Trng di hc tra vinh GIAO TRINH MON h

Trang bị cho sinh viên sáu kết quả cơ bản về Giải tích toán học thực sự cần thiết cho việc tiếp cận các môn chuyên ngành: Hàm số; Giới hạn; liên tục; Phép tính vi, tích phân của hàm m

GIÁO TRÌNH MÔN HỌC CHƯƠNG TRÌNH KHÔNG CHUYÊN

Vi tích phân A1 được thiết kế trong nhóm kiến thức cơ

bản Cung cấp kiến thức đại cương về tập hợp, quan hệ và

logic suy luận

Trang bị cho sinh viên sáu kết quả cơ bản về Giải tích

toán học thực sự cần thiết cho việc tiếp cận các môn

chuyên ngành: Hàm số; Giới hạn; liên tục; Phép tính vi,

tích phân của hàm một biến; Khảo sát sự hội tụ , phân

kỳ của chuỗi số dương; tình tổng của chuỗi hàm hội tụ

Sinh viên tiếp cận những kiến thức trên thông qua việc kết

hợp bài giảng trên lớp, tự học và tìm hiểu thêm trong các tài liệu

Trang bị kiến thức toán học bước đầu giúp sinh viên làm quen với một vài ứng dụng toán học trong tin học và cuộc

sống

ĐIỂM ĐẠT - Hiện diện trên lớp: 10 % điểm ( Danh sách các buổi thảo

luận và bài tập nhóm)

Vắng ba buổi không được cộng điểm này

- Kiểm tra KQHT: 20 % điểm ( 2 bài kiểm tra giữa và cuối môn học:

Có ba thang điểm: 2.0 ( hai chẵn); 1.0 ( một tròn); 0,0:

(không chẵn)

- Kiểm tra hết môn: 70% điểm ( Bài thi hết môn)

* Lưu ý: Danh sách các buổi thảo luận và hai bài kiểm tra

được hủy khi danh sách điểm thi hết môn được công bố

KQHT 5: Khảo sát sự hội tụ, phân kỳ của chuỗi số dương

KQHT 6: Tính tổng của chuỗi hàm hội tụ

* Thực hành: Làm bài tập trên lớp+ Hoạt đông theo nhóm+ Thảo

luận

KQHT 1

Sự tồn tại vấn đề

KQHT 2 Phân tích vấn đề

KQHT 3 Tổng hợp vấn đề

KQHT 4 Thác triển vấn đề Ứng dụng trong ToánKQHT 5 Ứng dụng trong cuộc sốngKQHT 6

TOÁN PHỤC VỤ CHUYÊN NGÀNH

+ Định nghĩa giới hạn hàm

1.2 Trình bày ít nhất hai ví dụ mang tích chất lý thuyết

+ Bảng đen + Kiến thức cơ bản về giới hạn

-+ Lê văn Hốt- Đại học kinh tế-Toán cao cấp P2

ví dụ mang tích chất

lý thuyết

1.4 Trình bày các khái niệm ở vô cực?

+ Bảng đen + Kiến thức cơ bản về giới hạn

-+ Lê văn Hốt- Đại học kinh tế-Toán cao cấp P2

+ Học trong phòng

+ Trả lời câu hỏi và bài tập ngắn

2.1 Đạo hàm, vi phân hàm một biến

là gì? Giống và khác

nhau ra sao?

+ Bảng, phấn + Kiến thức Phổ thông Trung học

* Tài liệu chính: “ Vi tích phân

A 1 ”

* Các tài liệu tham khảo

+ Nguyễn Đình Trí; Tạ Ngọc Đạt Toán cao cấp T2

-+ Lê văn Hốt- Đại học kinh tế-Toán cao cấp P2

+ Học trong phòng

+ Trả lời câu hỏi và bài tập ngắn

+ Bảng, phấn

+ Kiến thức Phổ thông Trung học

* Tài liệu chính: “ Vi tích phân

A 1 ”

* Các tài liệu tham khảo

+ Nguyễn Đình Trí; Tạ Ngọc Đạt Toán cao cấp T2

-+ Lê văn Hốt- Đại học kinh tế-Toán cao cấp P2

+ Học trong phòng

+ Trả lời câu hỏi và bài tập ngắn

3.1 Định nghĩa tích phân hàm một biến?

Nêu lại các công thức tính:

+ Giấy A4, A0, viết lông, băng keo

* Tài liệu chính: “ Vi tích phân

A 1 ”

* Các tài liệu tham khảo

+ Lê Phương Quân -Vi tích phân

A1 –Đại học Cần thơ

+ Nhóm các tác giả- Bài tập Giải tích- Đại học Cần thơ

+ Học trong phòng + Trả lời câu hỏi và bài tập ngắn

* Trả lời được: “Tại

sao tích phân đổi biến

Tại sao?

3.3 Bài tập ứng dụng

+ Giấy A4, A0, viết lông, băng keo

* Tài liệu chính: “ Vi tích phân

A 1 ”

* Các tài liệu tham khảo

+ Nhóm các tác giả - Bài tập Giải tích- Đại học Cần thơ

+ Nguyễn Viết Đông -Trần Ngọc Hội- Toán cao cấp C1 –Đại học mở bán công TP Hồ Chí Minh

+ Lê văn Hốt- Toán cao cấp P2 –Đại học kinh tế

+ Học trong phòng + Trả lời câu hỏi và bài tập ngắn

4.1 Trình bày định nghĩa tích phân suy rộng lọai I; loại II ?

Các loại tích phân này

giống và khác tích phân chương trình phổ thông ở những

* Các tài liệu tham khảo

+ Vi tích phân A1 – Lê Phương Quân-Đại học Cần thơ

+ Học trong phòng + Trả lời câu hỏi và bài tập ngắn

4.2 Nêu các tiêu chuẩn để xét sự hội

tụ và phân kỳ của tích phân suy rộng?

Tại sao tích phân

x d x

f( ) ( )

cận trên b−ε và cận dưới là a+ε ?

+ Giấy A0, viết lông, băng keo

* Tài liệu chính: “ Vi tích phân

A 1 ”

* Các tài liệu tham khảo:

+ Nhóm các tác giả - Bài tập Giải tích- Đại học Cần thơ

+ Nguyễn Viết Đông -Trần Ngọc Hội- Toán cao cấp B và C –Đại học

mở bán công TP Hồ Chí Minh + Học trong phòng

+ Trả lời câu hỏi và bài tập ngắn

* Trong hai loại tích

phân suy rộng loại I

nhất hai tiêu chuẩn

xét sự hôi tụ hay phân

+ Giấy A0, viết lông, băng keo

* Tài liệu chính: “ Vi tích phân

A 1 ”

* Các tài liệu tham khảo:

+ Nhóm các tác giả - Bài tập Giải tích- Đại học Cần thơ

+ Nguyễn Đình Trí-Toán Cao cấp

T2 + Học trong phòng

+ Trả lời câu hỏi và bài tập ngắn

+ Bảng, phấn, Giấy A0, viết lông, băng keo

+ Kiến thức về chuỗi số, chuỗi hàm

* Tài liệu chính: “ Vi tích phân

A 1” + Học trong phòng

+ Trả lời câu hỏi ngắn

5.2 Trình bày các tiêu chuẩn về sự hội, phân kỳ của chuỗi?

+ Giấy A0, viết lông, băng keo

* Tài liệu chính: “Vi tích phân A 1 ”

* Các tài liệu tham khảo:

+ Lê Phương Quân - Vi tích phân

+ Giấy A0, viết lông, băng keo

* Tài liệu chính: “Vi tích phân A 1 ”

* Các tài liệu tham khảo:

+ Nhóm các tác giả - Bài tập Giải tích- Đại học Cần thơ

+ Nguyễn Đình Trí-Toán Cao cấp

T2 + Toán cao cấp B và C – Nguyễn Viết Đông -Trần Ngọc Hội- Đại học mở bán công TP Hồ Chí Minh

*Yêu cầu: Giải đúng

bài toán: “Tìm miền

thường khảo sát

chuỗi hàm có tâm

không có tâm?

+ Giấy A0, viết lông, băng keo

* Tài liệu chính: “Vi tích phân A 1 ”

* Các tài liệu tham khảo:

+ Lê Phương Quân-Vi tích phân A1

* Đúng kết quả

6.2 Trình bày các bước giải bài toán tìm miền hội tụ?

6.3 Trình bày các bước giải bài toán

tính tổng của một chuỗi hàm hội tụ?

+ Giấy A0, viết lông, băng keo

* Tài liệu chính: “ Vi tích phân

A 1 ”

* Các tài liệu tham khảo:

+ Bài tập Giải tích- Nhóm các tác giả - Đại học Cần thơ

+ Toán Cao cấp T2-Nguyễn Đình Trí

+ Toán cao cấp C1 – Nguyễn Viết Đông -Trần Ngọc Hội- Đại học mở bán công TP Hồ Chí Minh

+ Toán cao cấp P2- Lê Văn Hốt- Đại học kinh tế TP HCM

+ Học trong phòng

+ Trả lời câu hỏi và bài tập ngắn

KẾ HOẠCH ĐÁNH GIÁ MÔN HỌC

Hình thức đánh giá Kết quả

học tập

Thời lượng giảng dạy

Mức độ yêu cầu đạt được Viết Thao tác

Bài tập về nhà

Thực tập thực

- Các khai triển TayLor và Maclaurance

- Các bài toán về tích phân đặc biệt: tích phân dùng phương pháp đổi biến số và tích phân từng phần

- Các bài tập về diện tích hình phẳng; độ dài cung phẳng

và thể tích vật thể tròn xoay

- Xét sự hội tụ và phân kỳ của tích phân suy rộng loại I và loại II

- Sự hội tụ hay phân kỳ của chuỗi số dương”

- Chuỗi hàm hội tụ, phân kỳ, hội tuyệt đối hay bán hội tụ

- Tìm miền hội tụ và bán kính hội tụ từ đó suy tổng của chúng

NỘI DUNG CHI TIẾT MÔN HỌC

KQHT 1: Xác định các kiến thức cơ bản về giới hạn dãy số và dãy hàm một biến số

BƯỚC HỌC 1: Trình bày các kiến thức bổ sung về các trường số

Một số hữu tỷ bao giờ cũng viết được dưới dạng một số thập phân hữu hạn hay

số thập phân vô hạn tuần hoàn

4

3

;25,04

• Số thập phân hữu hạn a0,a1a2…an sẽ biểu thị số hữu tỷ

n n

a a

2 1

• Số thập phân vô hạn tuần hoàn a0,a1,a2…an (b1b2…bm) sẽ biểu thị số hữu tỷ

) 10 10

10

( 1 10

10 10

10

2 1 2

2 1

n m n

a a

+

? ) (

0

=

→ f x

Lim x

?)(

)( =

∞

→ g x

x f Lim

? )

( ( )

→

x V

Lim

Điểm đến 1: Xét các BT giới hạn dạng

) ( )

0

x f x f Lim x

Tìm tham số để hàm số liên tục, gián đoạn tại điểm

* Điểm đến 2: Xét các BT liên tục

3

414213562,

12

0 1 x

O E M

Hình 1.1

II SỐ PHỨC

• Số phức là số có dạng: z = a + ib Trong đó a, b∈R, i là đơn vị ảo với i2 = - 1

• Ta ký hiệu: a = Rez gọi là phần thực; b = Imz gọi là phần ảo C là tập hợp tất

− +

+

+

=

+ +

−

=

+ + +

=

±

2 1

2 1

2 1

2 2

2

2 2

2 1 2 1 2

2

2 2

2 1 2 1 2

1

1 2 2 1 2 1 2 1 2

1

2 1 2 1 2

1

Im Im

Re Re

0

;

z z

z z

z

z

z b

a

b a a b i b a

b b a a

z

z

b a b a i b b a a z

z

b b i a a z

4

44

i i

i i

−

=

−+

−

=

+

y

b M(a; b)

z = a + ib

r ϕ

O a x -b z=a−ib

H 1.2

Dạng lượng giác của số phức

Ta biểu diễn số phức z = a + ib bởi vectơ OM , gọi r =OM = a2 +b2 là mođun của số phứuc z, ký hiệu: z

Góc ϕ =(Ox, OM) được xác định sai khác nhau 2kπ;k∈Z gọi là argumen,

Ký hiệu: Argz Ta có

a

b

tgϕ =

Từ ý nghĩa hình học, ta có a=rcosϕ;b=rsinϕ ⇒ z=r(cosϕ+isinϕ)

Ví dụ 4 ’: Biểu diễn số phức z = 1 + i dưới dạng lương giác

u

z

k nArgz z

Arg z

z n

i n

r

z

k Argz Argz

z

z Arg z

z z

z i

z z Arg z

z z z i

n n

−

=

++

=

=

⇒+

++

=

πϕ

ϕ

πϕ

ϕϕ

ϕ

πϕ

ϕϕ

ϕ

2

;sin

cos

2

;sin

cos

2

;

sincos

2 1

2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1

2

1

2 1

2 1 2

1 2 1 2

1 2

1 2

⇔

=

1

; 0

;

2 2

sin cos

sin cos

n k n k

r k

n r

i r

n i n z

u

n n

n n

πϕθ

ρπ

ϕθρ

ϕϕ

θθ

ρ

1

;0

;

2sin

n

k r

Ví dụ 5: Tính 1/ ( )20

1 i

A= + 2/ u =41 i+

i

A ⇒ A=210(cos5π +isin5π)=−210 2/

3

;0

;16

8sin

16

8cos

24

2sin

4

2cos

9cos2

8 1

ππ

i u

17cos2

8

2

ππ

i u

0

ππ

i u

8

3

ππ

i u

III KHOẢNG - LÂN CẬN

Định nghĩa 2: Khoảng là tập hợp các số thực ( hay các điểm ) nằm giữa hai số

thực ( hay hai điểm ) nào đó

Phân loại khoảng:

Hãy dùng giảng đồ Vence để biểu diễn các trường số mà bạn đã học?

BƯỚC HỌC 2: Trình bày các định nghĩa về giới hạn dãy số

• x được gọi là biến độc lập, y được gọi là biến phụ thuộc

• X được gọi là miền xác định của hàm số, kí hiệu là Df

• Tập Y = {y∈R\ y= f(x),x∈D f} được gọi là miền giá trị của hàm số, kí

Nếu ta sử dụng thuật ngữ trên mà không nhắc đến tập E thì coi như E = Df

Vậy hàm số y = x2 tăng nghiêm ngặt trên [0, +∞)

Chứng minh tương tự ta có hàm số y = x2 giảm nghiêm ngặt trên (-∞, 0]

b Hàm số chẵn và hàm số lẻ

Định nghĩa 4: Tập X được gọi là tập đối xứng qua gốc toạ độ O nếu với bất kỳ

x∈ X thì –x ∈ X Người ta thường gọi tắt là tập đối xứng

Định nghĩa 5: Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập đối xứng X, khi đó ta có:

• Hàm số y = f(x) là hàm số chẵn nếu với mọi x thuộc X thì f(-x) = f(x)

• Hàm số y = f(x) là hàm số lẻ nếu với mọi x thuộc X thì f(-x) = - f(x)

Chú ý: Đồ thị của hàm số chẵn đối xứng qua trục tung, đồ thị của hàm số lẻ

đối xứng qua gốc toạ độ

x

4 < 4 Vậy hàm số f(x) =

x

4

bị chặn trên tập X= [1, +∞)

1 Các hàm số y = sinx và y = cosx tuần hồn với chu kỳ T = 2π

2 Các hàm số y = tgx và y = cotgx tuần hồn với chu kỳ T = π

3 Các hàm số y = sin(ax + b) và y = cos(ax + b) tuần hồn với chu kỳ T =

a

π2 Thật vậy, xét hàm số f(x) = sin(ax + b)

Giả tồn tại số t ≠0 sao cho f( x + t) = f(x) ∀x∈R

Số T dương nhỏ nhất ứng với k = 1 ( hoặc k = -1), do đĩ ta cĩ T =

a

π2

là chu kỳ của hàm số f(x) = sin(ax + b)

Các hàm số cịn lại chứng minh tương tự ( coi như bài tập)

1 Nếu g là hàm ngược của hàm f thì Dg = Rf và Rg = Df

2 Đồ thị của hai hàm số ngược nhau đối xứng qua đường thẳng y = x

3 Điều kiện để hàm y = f(x) có hàm ngược là hàm f phải đơn điệu trong miền xác định của nó

• Các hàm số lượng giác: y = sinx , y = cosx , y = tgx , y = cotgx

• Các hàm lượng giác ngược: y = arcsinx , y = arccosx , y = arctgx , y = arccotgx

2

;2[−π π

nên nó có hàm ngược: x

= arcsiny

Hàm ngược của y = sinx )

22

iii y = arctgx: y = tgx là hàm tăng nghiêm ngặt trên )

2

;2(−π π

nên nó có hàm ngược:

x = arctgy

Hàm ngược của hàm y = tgx )

22

(−π ≤ ≤π

x qua đường thẳng y = x

ngược x = arccotgy Hàm ngược của hàm y = cotgx (0 < x < π) là y = arccotgx, đồ thị của nó đối xứng với đồ thị của y = cotgx (0 < x < π) qua đường thẳng y = x

Định nghĩa 11: Hàm số sơ cấp là những hàm số được tạo thành bởi một số

hữu hạn các phép toán đại số thông thường ( cộng, trừ, nhân, chia với mẫu khác không) và phép lấy hàm hợp từ những hàm số sơ cấp cơ bản và các hằng số

Ví dụ 8:

13lg

22

3)4sin(

4cos

=

+++

=

−

x x

y

x y

x x

Ví dụ 1:

n lim n

=

1 n

1 1 1 n

n 1 n x

n N

n cho 1]sao -

1 [ N

1 lim

x

n n

Định nghĩa 4:

Dãy số {xn} được gọi là dãy số dần tới ∞ khi n→∞ nếu ∀M > 0, lớn tùy ý,

N n cho

lim

n

+ Các tính chất

1 Nếu dãy số {xn} có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất

2 Nếu dãy số {xn} có nlim→∞x n = a và a > p (hay a < q) thì tồn tại số dương N sao cho ∀ n > N ⇒ xn > p(hay xn < q)

3 Nếu dãy {xn } có giới hạn thì nó bị chặn, tức là tồn tại số M > 0 sao cho n

M,

xn ≤ ∀

4 Giả sử {xn}, {yn} là những dãy số có giới hạn thì:

- Nếu xn = yn thì nlim→∞xn =nlim→∞yn

- Nếu xn ≥ yn thì nlim→∞xn ≥nlim→∞yn

5 Cho ba dãy số {xn}, {yn}, {zn} thoã xn ≤ yn ≤ zn ∀n Khi đó, nếu

a n z lim

n

x

n→∞ = →∞ = thìnlim→∞y n = a

6 Giả sử {xn}, {yn} là các dãy số hội tụ, khi đó ta có :

Dãy số {xn ± yn} cũng hội tụ và nlim→∞(xn ±yn)=nlim→∞xn ±nlim→∞yn

Dãy số {xn yn} cũng hội tụ và lim x n .y n nlim x n .nlim y n

yn

x cũng hội tụ và

nylim n

xlimn

yn

xlim

n

n n

BƯỚC HỌC 3: Trình bày các vấn đề về giới hạn hàm

Bài hướng dẫn: GIỚI HẠN HÀM

I GIỚI HẠN HÀM CỦA HÀM SỐ

a Các định nghĩa

Trong phần này ta luôn giả sử f(x) là hàm số được xác định trong lân cận

điểm x0, không nhất thiết phải xác định tại x0

x ( δ

3 x

lim

x0:

3 x

x

1x

10x

1 Nếu f(x) có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất

e) Nếu hàm số f(x) có giới hạn là L khi x→x0 và L > a (hay L < a ) thì trong

một lân cận nào đó của x0 (không kể x0) ta có f(x) > a (hay f(x)<a )

2 Nếu f(x) ≤ g(x) trong một lân cận nào đó của điểm x0 và

a f(x)

4 Giả sử f(x), g(x) và h(x) là những hàm số được xác định trong một lân cận

nào đó của điểm x0, không nhất thiết xác định tại x0 Khi đó, nếu các hàm số f(x), g(x)

và h(x) thỏa mãn điều kiện : g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) và

5 - Giả sử hàm số f(x) xác định tại mọi x dương lớn tuỳ ý, khi đó nếu hàm f(x)

là hàm số đơn điệu tăng và bị chặn trên thì f(x) có giới hạn khi x → +∞

6 - Giả sử hàm số f(x) xác định tại mọi x âm lớn tuỳ ý về giá trị tuyệt, khi đó

nếu hàm f(x) là hàm số đơn điệu giảm và bị chặn dưới thì f(x) có giới hạn khi x → -∞

lim [f(x).g(x)] = lim f(x).lim g(x)

0)(0

limg(x)limf(x)g(x)f(x)

( )= 2 ( 2+3 −5)=20

→

→

x x

x x

u

2 x 2

f

20 u 20

→

5)3x2(xx2

lim

2 x

c Các giới hạn cơ bản

1x

xsinlim0

xelim0

.1

α

e x

x = +

→

1 ) 1 (

x

−+

+

2 Tính:

23x2x

67x2xlim1

+

−

3 Tính: x

tgx

0 x

lim 5 Tính:

1x

xxlim

( 0

1)2xx11)(

2xx1(lim

2xx1

x

+++

+++

−++

=

−+

x1lim

1)2xx1x(

x2x

+++

+

=+++

(xlim23x2x

67x2x

sin cos

x

x x

tgx

0 x 0

x 0

x 0

lim

2

1 ) 2

2

sin ( 2

sin 2 cos

x 0

lim

5)

1 x

x x lim

1lim

x

x

6) xlim→+∞( x + x − x )=

x x x

x

++

11

++

xsin1(0

xlim

2

1 x

x sin x sin

1 x

1

=

=+

→

=+

BƯỚC HỌC 4: Trình bày các khái niệm về vô cực và sự liên tục cùa hàm số

a Các định nghĩa

Định nghĩa 1

Hàm f(x) được gọi là vô cùng bé( hay vô cùng lớn) khi x→x0 nếu

0 ) (

Nhận xét:

• Nếu hàm f(x) là một VCB khi x→x0 và khác 0 thì

)x(

1

là một VCB khi x→x0

• Một hằng số có trị tuyệt đối bé đến đâu thì cũng không được coi là hàm VCB, một hằng số dù cótrị tuyệt đối lớn đến đâu thì nó cũng chỉ là một số lớn chứ không phải là VCL

Định nghĩa 2

Giả sử f(x), g(x) là hai VCB khi x→x0 Ta bảo chúng là các VCB(VCL) so sánh được nếu tồn tại giới hạn c

x g

x f

x

→ ( )

)(lim

1 ) 2

2

sin ( lim 2 sin 2 lim cos

1

0 2

2 0 2

x x

x

x x

)(

x g

x f

bằng giới hạn của tỉ

số

giữa hai VCB có cấp thấp nhất ở tử số và ở mẫu số

Ví du 3:

3

1x3

xlimx

5x4x3

xtgxsinxlimx 0 2 3 37 = x 0 =

++

++

)(lim

0

=

→ g x

x f

)(lim)

1

x

x x

x

β

αβ

x5limx

3sin

x5sinlim

0 x 0

x2lim1

e

)x21ln(

1) Tổng của hai VCB là một VCB (khi x → x0 )

2) Tích của một VCB với một đại lương bị chặn là một VCB (khi x→ x0)

Với Δx = x – x0 gọi là số gia của đối số x

Δf = f(x) – f(x0) = f(x0 + Δx) – f(x0), gọi là số gia của hàm f(x) ứng với Δx tại x0

Định nghĩa 3: Hàm f(x) được gọi là liên tục trái ( phải )tại điểm x0 nếu:

• Hàm f(x) xác định tại điểm x0 và ở trong lân cận trái (phải ) điểm x0

• lim ( ) ( 0)

0

x f x

- Hàm f(x) được gọi là liên tục trên [a; b] nếu f(x) liên tục trong khoảng (a; b)

và liên tục phải tại x = a và liên tục trái tại x = b

Định nghĩa 5: Hàm số f(x) được gọi là gián đoạn tại x0 nếu nó không liên tục tại x0 và x0 được gọi là điểm gián đoạn của hàm f(x)

Người ta đã chia các điểm gián đoạn của f(x) làm hai loại:

+ Nếu x0 là điểm gián đoạn của hàm số và giới hạn trái, phải của hàm số f(x) khi x dần tới x0 đều là hữu hạn thì x0 gọi là điểm gián đoạn loại một của hàm số f(x), còn ω = lim ( ) lim ( )

0 0

x f x

f

x x x

x→ + − → − được gọi là bước nhảy của f(x) tại x0

Đặc biệt: Nếu lim ( ) lim ( )

0 0

x f x

f

x x x

x→ + = → − được gọi là điểm gián đoạn bỏ được

+ Các điểm gián đoạn không phải là điểm gián đoạn loại một thì gọi là điểm gián đoạn loại hai

3

1 )

(

2

x khi x

x khi x x

Chú ý: điều kiện cần và đủ để cho hàm f(x) liên tục tại x 0 là hàm f(x) phải liên tục trái

và liên tục phải tại x 0

II Tính liên tục của hàm số sơ cấp

- Mọi hàm số sơ cấp f(x) nếu xác định x0 và ở trong lân cận tại x0 thì f(x) liên tục tại x0

- Mọi hàm sơ cấp f(x) liên tục tại mọi điểm trong miền xác định của nó

Ví dụ 1: 1) f(x) = xn (x∈N) liên tục tại ∀x

2)

1x

1)x(

−

= liên tục tại ∀x ≠ 1

3) (x)= x2 −1 liên tục tại mọi x ≥ 1 ⇔ x≤ − 1 ∨x≥ 1

III Các phép tính về hàm liên tục tại cùng một điểm

1) Nếu f1(x), f2(x) là những hàm số liên tục tại điểm x0 thì tổng, hiệu (f1(x) ±

f2(x));

tích (f1(x) f2(x)); thương

)x(f

)x(f

2

1 ( f2(x)≠0) cũng là những hàm số liên tục tại điểm x0

2) Nếu u = u(x) là hàm số liên tục tại x = x0, còn hàm f(u) liên tục tại u = u0 thì hàm f[u(x)]

cũng là liên tục tại x0

Ý nghĩa hình học của khái niệm liên tục:

Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b] thì đồ thị của nó là một đường cong liền không

bị ngắt quãng nối hai điểm A(a, f(a)); B(b, f(b))

Những tính chất quan trọng của hàm f(x) liên tục trên [a, b]:

i Nếu hàm f(x) liên tục trên [a, b] thì nó bị chặn trên [a, b]

ii Nếu hàm f(x) liên tục trên [a; b] thì nó giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất

• Câu hỏi củng cố:

1 Hãy nêu định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm, trong khoảng, trên đoạn?

2 Hãy cho biết tính chất quan trọng của hàm số liên tục trên một đoạn?

KQHT 2 : Khảo sát hàm số và tính gần đúng giá trị của hàm một biến

số bằng ứng dụng vi phân, bằng khai triển Taylore – Maclaurence

BƯỚC HỌC 1: Trình bày phép tính đạo hàm hàm một biến

y x

− Δ +

= Δ

Δ

→ Δ

→ Δ

) ( ) (

lim

0

đó được gọi là đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm x0 Kí hiệu: f’(x0)

• Giá trị đạo hàm của hàm số tại điểm x0 được biểu diễn như sau:

x x

dx

x df

=

Định nghĩa 2: Giả sử hàm số y = f(x) xác định tại x0 và tại ∀x > x0 ( hay ∀x <

x

x f x x f

)()()(

x

x f x x

− ) tồn tại hữu hạn thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm phải ( hay đạo hàm trái ) của hàm f(x) tại điểm x0

hàm phải tại a, có đạo hàm trái tại b

Ví dụ 1: Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số y = f(x) = ax + b

Đạo hàm: y’- Vi phân: dyMối liên hệ y’ và dy

Tính y’củay=u(x)v(x)Tính vi phân toàn phần

b ax b x x a x

x f x x f x

f

x x

Δ

Δ

=Δ

+

−+Δ+

=Δ

−Δ+

=

→ Δ

→ Δ

hàm trái và đạo hàm phải bằng nhau

Định lý 2: Giả sử hàm số f(x) xác định tại x0 và trong lân cận của nó Khi đó nếu hàm f(x)

có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại x0

Chú ý: Nếu hàm số f(x) liên tục tại x thì chưa thể suy ra nó có đạo hàm tại x

Ví dụ 2: Hàm số f(x) = x liên tục tại x = 0 nhưng không có đạo hàm tại đây

III Ý nghĩa của đạo hàm

1 Ý nghĩa hình học

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C), trên (C) lấy hai điểm M0(x0, y0), M(x, y).Vị trí giới hạn nếu có của các tuyến M0M khi M→M0 dọc theo đồ thị (C) được gọi là tiếp tuyến của (C) tại điểm M0 Với Δx= x−x0 ;Δy = y− y0 ta có tỉ số

Xét một chất điểm M chuyển động trên trục Ox sao cho tại thời điểm t thì S(t)

là khoảng cách đại số OM Sau khoảng thời gian Δt tức là tại thời điểm t +Δt chất

điểm ở vị trí M’ với khoảng cách đại số OM,= S(t +Δt), khi đó quảng đường đi của chất điểm trong khoảng thời gian Δt là S( t + Δt ) – S(t) Do đó vận tốc trung bình của chất điểm trong khoảng thời gian Δt là tỉ số

t

t S t t S

Δ

−Δ

t

S

−Δ+

=

→

Δ

)()(

lim

)

(

0

' là vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t

IV Qui tắc tính đạo hàm

(

) ( ).

( ) ( ).

( )

(

) (

) ( ).

( ) ( ).

( )

( ).

(

) ( ) ( )

( ) (

2

' '

'

' '

'

' '

g

x g x f x g x f x

g

x f

x g x f x g x f x g x f

x g x f x g x f

Định lý 2:

Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm tại x0, hàm f(u) xác định trong khoảng chứa điểm u0 = u(x0) và hàm f(u) có đạo hàm tại điểm u0 thì hàm hợp h(x) = f[u(x)] có đạo hàm tại điểm x0 và h’(x0) = h’(u0).u’(x0)

1)(

0 ' 0

' 1

x f y

a

x ln

1(1≠a>0)

;

u u

tgx; tgu

x

2cos

x

2sin

−arcsinx; arcsinu

2 1

2 1

arctgx; arctgu

21

21

VI Đạo hàm cấp cao

Định nghĩa : Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm y’ = f’(x) trong khoảng (a, b),

ta gọi f’(x) là đạo hàm cấp 1của hàm f(x) Bản thân f’(x) cũng là hàm số nên nó có thể

có đạo hàm, nếu hàm f’(x) có đạo hàm tại x thuộc khoảng (a, b) thì ta gọi đạo hàm của hàm f’(x) là đạo hàm cấp 2 của hàm f(x) và kí hiệu y'' = f ''(x) 2(2) 22

dx

f d dx

y d x f

4 Viết khai triển Taylore – Maclaurence

vi tại điểm x0 và đại lượng AΔx được gọi là vi phân của hàm số tại điểm x0 Kí hiệu:

dy = AΔx

Nhận xét:

Từ định nghĩa ta suy ra Δy=dy+α( xΔ ) hay Δy−dy=α( xΔ ) Vậy nếu f(x) khả

vi thì số gia của hàm số sai khác vi phân một lượng vô cùng bé không đáng kể Do đó

fdg gdf g

f

d

2 Giả sử y =f(u) và u = u(x) là những hàm số khả vi, khi đó ta có

df[u(x)] = f ‘[u(x)] = f ‘(u).u ‘(x).dx = f ‘(u).du

* CÔNG THỨC TÍNH XẤP XỈ

Theo nhận xét sau định nghĩa: Nếu f(x) khả vi tại điểm x0 và f '(x0)≠0

thì Δy≈ f'(x0)Δx hay f(x +Δx)≈ f(x )+ f '(x0)Δx

0 0

1 1 27

Xét hàm số f(x) = 3 x

3 2

'3

1)(

x x

0 0

27

1)

1()1()27

11

1 1 27

1 1

1.3

11328

)()(x f x0 hay f x f x0

a f b f c f

−

−

= ( ) ( ))

)()()(

)('

'

a g b g

a f b f c g

c f

(

!

)()

(

!2

)()(

!1

)()

(

)

) ( 2

0 0

'' 0 0

'

n

x f x

x x f x x x f x

) 1 (

) (

! 1 (

) ( )

R ( với c nằm giữa x và x0 )

!

)()

(

0

0 0

) (

x R x

x k

x f x

k

x f x

P

0

0 0

) (

)(

!

)()

Khi x0 = 0 thì công thức Taylor có dạng ( )

!

)0()

(

0

) (

x R x k

f x

) ( )

R ), gọi là công thức Maclaurin

* Một số công thức khai triển Maclaurin

1 f(x) = ax

)(

!

ln

!2

ln

!1

ln

n

a x

a x

)!

1 (

ln )

x

R ( c nằm giữa 0 và x )

2 f(x) = ex

)(

!

!21

2

x R n

x x

)!

1 ( ) (

1 +

= + ( c nằm giữa 0 và x )

3 f(x) = sinx

!12()1(

!5

!3

1 2 1 5

3

x R n

x x

x x

n n

−+

−

1 2

)!

1 2 (

] 2 ) 1 2 ( sin[

!2)1(

!4

!21

2 4

2

x R n

x x

−+

])1(cos[

)

+

++

n

n c x

( c nằm giữa 0 và x )

5 f(x) = ln(x + 1)

)()

1(4

32)

1

n

x x

x x x

K

)1)(

1()

+++

n

c n

x x

6 f(x) = (1+x)α

)(

!

)1(

)2)(

1(

!2

)1(1

)1

n

n x

)()1()

n

e≈ + + +K+

! 1 ( )

ε

! 1 (

3

! 1

+

≤ +

n n

e c

ε

Để ε < 10 –3 thì ta chỉ cần lấy n = 6, khi đó

!6

1

!5

1

!4

1

!3

1

!2

11

)1()1(

!5

)1(

!3

)1(11

sin

1 2 0 1 5

0 3 0 0 0

−

−+

−+

−

n

n n

K

180 , 0 (

;

! 1 2 (

] 2 ) 1 2 ( sin[

)

1 2

n

180 , 0 (

! 1 2 (

! 1 2 (

] 2 ) 1 2 (

180)

180(

1 2

n

n

ππ

ε

Để ε < 10 –5 thì ta chỉ cần lấy n = 1, khi đó ( )

( )3

3 0

180

!31801

3 g'(x)≠ 0 ở trong lân cận của x0

x g

x f

x

→ ( )

)(lim '

'

0 ( hữu hạn hay vô hạn )

x g

x f

x

→ ( )

)(lim

x g x

f

x x x

3 g'(x) ≠0 ở trong lân cận của x0

4 A

x g

x f

x

→ ( )

)(lim '

x f

x

→ ( )

)(lim

Ví dụ: Tính

1)

x x

2sin

2lim62sin2

3limcos

1

3limsin

lim

2

2

0 2

2 0

2 0

x x

x

x

x x

x x

2 1

→

− +∞

→ +∞

n x

x

n x

x

n

n e

x n n e

x n e

x

K

• Câu hỏi củng cố:

1 Hãy dùng sơ đồ chữ T phân biệt mối quan hệ giữa đạo hàm và vi phân

2 Hãy viết biểu thức vi phân toàn phần và công thức tính xấp xĩ

3 Viết khai triển Taylore- Maclaurence

BƯỚC HỌC 3: Trình bày một số ứng dụng của phép tính vi phân

Định lý 3: ( Điều kiện đủ thứ nhất của cực trị )

Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trong lân cận của điểm x0, có đạo hàm trong lân cận đó ( có thể trừ điểm x0 ) Nếu x0 là điểm tới hạn của hàm số và f '(x) đổi dấu từ dương sang âm ( từ âm sang dương ) khi đi qua x0 thì x0 là điểm cực đại ( cực tiểu )

Định lý 4: ( Điều kiện đủ thứ hai của cực trị )

Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục đến cấp hai trong lân cận của điểm

x0 và f '(x)=0 Khi đó nếu ( ) 0 ( ''( 0) 0)

0 '' x < f x >

1

21)

1

2 Bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a, b]

Để tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a, b] ta thực hiện các bước sau:

1 Tìm các điểm tới hạn của hàm số f(x) trong khoảng (a, b)

2 Tính giá trị của hàm số tại các điểm trên và tính f(a), f(b)

3 Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong các giá trị trên là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a, b]

Ví dụ 1:

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số f(x) = x3 – 3x + 4 trên [-3, 2]

Giải:

• Ta có f '(x)=3x2 −3=0⇔ x=±1

Hãy xác định kích thước của lon sao cho thể tích của nó lớn nhất

Giải: Gọi x, y (x, y > 0) lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của lon Ta có: Diện tích toàn phần của lon là: S = S2 đáy + Sxq =

x

x S

y y x x

π

ππ

π

2

22

2 2

2

x x

S x

x S

x y x

π

ππ

32)

S

− 0

π6

S

π6

y =

Ví dụ 3: Người ta muốn thiết kế một cái thùng hình chữ nhật (với hai đáy là

hình vuông) với thể tích cần đạt được là V Hỏi kích thuớc cạnh đáy và chiều cao bằng bao nhiêu thì tiết kiệm nguyên liệu nhất

Giải: Gọi x, y (x, y > 0) lần lượt là kích thuớc cạnh đáy và chiều cao của thùng

Bảng biến thiên:

x −∞ 0 3V + ∞

S'(x) - 0 +

S(x)

CT

Vậy V đạt giá trị nhỏ nhất khi x = 3 V ⇒ y = 3 V

Ví dụ 4: Giả sử AB là một đoạn thẳng trên bờ biển và L là một đảo nhỏ ở

ngoài khơi (AL vuông góc với AB), người ta muốn mắc một đường dây cáp từ L đến

B Hãy xác định vị trí của điểm C trên đoạn AB sao cho tổng giá tiền cáp ( tính trên đơn vị ngàn đồng ) là nhỏ nhất ? Biết rằng: Phần cáp dưới nước giá 500 ngàn đồng/km, phần cáp trên bờ giá 300 ngàn đồng/km, AL = 5 km, AB = 10 km

Giải Gọi AC = x km (0≤ x≤ 10) ⇒ CB = 10 - x

(

2 2

3 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số ta thực hiện các bước sau:

1 Tìm miền xác định của hàm số, tính đạo hàm cấp 1 để từ đó suy ra tính đơn

điệu, cực trị của hàm số

2 Tính đạo hàm cấp 2 để khảo sát tính lồi lõm, điểm uốn của đồ thị

• Đồ thị hàm số y = f(x) gọi là lõm ( hay lồi ) nếu f ''(x)>0(hay f ''(x)<0)

• Điểm (x0, f(x0)) gọi là điểm uốn của đồ thị hàm số y = f(x) nếu:

i Đồ thị của hàm số y = f(x) có một tiếp tuyến tại x0

ii Tính lồi, lõm của hàm số trái ngược nhau ở hai phía của x0

3 Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số thông qua các giới hạn đặc biệt

1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có bao nhiêu bước?

2 Hày cho biết bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số liên

tục trên đoạn [ a; b] gồm những bước nào?

1 Dùng sơ đồ trực quan để tóm tắt các bước khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

2 Khảo sát và vẽ đồ thị của một số hàm sơ cấp cơ bản

3 So sánh với các hàm đã từng khảo sát với chương trình phổ thông

• Ghi chép / Báo cáo kết quả:

• Kết luận / Thảo luận:

7 Khó hay dễ so với các bài toán kháo sát của phổ thông

8 Tích cực tham gia thảo luận nhóm

Nhận xét: - - - - - - - - - - - - - -

-