De on tap THPTQG nam 2019 mon Toan truong THPT Chuyen Lao Cai co loi giai

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA ⊥ ABC, góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng ABC bằng 60◦.. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB...[r]

Trường THPT Chuyên Lào Cai Ngày 7 tháng 5 năm 2019

Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ Hàm số đã cho đồng biến trên

khoảng nào dưới đây?

Cho hàm số y = f (x) liên tục trên [−1; 3] và có đồ thị như

hình vẽ Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ

nhất của hàm số đã cho trên [−1; 3] Giá trị M + m bằng

Lời giải

Gọi hàm số cần tìm y = ax3+ bx2 + cx + d

Ta có y0 = 3ax2+ 2bx + c

Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình vẽ Số nghiệm của phương

+



x + 1x

Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ Tập

hợp tất cả các giá trị thực của m để phương trình fex2= m có

≥ 1 Với t = 1 ⇒ có 1 giá trị của x, với t > 1 ⇒ có 2 giá trị của x

Để thỏa mãn bài toán thì f (t) = m có đúng 1 nghiệm t > 1

2√

x + 3 √

x + 3 + 2
2

> 164

1 + a2

2x+1

> 1 (với a là tham số, a 6= 0) làA

1 + a2

2x+1

>

1

1 + a2

0

⇔ 2x + 1 < 0 ⇔ x < −1

2.Vậy tập nghiệm của bất phương trình là



−∞; −1

2



Câu 17 Gọi n là số nguyên dương sao cho 1

log3x +

1log32x +

1log33x + · · · +

1log3nx =

190log3xđúng với mọi x dương, x 6= 1 Tìm giá trị của biểu thức P = 2n + 3

Lời giải

Ta có

1log3x +

1log32x +

1log33x + · · · +

1log3nx =

190log3x

log3x +

2log3x +

3log3x + · · · +

nlog3x =

190log3x

Câu 19 Xét các số thực dương x, y thỏa mãn log1

2 x + log1

2 y ≤ log1

2(x + y2) Tìm giá trị nhỏnhất Pmin của biểu thức P = x + 3y

A Pmin = 17

25√2

2

y − 1+ 3y = 4y + 1 +

1

y − 1.Xét hàm số f (y) = 4y + 1 + 1

y = 1

2.

Do y > 1 nên chọn y = 3

2.Lập bảng biến thiên hàm số f (y)



t0(x)t(x)

√2

Câu 22 Cho hai hàm số f (x), g(x) liên tục trên [1; 3] thỏa mãn

Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y =

f (x) (C), trục hoành và hai đường thẳng x = −3, x = 2 (như

=  t3

3 − t2+ 3t − 6 ln |t + 2|



1

0− 3 ·

Z 1 0

x2f (x) dx = f (1) − 3 · 1

3 = 0 − 1 = −1.

Câu 26

Người ta cần trồng một vườn hoa Cẩm Tú Cầu (phần được gạch

chéo trên hình vẽ) Biết rằng phần gạch chéo là hình phẳng giới

hạn bởi parabol y = 2x2− 1 và nửa trên của đường tròn có tâm

là gốc tọa độ và bán kính bằng √

2 (m) Tính số tiền tối thiểu

để trồng xong vườn hoa Cẩm Tú Cầu biết rằng để trồng mỗi m2

Lời giải

Phương trình đường tròn (C) có tâm O(0; 0), bán kính R =√

2

là x2+ y2 = 2 ⇒ y =√

2 − x2.Phương trình hoành độ giao điểm của parabol và đường tròn là

−√2

√ 2

i

Ta có dx =√

2 cos t dtĐổi cận: x = −1 ⇒ t = −π

4 và x = 1 ⇒ t =

π

4.Khi đó

I =

π 4

Z

−π4

Z

−π4

2 cos2t dt =

π 4

Z

−π4

(1 + cos 2t) dt

= t +1

2sin 2t

π 4

−π4

Điểm M trong hình vẽ là biểu diễn hình học của số phức nào dưới đây?

Gọi z = x + yi, (x, y ∈ R) là số phức thỏa mãn bài toán

Gọi M (x; y) là điểm biểu diễn số phức z

Ta có |z −1+i| = 2 ⇔ |(x−1)+(y +1)i| = 2 ⇔p(x − 1)2+ (y + 1)2 = 2 ⇔ (x−1)2+(y +1)2 = 4.Vậy M thuộc đường tròn tâm I(1; −1), bán kính R = 2

Câu 30 Gọi z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình z2+ 2z + 10 = 0 Giá trị của |z21| + |z2

2|bằng

a3√3

2 .

Lời giải

V = Sđáy· h =

√3

4 a

2· a = a

3√3

4 .

Câu 33 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc mặt đáy, góc giữa

SC và đáy bằng 45◦ Tính thể tích khối chóp S.ABCD

a3

a3√2

Lời giải

= 23

2

= 4

9.Suy ra VS.AQP = 8

Vậy VS.AQM P = 12

C M

O D

I S

P Q

2√

2√2

4 .

Lời giải

Ta có bán kính của đáy hình nón là R = a

√2

√

2 .Suy ra diện tích xung quanh của hình nón là

Sxq = π · a

√2

2 ·a

√3

√

2 =

πa2√3

Câu 37 Cho khối nón (N ) đỉnh S, có chiều cao là a√

3 và độ dài đường sinh là 3a Mặt phẳng(P ) đi qua đỉnh S, cắt và tạo với mặt đáy của khối nón một góc 60◦ Tính diện tích thiết diệntạo bởi mặt phẳng (P ) và khối nón (N )

Khối nón (N ) có tâm đáy là O, chiều cao SO = a√3

và độ dài đường sinh là ` = 3a

Giả sử mặt phẳng (P ) cắt (N ) theo thiết diện là tam

giác SAB, suy ra SA = SB = ` = 3a Gọi I là trung

điểm AB ⇒ SI ⊥ AB, do đó góc giữa (P ) và đáy là

• Thế tọa độ điểm N vào phương trình đường thẳng d, ta được 4

• Thế tọa độ điểm P vào phương trình đường thẳng d, ta được 4



0; −2

3;

43



0; −2

3;

83



0;2

3; −

83



AC = (−3; 4; 5) làm một véc-tơ chỉ phương của đường phân giác trong A Do

đó đường phân giác trong góc A có phương trình là

3;

83



Câu 43 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, xét ba điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với

a, b, c là các số thực thay đổi thỏa mãn 1

+ z12

= 1

Do đó A(1; 0; 0), B

0;1

2; 0

, C

0; 0;12

 Suy ra a + b + c = 2

Ta có AB = 2√

11, M ∈ d ⇒ M (−1 + 2t; 1 − t; 2t), khi đó

M A + M B =p(2 − 2t)2+ (4 + t)2+ (2t)2+p(4 − 2t)2+ (2 + t)2+ (6 − 2t)2

=√9t2+ 20 +√

2√29

Trong đó số có 6 chữ số khác nhau mà chữ số 0 đứng đầu có : 5! cách

Vậy số các số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau là 6! − 5! = 600(cách)

Câu 47 Gọi A là tập các số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau được tạo ra từ các chữ số

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 Lấy ngẫu nhiên một số từ tập A Xác suất để lấy được là số tự nhiên có 4 chữ sốkhác nhau không lớn hơn 2503 bằng

• Gọi biến cố C: "Lấy được số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau không lớn hơn 2503".TH1: Số có dạng 250d khi đó có 2 cách.

Câu 49 Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ABD là các tam giác đều Tính góc giữa haiđường thẳng AB và CD

Lời giải

Gọi E là trung điểm AB

Do hai tam giác ABC và ABD là hai tam giác đều nên

a√7

Lời giải

Do SA ⊥ (ABC) ⇒ góc giữa SB và đáy là [SBA = 60◦.

Kẻ AK ⊥ SH tại K Ta chứng minh được AK ⊥ (SHD)

Suy ra d(A, (SBD)) = AK

Xét 4SAB vuông tại A có SA = AB · tan 60◦ = a√

DB

5 .Vậy khoảng cách giữa đường thẳng AC và SB bằng a

√15

5 .

để trồng xong vườn hoa Cẩm Tú Cầu biết để trồng m2

Lời giải

Phương...

3;

83



Câu 43 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, xét ba điểm A(a; 0; 0),... |z2

2|bằng

a3√3

2 .

Lời