Chuong III 3 Ung dung cua tich phan trong hinh hoc

Ứng dụng Tích phân 1 Tính diện tích hình phẳng b Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong Chú ý 2: Một số trường hợp thường là hình phẳng giới hạn bởi nhiều hơn hai đồ thị và việc dựng các[r]

Buổi 3

Ứng dụng Tích phân

-3 -2 -1

1 2 3 4 5

x y

y f x y









1) Tính diện tích hình phẳng

a) Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành Chú ý:

 Nếu trên đoạn [a; b] hàm số f(x) không đổi dấu thì

 Nếu trên khoảng (a; b) phương

trình f(x) = 0 có nghiệm c, d thì

Ứng dụng Tích phân

  ( )

1) Tính diện tích hình phẳng

a) Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành

Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

2

2 2

3 4 0

x x

y x x y

2 tan

0

x x

y x y

x(t)=2 , y(t)=t

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3

1 2 3 4 5 6 7

x y

f(x)

g(x)

1) Tính diện tích hình phẳng

b) Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong

Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

x x

1) Tính diện tích hình phẳng

b) Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong

Chú ý 1: Khi so sánh với dạng chuẩn (hình phẳng giới hạn bởi các

đường x = a, x = b, y = f(x) và y = g(x)), nếu thiếu cận thì cận còn

thiếu sẽ được xác định thông qua việc giải phương trình hoành độ

giao điểm của đồ thị hai hàm số y = f(x) và y = g(x) và:

+ Cận dưới a chính là nghiệm nhỏ nhất của phương trình f(x) =

g(x).

+ Cận trên b chính là nghiệm lớn nhất của phương trình f(x) = g(x).

Ví dụ 2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi

1) Tính diện tích hình phẳng

b) Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong

Chú ý 2: Một số trường hợp (thường là hình phẳng giới

hạn bởi nhiều hơn hai đồ thị và việc dựng các đồ thị này là tương đối dễ dàng) ta nên kết hợp với việc vẽ đồ thị để phân chia thành các hình phẳng đơn giản.

Ứng dụng Tích phân

1) Tính diện tích hình phẳng

b) Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong

Ví dụ 3 Tính diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường

-2 -1 1 2 3 4 5 6 7

-3 -2 -1

1 2 3 4 5 6

x x

y x y

6 0

x x

y x y

Ứng dụng Tích phân

2) Tính thể tích

a) Thể tích của vật thể

Ví dụ 1: Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = -1 và

x = 1, biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ là một hình vuông có cạnh là

Chọn trục Ox song song với đường

cao của khối lăng trụ, còn hai đáy

nằm trong hai mặt phẳng vuông góc

Ứng dụng Tích phân

2) Tính thể tích

b) Thể tích khối tròn xoay

Hình phẳng quay quanh trục hoành:

Khi cho (H) quay quanh Ox, ta được vật thể tròn xoay có thể tích:

Ứng dụng Tích phân

2) Tính thể tích

b) Thể tích khối tròn xoay

Hình phẳng quay quanh trục tung:

Khi cho (H) quay quanh Oy, ta được vật thể tròn xoay có thể tích:

y

x=g(y) c

Ứng dụng Tích phân

2) Tính thể tích

b) Thể tích khối tròn xoay

Ví dụ 1 Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi

các đường sau quay quanh trục Ox:

Lời giải

a) Áp dụng công thức (4), ta được:

b) Phương trình hđgđ của đồ thị hai hàm số:

Do đó (H) chính là hình phẳng giới hạn bởi các đường x = -1, x = 1,

Ứng dụng Tích phân

2) Tính thể tích

b) Thể tích khối tròn xoay

Ví dụ 2 Một khối chỏm cầu có bán kính R và chiều cao h Tính thể

tích V của khối chỏm cầu đó theo R và h.

Lời giải

Chọn hệ tọa độ Oxy như hình vẽ

Chỏm cầu bán kính R, chiều cao h là khối

tròn xoay thu được khi quay hình phẳng

(H) giới hạn bởi các đường: x = R - h

quanh trục Ox, do đó áp dụng (4), ta được:

y

R R-h

Ứng dụng Tích phân

2) Tính thể tích

b) Thể tích khối tròn xoay

Ví dụ 3 Cho hình phẳng (B) giới hạn bởi các đường y = 1, y = 8,

và trục Oy Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành

khi quay hình (B) quanh trục tung.

V    y dy    y dy   y  

a) Quanh trục hoành; b) Quanh trục tung

Lời giải

a) Hoành độ giao điểm của đường cong

và đường thẳng y = 2 là

nghiệm phương trình

Gọi V là thể tích khối tròn xoay tạo

thành khi quay A quanh trục hoành thì

x x H

y y

x x H

x

Ứng dụng Tích phân

2) Tính thể tích

b) Thể tích khối tròn xoay

Lời giải

b) Gọi V’ là thể tích khối tròn xoay tạo

thành khi quay A quanh trục tung.

Ta có:

0 2 0

y

Ứng dụng Tích phân

3) Tính quảng đường đi được

Chú ý: Kí hiệu s(t), v(t) và a(t) lần lượt là quảng đường, vận tốc và

gia tốc của vật Khi đó ta có mối liên hệ:

Ví dụ 1 Một vật chuyển động với gia tốc

Khi t = 0 thì vận tốc của vật là Tính quảng đường vật đó di chuyển sau 2 giây (m là mét, s là giây).

Ứng dụng Tích phân

3) Tính quảng đường đi được

Ví dụ 2 Một ô tô đang chạy với vận tốc 36km/h thì tăng tốc chuyển

động nhanh dần đều với gia tốc Tính quãng

đường mà ô tô đi được sau 6s kể từ khi bắt đầu tăng tốc.

TIẾT HỌC ĐÃ KẾT THÚCBUỔI HỌC ĐÃ KẾT THÚC CHÚC CÁC EM HỌC TỐT!