Mục tiêu nghiên cứu đề tài là nghiên cứu một số tính chất hình học phẳng và hình học không gian vào giải quyết bài toán cực trị hình không gian. Hướng dẫn học sinh biết cách khai thác các tính chất trong hình học phẳng và hình học không gian để giải quyết bài toán cực trị hình học không gian. Từ đó biết vận dụng vào bài toán cực trị Oxyz.
Trang 1ngườ ại d y và ngườ ọi h c. Đ gi i quy t để ả ế ược d ng bài t p hình h c này đòi h iạ ậ ọ ỏ
ngườ ọi h c ph i có t duy linh ho t, sáng t o trong gi i toán.ả ư ạ ạ ả
Yêu c u v đ i m i phầ ề ổ ớ ương pháp d y h c luôn là đòi h i c p thi t hàngạ ọ ỏ ấ ế
đ u c a ngành giáo d c đ i v i giáo viên, đ c bi t đ i v i ch đ c c tr hìnhầ ủ ụ ố ớ ặ ệ ố ớ ủ ề ự ị không gian là m t ch đ hay và khó c a môn toán nên ngộ ủ ề ủ ườ ại d y ph i có m tả ộ trình đ chuyên môn v ng vàng, có ki n th c sâu r ng và linh ho t, sáng t oộ ữ ế ứ ộ ạ ạ trong vi c l a ch n phệ ự ọ ương pháp d y h c.ạ ọ
Vi c v n d ng tính ch t hình h c đ gi i các bài toán c c tr hình khôngệ ậ ụ ấ ọ ể ả ự ị gian không nh ng mang l i hi u qu cao mà qua đó còn có tác d ng r t l n đ nữ ạ ệ ả ụ ấ ớ ế
vi c hoàn thi n và phát tri n các ph m ch t năng l c Toán h c cho h c sinh.ệ ệ ể ẩ ấ ự ọ ọ
Đ ng th i góp ph n quan tr ng vào công cu c đ i m i phồ ờ ầ ọ ộ ổ ớ ương pháp d y h cạ ọ cho giáo viên
Chính vì nh ng lý do nêu trên nên b n thân tôi quy t đ nh l a ch n đ tàiữ ả ế ị ự ọ ề
“Góp ph n nâng cao năng l c toán h c cho h c sinh thông qua d y h c v n ầ ự ọ ọ ạ ọ ậ
d ng tính ch t hình h c vào bài toán c c tr hình không gian” ụ ấ ọ ự ị
1.2. M c đích nghiên c u ụ ứ
Nghiên c u lý lu n d y h cứ ậ ạ ọ
Nghiên c u m t s tính ch t hình h c ph ng và hình h c không gian vào ứ ộ ố ấ ọ ẳ ọ
gi i quy t bài toán c c tr hình không gianả ế ự ị
Hướng d n h c sinh bi t cách khai thác các tính ch t trong hình h c ẫ ọ ế ấ ọ
ph ng và hình h c không gian đ gi i quy t bài toán c c tr hình h c không ẳ ọ ể ả ế ự ị ọgian. T đó bi t v n d ng vào bài toán c c tr ừ ế ậ ụ ự ị Oxyz.
Trang 2 Bước đ u giúp h c sinh bi t cách tìm tòi, phát hi n các tính ch t c a ầ ọ ế ệ ấ ủhình h c. Đ ng th i nâng cao tinh th n và năng l c t h c, t nghiên c u các ọ ồ ờ ầ ự ự ọ ự ứ
v n đ n y sinh trong toán h c.ấ ề ả ọ
1.3. Đ i t ố ượ ng và ph m vi nghiên c u ạ ứ
H c sinh khá gi i THPT, sinh viên các trọ ỏ ường s ph m,…ư ạ
Giáo viên gi ng d y môn toán THPTả ạ
Ph n 2. N i dung nghiên c u ầ ộ ứ
2.1. C s khoa h c ơ ở ọ
C s lý lu n: m t s tính ch t hình h c ph ng và hình h c không gian ơ ở ậ ộ ố ấ ọ ẳ ọhay s d ng.ử ụ
C s th c ti n: Xu t phát t vi c h c t p b môn toán nói chung, ch ơ ở ự ễ ấ ừ ệ ọ ậ ộ ủ
đ hình h c không gian c đi n nói riêng c a h c sinh còn g p nhi u khó khăn.ề ọ ổ ể ủ ọ ặ ề
2.2. Th c tr ng c a v n đ ự ạ ủ ấ ề
Vi c h c t p b môn hình h c không gian nhà trệ ọ ậ ộ ọ ở ường ph thông còn ổkhá nhi u khó khăn đ i v i h c sinhề ố ớ ọ
Vi c d y h c ch đ c c tr hình h c không gian c a đa s giáo viên cònệ ạ ọ ủ ề ự ị ọ ủ ố
g p khá nhi u khó khăn trong vi c l a ch n cách th c t ch c d y h c và xây ặ ề ệ ự ọ ứ ổ ứ ạ ọ
d ng ngu n bài t p phong phú, đa d ng đ kích thích đự ồ ậ ạ ể ượ ưc t duy ngườ ọi h c
N i dung đ tài mang tính th i s cao và đáp ng độ ề ờ ự ứ ược nhu c u gi ng ầ ả
d y cũng nh h c t p c a nhi u giáo viên và h c sinh.ạ ư ọ ậ ủ ề ọ
2.3. Tính u vi t c a đ tài ư ệ ủ ề
Vi c s d ng tính ch t hình h c vòa bài toán c c tr hình không gian nó ệ ử ụ ấ ọ ự ịlàm cho b n ch t c a bài toán đả ấ ủ ược b c l rõ h n. Đ ng th i, cách gi i quy t ộ ộ ơ ồ ờ ả ếnày thường ng n g n và kh c sâu h n v ki n th c hình h c đắ ọ ắ ơ ề ế ứ ọ ược đ c p đ n.ề ậ ế
Vi c v n d ng tính ch t hình h c vào bài toán c c tr hình h c không gian ệ ậ ụ ấ ọ ự ị ọkhông ch đ n thu n d ng l i phỉ ơ ầ ừ ạ ở ương pháp gi i toán mà thông qua đó giúp h cả ọ sinh phát tri n để ượ ưc t duy linh ho t, kh năng sáng t o trong gi i toán.ạ ả ạ ả
Trang 3Hướng tri n khai c a đ tài giúp giáo viên và h c sinh có để ủ ề ọ ược ngu n tài ồ
li u b ích ph c v cho công tác gi ng d y và h c t p b môn hình h c không ệ ổ ụ ụ ả ạ ọ ậ ộ ọgian hi u qu h n.ệ ả ơ
2.4. H ướ ng tri n khai c a đ tài ể ủ ề
2.4.1. Đ nh h ị ướ ng chung v ph ề ươ ng pháp gi i toán ả
Vi c đ xu t các hệ ề ấ ướng gi i quy t cho bài toán c c tr hình không gian vô ả ế ự ịcùng quan tr ng b i khi đ ng trọ ở ứ ước bài toán c c tr hình không gian ngự ị ười gi i ảtoán s có đẽ ượ ực s nhìn nh n v n đ m t cách t t h n là vi c ph i mò m m. ậ ấ ề ộ ố ơ ệ ả ẫQua đó h c sinh s v ch ra đọ ẽ ạ ược các hướng gi i quy t cho m i bài toán và có ả ế ỗ
đượ ự ực s l a ch n phù h p d a vào đ c thù c a m i bài toán. C th ta có các ọ ợ ự ặ ủ ỗ ụ ể
hướng gi i quy t sau:ả ế
G n bi n đ đ a v đ a v bài toán min – max c a hàm m t bi n ho c ắ ế ể ư ề ư ề ủ ộ ế ặnhi u bi nề ế
. D u “=” x y ra khi th ng hàng và thu c đo n .ấ ả ẳ ộ ạ
. D u “=” x y ra khi th ng hàng và n m ngoài đo n ( có th trùng v i ấ ả ẳ ằ ạ ể ớ
ho c ).ặ
Tính ch t 2. ấ Cho m t ph ng và đi m . V i đi m tùy ý thu c ta luôn có: , v i ặ ẳ ể ớ ể ộ ớ
là hình chi u vuông góc c a trên . D u “=” x y ra khi .ế ủ ấ ả
Tính ch t 3. ấ Cho đường th ng và đi m . V i đi m tùy ý trên , ta luôn có , v i ẳ ể ớ ể ớ
là hình chi u vuông góc c a trên . D u “=” x y ra khi .ế ủ ấ ả
Tính ch t 4. ấ Cho đường tròn có tâm , bán kính và đi m n m ngoài . G i là ể ằ ọ
m t đi m di đ ng trên , khi đó ta luôn có tính ch t sau:ộ ể ộ ấ
Trang 4M C B
A
N
M
C B
A
.Tính ch t 5. ấ Cho đường tròn có tâm , bán kính và đi m n m trong . G i là ể ằ ọ
m t đi m di đ ng trên , khi đó ta luôn có tính ch t sau:ộ ể ộ ấ
.Tính ch t 6. ấ Trong không gian cho hai m t ph ng và c t nhau và đặ ẳ ắ ường th ng .ẳ Khi đó, , d u “=” x y ra khi vuông góc v i giao tuy n c a và .ấ ả ớ ế ủ
2.4.2.2. Tính ch t hình h c liên quan đ n t s di n tích ấ ọ ế ỉ ố ệ
2.4.2.2.1. M t s tr ộ ố ườ ng h p v t s di n tích trong tam giác ợ ề ỉ ố ệ
+) T s di n tích c a hai tam giác có chung đỉ ố ệ ủ ường cao b ng t s đ dài ằ ỉ ố ộcác c nh đáy.ạ
Cho tam giác , là m t đi m thu c c nh và ộ ể ộ ạ
không trùng v i các đ nh (nh hình v bên). Ta có ớ ỉ ư ẽ
t s ỉ ố sau:
+) T s di n tích c a hai tam giác có chungỉ ố ệ ủ
c nh đáy b ng t s đ dài các đạ ằ ỉ ố ộ ường cao
Cho tam giác , là m t đi m tùy ý thu c ộ ể ộ
mi n trong tam giác . G i là giao đi m c a v i ề ọ ể ủ ớ
(nh hình bên). Khi đó, ta có t s di n tích sau ư ỉ ố ệ
N M
C B
A
Trang 5“Cho tam giác . G i l n l ọ ầ ượ t là hai
đi m thu c c nh (không trùng v i A). ể ộ ạ ớ
Trên c nh l y đi m th a mãn ạ ấ ể ỏ G i là ọ
giao đi m c a ể ủ và . Khi đó ta có đ ng ẳ
D
N M
C B
A
2.4.2.3. Tính ch t hình h c liên quan đ n t s th tích ấ ọ ế ỉ ố ể
T s th tích kh i chóp tam giác:ỉ ố ể ố
Cho hình chóp tam giác . Trên các c nh l n l ạ ầ ượ ấ t l y các đi m (không trùng ể
v i đ nh ), khi đó ta có công th c t s th tích sau: ớ ỉ ứ ỉ ố ể
A
S
Trang 6Hay . (đi u ph i ch ng minh)ề ả ứ
Hoàn toàn tương t ta cũng có công th c t s cho kh i h p nh sau:ự ứ ỉ ố ố ộ ư
Cho hình h p . M t m t ph ng c t các c nh bên ộ ộ ặ ẳ ắ ạ l n l ầ ượ ạ t t i các đi m . ể
Trang 7Cho đi m phân bi t và b s th a mãn . Khi đó t n t i duy nh t đi m ể ệ ộ ố ỏ ồ ạ ấ ểsao cho .
Trong không gian, b n đi m đ ng ph ng khi và ch khi v i đi m tùy ý ta ố ể ồ ẳ ỉ ớ ểluôn có và
Trên đây là m t s tính ch t hình h c thộ ố ấ ọ ường đượ ử ục s d ng khi gi i toán c c tr ả ự ịhình h c không gian mà tác gi đ c p đ n. Ngoài ra ta còn có th b t g p thêm ọ ả ề ậ ế ể ặ ặ
th i đ a ra nh ng phân tích, bình lu n phù h p đ h tr h c sinh trong vi c tìm ờ ư ữ ậ ợ ể ỗ ợ ọ ệ
ra l i gi i cho bài toán.ờ ả
Tr ướ c h t chúng ta đ n v i các bài toán s d ng tính ch t v kho ng cách, đ ế ế ớ ử ụ ấ ề ả ộ dài trong hình h c ọ
Bài toán 1. Cho hình chóp có đáy là hình thoi và , ; góc gi a và m t ph ng ữ ặ ẳ
b ng . G i là tr ng tâm tam giác , là trung đi m c a và là đi m thay đ i trên ằ ọ ọ ể ủ ể ổ
đường th ng . Tìm giá tr nh nh t c a .ẳ ị ỏ ấ ủ
Phân tích:
Bi u th c g i ta nghĩ đ n vi c s d ng ể ứ ợ ế ệ ử ụ tính ch t 1ấ
Tuy nhiên và không đ ng ph ng nên d u “=” không x y raồ ẳ ấ ả
Ta nghĩ đ n vi c thay th đi m b i m t đi m th a mãn 2 đi u ki n: ế ệ ế ể ở ộ ể ỏ ề ệ
và c t nhau t i đi m thu c đo n thu c m t ph ng ắ ạ ể ộ ạ ộ ặ ẳ
. Đ th a mãn để ỏ ược đi u ki n này ta c n phát hi n thêm các tính ch t hìnhề ệ ầ ệ ấ
h c khác c a hình chóp.ọ ủ
Ta phát hi n ra tam giác đ u, k t h p v i gi thi t suy ra là hình chi u ệ ề ế ợ ớ ả ế ế
c a đ nh trên m t ph ng . Do đó, đ thì ph i thu c đủ ỉ ặ ẳ ể ả ộ ường tròn ngo i ạ
ti p tam giác ế
Trang 8
P N
M
I H
D
C B
A S
T các phân tích trên ta có ừ đ nh hị ướ cho bài toán nh sau:ng ư
Bước 1: Ch ng minh ứ
Bước 2: Trong m t ph ng đáy, g i là đi m đ i x ng v i qua ặ ẳ ọ ể ố ứ ớ
Bước 3: Đánh giá , d u “=” x y ra khi .ấ ả
Bước 4: Tính đ dài đo n th ng và k t lu n. Đ tính ta s d ng đ nh lí cosin ộ ạ ẳ ế ậ ể ử ụ ịcho tam giác
Bài toán 2. Cho kh i chóp có và . M t ph ng b t k qua c t các c nh t i . ố ặ ẳ ấ ỳ ắ ạ ạTìm giá tr nh nh t c a chu vi tam giác .ị ỏ ấ ủ
Đ gi i quy t bài toán này ta s d ng ph ể ả ế ử ụ ươ ng pháp tr i ph ng. V n đ đ t ra ả ẳ ấ ề ặ
là làm th nào đ h c sinh nh n ra đ ế ể ọ ậ ượ c cách gi i quy t này? Ta c n có nh ng ả ế ầ ữ phân tích h p lý đ l i gi i bài toán đ n v i ng ợ ể ờ ả ế ớ ườ ọ i h c m t cách t nhiên d ộ ự ễ
hi u ch không mang tính áp đ t, cho s n ể ứ ặ ẵ
Trang 9Có cách nào đ a v t ng c a 3 đo n th ng cùng n m trong m t m t ư ề ổ ủ ạ ẳ ằ ộ ặ
ph ng mà đ dài c a chúng v n đẳ ộ ủ ẫ ược b o toàn hay không?ả
Ta c n m t cách nào đó đ cho 3 m t bên c a hình chóp cùng n m trong ầ ộ ể ặ ủ ằ
S
C
B A
Trang 10Bài toán 2.1. Ng i ta c n trang trí m t ườ ầ ộ
kim t tháp hình chóp t a giác đ u ự ứ ề
H
E S
D
C B
A
Bài toán 2.2. Cho hình l p ph ng c nh . M t con ki n xu t phát t đ nh đi ậ ươ ạ ộ ế ấ ừ ỉtrên các m t c a hình l p phặ ủ ậ ương. Tính quãng đường ng n nh t con ki n đi t ắ ấ ế ừ
đ n mà ph i đi qua t t c các m t c a hình l p phế ả ấ ả ặ ủ ậ ương
Bài toán 3. Cho t di n và là m t đi m n m trong t di n. G i l n l t là ứ ệ ộ ể ằ ứ ệ ọ ầ ượkho ng cách t t i các đ nh và l n lả ừ ớ ỉ ầ ượt là chi u cao c a t di n k t các đ nhề ủ ứ ệ ẻ ừ ỉ . Ch ng minh r ng: .ứ ằ
Phân tích:
Đ gi i quy t bài toán ta c n phát hi n m t tính ch t hình h c liên quan ể ả ế ầ ệ ộ ấ ọ
đ n và . Đ phát hi n ra tính ch t thì giáo viên c n mô t b ng hình v ế ể ệ ấ ầ ả ằ ẽ
A
T hình nh trên ta d dàng phát hi n ra m t tính ch t r t quan tr ng là: . ừ ả ễ ệ ộ ấ ấ ọ
Ta c n t o t s , do đó ta nghĩ đ n vi c chia c hai v cho thì đầ ạ ỉ ố ế ệ ả ế ược:
T s g i ta nghĩ đ n t s th tích ỉ ố ợ ế ỉ ố ể
T đó ta đ a ra đừ ư ượ ờc l i gi i cho bài toán nh sau:ả ư
Trang 11D u “=” x y ra là tr ng tâm c a t di n .ấ ả ọ ủ ứ ệ
Ti p theo tác gi xin đ xu t m t s bài toán c c tr mà vi c s d ng tính ch t ế ả ề ấ ộ ố ự ị ệ ử ụ ấ véc t đ ơ ượ c xem là m u ch t đ gi i quy t v n đ ẫ ố ể ả ế ấ ề
Bài toán 4. Cho hình chóp có đáy là hình vuông c nh ạ a, và . G i là đi m di ọ ể
đ ng trên m t ph ng . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c .ộ ặ ẳ ị ỏ ấ ủ ể ứ
Phân tích, đ nh hị ướng
Bi u th c có ch a 5 đ i lể ứ ứ ạ ượng bi n thiên ph thu c nên ta nghĩ đ n vi cế ụ ộ ế ệ
gi m các đ i lả ạ ượng bi n thiên trong ế
Bi u th c là t ng c a các bình phể ứ ổ ủ ương đ dài c a các đo n th ng nên ta ộ ủ ạ ẳnghĩ đ n vi c s d ng véc t đ bi n đ i nh sauế ệ ử ụ ơ ể ế ổ ư
Vì đ ng th c trên đúng v i đi m tùy ý nên đ thu n l i cho vi c đánh giá ẳ ứ ớ ể ể ậ ợ ệ
ta ch n đi m th a mãn .ọ ể ỏ
Khi đó, nh nh t khi nh nh t là hình chi u c a trên ỏ ấ ỏ ấ ế ủ
A
M L K H
D
S
O
Trang 12V m t phề ặ ương pháp: ta đi xây d ng đ ng th c trung gian .ự ẳ ứ
Nh n th y: là 3 c nh bên c a hình chóp và m t ph ng luôn đi qua hay 4 ậ ấ ạ ủ ặ ẳ
đi m luôn đ ng ph ng khi thay đ i. Đi u này g i ta nghĩ đ n tính ch t 4 ể ồ ẳ ổ ề ợ ế ấ
B A
Vì 4 đi m đ ng ph ng nên ta có: ể ồ ẳ
Trang 13Nh n xét: ậ M u ch t c a bài toán chính là vi c phát hi n ra tính ch t 4 đi m ẫ ố ủ ệ ệ ấ ể
đ ng ph ng. Cũng v i ý tồ ẳ ớ ưởng này, xin m i b n đ c đ n v i bài toán trong đ ờ ạ ọ ế ớ ềthi h c sinh gi i t nh Ngh An, năm h c 2020 – 2021 sau đây.ọ ỏ ỉ ệ ọ
Bài toán 6. (Trích đ thi HSG t nh Ngh An, năm h c: 2020 – 2021) ề ỉ ệ ọ
Cho hình chóp có đôi m t vuông góc và , . G i là tâm độ ọ ường tròn n i ti p tam ộ ếgiác . M t m t ph ng thay đ i đi qua l n lộ ặ ẳ ổ ầ ượ ắt c t các tia t i . ạ
Ch ng minh r ng .ứ ằ
L i gi i.ờ ả
I N
B
P
C
M A
Trang 14t i ba đi m phân bi t . Ch ng minh r ng .”ạ ể ệ ứ ằ
Ta có th khái quát hóa ể bài toán 6 thành bài toán t ng quát h n nh sau: ổ ơ ư
“Cho hình chóp , là m t đi m thu c m t ph ng th a mãn . L y là đi m thu c ộ ể ộ ặ ẳ ỏ ấ ể ộ
đo n ( không trùng v i ). M t ph ng qua luôn c t các tia l n l ạ ớ ặ ẳ ắ ầ ượ ạ t t i các đi m ể , , . Đ t ặ
Ch ng minh r ng: .” ứ ằ
Vi c ch ng minh bài toán trên ta cũng d a vào tính ch t 4 đi m đ ng ph ng đ ệ ứ ự ấ ể ồ ẳ ểxây d ng đ ng th c trung gian: . T đ ng th c này ta có th đ xu t nhi u bài ự ẳ ứ ừ ẳ ứ ể ề ấ ềtoán c c tr khác.ự ị
Vi c s d ng t s di n tích và t s th tích trong bài toán c c tr hình h c ệ ử ụ ỉ ố ệ ỉ ố ể ự ị ọ
không gian là khá ph bi n, trong đ tài này tác gi đ a ra m t s ví d minh ổ ế ề ả ư ộ ố ụ
h a đ th y đ ọ ể ấ ượ c vai trò c a c a nó trong vi c xây d ng đ ng th c trung gian ủ ủ ệ ự ẳ ứ
Bài toán 7. Cho hình chóp . G i là tr ng tâm tam giác , là đi m b t kì thu c ọ ọ ể ấ ộ
mi n trong tam giác . Đề ường th ng đi qua đi m và song song v i đẳ ể ớ ường th ng ẳ
c t các m t ph ng l n lắ ặ ẳ ầ ượ ạt t i . Ch ng minh r ng .ứ ằ
Phân tích
B t đ ng th c đã cho tấ ẳ ứ ương đương v i ớ
V i bi n đ i trên, g i ta nghĩ đ n vi c xây d ng m t đ ng th c trung gianớ ế ổ ợ ế ệ ự ộ ẳ ứ , v i là các h ng s ớ ằ ố
Đ thu n l i cho vi c ch ng minh, ta tìm cách đ a các t s trên v các tể ậ ợ ệ ứ ư ỉ ố ề ỉ
s trong cùng m t m t ph ng. Khi đó giáo viên có th đ t ra cho ngố ộ ặ ẳ ể ặ ườ i
h c câu h i : ọ ỏ Gi thi t nào giúp ta chuy n đ i các t s trên v các t s ả ế ể ổ ỉ ố ề ỉ ố trong cùng m t m t ph ng? ộ ặ ẳ
L i gi i.ờ ả
TH1: không song song v i c nh c a tam giác ớ ạ ủ
Cách d ng các đi m ự ể
Trang 15C
B
A D
+) G i l n lọ ầ ượt là giao đi m c a v i các để ủ ớ ường th ng ẳ
+) Qua k đẻ ường th ng song song v i c t các đẳ ớ ắ ường l n lầ ượ ạt t i các đi m ; ểđây cũng chính là các giao đi m c n d ng.ể ầ ự
D u “=” x y ra khi và ch khi , hay là tr ng tâm tam giác .ấ ả ỉ ọ
TH2: song song v i c nh c a tam giác ớ ạ ủ
Vì vai trò nh nhau nên ta ch c n xét cho trư ỉ ầ ường h p ợ
Cách d ng các đi m ự ể
Trang 16E
K
J I
M G
C
B A
S
Gi s c t l n lả ử ắ ầ ượ ạt t i và
Qua k đẻ ường th ng song song v i c t l n lẳ ớ ắ ầ ượ ạt t i
Vì nên m t ph ng c t theo giao tuy n đi qua và song song v i ; và giao tuy n ặ ẳ ắ ế ớ ếnày c t t i .ắ ạ
Ch ng minh ứ
Ta có:
Xét tam giác , có
Tương t : ự
Khi đó, . Đ n đây, gi i tế ả ương t nh ự ư TH1
V y, . D u “=” x y ra khi .ậ ấ ả
Nh n xét: ậ M u ch t c a bài toán trên ngoài vi c s d ng đ nh lí talet đ đ a cácẫ ố ủ ệ ử ụ ị ể ư
t s v các t s trong m t ph ng ta còn s d ng thêm m t tính ch t quan trongỉ ố ề ỉ ố ặ ẳ ử ụ ộ ấ
S
Trang 17Áp d ng công th c (2.1) cho tam giác , ta đụ ứ ược
Áp d ng công th c (2.1) cho tam giác , ta đụ ứ ược
Áp d ng BĐT bunhiacopxki ta có:ụ
D u “=” x y ra . V y, ấ ả ậ
Bài toán 9. Cho hình chóp có đáy là hình bình hành và có th tích là . G i là ể ọ
đi m trên c nh sao cho . M t m t ph ng qua c t các c nh và l n lể ạ ộ ặ ẳ ắ ạ ầ ượ ạt t i hai
đi m phân bi t và . G i là th tích c a kh i chóp . Tìm giá tr l n nh t c a .ể ệ ọ ể ủ ố ị ớ ấ ủ
Phân tích
T s là t s th tích c a hai kh i chóp t giác nên ta ch a th áp d ng ỉ ố ỉ ố ể ủ ố ứ ư ể ụ
tr c ti p công th c (2.2) cho t s này. Đ áp d ng đự ế ứ ỉ ố ể ụ ược công th c (2.2)ứ ta tách thành hai kh i chóp tam giác đ có th áp d ng công th c (2.1).ố ể ể ụ ứ
Bài toán xu t hi n khá nhi u t s , do đó ta g n bi n đ thu n l i cho vi cấ ệ ề ỉ ố ắ ế ể ậ ợ ệ tìm m i liên h gi a chúng.ố ệ ữ
B A
S