Rèn luyện kỹ năng cho học sinh giải bài toán cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối

Mục đích nghiên cứu của đề tài là với mong muốn sẽ giúp các em học sinh, đặc biệt là đối tượng học sinh học ở mức độ khá, giỏi kể cả trung bình có thể giải được các bài toán về cực trị của hàm số chứ dấu giá trị tuyệt đối một cách trôi chảy, có đáp án chính xác và nhanh thông qua việc biết phân loại bài toán và tìm phương pháp giải.

       đ i khi cho hàm s  ………ố ố

       Bài toán 2: Tìm c c tr  c a hàm s  ch a d u giái tr  tuy t ự ị ủ ố ứ ấ ị ệ

       đ i khi cho b ng bi n thiên, b ng xét d u c a ố ả ế ả ấ ủ ……

       Bài toán 3: Tìm c c tr  c a hàm s  ch a d u giái tr  tuy tự ị ủ ố ứ ấ ị ệ

       đ i khi cho đ  th  ……… ố ồ ị

       4. Hi u qu  c a sáng ki n kinh nghi m ệ ả ủ ế ệ

………

III. K T LU N, KI N NGH  Ế Ậ Ế Ị ………

Tài li u tham kh o  ệ ả ………

111

55

5

5 6

6

I. Đ T V N ĐẶ Ấ Ề

M i giáo viên d y toán   trỗ ạ ở ường THPT luôn trăn tr , suy nghĩ tìm m iở ọ  

bi n pháp t i  u đ  truy n đ t cho h c sinh nh ng ki n th c c  b n c t lõiệ ố ư ể ề ạ ọ ữ ế ứ ơ ả ố  

nh t đ  giúp các em đáp  ng chu n ki n th c k  năng và làm bài thi m t cáchấ ể ứ ẩ ế ứ ỹ ộ  trôi ch y, giúp h c sinh luy n thi vào các trả ọ ệ ường  Đ i h c có k t qu  t t nh t.ạ ọ ế ả ố ấ  

Trong các kì thi THPT qu c gia nh ng năm g n đây và năm 2020 g i là kì ố ữ ầ ọthi T t nghi p THPT, bài toán tìm c c tr  c a hàm s  là m t d ng bài toán ố ệ ự ị ủ ố ộ ạ

thường g p trong các đ  thi THPT qu c gia môn Toán v i các m c đ  t  d  ặ ề ố ớ ứ ộ ừ ễ

đ n khó, trong đó bài toán tìm c c tr  c a hàm s  ch a d u giá tr  tuy t đ i ế ự ị ủ ố ứ ấ ị ệ ố

thường xu t hi n trong các đ  thi tấ ệ ề ương đ i khó. Vì v y đ  gi i đố ậ ể ả ược d ng ạtoán này chúng ta c n tìm hi u b n ch t, phân lo i các bài toán cũng nh  xây ầ ể ả ấ ạ ư

d ng phự ương pháp t  duy gi i toán đ c tr ng cho lo i toán. V i tình hình  y đư ả ặ ư ạ ớ ấ ể giúp h c sinh đ nh họ ị ướng t t h n trong quá trình gi i bài toán tìm c c tr  c a ố ơ ả ự ị ủhàm s  ch a d u giá tr  tuy t đ i, ngố ứ ấ ị ệ ố ười giáo viên c n t o cho h c sinh thói ầ ạ ọquen xem xét bài toán dưới nhi u góc đ , bi t khai thác các gi  thi t c a bài ề ộ ế ả ế ủtoán đ  tìm l i gi i. Trong đó vi c hình thành cho h c sinh kh  năng t  duy, bi tể ờ ả ệ ọ ả ư ế  phân lo i theo các d ng toán đ  tìm phạ ạ ể ương pháp gi i là m t đi u c n thi t. ả ộ ề ầ ế

Vi c tr i nghi m qua quá trình gi i toán s  giúp h c sinh hoàn thi n k  năng ệ ả ệ ả ẽ ọ ệ ỹ

đ nh hị ướng và gi i toán. ả

V i mong mu n s  giúp các em h c sinh, đ c bi t là đ i tớ ố ẽ ọ ặ ệ ố ượng h c sinh ọ

h c   m c đ  khá, gi i k  c  trung bình có th  gi i đọ ở ứ ộ ỏ ể ả ể ả ược các bài toán v  c c trề ự ị 

c a hàm s  ch  d u giá tr  tuy t đ i m t cách trôi ch y, có đáp án chính xác và ủ ố ứ ấ ị ệ ố ộ ảnhanh thông qua vi c bi t phân lo i bài toán và tìm phệ ế ạ ương pháp gi i, tôi đã ả

ch n đ  tài ọ ề

"Rèn luyên k  năng cho h c sinh gi i bài toán c c tr  c a hàm s  ch a d u  ỹ ọ ả ự ị ủ ố ứ ấ

giá tr  tuy t đ i" ị ệ ố

Trong đ  tài này tôi không có tham v ng nêu ra phề ọ ương pháp đ  gi i để ả ượ  c

t t c  các bài toán c c tr  c a hàm s  ch a d u giá tr  tuy t đ i  mà ch  m nhấ ả ự ị ủ ố ứ ấ ị ệ ố ỉ ạ  

d n nêu lên m t s  phạ ộ ố ương pháp mà chúng tôi đã áp d ng trong quá trình gi ngụ ả  

d y và ôn thi cho h c sinh. Coi đó là kinh nghi m qua m t s  ví d  minh ho ,ạ ọ ệ ộ ố ụ ạ  

v i mong mu n góp ph n t o ra và phát tri n phớ ố ầ ạ ể ương pháp d y ạ h c ọ toán h cọ  

đ t hi u qu  cao h n qua các bài gi ng.ạ ệ ả ơ ả

II. N I DUNGỘ

1. C  s  lí lu n c a sáng ki n kinh nghi m:ơ ở ậ ủ ế ệ

1.1. C c tr  c a hàm s  ự ị ủ ố

a. Đ nh nghĩaị

Cho hàm s   xác đ nh và liên t c trên kho ng  (có th   là ;  là ) và đi m .ố ị ụ ả ể ể

+) N u t n t i s   sao cho  v i m i  và  thì ta nói hàm s   đ t ế ồ ạ ố ớ ọ ố ạ c c đ i ự ạ  t i .ạ

+) N u t n t i s   sao cho  v i m i  và ế ồ ạ ố ớ ọ

thì ta nói hàm s   đ t ố ạ c c ti u ự ể  t i .ạ

* Chú ý

+) N u hàm s  đ t c c đ i (c c ti u) t i  thì  đế ố ạ ự ạ ự ể ạ ược g i là ọ đi m c c đ i (đi m  ể ự ạ ể

c c ti u) ự ể  c a hàm s ;  đủ ố ược g i là ọ giá tr  c c đ i (giá tr  c c ti u) ị ự ạ ị ự ể  c a hàm s , ủ ố

kí hi u là , còn đi m  đệ ể ược g i là ọ đi m c c đ i (đi m c c ti u) ể ự ạ ể ự ể  c a đ  th  hàm ủ ồ ị

s ố

+) Các đi m c c đ i và đi m c c ti u để ự ạ ể ự ể ược g i chung là ọ đi m c c tr ể ự ị  Giá tr  ị

c c đ i (giá tr  c c ti u) còn g i là ự ạ ị ự ể ọ c c đ i (c c ti u) ự ạ ự ể  và được g i chung là ọ c c  ự trị c a hàm s ủ ố

+) N u  trên kho ng  và  trên  thì  là m t đi m c c ti u c a hàm s  .ế ả ộ ể ự ể ủ ố

Minh h a b ng b ng bi n thi nọ ằ ả ế ế

+) Giá tr  c c đ i (c c ti u)  c a hàm s   nói chung không ph i là giá tr  l n ị ự ạ ự ể ủ ố ả ị ớ

nh t (nh  nh t) c a hàm s   trên t p xác đ nh c a nó.ấ ỏ ấ ủ ố ậ ị ủ

+) Hàm s  ch  có th  đ t c c tr  t i các đi mố ỉ ể ạ ự ị ạ ể  mà t iạ  đó đ o hàm c a hàm s  ạ ủ ố

b ngằ  ho c hàm s  không có đ o hàm. Ngặ ố ạ ượ ạc l i, đ o hàm có th  b ngạ ể ằ   t i ạ

+) Hàm s  v i t p xác đ nh g i là hàm s  ch n n u  thì  và ố ớ ậ ị ọ ố ẵ ế

+) Hàm s  v i t p xác đ nh g i là hàm s  l  n u  thì  và ố ớ ậ ị ọ ố ẻ ế

b. Đ  th  c a hàm s  ch n, hàm s  l ồ ị ủ ố ẵ ố ẻ

Đ  th  c a hàm s  ch n nh n tr c tung làm tr c đ i x ngồ ị ủ ố ẵ ậ ụ ụ ố ứ

Đ  th  c a hàm s  l  nh n g c t a đ  làm tâm đ i x ngồ ị ủ ố ẻ ậ ố ọ ộ ố ứ

1.3. M t s  hàm s  ch a d u giá tr  tuy t đ i thộ ố ố ứ ấ ị ệ ố ường g p và cách v  đặ ẽ ồ 

+> G i là ph n đ  th  n m phía trên tr c hoành c a ọ ầ ồ ị ằ ụ ủ

+> G i là ph n đ  th  đ i x ng v i ph n n m phía dọ ầ ồ ị ố ứ ớ ầ ằ ưới tr c hoành c a  quaụ ủ  

tr c .ụ

+> V y đ  th  hàm s   g m  và ậ ồ ị ố ồ

Nh n xét: ậ  Đ  th  hàm s   luôn n m trên tr c hoànhồ ị ố ằ ụ

b. Hàm s  ố

Nh n xét: ậ  Hàm s   là hàm s  ch nố ố ẵ

Cách v  đ  th :  ẽ ồ ị

+> V  đ  th  c a hàm s  ẽ ồ ị ủ ố

+> G i là ph n đ  th  n m phía bên ph i tr c tung c a ọ ầ ồ ị ằ ả ụ ủ

+> G i là ph n đ  th  đ i x ng v i  qua tr c .ọ ầ ồ ị ố ứ ớ ụ

+> T  đ  th  c a hàm s   ta suy ra đ  th   c a hàm s  ừ ồ ị ủ ố ồ ị ủ ố

+> T  đ  th   c a hàm s   ta suy ra đ  th   c a hàm s  ừ ồ ị ủ ố ồ ị ủ ố

Cách 2: 

+> V  đ  th  c a hàm s  ẽ ồ ị ủ ố

+> T  đ  th  c a hàm s   ta suy ra đ  th   c a hàm s  ừ ồ ị ủ ố ồ ị ủ ố

+> T  đ  th   c a hàm s   ta suy ra đ  th   c a hàm s  ừ ồ ị ủ ố ồ ị ủ ố

2. Th c tr ng v n đ  trự ạ ấ ề ước khi áp d ng sáng ki n kinh nghi m:ụ ế ệ

V i xu th  giáo d c phát tri n năng l c h c sinh m t cách toàn di n, vàớ ế ụ ể ự ọ ộ ệ  

đ i m i thi c , đánh giá c a ngành giáo d c, đ c bi t là vi c thi và đánh giáổ ớ ử ủ ụ ặ ệ ệ  năng l c h c sinh b ng phự ọ ằ ương pháp thi tr c nghi m. Yêu c u s  lắ ệ ầ ố ượng câu h iỏ  

l n, n i dung thi ph  r ng c  chớ ộ ủ ộ ả ương trình h c. Vì v y vi c làm phong phú họ ậ ệ ệ 

th ng câu h i và bài t p là đi u h t s c c n thi t. V i bài toán tìm c c tr  c aố ỏ ậ ề ế ứ ầ ế ớ ự ị ủ  hàm s  khi xu t hi n trong các đ  thi   m c đ  1 và m c đ  2 h c sinh thố ấ ệ ề ở ứ ộ ứ ộ ọ ườ  ng

đi theo các bước c a quy t c tìm c c tr  c a hàm s , nh ng v i nh ng bài toánủ ắ ự ị ủ ố ư ớ ữ  tìm c c tr  c a hàm s    m c đ  khó h n n u ch  áp d ng quy t c tìm c c tr  thìự ị ủ ố ở ứ ộ ơ ế ỉ ụ ắ ự ị  

h c sinh thọ ường lúng túng, cách gi i quy t v n đ  dài dòng, m t th i gian.ả ế ấ ề ấ ờ  Trong nhi u trề ường h p bài làm s  r i vào b  t c không gi i đợ ẽ ơ ế ắ ả ược. Đ c bi tặ ệ  các bài toán tìm c c tr  c a hàm s  ch a d u giá tr  tuy t đ i và đi u đó càngự ị ủ ố ứ ấ ị ệ ố ề  

b t l i khi các bài ki m tra thi c  dấ ợ ể ử ướ ại d ng tr c nghi m: s  lắ ệ ố ượng câu h iỏ  nhi u, th i gian làm bài b  rút ng n l i. ề ờ ị ắ ạ

Chính vì l  đó tôi đã tìm tòi nghiên c u đ  phân lo i các bài toán tìm c cẽ ứ ể ạ ự  

gi ng d y ôn thi THPT Qu c gia và ôn thi t t nghi p THPT hi n nay và b iả ạ ố ố ệ ệ ồ  

dưỡng h c sinh khá gi i, h c sinh d  thi h c sinh gi i trọ ỏ ọ ự ọ ỏ ường,  gi i t nh. Dỏ ỉ ướ  iđây là m t s  phộ ố ương pháp c  th ụ ể

3. Các gi i pháp s  d ng đ  gi i quy t v n đả ử ụ ể ả ế ấ ề

3.1. M t s  d u hi u nh n bi t nhanh v  s  c c tr  c a hàm sộ ố ấ ệ ậ ế ề ố ự ị ủ ố

+> S  đi m c c tr  c a hàm đa th c   b ng t ng s  nghi m đ n và số ể ự ị ủ ứ ằ ổ ố ệ ơ ố nghi m b i l  c a phệ ộ ẻ ủ ương trình 

+> S  đi m c c tr  c a hàm s   b ng 2 l n s  đi m c c tr  dố ể ự ị ủ ố ằ ầ ố ể ự ị ương c aủ  hàm s   c ng v i 1.ố ộ ớ

+> S  đi m c c tr  c a hàm s   b ng t ng s  đi m c c tr  c a hàm số ể ự ị ủ ố ằ ổ ố ể ự ị ủ ố 

v i s  nghi m đ n và s  nghi m b i l  c a phớ ố ệ ơ ố ệ ộ ẻ ủ ương trình 

3.2. Phương pháp ghép b ng bi n thiên đ  gi i nhanh các bài toán c c trả ế ể ả ự ị 

c a hàm s  h p có ch a d u giá tr  tuy t đ iủ ố ợ ứ ấ ị ệ ố

Bước 1: Tìm t p xác đ nh c a hàm s  ậ ị ủ ố

Bước 2: L p b ng bi n thiên c a các hàm s   và ậ ả ế ủ ố

Bước 3: L p b ng bi n thiên t ng h p xét s  tậ ả ế ổ ợ ự ương quan gi a  v i  vàữ ớ  

Bài toán 1.1: S  d ng các tính ch t 3.1 đ  gi i nhanh các bài toán c c tr ử ụ ấ ể ả ự ị

+> Gi i ph ng trình . Xét xem các nghi m  c a ph ng trình là nghi m đ n, ả ươ ệ ủ ươ ệ ơ   nghi m b i l , nghi m b i ch n ệ ộ ẻ ệ ộ ẵ

 +> là nghi m b i 2 nên ệ ộ  không đ i d u khi qua ổ ấ

+>  là nghi m đ n và ệ ơ  là nghi m b i 3  đ i d u khi qua 2 đi m  nên ệ ộ ổ ấ ể hàm s   có 2ố  

đi m c c tr  trong đó có 1 đi m c c tr  dể ự ị ể ự ị ương

Do   khi  và hàm là hàm ch n nên hàm s  có 3 đi m c c tr ẵ ố ể ự ị

Ví d  2. ụ Cho hàm s   có  . S  đi m c c tr  c a hàm s   là.ố ố ể ự ị ủ ố

 +> là nghi m b i 4 nên ệ ộ  không đ i d u khi qua ổ ấ

+> là nghi m đ n và là nghi m b i 3  đ i d u khi qua 3 đi m  nên ệ ơ ệ ộ ổ ấ ể hàm s   có 3 ố

đi m c c tr  trong đó có 2 đi m c c tr  dể ự ị ể ự ị ương

Do   khi  và hàm là hàm ch n nên hàm s  có 5 đi m c c tr ẵ ố ể ự ị

Ví d  3. ụ Cho ham sô  co đao ham  Sô điêm c c tri cua ham sô  la:  ̀ ́ ́ ̣ ̀ ́ ̉ ự ̣ ̉ ̀ ́ ̀

L i gi iờ ả

Ch n Bọ

Ta co: .́

Do chi đôi dâu khi đi qua điêm  nên ham sô  co 1 điêm c c tri .̉ ̉ ́ ̉ ̀ ́ ́ ̉ ự ̣

Ma  nêu  va  la ham sô chăn nên ham sô  co 1 điêm c c tri .̀ ́ ̀ ̀ ̀ ́ ̃ ̀ ́ ́ ̉ ự ̣

Ví d  4.  ụ Cho ham sô  co đao ham̀ ́ ́ ̣ ̀  . Ham sô  co nhiêu nhât bao nhiêu điêm c c tri?̀ ́ ́ ̀ ́ ̉ ự ̣

T  bang biên thiên ta thây  ham sô co 5 điêm c c tri và phừ ̉ ́ ́ ̀ ́ ́ ̉ ự ̣ ương trình  co tôi đa 6 ́ ́nghiêm phân biêt.̣ ̣

Do đo ham sô  co tôi đa  điêm c c tri.́ ̀ ́ ́ ́ ̉ ự ̣

Do tính ch t đ i x ng qua tr c ấ ố ứ ụ

 c a đ  th  hàm s  ủ ồ ị ố nên hàm s  ố có  đi m c c tr  ể ự ịkhi hàm s  ố

 có  đi m c c tr  dể ự ị ương.

Ta có: 

Do  là nghi m b i 2 và  là nghi m đ n âm nên hàm s  ệ ộ ệ ơ ố

 có  đi m c c tr  dể ự ị ương khi phương trình có hai nghi m dệ ương phân bi t.ệ

Giá tr  nguyên c a tham s   đ  hàm s   có ị ủ ố ể ố

 đi m c c tr  là: .ể ự ị

S  giá tr  nguyên c a tham s   đ  hàm s   có ố ị ủ ố ể ố

 đi m c c tr  là .ể ự ị

Ví d  6. ụ Cho hàm s  liên t c trên , bi t  và . G i là t p h p các giá tr  nguyênố ụ ế ọ ậ ợ ị  

c a tham s   đ  hàm s   có  đi m c c tr  T ng t t c  các ph n t  c a  b ngủ ố ể ố ể ự ị ổ ấ ả ầ ử ủ ằ

B ng bi n thiên c a hàm ả ế ủ

T  b ng bi n thiên ta th y đ  hàm s   có  đi m c c tr  thì đ  th  hàm s   c t ừ ả ế ấ ể ố ể ự ị ồ ị ố ắ

tr c hoành t i đi m phân bi t. Khi đó ta có ụ ạ ể ệ

B ướ c 2: L p b ng bi n thiên c a các hàm s   và  ậ ả ế ủ ố

B ướ c 3: L p b ng bi n thiên t ng h p xét s  t ậ ả ế ổ ợ ự ươ ng quan gi a  v i  và  v i  ữ ớ ớ

+>   dòng 3 xét chi u bi n thiên c a hàm s   d a vào b ng bi n thiên  b ng Ở ề ế ủ ố ự ả ế ằ   cách hoán đ i  đóng vai trò c a  và  đóng vai trò c a  ổ ủ ủ

B ướ c 4: D a vào b ng bi n thiên c a hàm s   đ  k t lu n. (K t h p v i các ự ả ế ủ ố ể ế ậ ế ợ ớ   tính ch t 3.1 đ  có k t lu n th a mãn yêu c u bài toán đ t ra) ấ ể ế ậ ỏ ầ ặ

Ví d  7. ụ Cho hàm s   có . S  đi m c c ti u c a hàm s   là.ố ố ể ự ể ủ ố

B ng bi n thiên c a hàm s  ả ế ủ ố

B ng bi n thiên c a hàm s  ả ế ủ ố

D a vào b ng bi n thiên c a hàm s   thì hàm s   có 3 đi m c c ti u.ự ả ế ủ ố ố ể ự ể

Ví d  8. ụ Cho hàm s   xác đ nh và liên t c trên ,ố ị ụ  có . Hàm số  có bao nhiêu đi m ể

B ng bi n thiên c a hàm s  ả ế ủ ố

B ng bi n thiên c a hàm s  ả ế ủ ố

D a vào b ng bi n thiên c a hàm s   thì hàm s   có 4 đi m c c ti u.ự ả ế ủ ố ố ể ự ể

Ví d  9. ụ Cho hàm s   liên t c trên  và có  và . S  đi m c c tr  c a hàm s   làố ụ ố ể ự ị ủ ố

B ng bi n thiên c a hàm s  ả ế ủ ố

B ng bi n thiên c a ả ế ủ

D a vào b ng bi n thiên c a  thì hàm s   có 2 đi m c c tr ự ả ế ủ ố ể ự ị

Mà  nên phương trình  ch  có m t nghi m đ nỉ ộ ệ ơ

V y hàm s   có 3 đi m c c tr ậ ố ể ự ị

Bài toán 2: Tìm c c tr  c a hàm s  ch a d u giái tr  tuy t đ i khi cho b ngự ị ủ ố ứ ấ ị ệ ố ả  

bi n thiên, b ng xét d u c a ế ả ấ ủ

Ví d  1ụ Cho hàm s   có đ o hàm  trên  và b ng bi n thiên c a hàm s  nh  hình ố ạ ả ế ủ ố ư

v ẽ

 đ n v  và lên trên ơ ị  đ n v  Suy ra b ng bi n thiên c a hàm s  ơ ị ả ế ủ ố

D a vào b ng bi n thiên c a hàm s   suy ra hàm s   có 2 c c tr  và 1 nghi m ự ả ế ủ ố ố ự ị ệ

đ n nên hàm s   có 3 đi m c u tr ơ ố ể ự ị

Ví d  2ụ  Cho hàm s   có ố  và đ o hàm liên t c trên  và có b ng xét d u nh  hìnhạ ụ ả ấ ư  sau

Mà  nên d a vào b ng xét d u c a  ta suy ra .ự ả ấ ủ

B ng bi n thiên c a hàm s  ả ế ủ ố

D a vào b ng bi n thiên c a hàm s  ự ả ế ủ ố suy ra hàm s  ố  có 3 đi m c c tr  ể ự ị

Ta có  nên phương trình  có hai nghi m đ n và 1 nghi m b i ch n. ệ ơ ệ ộ ẵ V y có  c cậ ự  

B ng bi n thiên c a hàm s  ả ế ủ ố

B ng bi n thiên c a hàm s  ả ế ủ ố

D a vào b ng bi n thiên c a hàm s   thì hàm s   có 3 đi m c c đ i.ự ả ế ủ ố ố ể ự ạ

Ví d  4. ụ Cho hàm s   xác đ nh và liên t c trên , có b ng xét d u c a  nh  sauố ị ụ ả ấ ủ ư

B ng bi n thiên c a hàm s  ả ế ủ ố

B ng bi n thiên c a hàm s  ả ế ủ ố

D a vào b ng bi n thiên c a  thì hàm s  có 13 đi m c c trự ả ế ủ ố ể ự ị

Suy ra đ  th  hàm s   có 13 đi m c c tr  (T nh ti n đ  th  hàm s  lên trên  2021 ồ ị ố ể ự ị ị ế ồ ị ố

đ n v  thì s  đi m c c tr  không thay đ i).ơ ị ố ể ự ị ổ   

Ví d  5ụ  Cho hàm s  ố xác đ nh và liên t c trên  và có b ng xét d uị ụ ả ấ  c a ủ  nh  sau:ưXét hàm s  . ố G i  là t p h p các đi m c c tr  c a hàm s  ọ ậ ợ ể ự ị ủ ố  T ng giá tr  t t c  ổ ị ấ ả

B ng xét d u c a ả ấ ủ

B ng bi n thiên ả ế c a hàm s  ủ ố

B ng bi n thiên ả ế c a hàm s  ủ ố

B ng bi n thiên ta th y hàm s  ả ế ấ ố

T  b ng bi n thiên ta th y hàm s   có 5 đi m c c tr ừ ả ế ấ ố ể ự ị

Hàm s  đ t c c tr  t i các đi m tố ạ ự ị ạ ể ương  ng v iứ ớ

Suy ra . V y t ng các ph n t  c a  b ng 10ậ ổ ầ ử ủ ằ

Bài toán 3: Tìm c c tr  c a hàm s  ch a d u giái tr  tuy t đ i khi cho đự ị ủ ố ứ ấ ị ệ ố ồ 

Đ t ặ

Ta có: 

B ng bi n thiên c a hàm s  ả ế ủ ố

B ng bi n thiên c a hàm s  ả ế ủ ố

V y hàm s   có 7 đi m c c tr ậ ố ể ự ị

Ví d  2. ụ Cho hàm s  . Hàm s   có đ  th  nh  hình v  dố ố ồ ị ư ẽ ưới đây

Ta có b ng bi n thiênả ế

T  b ng bi n thiên suy ra hàm s   có 3 đi m c c tr  và phừ ả ế ố ể ự ị ương trình  có t i đa ố

b n nghi m . V y hàm s   có t i đa  đi m c c tr ố ệ ậ ố ố ể ự ị

T  đ  th  hàm s  ừ ồ ị ố  ta có b ng bi n thiênả ế

B ng bi n thiên c a hàm s  ả ế ủ ố

D a vào b ng bi n thiên c a hàm s   suy ra hàm s  có t i đa 5 đi m c c đ i.ự ả ế ủ ố ố ố ể ự ạ

Ví d  4. ụ Cho hàm s  b c b n  có đ  th  nh  hình bên.ố ậ ố ồ ị ư

S  đi m c c tr  c a hàm s   làố ể ự ị ủ ố

L i gi iờ ả

Ch n Aọ

T  đ  th  c a hàm s   ta có b ng bi n thiênừ ồ ị ủ ố ả ế

Trong đó , ,  và 

Đ t ặ

B ng bi n thiên c a hàm s  ả ế ủ ố

B ng bi n thiên c a hàm s  ả ế ủ ố

D a vào b ng bi n thiên c a hàm s   thì hàm s   có 9 đi m c c tr  ự ả ế ủ ố ố ể ự ị

Mà  nên phương trình  có 10 nghi m đ n.ệ ơ

V y hàm s   có 19 đi m c c tr ậ ố ể ự ị

Ví d  5. ụ Bi t r ng hàm s   xác đ nh, liên t c trên ế ằ ố ị ụ  có đ  th  đồ ị ược cho nh  hìnhư  

v  bên. Tìm s  đi m c c ti u c a hàm s  .ẽ ố ể ự ể ủ ố