Tài liệu PHƯƠNG PHÁP TẬP MỨC KHÔNG LƯỚI: CƠ SỞ TOÁN HỌC VÀ KHẢ NĂNG ỨNG DỤNG TRONG NGÀNH DẦU KHÍ ppt

ABSTRACT The reliability and usefulness of the numerical simulations of a physical process depend not only on the mathematical model representing the process, normally in forms of diffe

PH NG PHÁP T P M C KHÔNG L I: C S TOÁN H C VÀ KH

N NG NG D NG TRONG NGÀNH K THU T D U KHÍ

MESHLESS LEVEL SET METHOD: MATHEMATICAL

FUNDAMENTALS AND POTENTIAL APPLICATIONS IN

PETROLEUM ENGINEERING

Mai Cao Lân*, Tr n Công Thành**

* Khoa K thu t a ch t & D u khí, i h c Bách khoa Tp H Chí Minh, Vi t Nam

** University of Southern Queensland, Australia -

TÓM T T

tin c y và tính thi t th c c a vi c mô ph ng m t quá trình v t lý không nh ng ph thu c vào

mô hình toán h c mô t quá trình, th ng d ng nh ng ph ng trình vi phân, mà còn ph thu c vào

đ chính xác và tính hi u qu c a ph ng pháp s dùng đ gi i các ph ng trình vi phân đó Bài báo này trình bày c s lý thuy t m t ph ng pháp s m i mang tên ph ng pháp T p m c Không l i (Meshless Level set method) trong đó nh ng tính n ng u vi t c a 2 nhóm ph ng pháp không l i (meshless) và t p m c (level set) đ c tích h p đ gi i các bài toán biên di đ ng M t s bài toán m u

gi i b ng ph ng pháp này đ c trình bày trong bài báo đ minh h a cho đ chính xác và tính hi u

qu c a nó c ng nh kh n ng ng d ng c a ph ng pháp trong ngành k thu t d u khí

ABSTRACT

The reliability and usefulness of the numerical simulations of a physical process depend not only

on the mathematical model representing the process, normally in forms of differential equations, but also on the accuracy and efficiency of the numerical methods for solving such equations This paper presents the theoretical basics of a new numerical method, namely Meshless Level Set method, in which the advantageous features of meshless methods and level set methods are integrated to solve moving boundary problems Some benchmark problems solved by the method are presented to demonstrate the accuracy and efficiency of the method as well as its potential applications in petroleum engineering

1 GI I THI U

a s mô hình toán mô t m t quá trình v t

lý th ng d ng các ph ng trình vi phân i

v i bài toán đa bi n, ta có các ph ng trình vi

phân riêng ph n Vi c tìm nghi m c a nh ng

ph ng trình này nói chung là ph c t p nên

thông th ng không th dùng ph ng pháp gi i tích đ c Thay vào đó, ng i ta s d ng các

ph ng pháp s đ tìm nghi m g n đúng c a chúng Hi n nay các ph ng pháp s đ c s

d ng ph bi n g m có ph ng pháp sai phân

h u h n (finite difference method - FDM), ph n

t h u h n (finite element method - FEM), kh i

h u h n (finite volume method - FVM), v.v…

Xin xem [Tannehill et al (1997), Chung (2002)]

đ bi t thêm chi ti t Các ph ng pháp này đ c

g i chung là ph ng pháp r i r c hóa theo

không gian i v i các bài toán ph thu c th i

gian, ta c n thêm công c s đ r i r c hóa

ph ng trình vi phân theo bi n th i gian Xin

xem [Quarteroni and Valli (1994), Quarteroni et

al (2000)] đ bi t thêm chi ti t v các ph ng

pháp này

N u nh các ph ng pháp FDM, FEM,

FVM, v.v… r i r c hóa ph ng trình vi phân

trên c s chia nh mi n tính toán thành m t

l i (mesh) g m nh ng ph n t ràng bu c l n

nhau trên l ói theo nh ng nguyên t c xác đ nh

(ta g i chung các ph ng pháp này là nhóm

ph ng pháp d a vào l i) thì đ i v i các

ph ng pháp Không l i, mi n tính toán đ c

chia thành m t t p h u h n các đi m r i r c, có

th b trí tùy ý (unstructured) và không có b t

k m i ràng bu c nào v v trí t ng đ i gi a

chúng trong quá trình tính toán K t qu là các

ph ng pháp không l i r t thích h p cho các

bài toán có bi n d ng l n (nh trong c h c r n

n t) ho c các bài toán có biên di đ ng (nh d

đoán quá trình đi n khuôn đúc ho c mô ph ng

m t ti n d u-n c/khí-d u trong quá trình b m

ép/thu h i t ng c ng d u) trong khi đ i v i các

ph ng pháp d a vào l i, vi c gi i các bài toán

này s r t ph c t p (đôi khi làm gi m đ chính

xác c a l i gi i) do ph i th ng xuyên đi u

ch nh l i b bi n d ng tr m tr ng Có nhi u

ph ng pháp không l i [Kansa (1990a,b),

Aluri (2002)], trong đó có ph ng pháp Indirect

Radial Basis Function Networks (IRBFN)

[Mai-Duy and Tran-Cong (2001,2003)] dùng đ gi i

các ph ng trình vi phân không l thu c th i

gian Ph ng pháp này g n đây đã đ c m

r ng đ gi i các bài toán ph thu c th i gian

[Mai-Cao and Tran-Cong (2003,2004,2005)]

Các ph ng pháp s đ gi i bài toán biên di

đ ng đã và đang đ c các nhà nghiên c u quan

tâm vì tính ph c t p c a b n thân các biên di

đ ng (moving boundaries) Có hai nhóm

ph ng pháp s đ c s d ng cho các bài toán

d ng này: Nhóm ph ng pháp d a trên l i di

đ ng và nhóm ph ng pháp s d ng l i c

đ nh Ph ng pháp T p m c (level set method) thu c nhóm ph ng pháp th hai, do Osher and Sethian (1988) đ xu t Ph ng pháp này ban

đ u đ c thi t l p đ s d ng v i nhóm các

ph ng pháp d a vào l i nh FDM, FEM, FVM [Sethian (1999), Osher and Fedkiw (2003)] Trong bài báo này, ph ng pháp t p

m c đ c tri n khai trên n n t ng c a ph ng pháp không l i IRBFN

2 C S TOÁN H C

2.1 Ph ng pháp T p m c

Trong ph ng pháp T p m c, biên di đ ng (t) c a mi n ⊂ ℜ2 đ c xem là t p m c không (zero) c a m t hàm φ(x,t), g i là hàm t p

m c, trong không gian ℜ3

} ) , (

| {

)

Γ t x φ x t (1) Hàm φ(x,t) có th ch n tùy ý v i đi u ki n

ph i là hàm tr n Trong [Sethian (1999), Osher and Fedkiw (2003)] , φ(x,t) đ c ch n là hàm kho ng cách sao cho

−

+

Ω

∈

Γ

∈

Ω

∈

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

−

+

=

x x x

t x d

t x d t

x

), , ( 0

), , ( )

, (

φ (2)

Trong đó d(x,t) là kho ng cách t đi m x đ n

biên di đ ng; +

và - là mi n bên ngoài và bên trong biên t ng ng Nh v y, trong ph ng pháp t p m c, đ i t ng nghiên c u là hàm t p

m c φ(x,t) chuy n đ ng v i v n t c “m r ng”

(extended velocity) V thay vì là biên (t) di

chuy n v i t c đ F [Osher and Sethian (1988)]

Ph ng trình chuy n đ ng c a hàm t p m c

t ng ng v i d ch chuy n c a biên trong

tr ng v n t c V c a môi tr ng xung quanh

nh sau:

=

∇

⋅

+

∂

∂ φ V φ

t (3)

m t th i đi m b t k , thông tin v biên di

đ ng (v trí, hình dáng, đ cong, v.v…) có th

đ c tái t o t hàm t p m c φ(x,t) b ng cách

xác đ nh t p h p các đo n trên (t) sao cho

φ(x,t) tri t tiêu

Do ph ng trình (3) đ c gi i b ng ph ng

pháp s nên ch sau m t b c th i gian φ(x,t) s

không còn là hàm kho ng cách Vì v y vi c tái

thi t l p hàm t p m c th a đi u ki n (2) là m t

b c c n thi t và đ c th c hi n b ng cách tìm

l i gi i d ng (steady) cho bài toán sau [Sussman

et al (1994)]

) ( )

0

,

(

|)

| 1 )(

(

x t

x

S

t

φ φ

φ φ

φ

ε

=

=

∇

−

=

∂

∂

(4a)

đó Sε là m t hàm tr n sao cho

2 2 )

(

ε φ

φ φ

ε

+

=

v i ε là kho ng cách ng n nh t gi a m t

đi m b t k v i các đi m khác trong mi n tính

toán C s lý thuy t c ng nh các ng d ng

tiêu bi u c a ph ng pháp này đ c trình bày

chi ti t trong [Sethian (1999), Osher and Fedkiw

(2003)]

2.2 Ph ng pháp Không l i IRBFN

X p x u ( x , t )c a hàm u(x,t) có th đ c

vi t d ng t h p tuy n tính c a N hàm c s

) ( ) ( ) ( ) ( )

,

(

)

,

(

1

t w x g x g t w t x

u

t

x

N

i

i

i =

=

=

(5)

Trong đó g(x)=[g1(x),g2(x),…,gN(x)]T là t p

các hàm c s cho tr c; w(t)=[w1(t),…,wN(t)]T

là t p N tr ng s c n tìm V i m t t p h p M

đi m trong mi n tính toán và giá tr hàm t ng

ng t i các đi m đó t i th i đi m t, U(t)=[U1(t),

U2(t),…,UM(t)], b ng cách thay

) ( )

( t G 1U t

w = − vào ph ng trình (4), ta có công th c x p x hàm

) ( ) ( ) , ( x t g x G 1U t

u = T − (6) Trong đó G là ma tr n đ c xác đ nh b ng

cách áp d ng (5) t i M đi m trong mi n tính toán v i t p các hàm c s đã cho g(x) Trong

ph ng trình (6), giá tr hàm t i các đi m nút

hai c a hàm u(x,t) đ c x p x b ng cách l y

đ o hàm ph ng trình (6) t ng ng:

) ( ) ( )

, (

, , x t g x G U t

u j = j T − (7a)

) ( ) ( )

, (

,

u l = j l T − ) (7b)

N u nh trong ph ng pháp Kansa (1990a),

hàm c s g(x) trong ph ng trình (5) đ c

ch n là hàm multiquadrics (MQ) thì trong

IRBFN, g(x) là đ o hàm b c k c a hàm

multiquadrics ho c thin plate splines (TPS) a

s các bài toán trong l nh v c C h c Ch t l ng Tính toán (Computational Fluid Dynamics - CFD) đ c gi i v i k=2 Chi ti t v c s lý thuy t c a ph ng pháp IRBFN c ng nh ng

d ng c a nó đ gi i các toán ph thu c th i gian

đã đ c trình bày trong [Mai-Cao and Tran-Cong (2005)]

Quy trình gi i m t bài toán biên di chuy n b

đ ng d i tác d ng c a tr ng v n t c không

đ i b ng ph ng pháp T p m c không l i bao

g m các b c sau:

B c 1: Xây d ng hàm t p m c ban đ u là hàm kho ng cách th a ph ng trình (2);

B c 2: Th c hi n d ch chuy n hàm t p m c trong m t b c th i gian b ng cách gi i ph ng trình (3);

B c 3: Tái thi t l p hàm t p m c th a

ph ng trình (2) b ng cách tìm l i gi i d ng cho

ph ng trình (4a,b) Thông tin v biên di đ ng

th i đi m đang xét có th tái t o b ng gi i thu t

l y đ ng đ ng m c zero c a hàm φ(x,t);

B c 4: Quay l i b c 2 cho b c th i gian

k ti p ho c k t thúc quá trình khi th i gian mô

ph ng đ t đ n giá tr gi i h n cho tr c

Trong bài báo này, các ph ng trình vi phân

b c 2 và 3 đ c gi i b ng các l c đ s d a

trên ph ng pháp IRBFN mô t trong [Mai-Cao

and Tran-Cong (2005)]

3.1 Bài toán b t xoay tròn

Xét m t b t hình tròn bán kính r=0.15 ban

đ u đ c đ t t i v trí (0.5,0.7) trong mi n ch

nh t [0,1] x [0,1] có tr ng v n t c xoáy (u,v)

đ c xác đ nh nh sau:

u=-sin( πx) cos(πy)

v=-cos( πx) sin(πy)

K t qu mô ph ng nhi u th i đi m khác nhau đ c trình bày trong hình 1 m i th i

đi m, gi i thu t trích đ ng đ ng m c zero c a hàm t p m c cho ta biên d ng b t có d ng đa giác khép kín Di n tích c a hình đa giác này chính là di n tích c a b t th i đi m t ng

ng K t qu tính toán cho th y t l ph n tr m thay đ i v di n tích c a hình tròn trong su t quá trình mô ph ng không v t quá 2% v i m t

đ đi m trong mi n tính toán là 32 x 32

Hình 1: Bài toán b t xoay tròn

Hình 2: Bài toán b t xoay tròn (ti p theo)

3.2 Bài toán 4 b t di đ ng trong dòng ch y

xoáy

Các b t ban đ u đ c b trí ng u nhiên nh

hình 2 trong m t tr ng v n t c xoáy gi i h n

trong mi n [-1,1] x [-1,1] Các hình bên trái c a

hình 2 th hi n biên di đ ng là đ ng đ ng m c

zero (màu xanh d ng, trong cùng) các th i

đi m ban đ u và t=4.1333 Bên ph i là hàm t p

m c các th i đi m t ng ng trên đó biên

d ng c a 4 b t di đ ng đ c g n vào Nh v y

thay vì theo dõi s chuy n đ ng và bi n d ng

c a b n thân 4 b t di đ ng, ta quan sát hàm t p

m c di chuy n theo quy lu t (3) và trích đ ng

đ ng m c zero c a nó đ có biên d ng c a các

b t th i đi m c n quan tâm V i ph ng pháp

T p m c Không l i, s k t dính và tách r i

gi a các b t đ c mô ph ng hoàn toàn theo quy trình 4-b c t ng quát mô t trên mà không

c n ph i x lý cho t ng tr ng h p riêng bi t

nh trong các ph ng pháp truy n th ng khác

4 K T LU N & H NG PHÁT TRI N

C A TÀI

Ph ng pháp T p m c Không l i đ c xây

d ng trên c s tri n khai ph ng pháp T p

m c trên n n không l i c a ph ng pháp IRBFN Qua các bài toán m u trình bày trong bài báo, ph ng pháp m i cho th y đ chính xác

và tính hi u qu cao c a nó khi gi i các bài toán

ph thu c th i gian, trong đó mô hình các b t di

đ ng có th đ c m r ng đ mô ph ng ch đ dòng ch y c a h n h p dung d ch trong ng khai thác

Hình 3: Bài toán 4 b t di đ ng trong dòng ch y xoáy

ây chính là h ng phát tri n c a đ tài

trong đó có xét t i s phân chia thành nh ng b t

th c p c ng nh s k t h p gi a các b t khí

trong quá trình đi t đáy gi ng lên b m t Ngoài

ra, các mô hình ch t l ng phi Newton

(non-Newtonian fluid) c ng s đ c xem xét đ mô t

ng x ph c t p c a h n h p dung d ch khai

thác

TÀI LI U THAM KH O

1 Atluri, S.N and Shen, S The Meshless

Local Petrov-Galerkin (MLPG) Method,

Tech Science Press, Encino, USA (2002)

2 Chung, T.J Computational Fluid Dynamics,

Cambridge University Press, UK (2002)

3 Kansa, E.J Multiquadrics - A Scattered Data Approximation Scheme with Applications to Computational Fluid-Dynamics I Surface Approximations and Partial Derivative Estimates, Computers and Mathematics with Applications 19 (1990a),

pp 27-145

4 Kansa, E.JMultiquadrics - A Scattered Data Approximation Scheme with Applications to Computational Fluid-Dynamics II Solutions to Parabolic, Hyperbolic and

Elliptic Partial Differential Equations, Computers and Mathematics with Applications 19 (1990b), pp 147-161

5 Mai-Cao, L and Tran-Cong, T Solving

Time-Dependent PDEs with a Meshless

IRBFN-based Method In: Alves, C.J.S and

Chen, C.S and Leitao, V (eds):

International Workshop on MeshFree

Methods, July 21-23, Lisbon, Portugal

(2003)

6 Mai-Cao, L and Tran-Cong, T

Element-Free Simulation for non-Newtonian Flows

In: Atluri, S.N and Beskos, D.E and

Polyzos, D (eds): International Conference

on Computational & Experimental

Engineering & Sciences, ICCES, July

26-29, Madeira, Portugal (2004)

7 Mai-Cao, L and Tran-Cong, T Meshless

IRBFN-Based Method for Transient

Problems, Computer Modeling in

Engineering & Sciences 7 (2005), pp

149-171

8 Mai-Duy, N and Tran-Cong, T Numerical

Solution of Differential Equations Using

Multiquadric Radial Basis Function

Networks, Neural Networks 14 (2001),

pp.185-199

9 Mai-Duy, N and Tran-Cong, T

Approximation of Function and its

Derivatives Using Radial Basis Function

Networks, Applied Mathematical Modelling

27 (2003), pp 197-220

10 Osher, S and Fedkiw, R.: Level Set

Methods and Dynamic Implicit Surfaces,

Springer, New York (2003)

11 Osher, S and Sethian, J.A Fronts

Propagating with Curvature-Dependent

Speed: Algorithms Based on

Hamilton-Jacobi Formulations, Journal of

Computational Physics 79 (1988), pp

12-49

12 Quarteroni, A and Valli, A.: Numerical

Approximation of Partial Differential

Equations, Springer-Verlag, New York

Quarteroni, A and Sacco, R and Saleri, F.: Numerical Mathematics, Vol 37 of Texts in Applied Mathematics, Springer-Verlag, New York (2000)

13 Sethian, J.A Level Set Methods and Fast Marching Methods: Evolving Interfaces in Computational Geometry, Fluid Mechanics, Computer Vision, and Materials Science, Cambridge University Press, New York (1999)

14 Sussman, M and Smereka, P and Osher, S.J A Level Set Approach for Computing Solutions to Incompressible Two-Phase Flow, Journal of Computational Physics 114 (1994), pp.146-159

15 Tannehill, J.C and Anderson, D.A and Pletcher, R.H Computational Fluid Mechanics and Heat Transfer, Taylor & Francis,USA (1997)