SKKN giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học

SKKN giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình họcI.1.5.. SKKN giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình họcCHƯƠNG II.. Có nhiều phương pháp để giải bài toán cực trị

B PHẦN NỘI DUNG Chương I CƠ SỞ LÝ THUYẾT I.1 CÁC KHÁI NIỆM

I.1.1 Định nghĩa số phức

Mỗi biểu thức dạng a bi , trong đó a, b , i 2 1 được gọi là một số phức

Đối với số phức z a bi , ta nói a là phần thực, b là phần ảo của z

Số 0 được gọi là số vừa thực vừa ảo; số i được gọi là đơn vị ảo.

I.1.2 Số phức bằng nhau

Hai số phức là bằng nhau nếu phần thực và phần ảo tương ứng của chúng bằng nhau:

a bi c di a c

Cho số phức z a bi , a, b , i 2 1

 Số phức liên hợp của z kí hiệu là z và z a bi

I.1.4 Biểu diễn hình học của số phức

Điểm M ( a; b) trong một hệ trục tọa độ vuông góc của mặt phẳng được gọi là điểm

biểu diễn số phức z a bi

SKKN giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học

I.1.5 Môđun của số phức

Giả sử số phức z a bi được biểu diễn bởi M (a ; b ) trên mặt phẳng tọa độ Độ dài củavectơ OM được gọi là môđun của số phức z và kí hiệu là | z |

Vậy: | z | | OM | hay | z | a 2 b2

Nhận xét: | z | | z | | | z

I.2 CÁC PHÉP TOÁN

I.2.1 Phép cộng và phép trừ

Phép cộng và phép trừ hai số phức được thực hiện theo quy tắc cộng, trừ hai đa thức

I.2.2 Phép nhân

Phép nhân hai số phức được thực hiện theo quy tắc nhân đa thức rồi thay i2 1 trong kếtquả nhận được

I.2.3 Phép chia hai số phức

Với a bi 0 , để tính thương c di, ta nhân cả tử và mẫu với số phức liên hợp của a bi

 Tính chất 8: | z1 z2 | | z 1 | | z2 | dấu “=” xảy ra z1 kz2với k 0

 Tính chất 9: | z1 z 2 | | z 1 | | z2 | dấu “=” xảy ra z1 kz2với k 0

SKKN giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học

CHƯƠNG II GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ SỐ PHỨC BẰNG PHƯƠNG

PHÁP HÌNH HỌC II.1 Một số phương pháp giải bài toán cực trị số phức.

Có nhiều phương pháp để giải bài toán cực trị số phức ở đây tôi xin trình bày một sốphương pháp quen thuộc như: phương pháp khảo sát hàm số, phương pháp lượng giác,phương pháp sử dụng bất đẳng thức Sau đây chúng ta xét một số ví dụ minh họa

Ví dụ 1 (Phương pháp sử dụng bất đẳng thức) Cho số phức z thỏa mãn z 1 2i

M , m là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z 2 i Tính S M 2 m2

 Nhận xét: các phương pháp trên giải quyết bài toán cực trị số phức khá hiệu quả.

Tuy nhiên nó đòi hỏi người học phải có vốn kiến thức rộng và sự tư duy nhạy bén, việcphát hiện ra lời giải trong vòng khoảng 8 phút là tương đối khó khăn Vì vậy để giúp họcsinh phát hiện nhanh cách giải và đáp số trong bài toán trắc nghiệm tôi xin đề cập đếnphương pháp hình học được trình bày ở phần II.2 dưới đây, học sinh chỉ cần áp dụng cáctính chất hình học quen thuộc và vẽ hình trên giấy kẻ ô sẽ dự đoán ngay được đáp sốtrong bài toán trắc nghiệm

z 2i

Giáo viên: Lê Thiện Mỹ Trang 8

II.2 Phương pháp hình học

II.2.1 Một số kí hiệu chuyển từ số phức sang hệ tọa độ Oxy

 Với M z z OM

 Với M M z ; M M z z z MM

 Với A A z A , B B z B trong đó z A ; z B là hai số phức khác nhau cho trước khi đó

tập hợp M M z thỏa z z A z z B là đường trung trực của đoạn thẳng AB

 Với M 0 M0 z 0 , R 0 khi đó tập hợp các điểm M M z thỏa tròn

tâm M0 bán kính R

z z0 R là đường

 Với M1 M1 z1 , M2 M2 z2khi đó tập hợp các điểm M M z thỏa

z z1 z z2 k k 0 là đường elip có nhận M1 , M2 là hai tiêu điểm là và độ dàitrục lớn k 2a

Các bước áp dụng phương pháp hình học trong bài toán cực trị số phức.

 Đặt M M z từ điều kiện của bài toán ta tìm tập hợp biểu diễn các số phức z thông

thường các tập hợp đó là: đường thẳng, đường tròn, elip

 Từ biểu thức P chứa mô-đun số phức cần tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất ta biểuthị sang các yếu tố hình học tương ứng thông thường P là tổng độ dài các đoạnthẳng, tổng bình phương độ dài các đoạn thẳng, khoảng cách từ một điểm đếnđường thẳng Từ đó ta chuyển một bài toán số phức sang bài toán hình học

 Vẽ hình biểu diễn tập hợp các số phức z , biểu diễn biểu thức P trên hệ trục tọa độ

Oxy áp dụng các tính chất hình học cơ bản như: AB BC AC A, B,C , tính chất

đường trung tuyến, tính chất tam giác vuông suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của P

SKKN giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học

II.2.2 Các bài toán thường gặp

Bài toán 1 Cho số phức z0 và tập hợp các số phức z thỏa điều kiệnz z1

Từ đó ta có cách giải như sau:

Đặt z x yi x , y điều kiện z z1 z z2 ta viết phương trình đường thẳng

Lời giải

Đặt z x yi x , y M M z M x ; y

Vậy tập hợp các số phức z là đường thẳng : 2 x 3 y 5 0

Nhận xét: vẽ hình trên giấy kẻ ô dự đoán M 0.7;1.2

SKKN giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học

Vậy tập hợp các số phức z là đường thẳng : x 4 y 6 0

Bài toán 2 Cho số phức z thỏa z z0 R 0 với z0 a bi a , b cho trước

a Tìm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của z z1 với z1 cho trước

SKKN giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học

A. Smin 5 B. Smin 7 C. Smin 3 D. Smin 2

Nhận xét: vẽ hình trên giấy kẻ ô ta dự đoán Smin M H 1.4; 0.8 Smin AH 3

Kiểm tra dự đoán Smin AI R 5 2 3 Chọn C

Ví dụ 8 Trong các số phức z thỏa mãn z 2 2i 1 gọi z a bi a , b là số phức thỏa

z 4i đạt giá trị nhỏ nhất Tính S a b 2

Lời giải

A 0; 4 Phương trình đường thẳng AI : x y 4 0

SKKN giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học

 Điều kiện z z1 z z2 MM1 MM2 k k 0 suy ra M nằm trên elip E nhận

M1; M2làm tiêu điểm và có độ dài trục lớn bằng k 2a , z OM

 Do chương trình lớp 10 chỉ học elip có 2 tiêu điểm F1 c ; 0 , F2 c; 0 nên thường giảthiết là z c z c k c 0 , k 0 M E nhận F1 c ; 0 , F2 c; 0 làm tiêu điểm

 Với M M z , M1 M1 z1 , M2 M2 z2 điều kiện z z1

là đường trung trực của M1 M2

 Với A A z 3 , B B z 4 z z3 AM , z z4 BM

 Khi đó bài toán trở thành

Cho đường thẳng và hai điểm A , B cố định. Tìm M để S

nhỏ nhất Tính Smin

z z2

A M

suy ra M

BM đạt giá trị

Trường hợp 1: nếu A , B khác phía so vớikhi đó M : AM BM AB suy ra

 Điều kiện z z1 z z2 viết phương đường thẳng .

 Thay A A z3 , B B z4 vàoxét xem A , B cùng phía hay khác phía so với

 Nếu A , B cùng phía so với :

 Nếu A , B khía phía so với :

SKKN giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học

o Gọi d là đường thẳng qua A và vuông góc với Khi đó d I thì I là trung

điểm AA , từ tọa độ A , I ta tìm được tọa độ A

Nhận xét: vẽ hình trên giấy kẻ ô ta thấy A , B cùng phía so vớidự đoán A 1.6;2.6

suy ra Smin A B 6.5 gần với đáp án B.

Kiểm tra dự đoán: Thay A vào 2 2 8 1 11 0 , thay B vào 2.3 8 2 11 0

suy ra A , B cùng phía so với Gọi d là đường thẳng qua A và vuông góc với suy ra

Giáo viên: Lê Thiện Mỹ Trang 21

Bài toán 5 Cho số phức z thỏa mãn z z1 z z2 với z1 ; z2 là các số phức cho trước.

Với M M z , M1 M1 z1 , M2 M2 z2 điều kiện

đường thẳng trung trực của đoạn M1 M2

z z1 z z2 viết phương trình

SKKN giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học

Với A A z3 , B B z4 , gọi I là trung điểm AB Khi đó

Nhậnxét:Bằng cách thể hiệntrên giấykẻ ô tadựđoán

1 i 2 z 3 i 2 A 1; 1 , B 3; 1trung điểm I của

SKKN giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học

Nhận xét: Vẽ hình trên giấy kẻ ô ta có thể dự đoán được z 1 i2

 Giải hệ C và AB vô nghiệm.

 Tìm tọa độ trung điểm H của AB

z z0 R R 0 suy ra M thuộc đường tròn

 S 2 IH R 2AB2 ; S 2IH R2 AB2

min

2 max

2

 Tìm z ta viết phương trình đường thẳng IH Giải hệ phương trình gồm phương trình

IH và C suy ra nghiệm hệ x ; y thử lại chọn M phù hợp yêu cầu bài toán

SKKN giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học

gọi H là trung điểm AB suy ra H 6; 8

Nhận xét: vẽ hình trên giấy kẻ ô dự đoán Smin M M1 3; 4 , SmaxM M2 3; 4

gọi H là trung điểm AB suy ra H 1; 7

Nhận xét: vẽ hình trên giấy kẻ ô dự đoán Smin M M1 3; 4P a b 1

Kiểm tra dự đoán: đường thẳng IH : 3 x

SKKN giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học

Ví dụ 17: (Câu 46 – Đề minh họa THPT Quốc Gia 2018)

Nhận xét: bài toán trên chỉ cần vẽ hình trên giấy kẻ ô ta sẽ đoán ngay được đáp số.

Đường thẳng d qua I và vuông góc với AB d : x 2 y 2 0

Ví dụ 18: Xét số phức z thỏa mãn P z

1 i z 5 2i

z 2 2i 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

A. Pmin 1 10 B. Pmin 4 C Pmin 17 D. Pmin 5

O 1

B x

B

Kiểm tra: MA MB AB 17 Đẳng thức xảy ra khi M AB C với.

Tọa độ giao điểm của đường thẳng AB và đường tròn C là nghiệm của hệ với 1 y 5

x 2 2 y 2 2 4 4 y 5 2 y 2 2 4

x 4 y 3 0 x 4 y 3

SKKN giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học

Bài toán 7 Cho hai số phức z1 ; z2 thỏa z1 z0 R R 0 ; z2 z3 z2 z4

với z0 , z3 , z4 là các số phức cho trước Tìm giá trị nhỏ nhất của S

Nhận xét

z

1 z

2

 Với M M z1 , I I z0 điều kiện z z 0

R R 0 suy ra M thuộc đường tròn

 Với M M z1 , I I z0 điều kiện z z0

suy ra M thuộc đường tròn

z2 z4 viết phương trình đường

Ví dụ 18 Cho hai số phức z1 ; z2 thỏa z1 5

SKKN giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học

A. Smax 2 5 B. Smax 3 2 C. Smax 5 2

SKKN giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học

III Hiệu quả đạt được

Sau khi áp dụng phương pháp hình học vào giảng dạy các bài toán cực trị số phức lớp12C5 đa số các học sinh khá giỏi đều tiếp thu và áp dụng tốt Tuy nhiên các học sinh trungbình áp dụng tương đối khó khăn Cụ thể kết quả như sau:

Bài toán khảo sát.

SII{N !i;i bni tu61 ! ni si thtc biq furdq phnp hi,h noc

Khuydidiam

. D6ildi hoc sinh lrnns binh.hua nim vihs cic (inh chit hi.n hoc phans

nen lp dung

o'op "0i'htrl ;T r il ts d rc o l o nI

d oM-",, ortr d.o'r " d q

l\i

lim bri dri rdn giiy kh6ng c6 6 hec siirl sd sip kh6 khan khi dr.r dorn k6r qud

\i \'y0a lin .or o.l tl u 1 -i.''ning.o d 10 I \ -e| e I i u o \r' I a \:

S6ngtjdn c6 lG dnqc ep dung dng di tons viqc d0, Iac torn d cec tuong rmT.

SAng kidn E tii Iicu lnam khio cho giio liCn day an UF thi THP] Qu60 Cia vA noc

Trcnr c6ne rec 6n L!! thi I.IIIT Qu6c Gia ddi h6i gieo vien drlhg 16? phii c6

nhihe ptudg lbrp gini toan hid! qnd nha.h chdnC da huoB din hoc sinh linr ti,t biLi lhi than chi

oo.o'h; -1 o dC g.h clor drc drr dr no ach no,nh.no C ct._t \ O da\ sJnski6n da dm E phrp Cini quy6r bdi loin cuc tri s6 phnc m6t crdh k]1n 6t dep riDs tiau chi

nhanh ch6ng,chinhxnc, ir lu dnt.lloc sinnchicin vE hnfi vd ip duns cac tinh.hit.d bdn

cna hinn hoc phi.g da doin ii6! 6n bii totn.

I r ciri doen nu'dug ba! rlo lddunest l;Lt.

X,ic nhin cin rtotu r!,ip dto'gsdhgkii

@>

lrl

Tài liệu tham khảo

[1] Bộ Giáo Dục và Đào Tạo - “Giải Tích 12 Nâng Cao”, NXBGD - 2012.

[2] Đoàn Quỳnh - “Ứng dụng số phức trong hình học phẳng”, NXBGD - 2008.

[3] Nguyễn Văn Mậu Trần Nam Dũng Nguyễn Đăng Phất Nguyễn Thủy Thanh

-“ Chuyên đề chọn lọc - Số Phức và Áp Dụng”, NXBGD - 2009.

[4] Bộ Giáo dục và Đào tạo – “Tạp chí Toán học và tuổi trẻ”, NXBGD.

[5] Tài liệu internet.