luận văn một số dạng dạng toán trong hệ toạn độ xoy

luận văn một số dạng toán trong hệ tọa độ oxy ,luận văn một số dạng toán trong hệ tọa độ oxy luận văn một số dạng toán trong hệ tọa độ oxy luận văn một số dạng toán trong hệ tọa độ oxy trong không gian,luận văn một số dạng toán trong hệ tọa độ oxy trong không gian ,luận văn một số dạng toán trong hệ tọa độ oxy trong không gian,luận văn một số dạng toán trong hệ tọa độ oxy trong không gian,luận văn một số dạng toán trong hệ tọa độ oxy trong không gian,luận văn một số dạng toán trong hệ tọa độ oxy trong không gian,luận văn hình học không gian một số dạng toán trong hệ tọa độ oxy trong không gian

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ

KHOA SƯ PHẠM

BỘ MÔN SƯ PHẠM TOÁN HỌC

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

Đề tài:

MỘT SỐ DẠNG TOÁN TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ Oxy

Giáo viên hướng dẫn: Sinh viên thực hiện: ThS.GVC Nguyễn Thị Thảo Trúc Huỳnh Thanh Phú

Cần Thơ, năm 2021

LỜI CẢM ƠN

Trước hết, em xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến toàn bộ quý thầy cô Trường Đại học Cần Thơ, đặc biệt là Quý thầy cô Bộ môn Sư phạm Toán học Khoa Sư phạm đã tận tình dạy dỗ và truyền đạt cho em nhiều kinh nghiệm và kiến thức quý báu, đồng thời tạo điều kiện tốt nhất cho em có thể hoàn thành chương trình học trong suốt thời gian học tập và rèn luyện tại trường

Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến giáo viên hướng dẫn - Cô Nguyễn Thị Thảo Trúc, người đã nhiệt tình hướng dẫn em thực hiện luận văn tốt nghiệp này

Em cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, người thân và bạn bè đã luôn động viên, giúp đỡ em trong suốt thời gian vừa qua

Cuối lời em xin kính kính chúc toàn thể quý thầy, quý cô, người thân và bạn bè sẽ luôn có nhiều sức khỏe, hạnh phúc và thành công trong cuộc sống

Em xin trân trọng cảm ơn!

Cần Thơ, ngày … tháng … năm …

Sinh viên thực hiện

Huỳnh Thanh Phú

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 1

4 Đối tượng nghiên cứu 2

5 Phương pháp nghiên cứu 2

6 Cấu trúc luận văn 2

NỘI DUNG 3

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3

1.1 Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng 3

1.2 Một số định lý trong tam giác 10

1.3 Một số bất đẳng thức cơ bản 11

Chương 2 13

MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP 13

TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ Oxy 13

2.1 Bản chất và phân loại của các dạng bài tập thường gặp trong mặt phẳng tọa độ 13

2.2 Viết phương trình đường thẳng 13

2.3 Viết phương trình đường tròn  C 23

2.4 Viết phương trình elip  E 30

2.5 Tìm điểm M thỏa điều kiện cho trước 32

2.6 Bài toán vị trí 46

2.7 Bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất 50

2.8 Một số bài toán tổng hợp 60

Chương 3 85

GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HÓA 85

3.1 Tọa độ hóa để giải bài toán hình học phẳng 85

3.2 Dùng tọa độ hóa để giải một số bài toán đại số 100

KẾT LUẬN 110

TÀI LIỆU THAM KHẢO 111

có thể đáp ứng yêu cầu trên Những bài toán vận dụng cao của phân môn này là loại toán tương đối hay và khó, rất phong phú và đa dạng và thường xuất hiện trong các kỳ thi quan trọng như chọn học sinh giỏi và kỳ thi THPT quốc gia Nhưng hiện nay, do phân phối chương trình có hạn nên đa phần học sinh chỉ tiếp xúc và giải được những bài toán

ở cấp độ nhận biết, thông hiểu và vận dụng thấp Cho nên khi học sinh gặp những bài toán vận dụng cao thuộc dạng này thường có suy nghĩ “e ngại” và “đầu hàng” và lâu dần trở thành nỗi ám ảnh lớn nhất của học sinh

Hiện nay, hệ thống các tài liệu về loại toán này có số lượng đáng kể nhưng các tài liệu còn rải rác, rời rạc và thường chỉ đề cập đến một mảng tương đối nhỏ Người học thường gặp khó trong việc tập hợp và tuyển chọn những bài toán dạng này Bên cạnh

đó, việc giải những bài toán hình học phẳng thuần túy, giải phương trình và bất phương trình vô tỉ, tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) và giá trị lớn nhất (GTLN) của một biểu thức gặp nhiều khó khăn và gian nan khi chỉ dựa vào suy luận trực tiếp Phương pháp tọa độ hóa sẽ giúp giải quyết nhanh chóng và hiệu quả những bài toán này

Từ những lý do trên tôi đã chọn đề tài luận văn tốt nghiệp đại học “MỘT SỐ DẠNG TOÁN TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ Oxy”

2 Mục đích nghiên cứu

Trình bày lại các khái niệm, tính chất liên quan đến hệ trục tọa độ, điểm, đường thẳng, đường tròn và elip trong mặt phẳng tọa độ Oxy, một số định lý quan trọng trong tam giác Phân loại, hệ thống, nêu cách giải các dạng toán thường gặp trong mặt phẳng tọa độ Oxy và các ví dụ minh họa thường xuất hiện trong các kỳ thi và kiểm tra Đưa

ra phương pháp giải một số bài toán hình học và đại số bằng phương pháp tọa độ hóa và các ví dụ minh họa

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nhắc lại các khái niệm, tính chất liên quan đến phương pháp tọa độ trong mặt phẳng, các định lý quan trọng trong tam giác và các bất đẳng thức cơ bản Phân loại, hệ thống, nêu các bước giải và đưa ra ví dụ minh họa các dạng toán về trong mặt phẳng tọa

độ Oxy Nêu phương pháp giải và các ví dụ minh họa về giải bài toán hình học và đại

số bằng phương pháp tọa độ hóa

2

4 Đối tượng nghiên cứu

Toàn bộ lý thuyết về hệ trục tọa độ, điểm, đường thẳng, đường tròn và elip trong mặt phẳng tọa độ Oxy, một số định lý quan trọng trong tam giác và một số định lý cơ bản Các dạng bài toán thường gặp trong mặt phẳng tọa độ Oxy và phương pháp giải của chúng Một số bài toán hình học và đại số có thể giải bằng phương pháp tọa độ hóa

5 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu sách giáo khoa THPT và các tài liệu có liên quan (sách, tạp chí khoa học, các đề thi học sinh giỏi, đề thi đại học, đề thi THPT quốc gia, đề thi Olympic ) để viết đề cương luận văn Trao đổi với giáo viên hướng dẫn để chỉnh sửa đề cương luận văn và dự kiến các nội dung của luận văn Phân tích, tổng hợp các tài liệu và tiến hành viết luận văn tốt nghiệp Đồng thời sử dụng phần mềm Geobra để dự đoán để đưa ra hướng giải quyết các bài toán cũng như điều chỉnh số liệu của đề bài để kết quả bài toán

là đẹp nhất

6 Cấu trúc luận văn

 Tên đề tài:“MỘT SỐ DẠNG TOÁN TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ Oxy”

 Bố cục luận văn: Luận văn được chia thành 3 chương chính, cụ thể như sau: Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị

Chương 2: Các dạng toán phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Chương 3: Tọa độ hóa để giải một số bài toán

Chương 1 nhắc lại các kiến thức cần sử dụng, đó là các công thức cơ bản về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng liên quan đến trục và hệ trục tọa độ, tọa độ điểm và vectơ, phương trình đường thẳng, đường tròn, elip, ; các hệ thức lượng và các định lý cơ bản trong tam giác; các công thức tính diện tích tam giác và các bất đẳng thức cơ bản Chương 2 chỉ ra bản chất của những bài toán về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng Phân loại, đưa ra phương pháp giải và các ví dụ minh họa những bài toán về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng Chương 3 nêu lên sự cần thiết của việc giải một số bài toán hình học và đại số bằng phương pháp tọa độ Đưa ra các bước của giải bài toán bằng phương pháp tọa độ và các ví dụ minh họa

3

NỘI DUNG Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương này nhắc lại các kiến thức cần sử dụng, đó là các công thức cơ bản về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng như công thức tính tọa độ và độ dài vectơ, tích vô hướng của hai vectơ, góc giữa hai vectơ, khoảng cách từ điểm đến đường thẳng;…; các định lý cơ bản trong tam giác như định lý Pythagoras, định lý côsin, định lý sin và định

lý Thales; các công thức tính diện tích tam giác; các bất đẳng thức cơ bản như bất đẳng thức Cauchy và bất đẳng thức Cauchy-Schawrz

1.1 Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Lấy điểm M tùy ý nằm trên trục  O e,

Khi đó tồn tại duy nhất số thực k sao cho OMke

Khi đó ta nói  k là tọa độ của điểm M đối với trục  O e,

, kí hiệu M k  / O e, 

Ngoài ra số k còn được gọi là độ dài đại số của vectơ OM

, kí hiệu OM  kVậy M k  / O e,OMke

được gọi là trục hoành

và kí hiệu là Ox Trục được gọi là trục tung và kí hiệu là Oy Các vectơ i

và j lần lượt là các vectơ đơn vị trê O j Ox,

n và Oy Kí hiệu: O i j, , 

hoặc Oxy

Tọa độ của của một vectơ và một điểm

Trong hệ trục tọa độ Oxy bộ số ,  x y được gọi là tọa độ của vectơ u; 

nếu

Nếu A x y A, A ,B x y thì tọa độ trung điểm B, B I của AB là

A B

2 .

y +y2

A B I

I

x xx

A B C G

C G

x x xx

yy

Liên hệ giữa tọa độ các đỉnh của hình bình hành

Nếu ABCD là hình bình hành có tâm I thì ta có đẳng thức

ta lấy tổng tương ứng tọa độ hai đỉnh cùng nằm trên một đường chéo trừ đi tọa độ tương ứng đỉnh còn lại

1.1.2 Tích vô hướng hai vectơ và ứng dụng

Góc giữa hai vectơ

Cho hai vectơ a

và b khác 0.

và b được kí hiệu là  a b ,

Chú ý:

 Nếu  a b , 90

thì ta nói hai vectơ a

và b vuông góc với nhau ký hiệu là a b

khi đó tích vô hướng hai vectơ a

hoặc b 0

thì a b  0

Chú ý: a  b a b  0

Vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến của đường thẳng

 Nếu  a b là một VTCP (VTPT) của đường thẳng d thì ; b a; và  b a;  là một VTPT (VTCP) của đường thẳng d

Các loại phương trình đường thẳng

o

qua M x yVTCP u a b

o

qua M x y

a bVTCP u a b

o

M x yVTPT n a b

(PTĐC) A a( ,0), (0, )B b vớia b, 0 x y 1

a  b

7

Chú ý:

 Mỗi phương trình có dạng ax by c   là PTTQ của một đường thẳng nào 0

đó Đường thẳng này có VTPT là  a b và có VTCP là ; b a; hoặc  b a; 

 Một đường thẳng có vô số PTTS (PTTQ), phụ thuộc vào chọn điểm đi qua và chọn VTCP (VTPT) của đường thẳng

 PTĐC của đường thẳng cũng là PTTQ của đường thẳng

Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng d a x b y c1: 1  1  1 0,d a x b y c2: 2  2  2  0

Ta xét hệ phương trình: 1 1 1

2 2 2

0.0

DDy

là tọa độ giao điểm của d và 1 d 2

 Nếu hệ   vô nghiệm thì ta nói 1 1 1

Hai đường thẳng   cắt nhau tạo thành 4 góc 1, 2

Nếu  không vuông góc với 1  thì góc giữa 2  1

và  là góc nhọn trong số 4 góc 2

Nếu    thì góc giữa 1 2  và 1  bằng 902 

Quy ước: Nếu  1 thì góc giữa 2  và 1  bằng 02 

Góc giữa hai đường thẳng  và 1  kí hiệu là 2   hoặc 1, 2   1, 2

Chú ý: Góc giữa hai đường thẳng nhận giá trị từ 0 đến 90

Nghĩa là 0    1, 2 90 ,  1, 2

8

b) Công thức tính góc giữa hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng d a x b y c1: 1  1  1 0,d a x b y c2: 2  2  2  Khi đó góc giữa 0hai đường thẳng d và 1 d được xác định bởi công thức: 2

tương ứng là VTCP của d và 1 d 2

Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Cho điểm M x y và đường thẳng :( , )o 0 d ax by c   Khi đó khoảng cách từ 0điểm M đén đường thẳng d được ký hiệu là d M d và được tính bằng công thức:  , 

Cho hai đường thẳng cắt nhau d a x b y c1: 1  1  1 0,d a x b y c2: 2  2  2  Khi đó 0phương trình các đường phân giác của các tạo bởi hai đường thẳng đó là:

9

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Phương trình đường thẳng  tiếp xúc với đường tròn ( )C có tâm ( , )I a b tại

 0; 0

M x y thuộc  C là đường thẳng đi qua M và nhận vectơ IM

làm VTPT, nên có phương trình là:

(a x 0)(x x 0) ( b y0)(y y 0) 0

Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Cho đường thẳng  và đường tròn  C tâm I và bán kính R Khi đó:

  cắt  C tại hai điểm phân biệt d I( , )  R

  tiếp xúc  C d I( , )  R

  và  C không cắt nhau d I( , )  R

Vị trí tương đối của hai đường tròn

Cho đường tròn  C tâm 1 I và bán kính 1 R và đường tròn 1  C tâm 2 I và bán 2kính R Khi đó: 2

 Nếu R R  II  thì R R  C cắt  C tại hai điểm phân biệt

 Nếu II R R thì  C tiếp xúc trong với  C

 Nếu II  thì R R  C tiếp xúc ngoài với  C

 Nếu II  thì R R  C rời nhau  C

 Nếu II R R thì  C và  C chứa nhau

 Nếu II0,R R     thì 0 I I  C và  C được gọi là đồng tâm 1.1.5 Phương trình elip

Định nghĩa đường elip

Trong mặt phẳng, cho hai điểm cố định F và 1 F Elip là tập hợp các điểm 2 M sao cho tổng MF1MF2 2a không đổi Các điểm F và 1 F gọi là tiêu điểm của elip 2Khoảng cách F F1 2 2c gọi là tiêu cự của elip

Phương trình chính tắc của elip

Cho elip  E có các tiêu điểm F và 1

độ O

b) Thay y ta có x0   suy ra a  E cắt Ox tại hai điểm A1(a;0) và A a2( ;0).Tương tự thay x ta được y0   vậy b  E cắt Oy tại hai điểm B1(0; và b) B2(0; ).b Các điểm A A B B gọi là các đỉnh của elip Đoạn thẳng 1, 2, ,1 2 A A 1 2 gọi là trục lớn, đoạn thẳng B B1 2 gọi là trục bé của elip

1.2 Một số định lý trong tam giác

1.2.1 Hệ thức lượng trong tam giác

R

A B  C  (Với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác)

Công thức tính đường độ dài đường trung tuyến trong tam giác

Với ABC ABCBC bất kì, nếu có đường

thẳng d lần lượt cắt AB AC tại hai điểm ,, D E và

 Với n số thực không âm bất kỳ a a1, , ,2 a ta luôn có: n

Dấu “=” xảy ra a1a2   an

12

1.3.2 Bất đẳng thức Cauchy- Schawrz

Bất đẳng thức Cauchy- Schawrz dạng cơ bản

Với hai bộ số thực bất kỳ a a1, , ,2 a và n b b1, , ,2 b ta luôn có: n

1 1 2 2 n n 1 2 n 1 2 n

a b a b  a b  a a  a b b  b Dạng 2:  2 2 2 2 2 2

c d

  (Quy ước mẫu bằng 0 thì tử bằng 0)

13

Chương 2

MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ Oxy Chương này sẽ chỉ ra bản chất của những bài toán về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng Phân loại, hệ thống các dạng bài tập thường gặp trong mặt phẳng tọa độ

Oxy Đồng thời đưa ra phương pháp giải của các dạng bài tập và các ví dụ minh họa những bài toán về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

2.1 Bản chất và phân loại của các dạng bài tập thường gặp trong mặt phẳng tọa độ

Các bài toán về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng thường xoay quanh về sự tương quan của các yếu tố hình học cơ bản (điểm, đường thẳng, đường tròn, elip,…) xung quanh các vấn đề như sự liên thuộc, sự tương giao, khoảng cách, góc,…

Nhìn chung, chúng ta có nhiều cách phân loại các bài toán trong mặt phẳng Nếu dựa vào yếu tố cực trị có thể chia thành những bài toán liên quan đến cực trị và những bài toán không liên quan đến cực trị Nếu phân loại dựa vào các yếu tố hình học cơ bản

có thể chia thành các bài toán về xác định điểm, các bài toán về xác định đường thẳng, các bài toán về xác định đường tròn-elip và các bài toán tổng hợp Nếu phân loại theo thang nhận thức Bloom có thể chia thành các bài toán ở mức độ nhận biết, thông hiểu, vận dụng thấp và vận dụng cao

2.2 Viết phương trình đường thẳng

Nói chung, để viết được phương trình đường thẳng ta cần xác định được tọa độ một điểm thuộc đường thẳng và phương của đường thẳng (phương gồm phương song song và phương vuông góc)

TH 1: Đường thẳng d đi qua M x y và có VTCP là  0; 0 u a a1; 2

14

TH 3: Đường thẳng d đi qua hai điểm A x y A; A ,B x y B; B

Trong trường hợp này ta chọn điểm đi qua là A hoặc B và vectơ AB

là VTCP của đường thẳng d Bài toán trở về TH1

TH 4: Đường thẳng d đi qua hai điểm A a   ;0 ,B 0;b với ,a b 0

Áp dụng công thức ta được :d x y 1

a   b

TH 5: Đường thẳng đi qua M x y và có hệ số góc k  0; 0

Trong trường hợp này dường thẳng d có VTCP là u 1;k

và VTPT là

 ; 1

n  k 

Chú ý: Nếu đường thẳng d nhận u  a b;



làm VTPT

Các ví dụ minh họa cho TH1 đến TH6

Ví dụ 1: Viết PTTS và PTTQ của đường thẳng d biết rằng:

a) Đường thẳng đi qua ( 2;3)A  và có VTCP là u  4;5

b) Đường thẳng đi qua A(1; 3) và có VTPT là n  7; 2

Lời giải

a) Cách 1: Đường thẳng đi qua A2;3và có VTCP là u  4;5

, nên có PTTS là

b) Cách 1: Đường thẳng đi qua A(1; 3) và có VTPT là n  7; 2

,

Ví dụ 2: Cho A  4;0 ,B 0; 6 Viết PTTS và PTTQ của đường thẳng d biết 

a) Đường thẳng d đi qua A B,

b) Đường thẳng d đi qua B và song song với đường thẳng d x: 5y15 0 c) Đường thẳng d đi qua A và vuông góc với đường thẳng : 2x3y10 0 d) Đường thẳng d là trung trực đoạn AB

Cách 2: Đường thẳng ABđi qua A 4;0 và B0; 6 nên có phương trình là 

4 6

x  yĐặt x4t y 6t6

Nên PTTS của đường thẳng AB là 4

d x y c  với c 15

và I2; 3 là trung điểm đoạn  AB

Vì đường thẳng d là trung trực của AB nên n   3;2

là VTCP và n  2;3

là VTPT của d

Do đó PTTS và PTTQ của đường thẳng d lần lượt là

TH 7: Viết phương trình trục đẳng phương của hai đường tròn

Trục đẳng phương của hai đường tròn   2 2

17

TH 8: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M x y và thỏa điều  0; 0

kiện liên quan đến khoảng cách và góc

Trong trường hợp này ta phải tìm phương của của đường thẳng Do đó ta sẽ gọi

 a b với ; a2 b2  là VTCP (hoặc VTPT) của d Dựa vào điều kiện liên quan đến 0góc hoặc khoảng cách mà đề bài đưa ra ta sẽ biến đổi đưa về dạng f a b ,  với 0

Bước 1: Gọi d a x x: (  0)b y y(  0) 0 với a2 b2  0

Bước 2: Dựa vào điều kiện d A d ,  ta sẽ tìm được ,k a b

Chọn a thì 1    4b2 6b     hoặc 4 0 b 2 1

2

b Với a1,b  ta có đường thẳng 2 d x1: 2y  thỏa yêu cầu bài toán 1 0Với 1, 1

Giải hệ phương trình   ta tìm được H1( 1;1) và H25; 3 

Với H1( 1;1) ta có đường thẳng d x1: 2y  thỏa yêu cầu bài toán 1 0

Với H25; 3 ta có ta có đường thẳng  d2: 2x y   thỏa yêu cầu bài toán 7 0Bài toán 2: Viết phương trình đường thẳng đi qua M x y và cách đều 2  0; 0

 TH1: Đường thẳng d song song với AB

 TH2: Đường thẳng d đi qua điểm I là trung điểm đoạn AB

Ví dụ 5: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A 2;5 và cách đều hai điểm B( 1;2) và C(5;4)

Cách 2: Đường thẳng d cách đều hai điểm B và C thì có hai trường hợp

 TH1: Đường thẳng d song song với BC Khi đó đường thẳng d có phương trình là x3y13 0

 TH2: Đường thẳng d đi qua điểm I(2;3) là trung điểm đoạn BC Khi đó đường thẳng d có phương trình là x  2 0

Vậy có hai dường thẳng thỏa yêu cầu bài toán là x3y13 0 và x  2 0

4

: 3 4 20 03

3

: 4 3 35 04

Bài toán 4: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M x y và tạo  0; 0

với đường thẳng d một góc 0  90 không đổi

Phương pháp giải

Cách 1: Gọi n  a b;

là VTPT của đường thẳng d Tìm n

là VTPT của đường thẳng

Vì d d,   cos , n n  cos

nên ta có thể tìm được a b ,Cách 2: Ta sử dụng tính chất: “Nếu ,k k lần lượt là hệ số góc của ,d d và

có là VTPT của đường thẳng d hay không

d

là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng d

Theo giả thiết ta có d d, 30 

Với 3a b 0 chọn a1,b  3 ta có đường thẳng d x2:  3y  thỏa 3 0yêu vầu bài toán

Do đó đường thẳng d x1:  là một đường thẳng thỏa yêu cầu bài toán 0

Gọi k k lần lượt là hệ số góc của hai đường thẳng d và d ,

Với tam giác ABC bất kỳ, ta luôn có:

a) Phân giác trong của góc A có một VTCP là u AB AC

22

Chứng minh

a) Gọi d là phân giác góc BAC

Gọi B C D   lần lượt là các điểm thỏa , , AB AB ,AC AC ,AD AB AD

Khi đó phân giác ngoài tại A chính là phân giác góc BAC 1

TH 2:  C có tâm ( ; )I a b và đi qua A x y  A; A

Phương pháp giải: Khi đó   2 2

Phương pháp giải: Giả sử  C x: 2 y2ax by c   Vì 0 A B C, ,  C nên ta

có hệ 3 phương trình 3 ẩn Giải hệ ta sẽ tìm được a b c , ,

Các ví dụ minh họa cho TH 1 đến TH 5

Ví dụ 10: Cho 3 điểm A5;0 , B  2; 1 , C   Viết phương trình đường 3; 4

tròn  C biết rằng:

a)  C có tâm là A và bán kính R2

b)  C có tâm là B và đi qua A

c)  C có đường kính là AC

d)  C có tâm là C và tiếp xúc với đường thẳng : 2d x y  0

e)  C đi qua 3 điểm A B C, ,

Đường tròn  C có tâm là B và bán kính R 10 nên có phương trình là

  2 2

x  y 

24

c) Ta có: AC 2; 4  AC2 52R R 5

Tâm I  là trung điểm AC 4; 2

Đường tròn  C có tâm I  và bán kính 4; 2 R 5 nên có phương trình là

  2 2

x  y  d) Đường tròn  C có tâm là C và tiếp xúc với đường thẳng : 2d x y  nên 0

Bước 1: Tìm tâm của đường tròn

Bước 2: Tìm bán kính của đường tròn

Đường tròn nội tiếp hoặc bàng tiếp có tâm I thỏa điều kiện:

Chú ý: Nếu A x y A; A ,B x yB; B,C x y và  C; C I x y là tâm đường tròn nội  I; I

tiếp tam giác ABC thì ta có

25

Ví dụ 11: Cho tam giác ABC với A11; 7 ,  B 23;9 , C 1;2 Viết phương trình đường tròn nội tiếp, đường tròn bàng tiếp tiếp xúc với các đường thẳng AB AC, của tam giác ABC

Phương trình đường phân giác các góc tạo bởi AC BC, là

 Suy ra  là phân giác trong và 1  là phân giác ngoài tại C 2

Tâm đường tròn nội tiếp là I d2 1 I10;0 R d I AB , 5

Do đó đường tròn nội tiếp có phương trình là  2 2

x y  Tâm đường tròn bàng tiếp cần tìm là Id1 2 I5;35 

Bài toán 7.1: Viết phương trình đường tròn  C tâm I đi qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng d tại B d

Cách 1: Giả sử I a b Theo giả thiết ta có:  ; IB d

26

Ta lập phương trình đường thẳng  qua B và vuông góc với d

Khi đó I    

Cách 3: Ta lập phương trình đường thẳng  qua B và vuông góc với d

Vì I nên ta tham số hóa được tọa độ  I

Do IA IB nên ta tìm được tọa độ I

Ví dụ 12: Viết phương trình đường tròn  C tâm I đi qua điểm A2;2 và tiếp xúc với đường thẳng d: 2x y 20 0 tại B8;4

Lời giải

Cách 1: Giả sử I a b thì  ; BIa8;b4 ; AI a2;b2

Một VTCP của d là u  1;2

Ib

Gọi  là đường thẳng qua B và vuông góc với d  :x2y 0

Vì đường tròn  C tiếp xúc với đường thẳng d tại B d    I 

I       I  C x  y 

Cách 3: Gọi  là đường thẳng qua B và vuông góc với d :x2y 0

Vì đường tròn  C tiếp xúc với đường thẳng d tại B d     I  I 2 ;t t Một VTCP của d là u  1;2

Phương pháp giải

27

Bước 1: Tìm tâm I và bán kính R của  C

Bước 2: Đường tròn  C tiếp xúc với với đường tròn  C tại B C nên

II B Nên ta viết phương trình đường thẳng I B

Bước 3: Vì IA IB nên I  đường trung trực của AB Khi đó I  I B

Ví dụ 13: Viết phương trình đường tròn  C tâm I đi qua điểm A  và 9; 3

tiếp xúc với đường tròn     2 2

 



 

Nên d và d cắt nhau tại B3;1 

Phương trình các đường phân giác các góc tạo bởi d và dlà

Bước 1: Tìm tâm I và bán kính R của  C và viết phương trình I A

Bước 2: Do  C tiếp xúc với đường tròn  C tại A C nên , ,I A I thẳng hàng do

đó ta tham số hóa được tọa độ điểm I theo t

Bước 3: Ta giải điều kiện R IA d I d  ( , )

Ví dụ 15: Viết phương trình đường tròn  C đi qua A7; 5 và tiếp xúc với 

đường thẳng d: 3x4y  và đường tròn 1 0     2 2

C x  y  Lời giải

30

Bài toán 7.5: Viết phương trình đường tròn  C tiếp xúc với đường tròn  Ctại A C và tiếp xúc với C

Bước 1: Tìm tâm I và bán kính R của  C và viết phương trình I A

Bước 2: Do  C tiếp xúc với đường tròn  C tại A C nên , ,I A I thẳng hàng do

đó ta tham số hóa được tọa độ điểm I theo t

Bước 3: Ta giải điều kiện II R RIA R (Với I là tâm, R là bán kính của  C )

Ví dụ 16: Viết phương trình đường tròn  C đi qua A 6;4 và tiếp xúc với 2 đường tròn     2 2

C x  y  và đường tròn     2 2

C x  y  Lời giải

31

TH 2: Biết độ dài một trục và tiêu cự của  E

Phương pháp giải: Nếu 2 ,2 ,2a b c lần lượt là độ dài trục lớn, độ dài trục bé và tiêu

cự của elip thì ta có b2 a2  Do đó nếu biết độ dài một trục và tiêu cự của elip thì c2

ta sẽ tìm được độ dài trục còn lại và viết được phương trình elip

TH 3:  E đi qua hai điểm A x y và  A; A B x y  B; B

Phương pháp giải: Giả sử  E : x22 y22 1

a  b  Vì A B,  E nên ta có hệ 2 phương trình 2 ẩn Do đó ta dễ dàng tìm được a b ,

Viết phương trình  E khi biết tọa độ một đỉnh và một điểm đi qua và viết phương trình  E khi biết tọa độ tiêu điểm và một điểm đi qua là dạng đặc biệt của TH3

Ví dụ 17: Viết phương trình elip  E biết rằng  E

a) Có độ dài trục lớn bằng 8 và độ dài trục bé bằng 6

b) Có độ dài trục nhỏ bằng 10 và độ dài tiêu cự bằng 24

c) Có độ dài trục lớn gấp đôi trục nhỏ và có tiêu cự bằng 4 3

d) Đi qua 2 điểm A3;1 ,  B 2;2

c) Theo giả thiết ta có a2b

Độ dài tiêu cự bằng 4 3 nên 2c4 3  c 2 3

2.5 Tìm điểm M thỏa điều kiện cho trước

Thông thường, ta thường giả sử điểm cần tìm là M a b rồi dựa vào các giả thiết  ;của bài toán cho để tìm a b Tuy nhiên nếu giả thiết cho , M  thì ta nên ưu tiên tham

số hóa tọa độ điểm và dựa vào các giả thiết còn lại để tìm a,b

Bài toán 8: Tìm giao điểm của các yếu tố hình học cơ bản (đường thẳng, đường tròn, elip)

a) Tọa độ của M là nghiệm của hệ

d   

và  C x: 2 y2 4x10y19 0 d) Hai đường tròn  C x: 2 y24x6y 4 0, C :x2y28x8y22 0. Lược giải

a) Tọa độ của M là nghiệm của hệ

Giải tương tự câu a) ta tìm được 2 điểm thỏa yêu cầu là M15; 6 ,  M21; 8  

d) Tọa độ của M là nghiệm của hệ

2 2

Vậy có hai điểm thỏa yêu cầu bài toán là M1 4;5 và M28;5

Ví dụ 21: Cho ba điểm A4;1 , B 2; 5 ,  C 3; 4 Tìm điểm  M biết

a) MAB vuông cân tại M

b) MBC cân tại M và điểm M thuộc đường thẳng : 2x y  7 0

c) MBC vuông tại M và điểm M thuộc đường tròn     2 

C x  y  Lời giải

      (do tam giác MAB vuông cân tại M )

Tam giác MAB vuông cân tại . 0

6

AM BMM

Bài toán 10: Tìm điểm thuộc M đường thẳng  và cách điểm A hoặc đường thẳng d một khoảng k không đổi

Phương pháp giải:

Bước 1: Dựa theo phương trình  ta tham số hóa tọa độ điểm M

Bước 2: Giải phương trình MA k hoặc d M d ,  để tìm k t

Ví dụ 23: Tìm điểm M thuộc d: 3x4y25 0 sao cho khoảng cách từ Mđến d: 24x10y57 0 bằng 13.

2Lời giải

2

22657

33 11

  và M23;4