De thi chinh thuc vao 10 mon Toan De so 4 co loi giai chi tiet tron bo 110 de

1 Chứng minh rằng tứ giác ACMO nội tiếp được trong một đường tròn.. DM CM  CE 2 Chứng minh rằng DE 3 Chứng minh rằng khi điểm E thay đổi trên tia đối của tia AB, tích AC.BD không đổi.[r]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

BẮC NINH

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT

NĂM: 2015 – 2016 Môn: TOÁN

Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề)

Ngày thi: 17 tháng 7 năm 2015

Câu I (3,0 điểm)

1) Giải phương trình 3x + 2 = x + 3

2) Tìm m để hàm số y = (m – 2 )x + 1 đồng biến

3) Rút gọn biểu thức

5

A

    với a ≥ 0, a ≠ 25

Câu II (2,0 điểm)

Cho phương trình x2 2mx2m10 0 (1), m là tham số

1) Giải phương trình (1) khi m = -3

2) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x x sao cho 1 2 2x1x2  4

Câu III (1,0 điểm)

Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi bằng 28m Đường chéo của hình chữ nhật dài 10m Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh đất hình chữ nhật đó

Câu IV (2,5 điểm)

Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R Trên tia đối của tia AB lấy điểm E (khác với điểm A) Tiếp tuyến kẻ từ điểm E cắt các tiếp tuyến kẻ từ điểm A và B của nửa đường tròn (O) lần lượt tại C và D Gọi M là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ điểm E

1) Chứng minh rằng tứ giác ACMO nội tiếp được trong một đường tròn

2) Chứng minh rằng

DM CM

DE CE

3) Chứng minh rằng khi điểm E thay đổi trên tia đối của tia AB, tích AC.BD không đổi

Câu V (1,5 điểm)

1) Cho a là số thực dương Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2

5( 1)

S



 2) Cho đường tròn (O,R) và hai dây cung AB, CD (AB > CD) Hai đường thẳng AB, CD cắt nhau tại M Chứng minh rằng MA + MB > MC + MD

-HẾT -ĐÁP ÁN – LỜI GIẢI CHI TIẾT

Câu I (3,0 điểm)

1) Giải phương trình 3x + 2 = x + 3

1

2

x x

x

x

2) Tìm m để hàm số y = (m – 2 )x + 1 đồng biến

Hàm số = (m – 2 )x + 1 đồng biến

2 0

m

  

2

m

Vậy m > 2 thì hàm số đã cho đồng biến

3) Rút gọn biểu thức

5

A

    với a ≥ 0, a ≠ 25

9

a

      

 

Câu II (2,0 điểm)

Cho phương trình x2 2mx2m10 0 (1), m là tham số

1) Giải phương trình (1) khi m = -3

Khi m =-3 (1) trở thành : x26x16 0

2

' 3 16 25 0

    

PT có 2 nghiệm phân biệt

1 2

3 5 8

3 5 2

x x

  





  

 Vậy PT có 2 nghiệm phân biệt : x = -8, x =2

2) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x x sao cho 1 2 2x1x2  4

PT (1) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 ⇔ ∆’ > 0

2

2

(2 10) 0

2 1 9 0

2

(m 1) 9 0

    (luôn đúng)

=> thì PT luôn có 2 nghiệm phân biệt x1, x2

Theo Vi –ét và đầu bài cho ta có :

1 2

2

2 10

x x m

x x









1 2

1

2

1 2

2 10

4 2

4 2

4 4

2 10(*)

x x m

x x m

  





  



 





   



Thay x1, x2 vào (*) ta có :

2

2

2

1

2

( 4 2 )(4 4 ) 2 10

13 4.4.3 121 0

13 11

3

13 11 1

m

TM m

    

 





 



Vây m =- 3 hoặc m =

1 4

 thỏa mãn yêu cầu bài toán

Câu III (1,0 điểm)

Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi bằng 28m Đường chéo của hình chữ nhật dài 10m Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh đất hình chữ nhật đó

Gọi chiều dài của mảnh đất hình chữ nhật là a (m) ( 0 < a < 28)

Chiều rộng của mảnh đất hình chữ nhật là b (m) (0 < a < b)

Chu vi của mảnh đất hình chữ nhật là 28 m nên :

(a + b).2 = 28

 a + b = 14 (1)

Đường chéo của hình chữ nhật 10 m nên :

10

100(2)

a b

a b

Từ (1) và (2) ta có hệ PT 2 2

14 100

a b

a b

 







Từ (1) => b = 14 – a thay vào (2) được :

2

2

(14 ) 100

14 48 0

' 49 48 1

   

    



 

    



Vậy chiều dài của HCN là 8m

Chiều rộng của HCN là 6m

Câu IV (2,5 điểm)

Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R Trên tia đối của tia AB lấy điểm E (khác với điểm A) Tiếp tuyến kẻ từ điểm E cắt các tiếp tuyến kẻ từ điểm A và B của nửa đường tròn (O) lần lượt tại C và D Gọi M là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ điểm E

1) Chứng minh rằng tứ giác ACMO nội tiếp được trong một đường tròn

Vì AC là tiếp tuyến của (O) nên OA ⊥ AC => OAC = 90o

Vì MC là tiếp tuyến của (O) nên OM ⊥ MC => OMC = 90o

=> OAC + OMC = 180o Suy ra OACM là tứ giác nội tiếp

2) Chứng minh rằng

DM CM

DE CE

Xét hai tam giác vuông OAC và OMC có

_

OA OM R

OAC OMC chung OC



  



⇒ CA = CM

CM CA

CE CE

Tương tự ta có

DM DB

DE DE

Mà AC // BD (cùng vuông góc AB) nên

DB DE CE DE CE DE

3) Chứng minh rằng khi điểm E thay đổi trên tia đối của tia AB, tích AC.BD không đổi

Vì

1 2

Tương tự:

1 2

BOD BOM

Suy ra

1

2

o AOC BOD  AOM BOM 

Mà AOC ACO 90o ACO BOD

2

BD BO

(không đổi, đpcm)

Câu V (1,5 điểm)

1) Cho a là số thực dương Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2

5( 1)

S





Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương, ta có:

2 2

9 11

1

2 2

S

Dấu bằng xảy ra

2 2

2

1

0

a









 





Vậy giá trị nhỏ nhất của S là

11

2 , xảy ra khi a = 1

2) Cho đường tròn (O,R) và hai dây cung AB, CD (AB > CD) Hai đường thẳng AB, CD cắt nhau tại M Chứng minh rằng MA + MB > MC + MD

Gọi E, F lần lượt là trung điểm AB, CD Suy ra OE ⊥ AB, OF ⊥ CD

Có MA + MB = (MB + BA) + MB = (MB + 2BE) + MB = 2(MB + BE) = 2ME

Tương tự MC + MD = 2MF

Vì ∆ MOE vuông tại E nên ME = MO2 OE2

Tam giác AOE vuông tại E nên

2

4

AB

OE AO  AE R 

Suy ra MA + MB = 2ME = 2

2

4

AB

MO  R 

Tương tự MC + MD = 2MF = 2

2

4

CD

MO  R 

Mà AB > CD => MA + MB > MC + MD (đpcm)