Chứng minh rằng: M là một số hữu tỉ.. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.[r]
Trang 1PHÒNG GD-ĐT THẠCH HÀ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN
NĂM HỌC 2019 – 2020 Môn thi: Toán 9
(Thời gian làm bài: 150 phút)
Bài 1 a) Tính giá trị biểu thức T 5 3 29 12 5
b) Chứng minh rằng:
2
5 1
c) Tính giá trị biểu thức N x2019 3 x2020 2 x2021
Với
3 2 2
5 1
d) Cho
3 1 2
x
và
3 1 2
y
Tính M x5 y5
e) Cho M = (a2 + 2bc – 1)(b2 + 2ac – 1)(1 – c2 – 2ab) Trong đó a, b, c là các
số hữu tỉ thỏa mãn ab + bc + ca = 1 Chứng minh rằng: M là một số hữu tỉ
Bài 2 a) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: xyz = 2(x+ y + z).
b) Tìm các số a, b, c sao cho đa thức f x( ) x3+ax2 bx c chia cho
x + 2; x + 1; x – 1 đều dư 8
c) Tìm các số tự nhiên x, y biết: (2x 1)(2x 2)(2x 3)(2x 4) 5 y 11879
Bài 3 Giải các phương trình sau:
a)
2 2
2
9
16 ( 3)
x x
x
b) x x( 1) x x( 5) 2 x2
Bài 4 Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH
a) Tính AH, BH biết BC = 50 cm và
3 4
AB
b) Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC Chứng minh rằng:
AH3 = BC.BD.CE
c) Giả sử BC = 2a là độ dài cố định Tính giá trị nhỏ nhất của: BD2 + CE2
Bài 5 Cho 0 , b, c 1 a Tìm giá trị lớn nhất của:
P a + b2019 c2020 ab bc ac
-Hết -ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2Họ và tên thí sinh:………SBD:…………
(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm; học sinh không dùng máy tính bỏ túi )
SƠ LƯỢC GIẢI
Đề thi chọn HSG huyện năm học 2019 – 2020
Môn: Toán 9
1a.
T 5 3 29 12 5 =
2
5 3 (2 5 3)
2
5 ( 5 1)
5 ( 5 1)
5 1
A2 =
2 5 2
2
5 1
A = 2 (đpcm)
1c. x 2 ( 2 1) 2 = 2 - ( 2 + 1) = -1
với x = -1 ta có N = -1 + 3 + 2 = 4
1d. Ta có: xy =
1
2 và x + y = 3
x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = ( 3)2 – 2
1
2 = 3 – 1 = 2
x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y) = ( 3)3 – 3
1
2 3=
3 3 2
x5 + y5 = (x2 + y2)(x3 + y3) – x2y2(x + y) = 2
3 3
2 -
1
4 3 =
11 3 4
1e M = (a2 + bc – ac - ab)(b2 + ac – ab - bc)(ac + bc – c2 – ab)
= (a – b)(a – c)(b – a)(b – c)(c – a)(b – c)
= (a – b)2(a – c)2(b – c)2
M a b a c b c
vì a, b, c là các số hữu tỉ nên M là một số hữu tỉ
2a Vì x, y, z là các số nguyên dương và vai trò như nhau nên không mất tính
tổng quát giả sử : 1 x y z ta có xyz = 2(x + y + z) 6z
xy 6 x = 1 hoặc x = 2
Xét x = 1 cho y = 1, 2, 3, 4, 5, 6 ta được (x, y, z) = (1; 3; 8), (1; 4; 5)
Xét x = 2 cho y = 2, 3 ta được (x, y, z) = (2; 2; 4)
vậy (x, y, z) = (1; 3; 8), (1; 4; 5), (2; 2; 4) và các hoán vị
Trang 32b Từ gt ta có f(x) - 8 luôn chia hết cho x + 2; x + 1; x – 1.
=> f(x) = (x + 2)(x + 1)(x – 1) + 8
Với x = -2, ta có: -8 + 4a – 2b + c = 8 4a – 2b +c = 16 (1)
Với x = -1, ta có: -1 + a – b + c = 8 a – b +c = 9 (2)
Với x = 1, ta có: 1 + a + b + c = 8 a + b + c = 7 (3)
từ (1), (2) và (3) ta có b = - 1 a = 2 ; b = 6
2c 2 (2x x 1)(2x 2)(2x 3)(2x 4)
là tích 5 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 5 mà 2x không chia hết cho 5 nên
(2x 1)(2x 2)(2x 3)(2x 4)
mà 11879 không chia hết cho 5 nên y = 0
(2x 1)(2x 2)(2x 3)(2x 4)
= 11880 = 9.10.11.12 x = 3 vậy x = 3 và y = 0
3a ĐK: x (*) 3
Ta có:
2 2
2
9
16 ( 3)
x x
x
2 2
2
2 .3 9 2 .3
16
x x x x x x
2
2 6 2
9 25
2 2
3 25 3
x x
2
3 5 3
x
x hoặc
2
3 5 3
x
x
+)
2
3 5 3
x
x (x – 4)2 + 8 = 0 (VN)
+)
2
3 5 3
x
x (x + 1)2 = 7 x + 1 = 7
x = 7-1 (t/m ĐK(*))
Vậy pt có 2 nghiệm: x = 7- 1
3b ĐK: x hoặc 5 x (*)0
Nếu x thì pt:5 x x( 1) x x( 5) 2 x2
x1 x 5 2 x (x 5)(x 1) ĐK: x 3 x (**)3
-12x = 4
1 3
x
( loại ) Nếu x = 0 thỏa mãn pt
Nếu x < 0 thì pt: x x( 1) x x( 5) 2 x2
1 x 5 x 2 x (5 x)(1 x) x 3 ĐK: x 3
Trang 4 -12x = 4
1 3
x
(loại) Vậy pt có nghiệm x = 0
4a
E
D
H
C B
A
3 4
AB
AB = 3k, AC = 4k
(3k)2 + (4k)2 = 502 k2 = 100 k = 10
AB = 30 cm, AC = 40 cm
Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có
AB.AC = AH.BC 30.40 = AH.50 AH = 24cm
AB2 = BH.BC 302 = BH 50 BH = 18 cm
4b Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có
AH2 = BH.CH
AH4 = BH2.CH2 = BD.AB.CE.AC=(BD.CE)(AB.AC)
= (BD.CE).(AH.BC)
AH3 = BC.BD.CE
4c Áp dụng định lí Pytago ta có:
BD2 + CE2 = BH2 – HD2 + HC2 – HE2 = BH2 + HC2 – ( HD2 +HE2 )
= (AB2 – AH2 )+ (AC2 – AH2 ) – AH2 = (AB2 + AC2 ) – 3AH2
= BC2 – 3AH2 = 4a2 – 3AH2
Gọi O là trung điểm của BC ta có AH AO = a nên
BD2 + CE2 4a2 – 3a2 = a2
Dấu = xẩy ra khi H trùng O ABC vuông cân tại A
Vậy GTNN của BD2 + CE2 bằng a2 khi ABC vuông cân tại A
5 vì 0 , b, c 1 a nên b2019 b, c2020 , (1 – a)(1 – b)(1 – c) 0, abc c
0
a + b2019 c2020 ab bc ac a b c ab bc ac
và 1 – abc – a – b – c + ab + ac + bc 0
a + b + c – ab – ac – bc 1 – abc 1
do đó P a + b2019 c2020 ab bc ac 1 Dấu bằng xẩy ra khi
Trang 52020
0
(1 )(1 )(1 ) 0
abc
a b c
Vậy GTLN của P bằng 1 chẳng hạn khi a = 1; b = c = 0
Chú ý: HS giải cách khác đúng, hợp lí thì chấm điểm tối đa./.
