BÀI TẬP HÌNH HỌC ÔN THI VÀO LỚP 10 PHẦN 2

Qua A kẻ cáctiếp tuyến AB,AC với  O B,C là các tiếp điểm1 Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp, xác định tâm I của đường tròn ngoại tiếp tứ giácABOC 2 BI cắt  O tại M.. Chứng minh MCB O

Trang 1

BÀI TẬP HÌNH HỌC ÔN THI HK II + TS 10

Bài 21 Cho đường tròn O;R

đường kính ABcố định Gọi H là điểm bất kỳ thuộc đoạn

OA (Hkhác Ovà A) Vẽ dây CD vuông góc với ABtại H Gọi M là điểm bất kỳthuộc CH Nối AM cắt  O

tại điểm thứ hai là E ,tia BE cắt DC tại F 1) Chứng minh bốn điểm H;M;E;B cùng thuộc một đường tròn

2) Kẻ Ex là tia đối của tia ED Chứng minh rằng FEx FEC  vàMC.FD FC.MD

3) Tìm vị trí của H trên đoạn OA để chu vi OCH lớn nhất

Lời giải

1) Ta có MHB 90;MEB 90 tứ giác HMEBnội tiếp

 Bốn điểm H;M;E;Bcùng thuộc một đường tròn

2) Từ A là điểm chính giữa của cung CD ta được AEC AED 

90  AEC90  AED FEC BED

Mà BED FEx  ( đối đỉnh ) nên FEC FEx 

Xét CDE có EM và EF lần lượt là phân giác trong phân giác ngoài nên

Trang 2

Trang 3

Bài 22 Cho đường tròn tâm O đường kính AB R 2 Gọi C là trung điểm của OA , qua

C kẻ dây MN vuông góc với OA tạiC Gọi K là điểm tùy ý trên cung nhỏ BM, H là giao điểm của AK và MN

a) Chứng minh tứ giác BCHK là tứ giác nội tiếp

Trang 4

MK BK NK KI NI

Trang 5

Bài 23 Cho ABC ( AB< AC )có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn O;R

1) Vì BE , CF là đường cao  BFC BEC  900

Mà E , F là hai đỉnh kề nhau nên tứ giác BFEC nội tiếp

2) +) Chứng minh: MEC cân và ME2 MK.MP

Vì tứ giác BFEC nội tiếp ( cmt) nên ABC NEA  , mà NEA MEC  ( đối đỉnh)

Nên ABC MEC  (1)

Trang 6

Mà NEB FCB QKB    NKB QKB   N , K , Q thẳng hàng

Trang 7

, lấy điểm A nằm ngoài  O

sao cho OA2R Qua A kẻ cáctiếp tuyến AB,AC với  O

( B,C là các tiếp điểm)1) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp, xác định tâm I của đường tròn ngoại tiếp tứ giácABOC

2) BI cắt  O

tại M Chứng minh MCB OAC 3) Gọi N là trung điểm của đoạn thẳng AB, đường thẳng NI cắt đường thẳng AC tại K ,đường thẳng MC cắt đường thẳng AO ở D Chứng minh đường thẳng NK song song vớiđường thẳng MC và IM.DO MB.ID

 Tứ giác ABOC nội tiếp (tổng 2 góc đối cộng lại là 180)

Do tứ giác ABOC được tạo bởi 2 tam giác vuông ABO và ACO có cùng cạnh huyền AONên tâm I đường trong ngoại tiếp tứ giác ABCO là trung điểm của AO

Trang 8

IAB IBA

Trang 9

MCB là góc nội tiếp chắn cung MB nên MCB 12sdMB

MBA là góc tạo bởi tiếp tuyến BA và dây cung MBnên 

12

Mà 2 góc MCB;OBC ở vị trí so le trong nên OB/ /MC 

Xét tam giác ABO ta có

N là trung điểm của AB và I là trung điểm của AO

Trang 10

Bài 25 Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn  O

Kẻ đường cao AD của tam giácABC, đường kính AK của đường tròn  O Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của B và Ctrên AK

a) Chứng minh tứ giác ADFC nội tiếp được đường tròn

b) Chứng minh BAD = CAK  

c) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và AC Chứng minh MN DF và

M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF

Lời giải

I H

N

M

F E

K

D

O B

Suy ra tứ giác ADFC nội tiếp đường tròn đường kính AC

b) Xét BAD vuông tại D (vì ADBC)

Trang 11

c) Chứng minh MNDF

Tứ giác ADFC nội tiếp nên DFA = DCA (2 góc nội tiếp cùng chắn cung DA ).hay DFA = BCA  

Trang 12

Mà BKA = BCA (2 góc nội tiếp cùng chắn cung BA ) suy ra   DFA = BKA , mà hai góc ở vị trí đồng vị Suy ra DF//BK

Trang 13

Lời giải

Trang 14

a) Chứng minh tứ giác AMHN nội tiếp

Xét tứ giác AMHN có

AMH   HM AB 

; ANH    90 HN AC Nên AMH ANH  180

Mà AMH và ANH là hai góc đối nhau

Suy ra AMHN là tứ giác nội tiếp ( tứ giác có hai góc đối bù nhau).b) Chứng minh ANM ABC  và AM.AB AN.AC

Mà AHM ANM  ( tứ giác AMHN nội tiếp)

Suy ra ANM ABC 

Xét ABC và ANM có

Trang 15

Ta có

ABC ADC   ( tứ giác ABCD nội tiếp); AND ANM  180

Trang 16

Mà ANM ABC  (câu b))

Suy ra ADC AND   1

Do đó

AD AN

AC AD ( cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)Suy ra AD2 AC.AN  2

.Mặt khác, HAC vuông tại H có HN là đường cao nên AH2 AN.AC  3

Từ  2

và  3

suy ra AH AD Vậy AHD cân tại A

Trang 17

Bài 27 Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn  O

Ba đường cao AD , BE , CF củatam giác ABC cắt nhau tại H

a) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp

b) Kẻ đường kính AK của đường tròn  O

Chứng minh tam giác ABD đồng dạngvới tam giác AKC và AB.AC2AD.R

c) Gọi M là hình chiếu vuông góc của C trên AK Chứng minh: MD song songvới BK

d) Giả sử BC là dây cố định của đường tròn  O

còn A di động trên cung lớn BC Tìm vị trí của điểm A để diện tích tam giác AEH lớn nhất

Lời giải

a) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp

Ta có BFC   , do đó 3 điểm B, F, C nằm trên đường tròn đường kính BC. 90

Ta có BEC   , do đó 3 điểmB, E , C nằm trên đường tròn đường kính BC. 90

Do đó, 4 điểm B , E , F , C nằm trên đường tròn đường kính BC

Vậy BFEC là tứ giác nội tiếp

b) Tam giác ABD đồng dạng với tam giác AKC và AB.AC2AD.R

Đường tròn O có góc ABC AKC  (2 góc nội tiếp chắn cung AC )

Đường tròn O có AK là đường kính nên ACK ADB  90

Vậy tam giác ABD đồng dạng với tam giác AKC

Trang 18

Suy ra góc nội tiếp CDM CAM CAK  

Trang 19

Đường tròn O có CAK CBK 

Suy ra CBK CDM  , do đó BK // DM

d) Tìm vị trí của điểm A để diện tích tam giác AEH lớn nhất

Gọi G là trung điểm của BC

Tam giác AHK có OG là đường trung bình nên AH2OG, O và G không đổi

nên độ dài AH không đổi

, dâyAB2R M thuộc cung AB lớn, tia phân giác góc

AMB cắt AB tại I, cắt đường tròn tại điểm thứ hai là D

a) Chứng minh AMD ∽IAD;

b) Lấy N là điểm chính giữa cung MB ; AN cắt MD tại K Chứng minh tam giácAKD cân

c) Lấy P thuộc tia đối của tia MA sao cho MP MB Tìm quĩ tích của P khi M

di chuyển trên cung lớn AB

Lời giải

P

O K

I

N

D

B A

DAB DMB (góc nội tiếp cùng chắn cung DB ) (2)

Từ (1) và (2) suy ra AMD DAB  hay AMD IAD 

Trang 20

Xét AMD và IAD có: ADM chung, AMD IAD (cmt)

Trang 21

b) Chứng minh tam giác AKD cân

Ta có AMD và DMB là các góc nội tiếp lần lượt chắn các cung AD và DB củađường tròn O;R

2 sđ MN (góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn) (4)

Vì sđ AD = sđ DB và sđ MN = sđ BN nên từ (3) và (4) ta suy ra DAK AKD Vậy ADK cân tại D

c) Vì MP MB nên tam giác MBP cân tại M Suy ra

12

Mà dây AB cố định nên điểm P thuộc cung chứa góc

1

2 dựng trên đoạn AB

Trang 22

P

O K

I

N

D

B A

M

Trang 23

và dây BC cố định không đi qua O Trên cung lớn BC lấy điểm A sao cho ABC nhọn và AB AC Các đường cao AD,BE,CF của ABC cắt nhau tại H

1) Chứng minh tứ giác: BFEC nội tiếp

2) Kẻ đường kính AK của  O

Chứng minh: AB.AC AD.AK 3) Tính độ dài cung nhỏ BC và diện tích hình quạt tròn BOC (ứng với cung nhỏBC) trong trường hợp R  cm và 3 BAC   , lấy 60  3 14, (Kết quả làm tròn

 nội tiếp đường tròn đường kính BC

2) Chứng minh: AB.AC AD.AK

Xét  O

có AKB ACB  (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB)

Trang 24

nên AKB ACD 

Trang 25

Gọi I là giao điểm của AK và EF

Mà ABC FEA  (vì cùng bù với FEC )

Từ đó suy ra: FEA KAC  90

hay IEA IAE  90  AIE 90

AK EF

  tại I hay  AO EF (1)

Mặt khác S là điểm đối xứng với A qua EF

 EF là đường trung trực của đoạn thẳng AS

EF AS

Từ (1) và (2) AO , AS cùng thuộc một đường thẳng hay A ; O ; Sthẳng hàng

Trang 26

Bài 30 ) Cho đường tròn tâm O bán kính R và đường thẳng d không đi qua O , cắt đường

tròn  O

tại hai điểm E , F Lấy M bất kỳ trên tia đối của tia FE Qua M kẻ hai tiếp tuyến

MC , MD với đường tròn (C, D là các tiếp điểm)

a) Chứng minh tứ giác MCOD nội tiếp trong một đường tròn

b) Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng FE Chứng minh KM là phân giác của gócCKD

c) Đường thẳng đi qua O và vuông góc với OM cắt các tia MC , MD theo thứ tựtại R , T Tìm vị trí của điểm M trên d sao cho diện tích tam giác RMT nhỏnhất

Lời giải

a) Chứng minh tứ giác MCOD nội tiếp trong một đường tròn

 O

Trang 27

Ta có K là trung điểm của đoạn thẳng FE , suy ra OK FE  MKO 90 nên Kthuộc đường tròn đường kính OM , suy ra 5 điểm O , M , C , D , K cùng thuộcđường tròn đường kính OM

Xét đường tròn ngoại tiếp 5 điểm O , M , C , D , K có

Trang 28

 là phân giác của góc CKD

c) Đường thẳng đi qua O và vuông góc với OM cắt các tia MC , MD theo thứ tựtại R , T Tìm vị trí của điểm M trên d sao cho diện tích tam giác RMT nhỏnhất

Ta có SRMT 2SMOR OC.MR R MC CR    2R CM.CR

Mặt khác, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông OMR ta có

CM.CR OC R (không đổi), suy ra SMRT 2R2

Dấu " " xảy ra khi CM CR R  2 Khi đó M là giao điểm của d với đườngtròn tâm O bán kính R 2.

Vậy M là giao điểm của d và đường tròn tâm O bán kính R 2 thì diện tích tamgiác MRT nhỏ nhất

Bài 31 Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường trònO;R

Kẻ các đường cao AE và BIcắt nhau tại H

a) Chứng minh rằng: Tứ giác HICE nội tiếp

b) Vẽ đường kính AD của đường tròn (O), gọi F đối xứng với H qua BC Chứngminh: tứ giác ACDF nội tiếp, từ đó chứng minh tứ giác BCDF là hình thang.c) Biết tam giác ABC có diện tích là S, BC a,AC b,AB c   Chứng minh:4

abcR

S



Lời giải

Trang 29

a) Do HEC HIC  90o suy ra tứ giác HICE nội tiếp

b) Nối B với F Do F đối xứng với H qua BC hay BHF cân tại B

Trang 30

Suy ra BFH BHF ACB   (do HICE nội tiếp)  BFH ACB  hay

BFA ACB suy ra Tứ giác ABFC nội tiếp nên FO;R

.Suy ra tứ giác ACDF nội tiếp đường tròn O;R

và

AFD AEC  o  BC FD€ hay BCDF là hình thang.

c) Ta có: ADB ACB  (2góc nội tiếp cùng chắn cung AB)

Bài 32 Cho điểm M nằm ngoài đường tròn  O

, qua M kẻ tiếp tuyến MA và cát tuyếnMDC với đường tròn (D nằm giữa M và C) Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với OMcắt đường tròn tại điểm thứ hai là B

a) Chứng minh rằng MB là tiếp tuyến của đường tròn  O

và MB2 MD.MC.b) Gọi I là trung điểm của CD , tia BI cắt đường tròn  O

tại E ( E khác B ) Chứng minh: 5 điểm A,I,O,M,B cùng thuộc một đường tròn và AE// CD

c) Chứng minh rằng khi M di chuyển trên tia đối của tia DC thì đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định

Lời giải

Trang 31

Trang 32

Giả sử AB vuông góc với OM tại F

Ta có: OA OB R   OAB cân tại O

OF là đường cao đồng thời là trung tuyến FA FB 

b Vì MA,MB là hai tiếp tuyến cắt nhau ở M

Xét tứ giác MAOB có hai góc đối MAO MBO  90

Suy ra tứ giác MAOB nội tiếp ( 2 góc đối có tổng bằng 180 )

suy ra M,A,O,B cùng thuộc 1 đường tròn  1

I là trung điểm của CD

Trang 33

Từ    3 , 4  AEB MIB 

mà hai góc này ở vị trí đồng vị của hai đoạn thẳng AE và CD bị cắt bởi EB nên

ta suy ra AE // CD ( đpcm)

Trang 34

Bài 33 Cho điểm M nằm ngoài đường tròn  O

Vẽ tiếp tuyến MC , MD với  O

a) Tứ giác MCOD nội tiếp

Do MC , MD là các tiếp tuyến của  O

 nằm trên đường trung trực của CD

Mà OC OD  O nằm trên đường trung trực của CD

OM

 là đường trung trực của CD  OM CD

Trang 35

Từ  1

và  2  MC2 MH.MO MA.MB

Trang 36

Bài 34 Cho đường tròn  O

b) Chứng minh KM là tia phân giác góc AKB

c) Chứng minhMN.MP MA 2 Gọi H là giao điểm của OM với AB, chứng minhbốn điểm N,H,O,P cùng thuộc một đường tròn

d) Chứng minh khi cát tuyến MNP thay đổi thì trọng tâm G của tam giác NAPluôn chạy trên một đường tròn cố định

Lời giải

I

G

H K

- MA là tiếp tuyến của  O

tại M nên MAO vuông tại A Gọi I là trung điểm của cạnh OM

Suy ra IA IM IO   1

Tương tự ta có IM IB IO   2

Trang 37

b)Vì MA,MB là hai tiếp tuyến của đường tròn  O  MA MB

(tính chất hai tiếptuyến cắt nhau)

Trang 38

Xét đường tròn (I) có dây MA MB (cmt)

MAN MPA (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn

AN của đường tròn  O )

Trang 39

Trang 40

MNH MOP

Xét tứ giác NHOP có MNH MOP 

Mà 2 góc ở vị trí góc ngoài tứ giác bằng góc trong của đỉnh đối diện

 tứ giác NHOP nội tiếp (dấu hiệu nhận biết)

d Chứng minh khi cát tuyến MNP thay đổi thì trọng tâm G của tam giác NAP luônchạy trên một đường tròn cố định

I

G

H K

  khi cát tuyến MNP thay đổi

Trang 41

Bài 35 Cho  O

và một dây BC cố định không đi qua O Trên tia đối của tia BC lấy một điểm A bất kì Vẽ các tiếp tuyến AM , AN tới  O

( M , N là các tiếp điểm) MN cắt các đường AO và BC lần lượt ở H và K Gọi I là trung điểm của BC

a) Chứng minh: Bốn điểm A , M , O , N cùng thuộc một đường tròn

b) Chứng minh: Tứ giác BHOC nội tiếp

H

O

C B

A

M

N

a) Chứng minh: Bốn điểm A , M , O , N cùng thuộc một đường tròn

Xét tứ giác AMON có: AMO   ,  90 ANO   (vì AM , AN là tiếp tuyến của90

Vậy bốn điểm A , M , O , N cùng thuộc một đường tròn

b) Chứng minh: Tứ giác BHOC nội tiếp

+ Xét AMB và ACM có: A chung, AMB ACM (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung MB )

Trang 42

Trang 43

Mà AM2 AH.AO (hệ thức lượng trong AMO vuông tại O , đường cao AH )AB.AC AH.AO

+ Xét tứ giác AOIN có : AIO   (vì OI BC 90  - Quan hệ đường kính dây cung)

ANO   (vì AN là tiếp tuyến của (O) và N là tiếp điểm) 90

AIO ANO

    mà đây là hai góc đối nhau nên tứ giác AOIN nội tiếp một đường tròn (DHNB tứ giác nội tiếp) hay bốn điểm A , I , O , N cùng thuộc một đường tròn

Mà bốn điểm A , M , O , N cùng thuộc một đường tròn

Nên năm điểm A , M , O , N , I cùng thuộc một đường tròn

Định dạng
Số trang	60
Dung lượng	2,63 MB