biên độ của

biến dạng và số chu kỳ tải trọng tác dụng vào vật liệu [3-5] Đối với việc phân tích và thiết kế kết cấu áo đường, ứng xử đàn hồi – nhớt tuyến tính là loại ứng xử phù hợp hơn

cả Thật vậy, các mô hình đàn hồi – nhớt tuyến tính đã được sử dụng từ rất lâu trong việc phân tích ứng xứ của nhựa đường và hỗn hợp bê tông nhựa bao gồm các mô hình lưu biến [6-16], và mô hình toán học [17-18] Trong số các mô hình kể trên, mô hình ứng xử Huet-Sayegh và phiên bản mở rộng của nó là mô hình 2S2P1D đã được chứng minh tính hữu hiệu trong việc dự báo ứng xử đàn hồi – nhớt của vật liệu nhựa đường và hỗn hợp bê tông nhựa trong khi số lượng tham số của mô hình là tương đối ít [11-14,19-22] Tuy nhiên, các mô hình Huet-Sayegh và 2S2P1D thường gặp khó khăn trong việc tích hợp vào trong một chương trình tính toán bằng phương pháp phần tử hữu hạn trong miền thời gian do không tồn tại hàm mô-đun dão ở dạng giải tích

1.2 Tính cấp thiết

Bởi vì dạng giải tích của hàm mô-đun dão cho mô hình Huet-Sayegh và 2S2P1D không tồn tại, nhiều phương pháp đã được đề xuất nhằm tích hợp các mô hình này vào trong các chương trình tính toán kết cấu bằng phương pháp phần tử hữu hạn Phương pháp được sử dụng phổ biến nhất là chuyển đổi bài toán trong tự nhiên được định nghĩa trong miền thời gian thành một bài toán tương đương trong miền tần số Khi đó, quan hệ giữa ứng suất và biến dạng trở thành một quan hệ tuyến tính đơn giản, ví dụ như phương pháp được sử dụng trong chương trình Viscoroute [23], Veroad [24-25] và ABAQUS [26] Việc chuyển đổi giữa miền thời gian và miền tần số sử dụng phép biến đổi Fourier

là phức tạp và các kỹ thuật phức tạp cần được sử dụng thêm để đảm bảo độ chính xác của kết quả [27]

Trong miền thời gian, việc giải số quan hệ giữa ứng suất – biến dạng có thể được thực hiện bằng cách sử dụng hàm từ biến trong nhánh I của mô hình Huet-Sayegh và 2S2P1D

và tính trực tiếp tích phân xoắn (convolutional integral) như thuật toán được đề xuất bởi Heck [28] cho mô hình Huet-Sayegh Thuật toán này sau đó được áp dụng vào trong mô-đun CVCR của chương trình tính toán CESAR-LCPC chuyên dùng để phân tích kết cấu áo đường [29] Trong một cách tiếp cận khác, Woldekidan và các cộng sự [30] sử dụng các hệ số Grunwald để xử lý các đạo hàm phân số nhằm rút ra quan hệ số giữa ứng suất – và biến dạng Trong hai phương pháp này, tất cả các giá trị tính toán trong quá khứ đều được sử dụng trong tính toán Vì vậy, chi phí tính toán bao gồm bộ nhớ lưu trữ

và thời gian tính toán cho mỗi bước tính toán gia tăng rất nhanh theo số bước tính toán

Để có có thể lập công thức phần tử hữu hạn hiệu quả cho mô hình 2S2P1D, Tiouajni và

cộng sự đã đề xuất một thuật toán dùng để xấp xỉ mô-đun đàn hồi phức của mô hình 2S2P1D bằng mô-đun đàn hồi phức của mô hình Kelvin-Voigt mở rộng trong miền tần

số [31] Thuật toán xấp xỉ được xây dựng để xác định n giá trị của độ cứng lò xo Ei với giả thiết rằng tỷ số giữa độ nhớt của cản nhớt  và độ cứng của lò xo i Ei, hay còn được gọi là thời gian đặc trưng  , là biết trước Thuật toán này tương tự với phương pháp iđược gọi “colocation method” phát triển bởi Schapery năm 1961 [32] nhằm xấp xỉ hàm mô-đun dão bằng chuổi Prony ở chổ một tập các giá trị của thời gian đặc trưng (characteristic time) được lựa chọn trước Như được thảo luận ở các phần sau, việc lựa chọn các giá trị của tốc độ suy giảm (decay rates) để xấp xỉ một cách “sát sao” trong một khoảng rất rộng của thời gian đánh giá là rất khó khăn

1.3 Mục tiêu nghiên cứu

Mục tiêu chung của nghiên cứu này là phát triển một công thức giải số nhằm tích hợp

mô hình Huet-Sayegh và 2S2P1D vào trong các chương trình tính toán bằng phương pháp phần tử hữu hạn sao cho chi phí tính toán trong từng bước tính toán là ổn định trong suốt quá trình tính toán Công thức số tìm kiếm tương tự công thức số áp dụng cho

mô hình Maxwell mở rộng ở chổ sử dụng tổng các hàm số mũ Vì vậy, công thức giải số cho mô hình đàn hồi – nhớt của Huet-Sayegh và 2S2P1D có thể được ứng dụng dễ dàng trong các phần mềm tính toán phần tử hửu hạn trong miền thời gian sẵn có để phân tích ứng xử của kết cấu áo đường Phương pháp giải quyết vấn đề trong báo cáo này gồm 2 bước Bước một là xác định hàm mô-đun dão cho mô hình Huet-Sayegh và 2S2P1D và bước hai là xấp xỉ hàm mô-đun dão bằng tổng của các hàm số mũ với độ chính xác cao

để xây dựng công thức quy nạp cho quan hệ ứng suất – biến dạng Để có thể đạt được mục tiêu nêu trên, các mục tiêu cụ thể trong nghiên cứu này bao gồm:

 Xây dựng hàm mô-đun dão bằng phương pháp xấp xỉ giải tích (AAR) cho mô hình Huet-Sayegh và 2S2P1D sử dụng phương pháp của Schapery và Park [30]

và thiết lập thuật toán xác định mô-đun dão chính xác bằng phương pháp số (NER) sử dụng thuật toán được đề xuất bởi Heck [28];

 Cải tiến phương pháp của Dombi [33] để xác định các tham số của tổng các hàm

số mũ trong phép xấp xỉ các giá trị của mô-đun dão nhằm đảm bảo độ mức độ chính xác cao cho phép xấp xỉ (sai số tương đối ≤10 3);

 Xây dựng mối quan hệ quy nạp của ứng suất và biến dạng để có thể giảm chi phí tính toán trong phép tính tích phân xoắn;

 Xác thực phương pháp đề xuất thông qua việc so sánh kết quả tính toán số thu được với các lời giải giải tích và các lời giải thu được bằng các phương pháp khác

1.4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Mô hình đàn hồi – nhớt tuyến tính của Huet-Sayegh và 2S2P1D

Hình 1-2 Minh họa mô hình lưu biến của Huet-Sayegh (a) và 2S2P1D (b)

1.5 Cách tiếp cận và phương pháp nghiên cứu

1.5.1 Cách tiếp cận

Lý thuyết kết hợp với thực nghiệm và mô phỏng bằng phương pháp số

1.5.2 Phương pháp nghiên cứu

- Phân tích ứng xử đàn hồi – nhớt của bê tông nhựa

- Mô hình hóa qui luật ứng xử bằng mô hình Huet-Sayegh và 2S2P1D

- Xây dựng công thức giải số cho mô hình ứng xử đàn hồi nhớt trong miền thời gian 1.6 Nội dung nghiên cứu

- Nghiên cứu tổng quan về các phương pháp giải số mô hình đàn hồi – nhớt Sayegh và 2S2P1D

Huet Xác định các thông số của mô hình ứng xử vật liệu và xấp xỉ các giá trị của môHuet đun dão bằng tổng các hàm số mũ

- Xây dựng công thức giải số cho mô hình ứng xử đàn hồi nhớt trong miền thời gian

- Báo cáo kết quả nghiên cứu và xuất bản

Chương 2: CƠ SỞ LÝ THUYẾT

2.1 Các phương trình cơ bản của cơ học vật rắn biến dạng đàn hồi – nhớt

Gọi σ x( ,t) là ten-xơ ứng suất Cauchy, mô tả trạng thái ứng suất tại một điểm x và tại thời điểm t của một vật rắn bất kỳ ở trạng thái cân bằng dưới tác dụng của tải trọng và tác động bên ngoài Nếu không có ghi chú khác, qui ước tổng của Einstein được áp dụng trong suốt báo cáo này Phương trình cân bằng cục bộ tại mọi điểm của vật rắn được biểu thị bằng phương trình (1):







div σ Gọi ε x( , )t là ten-xơ tổng biến

dạng, ε xm( , )t là ten-xơ biến dạng do tác động cơ học và ε xth( , )t ten-xơ biến dạng do tác động của nhiệt độ tại điểm x và thời gian t Trong khuôn khổ của giả thiết biến dạng bé, chúng ta có thể viết biến dạng tổng bằng tổng của biến dạng cơ học và biến dạng do nhiệt:

Gọi T( , )x t là trường nhiệt độ bên trong vật rắn Giả thiết rằng vật liệu làm nên vật rắn

có ứng xử đẳng hướng, ten-xơ biến dạng có thể được xác định bằng phương trình:

tcủa vật rắn đàn hồi – nhớt gây ra bởi các bước biến dạng nhỏ có tính chất cộng tác dụng:

tr  Trong phương trình (5), ( , ( ))t T x là mô-đun cắt trượt và ( , ( ))t T x là hằng

số Lamé liên hệ với mô-đun dão ( , ( ))E t T x và hệ số Poisson  (giả thiết là hằng số) bởi phương trình:

Bây giờ chúng ta xem xét một trường nhiệt thay đổi theo thời gian, T  T ( , ) x t , quan hệ giữa ứng suất – biến dạng có thể được viết dưới dạng:

2.2 Mô hình đàn hồi – nhớt của Huet-Sayegh và 2S2P1D

Mô hình đàn hồi – nhớt của Huet và Sayegh [6-7] phù hợp cho việc mô tả ứng xử đàn hồi – nhớt tuyến tính của bê tông nhựa Mô hình bao gồm một lò xo liên kết song song với một khối mắc nối tiếp bao gồm một lò xo, hai cản nhớt phi tuyến như được mô tả trong Hình 1-1a

Mô-đun phức (complex modulus) của mô hình Huet-Sayegh được cho bởi phương trình (13) [7,11,14]

hoặc bằng qui luật hàm số mũ:

2.4 Mô-đun dão (relaxation modulus)

Bởi vì dạng giải tích của mô-đun dão của mô hình Huet-Sayegh và 2S2P1D không tồn tại, các phương pháp xấp xỉ giải tích và phương pháp số được sử dụng để tính toán mô-đun dão Các phương pháp phổ biến sẽ được tóm tắt bên dưới

2.4.1 Hàm mô-dun dão được xấp xỉ bằng phương pháp giải tích (AAR)

Rất nhiều kỹ thuật đã được đề xuất trong các nghiên cứu trước đây nhằm tính toán một cách gần đúng mô-đun dão căn cứ vào kết quả thí nghiệm mô-đun động bao gồm phương pháp chuyển đổi bằng phương pháp số [34-35] và phương pháp xấp xỉ bằng giải tích [36-37] Trong nghiên cứu này, phương pháp của Schapery và Park [37] được dùng

để xấp xỉ hàm mô-đun dão Giả thiết rằng (Tref) 1 tại nhiệt độ tham chiếu, mô-đun dão có thể được xấp xỉ căn cứ vào hàm mô-đun lưu trữ:

'

' '

ref

T có thể thu được một cách dễ dàng bằng cách sử dụng biến thời gian tác dụng tương

đương 1/ [( )]T thay cho 1 / [(Tref)] trong các phương trình (20)-(22) Theo định nghĩa, hệ số dịch chuyển a là tỷ số giữa ( )T  T và ( Tref), có thể được xác định dễ dàng

từ qui luật hàm số mũ của ( )T :

2.5 Giải số quan hệ ứng suất – biến dạng

Chia khoảng thời gian nghiên cứu thành tổng các khoảng thời gian nhỏ

đến tn1 Giá trị của bước thời gian không nhất thiết phải là một hằng số Trong các phần tiếp theo, một chỉ số dưới “n+1” sẽ được dùng để chỉ một đại lượng ở thời điểm tn1nhằm đơn giản hóa các ghi chú Mọi đại lượng vi phân đều được rời rạc hóa sử dụng phương pháp sai phân bậc một của Euler như sau:

2.5.1 Quan hệ quy nạp giữa ứng suất và biến dạng

Giả sử rằng hàm mô-đun dão ở nhiệt độ T được xấp xỉ bằng tổng của các hàm số mũ:

0 1

j j T

t

a T j j

phương trình (27) vào phương trình (12):

1 1

1 1

( ( , )) 0

1

( ( , )) 0

suất như sau:

1 1

1 1

d ( )

tn j n

T

tn j n

Tách tích phân trong phương trình (29) thành hai phần như trong phương trình (31):

Tích phân đầu tiên ở vế thứ hai của phương trình (31)1-2 là giá trị của biến nội tại ở thời điểm tính toán t nhân với một hệ số bằng n

1

( ( , ))

tn j

d b

Vì vậy, việc tính toán tích phân này có thể được thực hiện dễ dàng sử dụng phương pháp tích phân điểm giữa như sau:

1 /2 ( ( , )) ( ( , ))

x x

1 1/ 2

( /2) ( ( , ))

1

n j

t b

Ma trận cứng tiếp tuyến cũng có thể được suy ra từ phương trình (33) một cách dễ dàng

để có thể tích hợp vào trong các chương trình tính toán bằng phương pháp phần tử hữu

1 1

( ) 1

0 1 1

1

j j T

t t

a T n

j m

j n

mũ Để đơn giản cho việc diễn đạt, mô-đun dão ở nhiệt độ T sẽ được sử dụng cho quá reftrình xấp xỉ Việc phân tích mô-đun dão thành tổng của các hàm mũ ở nhiệt độ khác với

ref

T có thể thu được một cách dễ dàng sử dụng nguyên lý tương đương thời gian – nhiệt

độ (time-temperature correspondence principle)

Kỹ thuật được sử dụng phổ biến là phương pháp sắp đặt (colocation method) [32,40], trong đó một tập được định trước của tốc độ suy giảm được chọn sẵn sao cho nó có thể

mô tả được mô-đun dão trên một miền rộng của thời gian tác dụng, ví dụ

{ } {10 , ,1, ,10 }bj   Các hệ số của các hàm số mũ có thể được tối ưu hóa sao cho đường cong xấp xỉ “khít” với số liệu mô-đun dão nhất có thể bằng cách sử dụng phương pháp bình phương cực tiểu tuyến tính Mặc dù phương pháp sắp đặt rất đơn giản, việc lựa chọn được các giá trị hợp lý của tốc độ suy giảm để đảm bảo hàm xấp xỉ bám sát được giá trị của mô-đun dão trên một miền rất rộng của thời gian tác dụng gặp nhiều khó khăn Hình 2-1 minh họa việc xấp xỉ của mô-đun dão AAR của mô hình Huet-Sayegh bằng phương pháp này Đối với trường hợp xấp xỉ tốt nhất, sai số tương đối giữa giá trị xấp xỉ và mô-đun dão là gần 3% Trong trường hợp xấu nhất, phương pháp này

2-2 bởi vì các giá trị của tốc độ suy giảm đã chọn là không phù hợp với dữ liệu của đun dão (sai số tương đối lớn nhất error=94%)

mô-Hình 2-1 Xấp xỉ mô-đun dão AAR sử dụng phương pháp sắp đặt

Tốc độ suy giảm có thể được xác định đồng thời với các hệ số của hàm số mũ bằng cách

sử dụng các kỹ thuật bình phương cực tiểu phi tuyến, ví dụ như thuật toán Marquardt Đối với hàm mô-đun dão, miền giá trị của thời gian tác dụng rất rộng, có thể dao động từ thời gian rất ngắn cỡ 10 s 8 cho đến thới gian rất dài cỡ 10 s8 Vì vậy, giá trị của tốc độ suy giảm cũng thay đổi trên một phạm vi rất rộng Chính vì lý do đó, phương pháp bình phương cực tiểu phi tuyến thường gặp thất bại trong việc tìm các giá trị phù hợp của tốc độ suy giảm và hệ số của các hàm số mũ cũng như gặp khó khăn trong việc xấp xỉ tốt hàm mô-đun dão Trong trường hợp mô hình Huet-Sayegh và 2S2P1D, dạng hàm chính xác của mô-đun dão không tồn tại mà được tính toán gần đúng bằng phương pháp giải tích hoặc tính toán số Vì vậy, sai số gây ra bởi quá trình phân tích mô-đun dão thành tổng các hàm số mũ phải đủ nhỏ để việc xấp xỉ lần thứ hai này không gây ảnh hưởng lớn đến kết quả tính toán cuối cùng

Levenberg-Mục tiêu của nghiên cứu này là tìm ra một phương pháp sao cho: (i) sai số giữa đường xấp xỉ và mô-đun dão có thể kiểm soát được, (ii) sai số tương đối lớn nhất tại mọi điểm đánh giá phải nhỏ hơn 10 3

và (iii) các thông số của hàm xấp xỉ phải có giá trị thực để đơn giản hóa quá trình tính toán số Vì vậy, các phương pháp xấp xỉ bằng tổng các hàm

số mũ sử dụng các tốc độ suy giảm và hệ số có giá trị phức không được xét đến trong nghiên cứu này (ví dụ phương pháp của Beylkin và Monzón [41], Potts và Tasch [42])

Trong nghiên cứu này, việc xấp xỉ mô-đun dão bằng tổng các hàm số mũ được thực hiện trong 2 bước Các giá trị của tốc độ suy giảm sẽ được ước lượng trước bằng một phiên bản cải tiến của thuật toán được đề xuất bởi Dombi năm 2005 [33] và sau đó các hệ số của các hàm số mũ sẽ được tối ưu hóa bằng kỹ thuật bình phương cực tiểu tuyến tính Phương pháp đề xuất được trình bày như sau

Ước lượng các tốc độ suy giảm của các hàm số mũ: Phương pháp của Dombi [33] được áp dụng để xấp xỉ một hàm f t( ) bằng tổng các hàm số mũ

1

m

b t j j

Thực hiện quá trình tương tự, chúng ta thu được một hệ phương trình tuyến tính với ẩn

Trong thực tế áp dụng, số phương trình trong phương trình (40) luôn lớn hơn số lượng

ẩn số Vì vậy, phương trình (40) có thể được giải bằng phương pháp bình phương cực tiểu để có thể thu được các số hạng của đa thức ở phương trình (38) Một khi các số hạng đã được xác định, nghiệm qj,(j1 )m của đa thức bậc m có thể được tìm hoặc bằng phương pháp tìm m giá trị riêng của ma trận đồng hành (ví dụ thuật toán được sử dụng trong chương trình MATLAB) hoặc sử dụng các thuật toán giải lặp khác Tốc độ suy giảm của các hàm số mũ có thể được tính toán từ các nghiệm của đa thức:

j

qb

t

Cần lưu ý thêm rằng nghiệm của đa thức không phải luôn luôn có giá trị thực mà có thể

có giá trị phức Tốc độ suy giảm tính theo phương trình (41) cũng có thể có giá trị thực hoặc phức Hơn nữa, một số nghiệm có thể trùng nhau Vì vậy, để đơn giản hóa quá trình tính toán, chỉ có phần thực của tốc độ suy giảm được giữ lại cho các tính toán tiếp theo và tất cả các giá trị lặp lại đều bị loại Tốc độ suy giảm có giá trị dương cũng bị loại bởi vì chúng không phải là giá trị phù hợp và có thể làm giảm độ chính xác của quá trình xấp xỉ

Tối ưu hóa các hệ số của các hàm số mũ: Một khi các tốc độ suy giảm đã được ước lượng, phương trình (37) trở thành một hệ phương trình tuyến tính với ẩn số là

j

phương trình được giải theo nghĩa của bình phương cực tiểu, đồng thời các hệ số được ràng buộc điều kiện không âm Sai số của quá trình xấp xỉ được định nghĩa như trong phương trình (42) để đánh giá độ chính xác của xấp xỉ

Ứng dụng cho mô-đun dão: Bởi vì các thời điểm ước lượng được giả thiết là cách đều nhau, số lượng các thời điểm ước lượng sẽ rất lớn để có thể quét toàn bộ khoảng thời gian khảo sát Chi phí tính toán cho việc ước lượng tốc độ suy giảm là rất lớn và thậm chí là khổng thể thực hiện được Nhóm tác giả đã cải tiến phương pháp như sau: (i) phân chia khoảng thời gian khảo sát thành nhiều khoảng ngắn hơn, ví dụ 10 ,10 8  4 ,

Hình 2-2 minh họa kết quả của quá trình xấp xỉ mô-đun dão ở nhiệt độ tham chiếu bằng tổng các hàm số mũ bằng cách sử dụng thuật toán đề xuất bên trên Các thông số của mô hình Huet-Sayegh được lấy từ [14] ở 25°C và các thông số của mô hình 2S2P1D được lấy từ [11] ở 10°C, [43] ở 10°C và [44] ở 15°C (xem trong Bảng 2-1) Các thông số chính của quá trình xấp xỉ được tóm tắt trong Bảng 2-2 Chúng ta có thể quan sát trong Hình 2-2 rằng các giá trị của mô-đun dão AAR và NER sai khác nhau không nhiều Cụ thể, khác biệt tương đối giữa hai đại lượng này là nhỏ hơn 5% trong mọi trường hợp Xét về độ chính xác của xấp xỉ bằng tổng các hàm số mũ, sai số tương đối là rất nhỏ và đạt được yêu cầu đặt ra Cụ thể, err7.3 10  4 cho nhựa đường và err 1.2 10  4 hỗn hợp bê tông nhựa Như vậy, chúng ta có thể sử dụng mô-đun dão AAR để tính toán ứng suất, biến dạng bởi vì sai số của xấp xỉ bằng tổng các hàm số mũ là đủ nhỏ

Bởi vì mô-đun dão ở nhiệt độ T , thời gian tác dụng t là tương đương với mô-đun dão ở nhiệt độ tham chiếu T nhưng ứng với thời gian tác dụng là ref t a T/ T( ), mô-đun dão ở nhiệt độ khác với nhiệt độ tham chiều có thể được dự báo một cách đơn giản bằng cách

sử dụng cùng hàm tổng của các hàm số mũ đã được xác định bên trên, nhưng thay biến thời gian t bằng t a T/ T( ) Hình 2-3 minh họa việc xấp xỉ mô-đun dão NER của hỗn hợp bê tông nhựa 3 và nhựa đường 4 tại nhiều giá trị nhiệt độ khác nhau Có thể quan sát được rằng các giá trị dự tính “khớp” rất tốt với các giá trị thực của mô-đun dão NER

Thật vậy, sai số tương đối giữa giá trị xấp xỉ và giá trị ban đầu là rất nhỏ, nhỏ hơn

4

6.11 10  đối với hỗn hợp bê tông nhựa 3 và 1.62 10  2 đối với nhựa đường 4

Hình 2-2 Xấp xỉ mô-đun dão AAR và NER bằng tổng các hàm số mũ ở nhiệt độ tham

chiếu (a) Hỗn hợp bê tông nhựa (b) Nhựa đường

Hình 2-3 Xấp xỉ mô-đun dão NER bằng tổng các hàm số mũ ở nhiều nhiệt độ khác

nhau (a) Hỗn hợp bê tông nhựa 3 (b) Nhựa đường 4

Bảng 2-1 Các thông số của mô hình Huet-Sayegh và 2S2P1D

BTN/

nhựa

0

E(MPa)

Bảng 2-2 Các thông số chính của quá trình xấp xỉ BTN/ nhựa

đường

Số khoảng thời gian được chia nhỏ

Bậc cao nhất của đa thức

Số lượng của tốc độ suy giảm

Chương 3: KẾT QUẢ TÍNH TOÁN SỐ

3.1 Ví dụ tính toán số cho các bài toán có trường ứng suất đồng nhất

Trong mục này, các kết quả tính toán của một số bài toán đơn giản sẽ được trình bày, trong đó trường ứng suất, biến dạng bên trong vật thể là đồng nhất Các tổng của hàm số

mũ xác định được ở Mục 2.5.2 căn sứ và các thông số của mô hình Huet-Sayegh và 2S2P1D trình bày trong Bảng 2-1 sẽ được ứng dụng vào trong các ví dụ tính toán Quan

hệ giữa ứng suất – biến dạng được giải bằng chương trình MATLAB Kết quả tính toán

sẽ được so sánh với kết quả giải tích hoặc được so sánh với các kết quả thu được bằng các phương pháp số khác nhằm mục đích xác thực phương pháp đề xuất Trong các phần trình bày bên dưới, phương trình (42)1 sẽ được sử dụng để đo lường sai số tương đối của kết quả số thu được ngoại trừ (42)2 chỉ dành để đánh giá sai số cho độ mềm từ biến (creep compliance)

(a) Thí nghiệm tự chùng (relaxation test)

Ví dụ đầu tiên này được dùng để kiểm tra công thức quy nạp trong việc tính toán ứng suất khi mô hình chịu dụng của một biến dạng đơn vị ( ) 0 t  khi t  và ( ) 10  t  khi 0

mô hình Nhờ vậy, chúng ta có thể đánh giá độ chính xác của công thức quy nạp bằng cách so sánh giá trị ứng suất tính toán được với giá trị của mô-đun dão đầu vào Hình 3-1a cho thấy các giá trị của ứng suất tính toán được khớp rất tốt với các giá trị của mô-đun dão Sai số của quan hệ quy nạp trong tính toán ứng suất là rất nhỏ, cụ thể sai số tương đối là nhỏ hơn 10 4 tại mọi điểm tính toán

Bởi vì hai phương pháp được sử dụng để tính toán mô-đun dão, mức độ sai khác giữa các giá trị của mô-đun dão AAR và NER cũng cần được đánh giá Có thể quan sát trên Hình 3-1b rằng độ sai khác tương đối giữa các giá trị này là tương đối nhỏ (nhỏ hơn 5%) Vấn đề hoặc mô-đun dão AAR hoặc NER sẽ cho kết quả tính toán chính xác hơn

sẽ được đánh giá trong các ví dụ tiếp theo

Hình 3-1 Thí nghiệm tự chùng (a) So sánh giá trị đun dão tính toán với giá trị đun dão đưa vào trong tính toán (b) Sai khác tương đối giữa các giá trị của mô-đun

mô-dão AAR và NER

(b) Thí nghiệm từ biến (creep test)

Ví dụ thứ hai này chỉ để kiểm tra độ chính xác của biến dạng tính toán được khi mô hình chịu tác dụng bởi một ứng suất bằng đơn vị, ( ) 0 t  khi t và ( ) 10  t  khi t 0Biến dạng thu được theo định nghĩa chính là độ mềm từ biến của mô hình Nhờ vậy, chúng ta có thể đánh giá độ chính xác của phương pháp tính toán đề xuất bằng cách so sánh biến dạng tính toán được với giá trị độ mềm từ biến chính xác được tính toán bằng phương pháp số theo thuật toán đề xuất bởi Heck [28] (phương trình (43)) Để đạt được mục tiêu đó, cả hai xấp xỉ của mô-đun dão dựa vào các giá trị đầu vào của mô-dun dão AAR và NER đều được sử dụng Có thể thấy rằng các kết quả tính toán số khớp rất tốt

với các giá trị chính xác và kết quả tính toán căn cứ vào mô-đun dão NER tốt hơn AAR Thật vậy, sai số tương đối giữa kết quả tính toán số nhỏ hơn 2 10  2 khi sử dụng dữ liệu đầu vào là mô-đun dão AAR và nhỏ hơn 2.5 10  4 khi sử dụng dữ liệu đầu vào là mô-đun dão NER (Hình 3-2a) Tương tự như kết quả thu được ở ví dụ bên trên, sai khác tương đối giữa kết quả tính toán căn cứ vào mô-đun dão AAR và mô-đun dão NER là tương đối nhỏ (nhỏ hơn 5.0%) (Hình 3-2b)

1

1 0

Hình 3-2 Thí nghiệm từ biến (a) Độ mềm từ biến tính toán được (b) Sai khác tương đối giữa các giá trị độ mềm từ biến tính toán được trên cơ sử dữ liệu đầu vào là mô-đun dão AAR và mô-đun dão NER

3.1.2 Thí nghiệm mô-đun động (dynamic modulus test)

Ví dụ này được dùng để đánh giá độ chính xác của hàm mô-đun dão AAR thu được từ phương trình (20) và mô-đun dão NER thu được từ phương trình (24) Bởi vì mô-đun

, tan ( / )

dyn

E  E E    E E , chúng ta có thể kiểm tra sai số của kết quả tính toán căn cứ vào dữ liệu đầu vào là mô-đun dão AAR và NER Xét bài toán vật thể chịu tác dụng bởi một biến dạng có dạng hình sin với biên độ bằng đơn vị ( ) sin( )t  t Ứng suất đáp ứng của vật thể cũng sẽ có dạng hình sin với góc lệch pha ,   0sin( t ), trong đó 0 chính là giá trị của

mô-đun động Mô-đun lưu trữ và mô-đun mất mát liên hệ với mô-đun động và góc lệch pha bằng công thức: E' Edyncos ; E'' Edynsin Các tính toán sẽ được thực hiện với nhiều giá trị của tần số khác nhau và một giá trị nhỏ vừa đủ của bước thời gian được chọn sao cho 2.000 bước thời gian sẽ được thực hiện trong mỗi chu kỳ của biến dạng tác dụng vào vật thể Nhằm đảm bảo độ chính xác cho các bước tính toán đầu tiên, bước thời gian sẽ tăng dần cho đến khi đạt được giá trị của bước thời gian đã chọn Kết quả tính toán được tóm tắt như sau

Hình 3-3 Kết quả tính toán số của mô-đun động thay đổi theo tần số góc của hỗn hợp

bê tông nhựa (a) và nhựa đường (b) sử dụng dữ liệu đầu vào là mô-đun dão AAR và

NER

Hình 3-3 trình bày các giá trị của mô-đun động được tính toán căn cứ vào các dữ liệu

định trên cơ sở xấp xỉ các giá trị của mô-đun dão AAR và NER) và các giá trị chính xác của mô-đun động Chúng ta có thể thấy rằng sai số tương đối giữa các giá trị tính toán

số và giá trị chính xác là rất nhỏ, cụ thể Err 5 10 3 khi hàm mô-đun dão AAR được

kết quả số và kết quả chính xác còn được thể hiện trong biểu đồ Black biểu diễn sự thay đổi của mô-đun động đối với góc lệch pha (Hình 3-4b, 3-5b)

Hình 3-4 Biểu đồ Cole-Cole (a) và Black (b) của hỗn hợp bê tông nhựa tính toán dựa

trên số liệu đầu vào là mô-đun dão AAR và NER

Để có thể so sánh độ chính xác của kết quả thu được từ hai nguồn dữ liệu đầu vào khác nhau của mô-đun dão (AAR và NER), sẽ tốt hơn nếu chúng ta vẽ mối quan hệ giữa mô-đun lưu trữ và mô-đun mất mát, hoặc biểu đồ Cole-Cole, sử dụng thang chia tuyến tính như được thể hiện trong Hình 3-4a và 3-5a Có thể dễ dàng thấy rằng một số điểm của

kết quả tính toán căn cứ vào dữ liệu của mô-đun dão AAR không khớp với kết quả chính xác trong khi kết quả tính toán căn cứ vào dữ liệu của mô-đun dão NER vẫn “bám rất sát” kết quả chính xác Quan sát này hoàn toàn nhất quán với mức độ sai số của kết quả tính toán quan sát được khi sử dụng dữ liệu đầu vào là mô-đun dão AAR trong Hình 3-2 Bởi vì sai số gây ra bởi quá trình xấp xỉ bằng tổng các hàm số mũ là gần như bằng nhau cho cả hai mô-đun dão AAR và NER và nhỏ hơn rất nhiều so với giá trị 5 10  3, sai số lớn hơn của kết quả tính toán căn cứ vào mô-đun dão AAR chủ yếu đến từ sai số của chính công thức giải tích dùng để tính toán gần đúng mô-đun dão AAR hơn là đến

từ quá trình xấp xỉ bằng tổng của các hàm số mũ

Hình 3-5 Biểu đồ Cole-Cole (a) và Black (b) của nhựa đường tính toán dựa trên số liệu

đầu vào là mô-đun dão AAR và NER