Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối và ứng dụng

Mục tiêu nghiên cứu đề tài là giúp các em học sinh lớp 12 tiếp cận một số dạng đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối và một số bài toán liên quan. Đồng thời rèn luyện cho HS kĩ năng giải và trình bày các dạng toán này, góp phần hình thành và phát triển các phẩm chất chủ yếu, năng lực chung và năng lực toán học cho học sinh.

S  GIÁO D C & ĐÀO T O NGH  ANỞ Ụ Ạ Ệ

DANH M C CÁC KÍ HI U, CÁC CH  VI T T TỤ Ệ Ữ Ế Ắ

M C L CỤ Ụ

1.4. C  s  nghiên c u và ph m vi nghiên c u.ơ ở ứ ạ ứ 2

 Ph n II: N i dung sáng ki n kinh nghi m.ầ ộ ế ệ 4

2.1.1. Đ nh nghĩa giá tr  tuy t đ iị ị ệ ố 4

2.2. C  s  th c ti n c a đ  tài. ơ ở ự ễ ủ ề 5

2.3. Các sáng ki n kinh nghi m đã s  d ng đ  gi i quy t v n đ ế ệ ử ụ ể ả ế ấ ề 9

2.3.1. Đ  th  hàm ch a d u giá tr  tuy t đ i.ồ ị ứ ấ ị ệ ố 9

2.3.1.1. Đ  th  hàm ch a d u giá tr  tuy t đ i.ồ ị ứ ấ ị ệ ố 9

2.3.1.2. Nh n d ng đ  th  hàm ch a d u giá tr  tuy t đ i.ậ ạ ồ ị ứ ấ ị ệ ố 17

2.3.2.  ng d ng c a đ  th  hàm s  ch a d u GTTĐ vào bài toánỨ ụ ủ ồ ị ố ứ ấ  

2.4.3. K t qu  th c nghi m s  ph m.ế ả ự ệ ư ạ 49

Ph n III: K t lu n và ki n nghầ ế ậ ế ị 53

PH N I:  M  Đ UẦ Ở Ầ

1.1. Lí do ch n đ  tài.ọ ề

T  năm h c 2016ừ ọ  ­ 2017, trong kì thi THPT QG đ  thi môn toán chuy n tề ể ừ hình th c t  lu n sang hình th c tr c nghi m khách quan. Chính đi u đó đã t oứ ự ậ ứ ắ ệ ề ạ  

ra m t s  chuy n bi n đáng k  trong cách d y và h c   các trộ ự ể ế ể ạ ọ ở ường THPT. Để 

đ t đạ ược k t qu  cao h c sinh c n ph i n m v ng các ki n th c c  b n, thu nế ả ọ ầ ả ắ ữ ế ứ ơ ả ầ  

th c các d ng toán và quan tr ng h n th  n a ph i linh ho t, sáng t o đ  ch nụ ạ ọ ơ ế ữ ả ạ ạ ể ọ  

được cách gi i quy t v n đ  t t nh t.ả ế ấ ề ố ấ

 Trong các đ  thi THPT QG nh ng năm g n đây không th  thi u các câu h iề ữ ầ ể ế ỏ  

v   kh o sát hàm s  và các v n đ  liên quan đ n đ  th  hàm s  Đ c bi t nh ngề ả ố ấ ề ế ồ ị ố ặ ệ ữ  bài toán   m c đ  v n d ng, v n d ng cao thở ứ ộ ậ ụ ậ ụ ường xu t hi n hàm h p, trong sấ ệ ợ ố 

đó nhi u bài toán liên quan đ n hàm s  ch a d u giá tr  tuy t đ i. Nh ng d ngề ế ố ứ ấ ị ệ ố ữ ạ  toán này thường gây khó khăn cho c  ngả ườ ại d y và ngườ ọi h c. Th c ti n d yự ễ ạ  

h c cho th y khi g p bài toán liên quan đ n hàm s  ch a d u GTTĐ h c sinhọ ấ ặ ế ố ứ ấ ọ  

thường e ng i. Nh ng n u h c sinh đạ ư ế ọ ược h c t p đ y đ  có h  th ng, giáo viênọ ậ ầ ủ ệ ố  xây d ng đự ược m t s  d ng bài t p phù h p thì các em s  có kh n năng t t h nộ ố ạ ậ ợ ẽ ả ố ơ  

đ  gi i bài t p toán. Đ ng th i các em th y h ng thú yêu thích môn h c h n,ể ả ậ ồ ờ ấ ứ ọ ơ  góp ph n nâng cao hi u qu  d y và h c   trầ ệ ả ạ ọ ở ường ph  thông.ổ

Trong quá trình gi ng d y ôn thi và làm đ  tôi th y r t nhi u bài toán khóả ạ ề ấ ấ ề  

v  hàm s  ch a d u giá tr  tuy t đ i. B n thân tôi đã rút ra đề ố ứ ấ ị ệ ố ả ược nh ng phữ ươ  ngpháp chung đ  gi i quy t m t s  bài toán liên quan đ n đ  th  hàm s  ch a d uể ả ế ộ ố ế ồ ị ố ứ ấ  giá tr  tuy t đ i. Tôi đã vi t thành SKKN  ị ệ ố ế "Đ  th  hàm s  ch a d u giá trồ ị ố ứ ấ ị tuy t đ i và  ng d ng"ệ ố ứ ụ

       N i dung c a đ  tài nh m rèn luy n cho h c sinh m t s  k  năng gi i bàiộ ủ ề ằ ệ ọ ộ ố ỹ ả  

t p liên quan đ n đ  th  ậ ế ồ ị hàm s  ch a d u giá tr  tuy t đ i. Ngoài ra góp ph nố ứ ấ ị ệ ố ầ  hình thành và phát tri n các ph m ch t ch  y u, năng l c chung và năng l c toánể ẩ ấ ủ ế ự ự  

h c cho h c sinh.ọ ọ

        Các đ  thi THPT QG, đ  tham kh o c a b , đ  thi th  THPTQG c a cácề ề ả ủ ộ ề ử ủ  

t nh, các trỉ ường trong nh ng năm g n đây thì xu t hi n nhi u bài toán liên quanữ ầ ấ ệ ề  

đ n đ  th  hàm s  ch a d u giá tr  tuy t đ i. Đ  tài này cung c p cho h c sinhế ồ ị ố ứ ấ ị ệ ố ề ấ ọ  

m t s  phộ ố ương pháp đ  gi i bài toán liên quan đ n đ  th  hàm s  ch a d u giáể ả ế ồ ị ố ứ ấ  

tr  tuy t đ i và cung c p cho giáo viên thêm m t tài li u tham kh o đ  hị ệ ố ấ ộ ệ ả ể ướ  ng

d n h c sinh gi i quy tẫ ọ ả ế  tr n v n và nhanh g n khi g p bài toán d ng này, gópọ ẹ ọ ặ ạ  

ph n nâng cao k t qu  d y h c, ôn thi THPT QG.ầ ế ả ạ ọ

1.2. M c đích nghiên c u.ụ ứ

 Giúp các em h c sinh l p 12 ti p c n m t s  d ng đ  th  hàm s  ch a d uọ ớ ế ậ ộ ố ạ ồ ị ố ứ ấ  giá tr  tuy t đ i và m t s  bài toán liên quan. Đ ng th i rèn luy n cho HS kĩị ệ ố ộ ố ồ ờ ệ  năng gi i và trình bày các d ng toán này, ả ạ góp ph n hình thành và phát tri n cácầ ể  

ph m ch t ch  y u, năng l c chung và năng l c toán h c cho h c sinh.ẩ ấ ủ ế ự ự ọ ọ

 Cung c p tài li u cho giáo viên và h c sinh nh m nâng cao hi u qu  ôn thiấ ệ ọ ằ ệ ả  THPT QG và ch t lấ ượng d y h c môn toán   trạ ọ ở ường THPT.

1.3. Đ i tố ượng nghiên c u.ứ

Đ i tố ượng nghiên c u c a đ  tài t p trung ch  y u vào ki n th c v  đứ ủ ề ậ ủ ế ế ứ ề ồ 

th  hàm s  ch a d u giá tr  tuy t đ i và phị ố ứ ấ ị ệ ố ương pháp gi i m t s  d ng bài toánả ộ ố ạ  liên quan đ n đ  th  hàm ch a d u giá tr  tuy t đ i.ế ồ ị ứ ấ ị ệ ố

1.4. C  s  nghiên c u và ph m vi nghiên c u.ơ ở ứ ạ ứ

Trong th c ti n gi ng d y v  hàm s  ta hay g p bài toán v  hàm s  ch aự ễ ả ạ ề ố ặ ề ố ứ  

d u giá tr  tuy t đ i. N u ngấ ị ệ ố ế ười giáo viên có th  h  th ng để ệ ố ược ng n g nắ ọ  

nh ng đ y đ  lý thuy t. Đ ng th i xây d ng đư ầ ủ ế ồ ờ ự ược h p lí các phợ ương pháp áp 

d ng lí thuy t đó vào vi c gi i các bài t p đi n hình thì s  giúp h c sinh chụ ế ệ ả ậ ể ẽ ọ ủ 

đ ng, t  tin ti p c n và gi i quy t t t các bài t p d ng này, t  đó kh i d yộ ự ế ậ ả ế ố ậ ạ ừ ơ ậ  

kh n năng v n d ng sáng t o các ki n th c đã h c c a h c sinh vào vi c gi iả ậ ụ ạ ế ứ ọ ủ ọ ệ ả  toán, gây h ng thú, đam mê h c t p cho các em.ứ ọ ậ

Đ  nghiên c  đ  tài này tôi đã nghiên c u các tài li u vi t v  hàm s  vàể ứ ề ứ ệ ế ề ố  

đ  th  hàm s  ch a d u giá tr  tuy t đ i cũng nh  các d ng toán liên quanồ ị ố ứ ấ ị ệ ố ư ạ  

thường xu t hi n trong các đ  thi THPT QG, đ  minh h a c a b , đ  thi thấ ệ ề ề ọ ủ ộ ề ử 

c a các trủ ường. Có r t nhi u v n đ  liên quan đ n hàm s  ch a d u giá trấ ề ấ ề ế ố ứ ấ ị tuy t đ i tuy nhiên trong gi i h n c a đ  tài tôi ch  t p trung nghiên c u v  m tệ ố ớ ạ ủ ề ỉ ậ ứ ề ộ  

s  d ng liên quan đ n đ  th  hàm s  ch a d u giá tr  tuy t đ i và  ng d ng c aố ạ ế ồ ị ố ứ ấ ị ệ ố ứ ụ ủ  nó

1.5. Phương pháp nghiên c u: ứ

Trong quá trình nghiên c u đ  tài tôi đã s  d ng  các phứ ề ử ụ ương pháp sau:

 Phương pháp nghiên c u lý thuy t.ứ ế

 Phương pháp nghiên c u th c ti n.ứ ự ễ

 Phương pháp th ng kê toán h c.ố ọ

Trên c  s  phân tích kĩ chơ ở ương trình c a B  giáo d c và Đào t o, phânủ ộ ụ ạ  tích kĩ đ i tố ượng h c sinh. Bọ ước đ u m nh d n thay đ i t ng ti t h c, sau m iầ ạ ạ ổ ừ ế ọ ỗ  

n i dung đ u rút kinh nghi m v  k t qu  thu độ ề ệ ề ế ả ược và đi đ n k t lu n.ế ế ậ

L a ch n các bài t p phù h p t  d  đ n khó,ự ọ ậ ợ ừ ễ ế  v n d ng ho t đ ng năngậ ụ ạ ộ  

l c t  duy và k  năng v n d ng ki n th c c a h c sinh đ  t  đó đ a ra l i gi iự ư ỹ ậ ụ ế ứ ủ ọ ể ừ ư ờ ả  đúng cho bài toán

1.6. Đi m m i c a đ  tài.ể ớ ủ ề

Trong nhi u đ  thi nh ng năm g n đây thì nh ng bài toán liên quan đ nề ề ữ ầ ữ ế  hàm h p đ c bi t là hàm s  ch a d u giá tr  tuy t đ i xu t hi n khá nhi u. V nợ ặ ệ ố ứ ấ ị ệ ố ấ ệ ề ấ  

đ  này đã gây không ít khó khăn cho giáo viên và h c sinh trong quá trình gi ngề ọ ả  

d y và h c t p. Sáng ki n kinh nghi m  ạ ọ ậ ế ệ "Đ  th  hàm s  ch a d u giá trồ ị ố ứ ấ ị 

tuy t đ i và  ng d ng"ệ ố ứ ụ  b t k p xu th  đ i m i hình th c ra đ , thi c , đ i m iắ ị ế ổ ớ ứ ề ử ổ ớ  

ho t đ ng d y h c trong nh ng năm g n đây, t o thêm ngu n tài li u cho giáoạ ộ ạ ọ ữ ầ ạ ồ ệ  viên và h c sinh tham kh o. Đ  tài c a tôi đã cung c p đọ ả ề ủ ấ ược h  th ng ki n th cệ ố ế ứ  

lý thuy t và phế ương pháp c  th  cho các d ng toán đụ ể ạ ược nêu ra. Đ ng th i c pồ ờ ậ  

nh t đậ ược các bài t p m i nh t trong đ  thi THPT QG, đ  minh h a c a b  vàậ ớ ấ ề ề ọ ủ ộ  trong các đ  thi th  THPT QG c a nhi u t nh thành trong c  nề ử ủ ề ỉ ả ước. Qua đó HS 

th y đấ ượ ự ầc s  c n thi t ph i h c t p chuyên đ  này.ế ả ọ ậ ề

Trong th c ti n gi ng d y c a b n thân tôi đã áp d ng đ  tài c a mình vàoự ễ ả ạ ủ ả ụ ề ủ  

gi ng d y và đã thu đả ạ ược k t qu  r t kh  quan, h u h t các em sau đó đã r tế ả ấ ả ầ ế ấ  

ch  đ ng và h ng thú khi ti p c n v i nh ng bài toán liên quan hàm s  ch aủ ộ ứ ế ậ ớ ữ ố ứ  

d u giá tr  tuy t đ i. T  đó phát huy tính tích c c, t  duy sáng t o c a mìnhấ ị ệ ố ừ ự ư ạ ủ  trong h c t p.ọ ậ

Đ  tài có th  làm tài li u tham kh o cho giáo viên và h c sinh trong b iề ể ệ ả ọ ồ  

dưỡng HSG, ôn thi THPT qu c gia cho HS khá gi i, ôn thi GVG trố ỏ ường

PH N II: N I DUNG SÁNG KI N KINH NGHI MẦ Ộ Ế Ệ

2.1. C  s  lý lu n c a đ  tài.ơ ở ậ ủ ề

2.1.1. Đ nh nghĩa  giá tr  tuy t đ i.ị ị ệ ố

 Giá tr  tuy t đ i c a m t s  th c A, ký hi ulà:ị ệ ố ủ ộ ố ự ệ

 M  r ng khái ni m này thành giá tr  tuy t đ i c a m t bi u th c Aở ộ(x) ệ ị ệ ố ủ ộ ể ứ , kí hi uệ  

 là:

2.1.2. Các phép bi n đ i đ n gi n.ế ổ ơ ả

 Hai đi m và  đ i x ng v i nhau qua tr c hoành .ể ố ứ ớ ụ

 Hai đi m  và  đ i x ng v i nhau qua tr c tung .ể ố ứ ớ ụ

 Hai đi m  và  đ i x ng v i nhau qua g c to  đ  ể ố ứ ớ ố ạ ộ O .

T  các phép bi n đ i đ n gi n này ta có:ừ ế ổ ơ ả

2.1.3 Các phép bi n đ i đ  th ế ổ ồ ị

L y đ i x ng đ  th    qua tr c ấ ố ứ ồ ị ụ Oy

L y đ i x ng đ  th   qua tr c ấ ố ứ ồ ị ụ Ox

L y đ i x ng đ  th   qua g c t a đ  .ấ ố ứ ồ ị ố ọ ộ

 v i ớ T nh ti n đ  th  hàm s  theo (D ch chuy n đ  th  theoị ế ồ ị ố ị ể ồ ị  

phương  lên trên 

 đ n v ).ơ ị

 v i ớ T nh ti n đ  th  hàm s  theo (D ch chuy n đ  th  theoị ế ồ ị ố ị ể ồ ị  

phương xu ng dố ưới  đ n v ).ơ ị

 v i ớ T nh ti n đ  th  hàm s  theo (D ch chuy n đ  th  theoị ế ồ ị ố ị ể ồ ị  

phương sang trái  đ n v ).ơ ị

 v i ớ T nh ti n đ  th  hàm s  theo (D ch chuy n đ  th  theoị ế ồ ị ố ị ể ồ ị  

phương sang ph i  đ n v ).ả ơ ị

Đ  th  g m 2 ph n:ồ ị ồ ầ+ Ph n 1: Ph n đ  th  c a hàm s   phía bên ph i.ầ ầ ồ ị ủ ố ả+ Ph n 2: L y đ i x ng qua tr c ph n đ  th  c aầ ấ ố ứ ụ ầ ồ ị ủ  hàm s   phía bên ph i .ố ả

Đ  th  g m 2 ph n:ồ ị ồ ầ+ Ph n 1: Ph n đ  th  c a hàm s   phía trên .ầ ầ ồ ị ủ ố+ Ph n 2: L y đ i x ng qua tr cph n đ  th  c a hàmầ ấ ố ứ ụ ầ ồ ị ủ  

s  phía dố ưới 

Th c hi n liên ti p bi n đ i đ  th   thành đ  th  , sauự ệ ế ế ổ ồ ị ồ ị  

đó bi n đ i đ  th   thành đ  th  .ế ổ ồ ị ồ ị

 v i ớ

Đ  th  g m 2 ph n:ồ ị ồ ầ+ Ph n 1: Ph n đ  th  c a hàm s   trên mi n.ầ ầ ồ ị ủ ố ề+ Ph n 2: L y đ i x ng qua tr c  ầ ấ ố ứ ụ

 ph n đ  th  c aầ ồ ị ủ  hàm s   trên mi n .ố ề

V   trẽ ước sau đó t nh ti n đ  th  hàm s  theo .ị ế ồ ị ố

T nh ti n đ  th  hàm s  theo (T nh ti n đ  th  sang tráiị ế ồ ị ố ị ế ồ ị  

đ n v  n u ơ ị ế

 ho c ph i  đ n v  n u ), sau đó l y đ iặ ả ơ ị ế ấ ố  

x ng qua tr c (Gi  nguyên ph n trên ,b  ph n dứ ụ ữ ầ ỏ ầ ướ  i ,

l y đ i x ng ph n b  b  qua tr c ). ấ ố ứ ầ ị ỏ ụ

T nh ti n đ  th  hàm s  theo (T nh ti n đ  th  sang tráiị ế ồ ị ố ị ế ồ ị  

đ n v  n u ho c sang ph i  đ n v  n u ), sau đó l yơ ị ế ặ ả ơ ị ế ấ  

đ i x ng qua tr c (Gi  nguyên ph n bên ph i , bố ứ ụ ữ ầ ả ỏ 

ph n bên trái , l y đ i x ng ph n gi  nguyên quaầ ấ ố ứ ầ ữ  

tr c ).ụ

V   trẽ ước sau đó t nh ti n đ  th  hàm s  theo (T nhị ế ồ ị ố ị  

ti n sang trái  đ n v  n u ho c ph i  đ n v  n u )ế ơ ị ế ặ ả ơ ị ế  

H  qu  1ệ ả  Đ  th  hàm s  ch n nh n tr c tung làm tr c đ i x ng.ồ ị ố ẵ ậ ụ ụ ố ứ

H  qu  2ệ ả  Đ  th  hàm s  l  nh n g c t a đ   làm tâm đ i x ng.ồ ị ố ẻ ậ ố ọ ộ ố ứ

2.2. C  s  th c ti n và th c tr ng v n đ  nghiên c u.ơ ở ự ễ ự ạ ấ ề ứ

Qua s  li u mà tôi đã thu th p đ c khi đi sâu kh o sát đi u tra   các tr ngố ệ ậ ượ ả ề ở ườ  THPT Thanh ch ng 1, THPT Thanh ch ng 3, THPT Cát Ng n v i 26 giáo viên vàươ ươ ạ ớ  

250 em h c sinh đ c kh o sát b ng phi u thăm dò ọ ượ ả ằ ế (Phi u thăm dò   ph  l c 1 ế ở ụ ụ )

 K t qu  nh n đ ế ả ậ ượ ừ c t  phi u tham kh o ý ki n giáo 26 giáo viên ế ả ế

Câu h i kh o sát ỏ ả S  GV ch n ph ố ọ ươ ng án  

đ a ra. ư T ng h p k  qu ổ ợ ế ả

1. Trong quá trình d y h c th y / ạ ọ ầ  

cô có g p khó khăn khi d y ki n ặ ạ ế  

3.Th y / cô đã tham kh o đ c ầ ả ượ  

nhi u tài li u hay v  ki n th c ề ệ ề ế ứ  

hàm s  ch a d u giá tr  tuy t đ i ố ứ ấ ị ệ ố  

và  ng d ng ? ứ ụ

A. R t nhi u ấ ề 3 (11,5%) Ít giáo viên đã tham kh o đ ả ượ   c

các   tài   li u   tham   kh o   hay   v ệ ả ề 

 K t qu  nh n đ ế ả ậ ượ ừ c t  phi u tham kh o ý ki n c a 250 h c sinh ế ả ế ủ ọ

Câu h i kh o sát ỏ ả S  HS l a ch n ố ự ọ  

ph ươ ng án đ a ra. ư T ng h p k t qu ổ ợ ế ả

1.Khi   g p   các   bài   toán   liên ặ  

C.Bình th ườ ng 38 (15,2%)

D. Không thích 190 (76%) 4.Trong nh ng năm g n đây ữ ầ  

bài toán v  hàm s  ch a d u ề ố ứ ấ  

giá   tr   tuy t   đ i   xu t   hi n ị ệ ố ấ ệ  

nhi u   trong   các   đ   thi ề ề  

THPTQG,   thi   th   c a   các ử ủ  

tr ườ ng em có mu n đ ố ượ c rèn  

luy n nhi u v  n i dung này ệ ề ề ộ

A. Có  216 (86,4%) H u h t các em mong mu n đ ầ ế ố ượ   c

v n d ng cao.ậ ụ

Khi g p các bài toán v  v n đ  trên, h u nh  h c sinh khá e ng i khi khôngặ ề ấ ề ầ ư ọ ạ  

n m đắ ược phương pháp gi i toán. M t s  h c sinh do năng l c t  duy h n chả ộ ố ọ ự ư ạ ế 

h n n a l i ch a đơ ữ ạ ư ược rèn luy n nhi u v  phệ ề ề ương pháp gi i nh ng d ng toánả ữ ạ  này. Các em không h ng thú khi gi i nh ng bài toán đ n hàm s  ch a d u giá trứ ả ữ ế ố ứ ấ ị tuy t đ i.ệ ố

 V  phía giáo viên.ề

Nhi u giáo viên g p khó khăn trong quá trình gi ng d y ki n th c liên quanề ặ ả ạ ế ứ  

đ n  hàm s  ch a d u giá tr  tuy t đ i và  ng d ng. Nhi u giáo viên ch a dànhế ố ứ ấ ị ệ ố ứ ụ ề ư  

th i gian d y cho h c sinh c a mình m t cách đ y đ  có h  th ng các ki n th cờ ạ ọ ủ ộ ầ ủ ệ ố ế ứ  

v  hàm s  ch a d u giá tr  tuy t đ i.Đa s  các th y cô ch a tham kh o đề ố ứ ấ ị ệ ố ố ầ ư ả ượ  ccác tài li u hay đ  c p đ n v n đ  này.ệ ề ậ ế ấ ề

M t   th c  t   n a  là  trong  các   kì   thi   THPTQG,   đ   minh  h a  c a   Bộ ự ế ữ ề ọ ủ ộ GD&ĐT,đ  thi th  c a các t nh, các trề ử ủ ỉ ường thì bài toán v  “Hàm s  ch a d uề ố ứ ấ  giá tr  tuy t đ i và  ng d ng” xu t hi n khá nhi u. Ví d  nh : ị ệ ố ứ ụ ấ ệ ề ụ ư

Đ  thi minh h a THPT QG c a B  GD&ĐT năm 2018 có câu:ề ọ ủ ộ

Có bao nhiêu giá tr  nguyên c a tham s  m đ  hàm s   có 7 đi m c c tr ?ị ủ ố ể ố ể ự ị

Đ  Thi chính th c THPT QG năm h c 2018 – 2019 có câu:ề ứ ọ

Cho hàm s  b c ba có đ  th  nh  hình v  bên.ố ậ ồ ị ư ẽ

S  nghi m th c c a phố ệ ự ủ ương trình là:

        Đ  Thi THPT QG năm h c 2019­2020 ề ọ (Mã 101 – L n 2)ầ  có câu:

Cho hàm s   có  Bi t  là hàm s  b c b n và có đ  th  là đố ế ố ậ ố ồ ị ường cong trong hình bên. S  đi m c c tr  c a hàm s   làố ể ự ị ủ ố

A. .  B.  C.  D

Đ  thi th   c a trề ử ủ ường THPT Qu  Võ – B c Ninh 2021 có câu:ế ắ

Cho hàm s   có đ o hàm . S  đi m c c tr  c a hàm s   làố ạ ố ể ự ị ủ ố

Đ  gi i để ả ược nh ng bài toán v  hàm s  ch a d u giá tr  tuy t đ i đòi h iữ ề ố ứ ấ ị ệ ố ỏ  

h c sinh ph i đọ ả ược cung c p h  th ng lí thuy t và phấ ệ ố ế ương pháp c  th  Đ ngụ ể ồ  

th i hờ ướng d n HS bi t v n d ng linh ho t, sáng t o vào gi i quy t các bàiẫ ế ậ ụ ạ ạ ả ế  toán. 

Chính nh ng đi u đó đã thôi thúc tôi nghiên c u và áp d ng n i dung chữ ề ứ ụ ộ ủ 

đ  d y h c này trong năm h c 2020 – 2021 đ  góp ph n nâng cao ch t lề ạ ọ ọ ể ầ ấ ượ  ng

d y h c,ạ ọ  ôn thi THPTQG

2.3. Các sáng ki n kinh nghi m đã s  d ng đ  gi i quy t v n đ ế ệ ử ụ ể ả ế ấ ề

2.3.1. Đ  th  hàm s  ch a d u giá tr  tuy t đ i.ồ ị ố ứ ấ ị ệ ố

2.3.1.1 Đ  th  hàm s  ch a d u giá tr  tuy t đ i.ồ ị ố ứ ấ ị ệ ố

Đ   v   đ  th  c a hàm s  ch a d u GTTĐ ta th c hi n các bể ẽ ồ ị ủ ố ứ ấ ự ệ ước nh  sau:ư

B ướ c 1: Xét d u các bi u th c ch a bên trong d u giá tr  tuy t đ i.ấ ể ứ ứ ấ ị ệ ố

B ướ c 2: S  d ng đ nh nghĩa GTTĐ đ  kh  d u GTTĐ.Phân tích hàm đã choử ụ ị ể ử ấ  thành các ph n không ch a d u GTTĐ (D ng hàm cho b i nhi u công th c).ầ ứ ấ ạ ở ề ứ

+ L y đ i x ng ph n đ  th   n m bên ph i tr c tung qua tr c tung.ấ ố ứ ầ ồ ị ằ ả ụ ụ

+ Ph n ĐTHS n m bên ph i (c  nh ng đi m n m trên). ầ ằ ả ả ữ ể ằ

+ Ph n đ i x ng v i ph n  ĐTHS n m bên ph i ầ ố ứ ớ ầ ằ ả

 qua .Khi đó, ta được đ  th  nh  hình v :ồ ị ư ẽ

B ướ c 2: 

+ Gi  nguyên ph n đ  th  n m trên mi n . ữ ầ ồ ị ằ ề

+ L y đ i x ng v i ph n đ  th  n m trên mi n qua tr c hoành.ấ ố ứ ớ ầ ồ ị ằ ề ụ

T nh ti n đ  th  theo  (ị ế ồ ị T nhị  

ti n   đ   th     theo   phế ồ ị ươ  ngqua ph i  đ n vả ơ ị)

* Cách v  đ  th  hàm s : ,, , ẽ ồ ị ố

V   trẽ ước, sau đó t nh ti n đ  th  theo (Theo  phị ế ồ ị ương Oy lên trên 

m đ n v  n u  ơ ị ế

 ho c xu ng dặ ố ướ m đ n v  n u .i   ơ ị ế

T nh ti n đ  th  theo (Theo phị ế ồ ị ương sang trái  đ n v  n u ơ ị ế

 ho cặ  sang ph i  đ n v  n u ),  sau đó l y đ i x ng  qua tr c hoành.ả ơ ị ế ấ ố ứ ụ  (Gi  nguyên ph n trên, b  ph n dữ ầ ỏ ầ ướ ấi, l y đ i x ng ph n b  bố ứ ầ ị ỏ qua tr c ).ụ

T nh ti n đ  th  theo (T nh ti n đ  th  theo phị ế ồ ị ị ế ồ ị ương qua trái  đ nơ  

v  n u ho c sang ph i  đ n v  n u ), sau đó l y đ i x ng quaị ế ặ ả ơ ị ế ấ ố ứ  

đường th ng ( Gi  nguyên ph n bên ph i đẳ ữ ầ ả ường th ng , bẳ ỏ 

ph n bên trái đầ ường th ng , l y đ i x ng ph n gi  nguyên quaẳ ấ ố ứ ầ ữ  

đường th ng ).ẳ

V   trẽ ước, sau đó t nh ti n đ  th  theo (T nh ti n theo phị ế ồ ị ị ế ươ  ng

lên trên  đ n v  n u ơ ị ế

 ho c xu ng dặ ố ưới   đ n v  n u .ơ ị ế

Ví d  5:ụ Cho hàm s   có đ  th  là đố ồ ị ường cong nh  trong hình v ư ẽ

Đ  th  hàm s   đồ ị ố ược suy ra t  đ  th  hàm s   b ng cách giừ ồ ị ố ằ ữ

nguyên ph n đ  th  trên tr c hoành; l y đ i x ng qua tr c  ph n đ  th  n mầ ồ ị ụ ấ ố ứ ụ ầ ồ ị ằ  

dướ ụi tr c hoành

Đ  th  hàm s   là t nh ti n đ  th  hàm s  lên trên theo phồ ị ố ị ế ồ ị ố ương  1 đ n v ơ ị

Đ  th  hàm s   đồ ị ố ược suy ra t  đ  th  hàm s   b ng cách t nh ti n đ  th  qua tráiừ ồ ị ố ằ ị ế ồ ị  

2 đ n v ơ ị

Đ  th  hàm s   đồ ị ố ược suy ra t  đ  th  hàm s b ng cáchừ ồ ị ố ằ

Gi  nguyên ph n bên ph i đữ ầ ả ường th ng , b  ph n bên trái đẳ ỏ ầ ường th ng , l yẳ ấ  

đ i x ng ph n gi  nguyên qua đố ứ ầ ữ ường th ng .ẳ

x y

Đ  th  hàm s   đồ ị ố ược suy ra t  đ  th  hàm s   b ng cách gi  nguyên ph n đừ ồ ị ố ằ ữ ầ ồ 

th  trên tr c hoành. L y đ i x ng qua tr c  ph n đ  th  n m dị ụ ấ ố ứ ụ ầ ồ ị ằ ướ ụi tr c hoành

x y

­4

x y

O 1

­2 O 2

V  đ  th  hàm s  .ẽ ồ ị ố

Hướng d n gi i:ẫ ả

Đ  th  hàm s   đồ ị ố ược suy ra t  đ  th  hàm s   b ng cách gi  nguyên ph n đừ ồ ị ố ằ ữ ầ ồ 

th  bên ph i tr c tung, b  ph n bên trái tr c tung. Sau đó l y đ i x ng ph nị ả ụ ỏ ầ ụ ấ ố ứ ầ  bên ph i tr c tung qua tr c tung.ả ụ ụ

2.3.1.2 Nh n d ng đ  th  hàm s  ch a d u giá tr  tuy t đ i.ậ ạ ồ ị ố ứ ấ ị ệ ố

Ví d  1: (THPTNguy n Khuy nTPHCM 2020) ụ ễ ế Cho hàm s  có đ  th  nh  ố ồ ị ưhình 1. Đ  th  hình 2 là c a hàm s  nào trong các đáp án dồ ị ủ ố ưới đây? 

xóa b  ph n bên dỏ ầ ướ ụi tr c hoành. Đây chính là đ  th  hàm s  .ồ ị ố

x y

x y

y

x y

      Hình 1      Hình 2       Hình 3      Hình 4

A. Hình 1      B. Hình 2        C. Hình 3      D. Hình 4

Hướng d n gi i:ẫ ả

. Đ  th  g m 2 ph n:ồ ị ồ ầ

+) Gi  nguyên ph n đ  th  đã cho  ng v i .ữ ầ ồ ị ứ ớ

+) L y đ i x ng ph n đ  th  đã cho  ng v i  qua tr c ấ ố ứ ầ ồ ị ứ ớ ụ

 Đ nh nghĩa c c đ i, c c ti u c a hàm s :ị ự ạ ự ể ủ ố

Cho hàm s xác đ nh và liên t c trên kho ng   và đi m . ố ị ụ ả ể

a)  đ t CĐ t i .ạ ạ

b)  đ t CT t i .ạ ạ

Đ nh lí 2:ị  Gi  s  có đ o hàm c p hai trong .ả ử ạ ấ

a) N u , thì  là đi m c c ti u.ế ể ự ể

4) D a vào d u c a  suy ra tính ch t c c tr  c a .ự ấ ủ ấ ự ị ủ

Nh n xét:ậ  Hàm s  có th  đ t c c tr  t i nh ng đi m mà t i đó đ o hàm khôngố ể ạ ự ị ạ ữ ể ạ ạ  xác đ nh.ị

Do đó, đ  th  ồ ị ( )C :y = f x( )

 bao g m:ồ+ Ph n đ  th  ầ ồ ị ( )C y: = f x( )

n m phía trên tr c hoành (c  nh ng đi m n m trênằ ụ ả ữ ể ằ  

tr c hoành). ụ

+  Ph n đ i x ng v i ph n đ  th  n m phía dầ ố ứ ớ ầ ồ ị ằ ướ ụi tr c hoành qua tr c hoành.ụ

N u hàm s    có s  c c tr  không n m trên tr c hoành là m, s  giao đi m c a đế ố ố ự ị ằ ụ ố ể ủ ồ 

th  hàm s  v i tr c hoành là n. Khi l y đ i x ngị ố ớ ụ ấ ố ứ ph n đ  th  n m phía dầ ồ ị ằ ướ ụ  i tr choành qua tr c hoành thì t o thêm nh ng đi m c c tr  m i t i giao đi m v i .ụ ạ ữ ể ự ị ớ ạ ể ớ  

V y n u  th  hàm s    có s  c c tr  dậ ế ị ố ố ự ị ương là thì hàm s   l y đ i x ng ph n đố ấ ố ứ ầ ồ 

th  hàm s  bên ph i tr c tung qua tr c tung ta đị ố ả ụ ụ ược   c c tr , c ng thêm giaoự ị ộ  

đi m c a đ  th  hàm s   v i tr c tung n a ta để ủ ồ ị ố ớ ụ ữ ượ ổc t ng c ng là ộ

 c c tr  .ự ị

2. Các ví d  minh h a.ụ ọ

 Phương pháp tìm s  c c tr  c a hàm s   .ố ự ị ủ ố

B ướ c 1: Tìm s  c c tr  c a hàm s  là .ố ự ị ủ ố

B ướ c 2: Tìm s  giao đi m v i tr c hoành là .ố ể ớ ụ

B ướ c 3: K t lu n s  c c tr  c a hàm s    là .ế ậ ố ự ị ủ ố

Ví d  1. ụ Tìm s  c c tr  c a hàm s bi t hàm s   có đ  th  nh  hình v  bên. ố ự ị ủ ố ế ố ồ ị ư ẽ

Hướng d n gi i:ẫ ả

S  c c tr  không n m trên tr c hoành c a hàm s  làố ự ị ằ ụ ủ ố  

Tìm s  giao đi m c t c a đ  th  hàm  v i tr c hoành làố ể ắ ủ ồ ị ớ ụ  

V y s  c c tr  c a  là .ậ ố ự ị ủ

Nh n xét : ậ Đây là d ng toán tìm s  c c tr  c a hàm s  .ạ ố ự ị ủ ố

Ví d  2: (Trích đ  tham kh o B  GD&ĐT 2018)ụ ề ả ộ  Có bao nhiêu giá tr  nguyênị  

Do hàm s   có ba đi m c c tr  không n m trên  nên hàm s   cóố ể ự ị ằ ố

4  đi m c c tr  khi phể ự ị ương trình  có 4 nghi m V y có  giá tr  nguyên th a đ  bàiệ ậ ị ỏ ề  

là 

 Ch n C.ọ

Nh n xét : ậ Đây là d ng toán liên quan đ n s  c c tr  c a hàm s  ạ ế ố ự ị ủ ố y f x= ( )

. Ta 

v n d ng phậ ụ ương pháp tìm s  s  c c tr  c a hàm s  ố ố ự ị ủ ố y f x= ( )

 đ  gi i.ể ả

Ví d  3: (Thi th  THPT Lụ ử ương Th  Vinh – Hà N i – 2021)ế ộ

Cho hàm b c ba  có đ  th  nh  hình v  Hàm s   có bao nhiêu đi m c c tr  trên ậ ồ ị ư ẽ ố ể ự ị

đo n .ạ

Hướng d n gi i:ẫ ả

Xét hàm s   . ố

Phương trình  cho m t nghi m  thu c đo n .ộ ệ ộ ạ

Phương trình  cho  nghi m thu c đo n .   ệ ộ ạ

Nh n xét: ậ Trong bài toán trên thì đ  tìm để ược s  c c tr  c a hàm s  đòi h iố ự ị ủ ố ỏ  

ph i tìm đả ượ ố ực s  c c tr  c a hàm s  và s  giao đi m c a ĐTHS v i tr c hoành.ị ủ ố ố ể ủ ớ ụ  Bài toán đòi h i HS n m v ng phỏ ắ ữ ương pháp s  linh ho t trong quá trình gi i.ự ạ ả

Ví d  4:ụ  (Thi th  Chuyên Đh Vinh ­ 2018) ử Cho hàm s   có đ o hàm  v i m i .ố ạ ớ ọ  Hàm s   có nhi u nh t bao nhiêu đi m c c tr ?ố ề ấ ể ự ị

Hướng d n gi i:ẫ ả

Ta có có   nghi m và đ i d u   l n nên hàm s    có   c c tr  Suy ra   có t i đaệ ổ ấ ầ ố ự ị ố  nghi m phân bi t.ệ ệ

Do đó  có t i đa  c c tr  S  c c tr  c a hàm s   b ng s  c c tr  c a hàm s  V yố ự ị ố ự ị ủ ố ằ ố ự ị ủ ố ậ  hàm s  ố

 có t i đa  c c tr ố ự ị

Nh n xét: ậ Đây là d ng toán liên quan đ n phép t nh ti n đ  th , đ  th  hàm sạ ế ị ế ồ ị ồ ị ố 

và s  c c tr  c a hàm s  Đ   gi i đố ự ị ủ ố ể ả ược bài toán này thì ngoài vi c n m đệ ắ ượ  c

phương pháp tìm c c tr  thì HS c n n m đự ị ầ ắ ược các phép bi n đ i đ  th ế ổ ồ ị

B ng bi n thiênả ế

        0      

        +      0      0       +

      +       0

       0      0       0       

D a vào BBT ta th y hàm s   có 5 đi m c c tr  ự ấ ố ể ự ị Ch n A.ọ

Nh n xétậ : Đây là bài toán tìm s  c c tr  c a hàm s  . Nh ng vi c l p đố ự ị ủ ố ư ệ ậ ượ  c

b ng bi n thiên c a khá ph c t p đòi h i h c sinh linh ho t và sáng t o trongả ế ủ ứ ạ ỏ ọ ạ ạ  

vi c gi i toán.ệ ả

 Phương pháp tìm s  c c tr  c a hàm s ố ự ị ủ ố

B ướ c 1: Tìm s  c c tr   dố ự ị ương c a hàm s   là .ủ ố

B ướ c 2:K t lu n s  c c tr  c a  là ế ậ ố ự ị ủ

Ví d  1: ụ Cho hàm s  ố  có b ng bi n thiên sau:ả ế

Ví d  3: (THPT Kinh Môn H i Dụ ả ương l n 2­ 2021)ầ

Cho hàm s  . Đ  th  c a hàm s   nh  hình dố ồ ị ủ ố ư ưới. 

Hàm s  có bao nhiêu đi m c c tr ?ố ể ự ị

Hướng d n gi i:ẫ ả

T  đ  th  hàm s   ta th y đ  th  hàm s   c t tr c hoành t i 2 đi m có hoành đ  ừ ồ ị ố ấ ồ ị ố ắ ụ ạ ể ộ

dương (và 1 đi m có hoành đ  âm) ể ộ  Hàm s   có 2 đi m c c tr  có hoành đ  ố ể ự ị ộ

dương

Hàm s   là hàm ch n ố ẵ Đ  th  hàm s  g m hai ph n:ồ ị ố ồ ầ

Ph n n m bên ph i tr c ầ ằ ả ụ Oy c a đ  th  hàm s   và ph n đ i x ng v i ph n này ủ ồ ị ố ầ ố ứ ớ ầqua tr c ụ Oy

Nh n xét:ậ  Đây là bài toán k t h p phép t nh ti n đ  th  và bài toán tìm c c trế ợ ị ế ồ ị ự ị 

c a hàm tuy nhiên bài toán ch  cho đ  th  c a hàm s  nên vi c phát hi n s  c củ ỉ ồ ị ủ ố ệ ệ ố ự  

tr  dị ương c a đ  th  hàm s  đòi h i ph i linh ho t khi quan sát đ  th  c a hàmủ ồ ị ố ỏ ả ạ ồ ị ủ  

Hàm s   có 5 đi m c c tr  khi chi khi hàm s   có hai c c tr  dố ể ự ị ố ự ị ương.

Nh n xét:ậ  S  d ng phử ụ ương pháp tìm c c tr  c a đ  th  hàm s  bài toán đ a vự ị ủ ồ ị ố ư ề tìm m đ  hàm s  có 2 c c tr  dể ố ự ị ương s  tr  nên đ n gi n h n.ẽ ở ơ ả ơ

Ví d  6:ụ  (Thi th  THPT Minh Khai 2019) ử Cho hàm s  Cho hàm s  liên t cố ố ụ  trên  và hàm s  . Bi t đ  th  hàm s  nh  hình v ố ế ồ ị ố ư ẽ

S  đi m c c tr  c a hàm s  là:ố ể ự ị ủ ố

Hướng d n gi i:ẫ ả

Ch n Aọ

Nh n xét:ậ  H c sinh d  dàng nh n ra d u hi u ban đ u c a bài toán là tìm c cọ ễ ậ ấ ệ ầ ủ ự  

tr  c a hàm ị ủ  Tuy nhiên vi c l p đệ ậ ược BBT c a hàm s  đòi h i h c sinh ph iủ ố ỏ ọ ả  tìm đượ ực c c tr  c a hàm s  d a vào đ  th  hàm s  .ị ủ ố ự ồ ị ố

Ví d  7: (HSG 12 ­ S  GD&ĐT Qu ng Nam 2019) ụ ở ả Cho hàm s   có đ o hàmố ạ  trên , đ  th  hàm s   là đồ ị ố ường cong   hình v  H i hàm s   có bao nhiêu đi mở ẽ ỏ ố ể  

Do đó, ta có b ng bi n thiên:ả ế

Nh  v y đ  th  c a hàm s   có 2 đi m c c tr  đ u n m bên ph i tr c tung.ư ậ ồ ị ủ ố ể ự ị ề ằ ả ụ

Ta phác h a đ  th  nh  sau:ọ ồ ị ư

x y

T  đó suy ra đ  th   nh  hình bên dừ ồ ị ư ưới

–  Gi  s  ham sôco đô thi va ham sôthi la .ả ử ̀ ́ ́ ̀ ̣ ̀ ̀ ́ ̣ ̀

– Khi đo hoanh đô giao điêm cua (Ć ̀ ̣ ̉ ̉ 1) va (C̀ 2) la nghiêm cua ph̀ ̣ ̉ ương trinh hoanh̀ ̀

đô giao điêm: .̣ ̉

– Gi  s  nghiêm cua phả ử ̣ ̉ ương trinh thi giao điêm cua  va la:̀ ̀ ̉ ̉ ̀ ̀

 Bài toán bi n lu n s  nghi m ph ệ ậ ố ệ ươ ng trình đ n gi n ơ ả

Xét  phương trình: 

– Bi n đ i (1) v  d ng: (2)ế ổ ề ạ

– Khi đó (2) có th  xem là phể ương trình hoành đ  giao đi m c a 2 đ  th : vàộ ể ủ ồ ị  (trong đó thường là hàm s  đã đố ược kh o sát và v  đ  th , (d) là đả ẽ ồ ị ường th ngẳ  cùng phương v i tr c hoành).ớ ụ

– D a vào đ  th  (C), t  s  giao đi m c a (C) và (d) ta suy ra s  nghi m c a (2),ự ồ ị ừ ố ể ủ ố ệ ủ  cũng là s  nghi m c a (1).ố ệ ủ

 Bi n lu n s  nghi m ph ệ ậ ố ệ ươ ng trình (1).

Cách 1: 

–  T  đ  th  hàm s   suy ra đ  th  hàm s  .ừ ồ ị ố ồ ị ố

–  Khi đó (1) có th  xem là phể ương trình hoành đ  giao đi m c a 2 đ  th :,.ộ ể ủ ồ ị

– D a vào đ  th  , t  s  giao đi m c a và ta suy ra s  nghi m c a (1).ự ồ ị ừ ố ể ủ ố ệ ủ

Cách 2: 

– Bi n đ i :ế ổ

– Khi đó (2) có th  xem là phể ương trình hoành đ  giao đi m c a  đ  th : và 2ộ ể ủ ồ ị  

đường th ngẳ

– D a vào đ  th  , t  s  giao đi m c a  và  , suy ra s  nghi m ự ồ ị ừ ố ể ủ ố ệ

c a (2) cũng là s  nghi m c a (1).ủ ố ệ ủ

 Bi n lu n s  nghi m ph ệ ậ ố ệ ươ ng trình

– T  đ  th  hàm s   suy ra đ  th  hàm s  .ừ ồ ị ố ồ ị ố

–  Khi đó (3) có th  xem là pt hoành đ  giao đi m c a 2 đ  th : và ể ộ ể ủ ồ ị

– D a vào đ  th  , t  s  giao đi m c avà ta suy ra s  nghi m c a (3).ự ồ ị ừ ố ể ủ ố ệ ủ

 Bi n lu n s  nghi m phệ ậ ố ệ ương trình (4)

–  T  đ  th  hàm s   suy ra đ  th  hàm s  .ừ ồ ị ố ồ ị ố

–  Khi đó (3) có th  xem là phể ương trình hoành đ  giao đi m c a 2 đ  th :  và ộ ể ủ ồ ị

– D a vào đ  th  , t  s  giao đi m c a  và ta suy ra s  nghi m c a (4).ự ồ ị ừ ố ể ủ ố ệ ủ

2. Ví d  minh h a:ụ ọ

 Bài toán tương giao liên quan đ n đ  th  hàm s  ế ồ ị ố

Ví d  1: ụ (THPT Tiên Du– B c Ninh­ 2020)ắ

Cho hàm s  có đ  th  trong hình v  bên ố ồ ị ẽ

Tìm m đ  phể ươ ng trình  có đúng 2 nghi m phân bi t ệ ệ

D a vào đ  th  hàm s   ta th y, ph ự ồ ị ố ấ ươ ng trình  có đúng  

2 nghi m phân bi t khi và ch  khi    ệ ệ ỉ  Ch n B ọ

Nh n xét :  ậ Bài toán khá đ n gi n khi h c sinh n m v ng phơ ả ọ ắ ữ ương pháp vẽ ĐTHS 

Suy   ra   ph ươ ng   trình     có   2   nghi m   phân   bi t   thu c ệ ệ ộ   kho ng  ả

Nh n xét:ậ  H c sinh v  đ c ĐTHS thì bài toán đ c gi i quy t.ọ ẽ ượ ượ ả ế

Ví d  3: (Trích đ  thi THPTQG năm 2019­2020 ,ụ ề  Mã 103) Cho hàm s  b c baố ậ  

=

f t

T  đ  th  hàm s  ừ ồ ị ố y = f t( )

 và đường th ng ẳ

32

V y phậ ương trình đã cho có t t c  8 nghi m. Ch n C.ấ ả ệ ọ

Nh n xét :ậ  Đ  gi i quy t để ả ế ược bài toán này h c sinh ph i v  đọ ả ẽ ược đ  th  hàmồ ị  

s    .Tuy nhiên khi xu t hi n hàm h p thì đòi h i h c sinh sáng t o và linh ho tố ấ ệ ợ ỏ ọ ạ ạ  

h n trong cách gi i.ơ ả

+ D ng đự ường th ng d là đẳ ường th ng n m trên ph n t  th  2 và ph n t  th  4ẳ ằ ầ ư ứ ầ ư ứ  

c a h  tr c t a đ , do đó d c t  t i hai đi m có hoành đ  là:  và .ủ ệ ụ ọ ộ ắ ạ ể ộ

V y phậ ương trình (1) có 2 nghi m phân bi t.ệ ệ  Ch n C.ọ

Nh n xét :ậ  Bài toán này đ a v  tìm s  giao đi m c a đ  th  hàm s  và đư ề ố ể ủ ồ ị ố ườ  ng

th ng d.ẳ  Bài toán tr  nên đ n gi n khi v  đở ơ ả ẽ ược đ  th  hàm s  và đồ ị ố ường th ng d.ẳ

Ví d  5: (Chuyênụ  Biên Hòa – Hà Nam ­ 2020)