Mục đích nghiên cứu của sáng kiến là đưa ra nhiều hướng tiếp cận cho cùng một bài toán giữa trên việc phân tích dấu hiệu của bài toán đó. Rèn luyện cho học sinh năng lực giải quyết vấn đề toán học để tạo hứng thú học tập toán học cho học sinh lớp 12 nhằm phát triển trí tuệ và góp phần giáo dục, rèn luyện phẩm chất, năng lực học sinh về nhiều mặt.
Lí do ch n đ tài ọ ề
Đ phát tri n các năng l c toán h c cho h c s nh, đ c bi t là h c sinh l pể ể ự ọ ọ ị ặ ệ ọ ớ
12 giúp các em có m t k t qu cao nh t trong k thi t t nghi p THPT QG Tacộ ế ả ấ ỳ ố ệ ́ gia nhân thây ch̉ ̣ ́ ương ng dung đao ham đê khao sat va ve đô thi ham sô trongứ ̣ ̣ ̀ ̉ ̉ ́ ̀ ̃ ̀ ̣ ̀ ́ chương trinh giai tich l p 12 la nôi dung quan trong va co nhiêu ng dung trong̀ ̉ ́ ớ ̀ ̣ ̣ ̀ ́ ̀ ứ ̣ bô môn toan, điêu nay đ̣ ́ ̀ ̀ ược thê hiên thông qua viêc kiên th c cua ch̉ ̣ ̣ ́ ứ ̉ ương naỳ luôn chiêm ti lê cao nhât trong đê thi THPT.QG Sô câu hoi m c vân dung vá ̉ ̣ ́ ̀ ́ ̉ ở ứ ̣ ̣ ̀ vân dung cao cua cḥ ̣ ̉ ương nay cung luôn mang đên cho giao viên va hoc sinh̀ ̃ ́ ́ ̀ ̣ nh ng s quan tâm đăc biêt, trong đo phai kê đên cac bai toan ch a tham sô.ữ ự ̣ ̣ ́ ̉ ̉ ́ ́ ̀ ́ ứ ́
Qua qua trinh giang day tai tŕ ̀ ̉ ̣ ̣ ương THPT Tân Ky 3, tac gia nhân thây nôì ̀ ́ ̉ ̣ ́ ̣ dung cua ch̉ ương nay luôn tao h ng thu hoc tâp cho cac em hoc sinh, viêc hoc tôt̀ ̣ ứ ́ ̣ ̣ ́ ̣ ̣ ̣ ́ va năm v ng kiên th c cua ch̀ ́ ữ ́ ứ ̉ ương nay se tao đa cho viêc hoc tâp cac ch̀ ̃ ̣ ̀ ̣ ̣ ̣ ́ ương khac rât tôt Cac năm d y h c ôn thi t t nghi p THPT QG tac gia rut ra đ́ ́ ́ ́ ạ ọ ố ệ ́ ̉ ́ ược môṭ điêu la c n ph i b i d̀ ̀ ầ ả ồ ưỡng cũng nh phát tri n năng l c t duy k t h p phânư ể ự ư ế ợ tích tr c quan và suy lu n logic đ gi i quy t m t s bài toán trong chự ậ ể ả ế ộ ố ương 1 gi i tích l p 12 Cac dang toan ch a tham sô luôn đả ớ ́ ̣ ́ ứ ́ ược giao viên va hoc sinh quá ̀ ̣ tâm tim hiêu, đăc biêt la đôi t̀ ̉ ̣ ̣ ̀ ́ ượng hoc sinh kha gioi ôn thi vao cac tṛ ́ ̉ ̀ ́ ương đaì ̣ hoc.̣
Trong ky thi THPT QG hang năm thi cac câu hoi m c vân dung, vân dung̀ ̀ ̀ ́ ̉ ở ứ ̣ ̣ ̣ ̣ cao chở ương ng dung đao ham chiêm ti lê cao, trong đo cac bai toan ch a thamứ ̣ ̣ ̀ ́ ̉ ̣ ́ ́ ̀ ́ ứ sô cua ham sô ch a dâu gia tri tuyêt đôi ́ ̉ ̀ ́ ứ ́ ́ ̣ ̣ ́ y = f x m ( ; ) cung th̃ ương xuyên xuât hiên.̀ ́ ̣
T nh ng ly do nêu trên, cung s nghiên c u cua tac gia kêt h p s chia se kinhừ ữ ́ ̀ ự ứ ̉ ́ ̉ ́ ợ ự ̉ nghiêm cua cac đông nghiêp la giao viên côt can tinh nghê an Tac gia đa đuc rut đ̣ ̉ ́ ̀ ̣ ̀ ́ ́ ́ ̉ ̣ ́ ̉ ̃ ́ ́ ược nh ng kinh nghiêm quy bau thanh đê tai “Ba bài toán ch a tham s c a hàm sữ ̣ ́ ́ ̀ ̀ ̀ ứ ố ủ ố ch a d u giá tr tuy t đ i ứ ấ ị ệ ố y = f x m ( ; ) th ng g p trong k thi t t nghi p THPTườ ặ ỳ ố ệ QG” đê ap dung trong giang day ôn thi THPT QG tai tr ng THPT Tân Ky 3.̉ ́ ̣ ̉ ̣ ̣ ườ ̀
M c đích nghiên c u ụ ứ
Trong đ tài tác gi nghiên c u v ph ng pháp d y h c theo h ng phátề ả ứ ề ươ ạ ọ ướ tri n năng l c t duy c a h c sinh thông qua các bài toán liên quan đ n kh o sátể ự ư ủ ọ ế ả hàm s trong ch ng trình gi i tích l p 12 v i muc đich nh sau.ố ươ ả ớ ớ ̣ ́ ư
Kêt h p phân tich trên đô thi cua ham sô ́ ợ ́ ̀ ̣ ̉ ̀ ́ y = f x m ( ; ) đê đ a ra cac điêu kiên̉ ư ́ ̀ ̣ t ng đ ng cua bai toan giup hoc sinh linh hôi kiên th c kho tr nên đ n gianươ ươ ̉ ̀ ́ ́ ̣ ̃ ̣ ́ ứ ́ ở ơ ̉ h n.ơ Đ a ra nhiêu h ng tiêp cân cho cung môt bai toan gi a trên viêc phân tichư ̀ ướ ́ ̣ ̀ ̣ ̀ ́ ữ ̣ ́ dâu hiêu cua bai toan đo.́ ̣ ̉ ̀ ́ ́
Hoc sinh năm v ng ban chât cua cac lâp luân thông qua viêc phân tich cac̣ ́ ữ ̉ ́ ̉ ́ ̣ ̣ ̣ ́ ́ tr ng h p co thê xay ra cua cac bai toan tim điêu kiên đê ham sô đ n điêu, sôườ ợ ́ ̉ ̉ ̉ ́ ̀ ́ ̀ ̀ ̣ ̉ ̀ ́ ơ ̣ ́ c c tri cua ham sô, gia tri l n nhât gia tri nho nhât cua ham sô ự ̣ ̉ ̀ ́ ́ ̣ ớ ́ ́ ̣ ̉ ́ ̉ ̀ ́ y = f x m ( ; )
Ren luyên cho hoc sinh năng l c giai quyêt vân đê toan hoc đê tao h ng thù ̣ ̣ ự ̉ ́ ́ ̀ ́ ̣ ̉ ̣ ứ ́ hoc tâp toan hoc cho hoc sinh l p 12 nhăm phat triên tri tuê va gop phân giao duc,̣ ̣ ́ ̣ ̣ ớ ̀ ́ ̉ ́ ̣ ̀ ́ ̀ ́ ̣ ren luyên phâm chât, năng l c hoc sinh vê nhiêu măt.̀ ̣ ̉ ́ ự ̣ ̀ ̀ ̣
Kêt qua nghiên c u đê lam tai liêu giang day cho đông nghiêp trong tô toan ́ ̉ ứ ̉ ̀ ̀ ̣ ̉ ̣ ̀ ̣ ̉ ́ tin tr ng THPT Tân Ky 3.ườ ̀
Đ i t ố ượ ng nghiên c u ứ
Ph ng pháp d y h c hình thành và phát tri n năng l c c a h c sinh.ươ ạ ọ ể ự ủ ọ
H c sinh thi t t nghi p THPT QG đ xét Đ i h c.ọ ố ệ ể ạ ọ
Ph ươ ng pháp nghiên c u ứ
Phương pháp nghiên c u xây d ng c s lý thuy t:ứ ự ơ ở ế Nghiên c u tài li u tứ ệ ừ sách, báo, m ng internet v cách th c t ch c d y h c theo hạ ề ứ ổ ứ ạ ọ ướng phát tri nể năng l c c a h c sinh.ự ủ ọ
Phương pháp phân tích t ng k t kinh nghi m: ổ ế ệ Phân tích các đ nh hị ướng c aủ t ng bài toán, s d ng các kinh nghi m c a b n thân đ giúp h c sinh phát tri nừ ử ụ ệ ủ ả ể ọ ể năng l c phân tích, t ng h p.ự ổ ợ
Phương pháp đi u tra:ề Tìm hi u th c t gi ng d y, trao đ i kinh nghi mể ự ế ả ạ ổ ệ v i giáo viên, thăm dò h c sinh đ tìm hi u tình hình h c t p c a các em ớ ọ ể ể ọ ậ ủ
Nh ng đi m m i c a SKKN ữ ể ớ ủ
Trong đê tai nay tac gia đa nêu lên đ̀ ̀ ̀ ́ ̉ ̃ ượ ự ế ợc s k t h p tr c quan đô thi và l pự ̀ ̣ ậ lu n có lý giúp h c sinh dê hiêu va n m v ng b n ch t c a cac bài toán ch aậ ọ ̣ ̉ ̀ ắ ữ ả ấ ủ ́ ứ tham sô cua ham sô ch a dâu gia tri tuyêt đôi ́ ̉ ̀ ́ ứ ́ ́ ̣ ̣ ́ y = f x m ( ; ) : Bai toan đ n điêu; baì ́ ơ ̣ ̀ toan c c tri; bai toan gia tri l n nhât, gia tri nho nhât.́ ự ̣ ̀ ́ ́ ̣ ớ ́ ́ ̣ ̉ ́
Phân tich đ́ ược cac dâu hiêu cua t ng bai toan va đ a ra đ́ ́ ̣ ̉ ừ ̀ ́ ̀ ư ược nhiêu đinh̀ ̣ hương khac nhau giup hoc sinh dê dang tim ra h́ ́ ́ ̣ ̃ ̀ ̀ ương giai quyêt bai toan.́ ̉ ́ ̀ ́
S dung mô hinh năng l c giai quyêt vân đê toan hoc đê phân tich va đinhử ̣ ̀ ự ̉ ́ ́ ̀ ́ ̣ ̉ ́ ̀ ̣ hương giup hoc sinh phat triên cac năng l c đoc hiêu d liêu câu hoi; năng l ć ́ ̣ ́ ̉ ́ ự ̣ ̉ ữ ̣ ̉ ự suy luân toan hoc; năng l c th c hiên tinh toan; năng l c vân dung kiên th c vaọ ́ ̣ ự ự ̣ ́ ́ ự ̣ ̣ ́ ứ ̀ th c tiên giai quyêt vân đê toan hoc.ự ̃ ̉ ́ ́ ̀ ́ ̣
N I DUNG NGHIÊN C U Ộ Ứ
C s lí lu n ơ ở ậ
2.1.1 S đ ng bi n, ngh ch bi n c a hàm sự ồ ế ị ế ủ ố a Đ nh nghĩaị
Kí hi u ệ K là kho ng ho c đo n ho c n a kho ng Gi s hàm s ả ặ ạ ặ ử ả ả ử ố y = f x ( ) xác đ nh trên ị K Ta nói
+ Hàm s ố y = f x ( ) đ ng bi n trên ồ ế K n u v i m i c p ế ớ ọ ặ x x 1 , 2 thu c ộ K mà
+ Hàm s ố y = f x ( ) ngh ch bi n trên ị ế K n u v i m i c p ế ớ ọ ặ x x 1 , 2 thu c ộ K mà
Cho hàm s ố y = f x ( ) có đ o hàm trên ạ K
+ N u ế f x '( ) 0 v i m i ớ ọ x thu c ộ K thì hàm s ố f x ( ) đ ng bi n trên ồ ế K
+ N u ế f x '( ) 0 v i m i ớ ọ x thu c ộ K thì hàm s ố f x ( ) ngh ch bi n trên ị ế K
( f x '( ) 0 = ch t i m t s h u h n đi m trên ỉ ạ ộ ố ữ ạ ể K ). c Đ th hàm s đ n đi uồ ị ố ơ ệ
+ N u hàm s đ ng bi n trên ế ố ồ ế K thì đ th đi lên t trái sang ph i.ồ ị ừ ả
+ N u hàm s ngh ch bi n trên ế ố ị ế K thì đ th đi xu ng t trái qua ph i.ồ ị ố ừ ả
2.1.2 C c tr c a hàm sự ị ủ ố a Đ nh nghĩaị
Cho hàm s ố y = f x ( ) xác đ nh và liên t c trên kho ng ị ụ ả ( ) a b ; và đi m ể x 0 ( ) a b ; + N u t n t i s ế ồ ạ ố h > 0 sao cho f x ( ) < f x ( ) 0 v i m i ớ ọ x � ( x 0 − h x ; 0 + h ) và x x 0 thì ta nói hàm s ố y = f x ( ) đ t c c đ i t i ạ ự ạ ạ x 0.
+ N u t n t i s ế ồ ạ ố h > 0 sao cho f x ( ) > f x ( ) 0 v i m i ớ ọ x � ( x 0 − h x ; 0 + h ) và x x 0 thì ta nói hàm s ố y = f x ( ) đ t c c ti u t i ạ ự ể ạ x 0. b Đi u ki n đ đ hàm s có c c trề ệ ủ ể ố ự ị Đ nh lý:ị
Gi s hàm s ả ử ố y = f x ( )liên t c trên kho ng ụ ả K = ( x 0 − h x ; 0 + h ) và có đ o hàm trênạ
+ N u ế f x '( ) 0 > trên kho ng ả ( x 0 − h x ; 0 ) và f x '( ) 0 < trên kho ng ả ( x x 0 ; 0 + h ) thì x 0 là m t đi m c c đ i c a hàm s ộ ể ự ạ ủ ố y = f x ( )
+ N u ế f x '( ) 0 < trên kho ng ả ( x 0 − h x ; 0 ) và f x '( ) 0 > trên kho ng ả ( x x 0 ; 0 + h ) thì x 0 là m t đi m c c ti u c a hàm s ộ ể ự ể ủ ố y = f x ( ).
2.1.3 Giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a hàm sị ớ ấ ị ỏ ấ ủ ố a Đinh nghiạ ̃
Cho ham sô ̀ ́ y = f x ( ) xac đinh trên tâp ́ ̣ ̣ D
+ Sô ́ M được goi la gia tri l n nhât cua ham sô ̣ ̀ ́ ̣ ớ ́ ̉ ̀ ́ y = f x ( ) trên tâp ̣ D nêu ́ f x ( ) M v i moi ớ ̣ x thuôc ̣ D va tôn tai ̀ ̀ ̣ x 0 D sao cho f x ( ) 0 = M
+ Sô ́ m được goi la gia tri nho nhât cua ham sô ̣ ̀ ́ ̣ ̉ ́ ̉ ̀ ́ y = f x ( ) trên tâp ̣ D nêu ́ f x ( ) m v i moi ớ ̣ x thuôc ̣ D va tôn tai ̀ ̀ ̣ x 0 D sao cho f x ( ) 0 = m
Ki hiêu ́ ̣ m = min ( ) D f x b Đinh lỵ ́
Moi ham sô liên tuc trên môt đoan đêu co gia tri l n nhât va gia tri nho nhât trêṇ ̀ ́ ̣ ̣ ̣ ̀ ́ ́ ̣ ớ ́ ̀ ́ ̣ ̉ ́ đoan đo.̣ ́
Do đo đô thi ham sô ́ ̀ ̣ ̀ ́ y = f x ( ) được suy ra t đô thi ham sô ừ ̀ ̣ ̀ ́ y = f x ( ) nh sau:ư
+ Gi nguyên phân đô thi ham sô ữ ̀ ̀ ̣ ̀ ́ y = f x ( ) năm trên truc hoanh̀ ̣ ̀
+ Lây đôi x ng qua truc hoanh phân đô thi ham sô ́ ́ ứ ̣ ̀ ̀ ̀ ̣ ̀ ́ y = f x ( ) năm d̀ ươi truc hoanh.́ ̣ ̀
Th c tr ng v n đ tr ự ạ ấ ề ướ c khi áp d ng sáng ki n kinh nghi m ụ ế ệ
Th c t d y h c và k t qu k thi t t nghi p THPT QG t i trự ế ạ ọ ế ả ỳ ố ệ ạ ường THPT Tân K 3: Nh ng khó khăn c a giáo viên và h c sinh trong d y và h c các bàiỳ ữ ủ ọ ạ ọ toán v n d ng cao trong chậ ụ ương hàm s d n đ n k t qu th p.ố ẫ ế ế ả ấ
Vê phia giao viên: Đa phân cac đông nghiêp tai tr̀ ́ ́ ̀ ́ ̀ ̣ ̣ ương THPT Tân Ky 3 rât̀ ̀ ́ it khi day cac bai toan m c vân dung va vân dung cao, môt phân vi năng l c hoć ̣ ́ ̀ ́ ở ứ ̣ ̣ ̀ ̣ ̣ ̣ ̀ ̀ ự ̣ sinh đai tra qua thâp môt phân vi kho khăn trong viêc tim kiêm tai liêu day hoc.̣ ̀ ́ ́ ̣ ̀ ̀ ́ ̣ ̀ ́ ̀ ̣ ̣ ̣ Điêu đo tao nên môt tâm ly e ngai khi găp phai cac bai toan kho, lâu dai dân đêǹ ́ ̣ ̣ ́ ̣ ̣ ̉ ́ ̀ ́ ́ ̀ ̃ ́ viêc giang day cho hoc sinh ôn thi đai hoc găp nhiêu kho khăn ̣ ̉ ̣ ̣ ̣ ̣ ̣ ̀ ́
Vê phia hoc sinh: S tiêp cân cac dang toan vân dung va vân dung cao coǹ ́ ̣ ự ́ ̣ ́ ̣ ́ ̣ ̣ ̀ ̣ ̣ ̀ it, tai liêu h́ ̀ ̣ ương dân ch a co dân đên kêt qua hoc tâp va thi ch a cao Cu thê kêt́ ̃ ư ́ ̃ ́ ́ ̉ ̣ ̣ ̀ ư ̣ ̉ ́ qua thi THPT QG năm 2019: Điêm trung binh môn toan cua l n 12A1 trong ky thỉ ̉ ̀ ́ ̉ ớ ̀
TN THPT QG năm 2018 2019 la 6.5 điêm ( thông kê điêm toan TN THPT 2018̀ ̉ ́ ̉ ́
Va nhiêu năm tr̀ ̀ ươc đo điêm thi THPT QG cua cac l p 12A1 tŕ ́ ̉ ̉ ́ ớ ương THPT Tâǹ
Các gi i pháp th c hi n ả ự ệ
2.3.1 Bài toán: Tìm đi u ki n đ hàm s ề ệ ể ố y = f x m ( ; ) đ n đi u trên m tơ ệ ộ kho ng cho trả ước.
2.3.1a Hàm s ố y = f x m ( ; ) đ ng bi n trên kho ng ồ ế ả ( ) a b ;
Phương phap phat hiên va giai quyêt vân đế ́ ̣ ̀ ̉ ́ ́ ̀
Bươc 1:́ Phat hiên/ thâm nhâp vân đê.́ ̣ ̣ ́ ̀
Câu hoi 1:̉ Chung ta đa biêt cach giai cac bai toan xet s đông biên, nghich́ ̃ ́ ́ ̉ ́ ̀ ́ ́ ự ̀ ́ ̣ biên cua cac ham sô ́ ̉ ́ ̀ ́ y = f x ( ); bai toan tim điêu kiên cua tham sô ̀ ́ ̀ ̀ ̣ ̉ ́ m đê ham sổ ̀ ́
( ; ) y = f x m đông biên trên khoang ̀ ́ ̉ ( ) a b ; Bai toan tim điêu kiên cua tham sô ̀ ́ ̀ ̀ ̣ ̉ ́ m để ham sô ̀ ́ y = f x m ( ; ) đông biên trên ̀ ́ ( ) a b ; co giai đ́ ̉ ược nh thê không?ư ́
Sau khi tiêp cân câu hoi thi hoc sinh se co nh ng suy nghi nay sinh nhiêú ̣ ̉ ̀ ̣ ̃ ́ ữ ̣ ̉ ̀ đinh ḥ ương khac nhau Nh ng co môt vân đê đăt ra la ph́ ́ ư ́ ̣ ́ ̀ ̣ ̀ ương phap giai cho baí ̉ ̀ toan nay co giông nh cac dang đa găp không? Hay co cach nao khac đê giai quyêt́ ̀ ́ ́ ư ́ ̣ ̃ ̣ ́ ́ ̀ ́ ̉ ̉ ́ bai toan nay n a không?̀ ́ ̀ ữ
Bươc 2:́ Tim toi h̀ ̀ ương giai bai toan.́ ̉ ̀ ́
Sau khi đăt câu hoi 1, hoc sinh đa t duy va phân tich bai toan, giao viên tiêp̣ ̉ ̣ ̃ư ̀ ́ ̀ ́ ́ ́ tuc đăt câu hoi cho hoc sinh.̣ ̣ ̉ ̣
Câu hoi 2:̉ Hay nhăc lai điêu kiên t̃ ́ ̣ ̀ ̣ ương đương cua bai toan tim điêu kiên̉ ̀ ́ ̀ ̀ ̣ cua tham sô ̉ ́ m đê ham sô ̉ ̀ ́ y = f x m ( ; ) đông biên trên khoang ̀ ́ ̉ ( ) a b ; ?
+ bỞ ươc nay hoc sinh se trinh bay đ́ ̀ ̣ ̃ ̀ ̀ ược điêu kiên t̀ ̣ ương đương là
+ Đên đây giao viên tiêp tuc phân tich, nêu tim đ́ ́ ́ ̣ ́ ́ ̀ ược đao ham cua ham sộ ̀ ̉ ̀ ́
( ; ) y = f x m thi chung ta se s dung điêu kiên t̀ ́ ̃ ử ̣ ̀ ̣ ương t Va đăt câu hoi 3.ự ̀ ̣ ̉
Câu hoi 3:̉ Hay bo dâu gia tri tuyêt đôi đê lây đ̃ ̉ ́ ́ ̣ ̣ ́ ̉ ́ ược đao ham cua ham sộ ̀ ̉ ̀ ́
+ bỞ ươc nay hoc sinh se co 2 đinh h́ ̀ ̣ ̃ ́ ̣ ương:́
+ Phân tich: b́ Ở ươc nay giao viên cân phân tich đê hoc sinh thây đ́ ̀ ́ ̀ ́ ̉ ̣ ́ ược viêc̣ s dung ử ̣ y = f x m ( ; ) = [ f x m ( ; ) ] 2 đê tinh đao ham Khi tim đ̉ ́ ̣ ̀ ̀ ược đao ham thi chung̣ ̀ ̀ ́ ta đa quy vê bai toan quen ̃ ̀ ̀ ́ y ' 0; ∀ x ( ; ) a b
Bươc 3:́ Trinh bay l i giai bai toan.̀ ̀ ờ ̉ ̀ ́
( ; ) f x m f x m f x m Đ hàm s ể ố y = f x m ( ; ) đ ng bi n trên kho ng ồ ế ả ( ) a b ; ۳ � ∀ y ' 0, x ( ; ) a b
Bươc 4:́ Đanh gia l i giai va nghiên c u sâu bai toań ́ ̀ơ ̉ ̀ ứ ̀ ́
Băng cach biên đôi ̀ ́ ́ ̉ y = f x m ( ; ) = [ f x m ( ; ) ] 2 chung ta đa quy bai toan vê bai toań ̃ ̀ ́ ̀ ̀ ́ quen ۳ � ∀ y ' 0, x ( ; ) a b
Bai toan con co cac cach giai khac: ̀ ́ ̀ ́ ́ ́ ̉ ́
← Phân tích: N u đ hàm s ế ồ ố y = f x m ( ; ) th c t tr c ị ắ ụ Ox
Ta suy ra đ th hàm s ồ ị ố y = f x m ( ; ) nh sauư
Vì v y hàm s ậ ố y = f x m ( ; ) không đ n đi u trên kho ng ơ ệ ả ( ) a b ; được.
(Nên đ th hàm s không th c t tr c ồ ị ố ể ắ ụ Ox được, ta ch có hai trỉ ường h p sauợ đây)
Trương h p 1: ̀ ợ Đi u ki n bài toán trong trề ệ ường h p này là ợ '( ; ) 0 ( ; )
Trương h p 2: ̀ ợ Đi u ki n c a bài toán trong trề ệ ủ ường h p này là ợ '( ; ) 0 , ( ; )
Cách 3: S d ng b ng bi n thiên ử ụ ả ế
Trong trường h p ợ y ' 0 = nh m đẩ ược các nghi m thì ta có th l p b ng bi nệ ể ậ ả ế thiên sau đó gi a vào b ng bi n thiên đ tìm đi u ki n c a bài toán.ữ ả ế ể ề ệ ủ
2.3.1b Hàm s ố y = f x m ( ; ) ngh ch bi n trên kho ng ị ế ả ( ) a b ;
Phân tích tương t bài toán đ ng bi n ta có:ự ồ ế
Cách 1: S d ng đi u ki n đ đ hàm s đ ng bi n, ngh ch bi nử ụ ề ệ ủ ể ố ồ ế ị ế
( ; ) f x m f x m f x m Đ hàm s ể ố y = f x m ( ; ) ngh ch bi n trên kho ng ị ế ả ( ) a b ; ∀� y ' 0, x ( ; ) a b
Trương h p 1: ̀ ợ Đi u ki n bài toán trong trề ệ ường h p này là ợ '( ; ) 0 , ( ; ).
Trương h p 2: ̀ ợ Đi u ki n bài toán trong trề ệ ường h p này là ợ '( ; ) 0 , ( ; ).
Cách 3: S d ng b ng bi n thiênử ụ ả ế
Trong trường h p ợ y ' 0 = nh m đẩ ược các nghi m thì ta có th l p b ng bi nệ ể ậ ả ế thiên sau đó gi a vào b ng bi n thiên đ tìm đi u ki n c a bài toán.ữ ả ế ể ề ệ ủ
Các trường h p đ n đi u trên ợ ơ ệ [ ] a b ; , ( − ; b ] , [ a ; + ) , ( a ; + ) , ( − ;b ) Ta phân tích tương t ự
Ví d 1: ụ T ng t t c các giá tr nguyên thu c ổ ấ ả ị ộ [ − 5;5 ] c a tham s ủ ố m đ ể hàm s ố 1 3 ( 1) 2 (2 3) 2
3 3 y = x + m − x + m − x − đ ng bi n trên kho ng ồ ế ả ( ) 1;5 là
N u đ th hàm s ế ồ ị ố y = f x ( ) c t tr c hoành và có đ i d u trong kho ng ắ ụ ổ ấ ả ( ) 1;5 thì đ th hàm s ồ ị ố y = f x ( ) không đ n đi u trên ơ ệ ( ) 1;5
Nên y = f x ( ) không đ i d u trên kho ng ổ ấ ả ( ) 1;5 hàm s ố y = f x ( ) đ ng bi n trên ồ ế ( ) 1;5 x y ra hai trả ường h pợ
Hàm s ố y = f x ( ) đ ng bi n và đ th n m phía trên tr c hoành trên kho ng ồ ế ồ ị ằ ụ ả ( ) 1;5
Hàm s ố y = f x ( ) ngh ch bi n và đ th n m phía dị ế ồ ị ằ ưới tr c hoành trên kho ngụ ả
C hai Trả ương h p ta đ̀ ợ ược
V y t ng các giá tr c a ậ ổ ị ủ m th a mãn bài toán b ng ỏ ằ − 1
Cách 2: S d ng đi u ki n đ đ hàm s đ ng bi n, ngh ch bi nử ụ ề ệ ủ ể ố ồ ế ị ế
= f x = f x f x '( ) ( ) f x ( ) Đ hàm s ể ố y = f x ( ) đ ng bi n trên kho ng ồ ế ả ( ) 1;5 ۳ � ∀ y ' 0, x (1;5)
C hai trả ương h p ta đ̀ ợ ược
V y t ng các giá tr c a ậ ổ ị ủ m th a mãn bài toán b ng ỏ ằ − 1
Cách 3: S d ng b ng bi n thiênử ụ ả ế
Ta có b ng bi n thiên ả ế x − 3 2m − − 1 +
T b ng bi n thiên suy raừ ả ế Đ hàm s ể ố y = f x ( ) đ ng bi n trên kho ng ồ ế ả ( ) 1;5 f (1) 0
Ta có b ng bi n thiên ả ế x − − 1 3 2m − +
T b ng bi n thiên suy raừ ả ế Đ hàm s ể ố y = f x ( ) đ ng bi n trên kho ng ồ ế ả ( ) 1;5 có hai kh năng nh sauả ư
C hai trả ương h p ta đ̀ ợ ược
V y t ng các giá tr c a ậ ổ ị ủ m th a mãn bài toán b ng ỏ ằ − 1
Nh n xét:ậ M i cách làm có m t u đi m nh t đ nh, các em c n nh n đ nh đỗ ộ ư ể ấ ị ầ ậ ị ược nh ng d u hi u c a hàm s phù h p đ đ nh hữ ấ ệ ủ ố ợ ể ị ướng cách gi i nhanh.ả
Ví d 2: ụ Có bao nhiêu giá tr nguyên dị ương c a tham s ủ ố m đ hàm sể ố
2 3 1 y = x − mx + đ ng bi n trên kho ng ồ ế ả (1; + )
Nh n th y ậ ấ f x '( ) 0 = nh m đẩ ược nghi m nên chúng ta s d ng cách b ngệ ử ụ ả bi n thiênế
Trương h p 1: N u ̀ ợ ế m 0 thì hàm s đ ng bi n trên ố ồ ế
Ta có b ng bi n thiên ả ế x − 6
T b ng bi n thiên suy raừ ả ế Đ hàm s ể ố y = 2 x 3 − mx + 1 đ ng bi n trên kho ng ồ ế ả (1; + )
T hai trừ ường h p ta đợ ược m 6
Nh n xét:ậ N u ế f x '( ) 0 = nh m đẩ ược nghi m các em nên ch n cách l p b ngệ ọ ậ ả bi n thiên, đây là cách phân tích d hi u nh t.ế ễ ể ấ
Ví d 3: ụ Có bao nhiêu giá tr nguyên c a tham s ị ủ ố m đ hàm sể ố
5 5 2 5( 1) 8 y = x − x + m − x − ngh ch bi n trên kho ng ị ế ả ( − ;1)?
Nh n th y ậ ấ f x '( ) 0 = không nh m đẩ ược nghi m nên ta không dùng cách 3 đệ ể gi i bài toán này, mà dung cách 1 ả
Ta có x lim ( ) − f x = − nên hàm s ố y = f x ( ) ngh ch bi n trên kho ng ị ế ả ( − ;1 )
Nh n xét:ậ Khi nh n đ nh đậ ị ược gi i bài toán theo cách 1 ho c 2 thì các em c nả ặ ầ nh n th y nhánh ậ ấ ở − đ th ồ ị f x ( ) n m dằ ưới tr c hoành đ không ph i xét haiụ ể ả trường h p ợ
Ví d 4: ụ Có bao nhiêu giá tr nguyên c a tham s ị ủ ố m nh h n ỏ ơ 10 đ hàm sể ố
3 4 12 y = x − x − x + m ngh ch bi n trên kho ng ị ế ả ( − − ; 1 ? )
Nên hàm s ố y = f x ( ) ngh ch bi n trên kho ng ị ế ả ( − − ; 1 ) f x f x ( ) 0 '( ) 0 , ∀ x � � ( − − ; 1) 12 3 12 2 24 0 , ( ; 1)
Vì m nguyên và nh h n ỏ ơ 10 nên m { 5;6;7;8;9 }
Cách 2: S d ng b ng bi n thiênử ụ ả ế
Ta có b ng bi n thiênả ế x − − 1 0 2 +
T b ng biên thiên suy raừ ả Đ hàm s ể ố y = f x ( ) ngh ch bi n trên kho ng ị ế ả ( − − ; 1 ) m − 5 0 m 5
Vì m nguyên và nh h n ỏ ơ 10 nên m { 5;6;7;8;9 }
Nh n xét:ậ Bài toán này chúng ta có th làm b ng ba cách, nh ng các em c nể ằ ư ầ nh n đ nh các d u hi u đ gi m b t các l p lu n th a.ậ ị ấ ệ ể ả ớ ậ ậ ừ
Ví d 5: ụ Có t t c bao nhiêu giá tr nguyên c a tham s ấ ả ị ủ ố m đ hàm sể ố
3 3( 1) 2 3 ( 2) y = x − m + x + m m + x đ ng bi n trên kho ng ồ ế ả (0; + ) , bi t r ngế ằ
L i gi i:ờ ả Đăt ̣ f x ( ) = − x 3 3( m + 1) x 2 + 3 ( m m + 2) x xác đ nh trên ị
Ta có b ng bi n thiênả ế x − m m + 2 +
T b ng bi n thiên suy raừ ả ế Đ hàm s ể ố y = f x ( ) đ ng bi n trên kho ng ồ ế ả (0; + ) 2 0
Nh n xét:ậ Bài này các em nh n th y ậ ấ f x '( ) 0 = nh m đẩ ược nghi m nên ta ch nệ ọ cách 3 đ gi i.ể ả
Ví d 6: ụ Tinh tông ́ ̉ S tât ca cac gia tri nguyên cua tham sô ́ ̉ ́ ́ ̣ ̉ ́ m trong đoaṇ
Ham sô ̀ ́ y = f x ( ) đông biên trên ̀ ́ ( 1; + ) khi xay ra hai tr̉ ương h p saù ợ
Vây ̣ m � (1; + � ) , vi ̀ m nguyên va thuôc đoan ̀ ̣ ̣ [ − 10;10 ]
Nhân xet:̣ ́ Đôi v i ham phân th c bâc nhât trên bâc nhât thi đao ham luôn khać ớ ̀ ứ ̣ ́ ̣ ́ ̀ ̣ ̀ ́ không va chu y tâp xac đinh phai ch a khoang ̀ ́ ́ ̣ ́ ̣ ̉ ứ ̉ ( ; ) a b
Ví d 7: ụ Co bao nhiêu gia tri nguyên âm cua tham sô ́ ́ ̣ ̉ ́ m đê ham sổ ̀ ́
Ta nhân thây ̣ ́ x lim ( ) + f x = + Đê ham sô ̉ ̀ ́ y = f x ( ) đông biên trên ̀ ́ [ 5; + )khi va chì ̉ khi f x f x ( ) 0 '( ) 0 , ∀ x � [ 5; + � ) [ )
Do m nguyên âm ta co ́ m � { − − − − − − − − 8; 7; 6; 5; 4; 3; 2; 1 }
Nhân xet:̣ ́ Khi phân tich bai toan chung ta cân năm v ng ph́ ̀ ́ ́ ̀ ́ ự ương phap cho baí ̀ toan tông quat Đê ham sô ́ ̉ ́ ̉ ̀ ́ y = f x ( ) đông biên trên ̀ ́ [ 5; + )khi xay ra hai tr̉ ương̀ h p la trợ ̀ ương h p 1: ̀ ợ f x f x ( ) 0 '( ) 0 , ∀ x � [ 5; + � ) va tr̀ ương h p 2: ̀ ợ f x f x ( ) 0 '( ) 0 , ∀ x � [ 5; + � )
Tuy nhiên chung ta phat hiên đ́ ́ ̣ ược răng ̀ x lim ( ) + f x = + nên yêu câu bai toan chì ̀ ́ ̉ xay ra tr̉ ương h p 1.̀ ợ
Ví d 8: ụ Cho ham sô ̀ ́ y = x 2 − − 3 2 x − 3 m , Co bao nhiêu gia tri nguyên cuá ́ ̣ ̉ tham sô ́ m thuôc khoang ̣ ̉ ( − 5;5 ) đê ham sô đa cho nghich biên trên khoang ̉ ̀ ́ ̃ ̣ ́ ̉ ( ) 2;3 ?
Xet ham sô ́ ̀ ́ f x ( ) = x 2 − − 3 2 x − 3 m trên ( ) 2;3 co ́
Ta thây ́ f x '( ) 0, < ∀ x ( ) 2;3 nên ham sô ̀ ́ f x ( ) nghich biên trên ̣ ́ ( ) 2;3
Suy ra yêu câu cua bai toan ̀ ̉ ̀ ́ f x ( ) 0, x ∀ ( ) 2;3 f (3) 0
Do m nguyên va thuôc khoang ̀ ̣ ̉ ( − 5;5 ) m { 2; 3; 4 }
Nhân xet:̣ ́ Đê ham sô ̉ ̀ ́ y = f x ( ) đông biên trên ̀ ́ ( ) 2;3 khi xay ra hai tr̉ ương h p là ợ ̀
Tuy nhiên ta phat hiên thây ́ ̣ ́ f x '( ) 0, < ∀ x ( ) 2;3 nên chi xay ra tr̉ ̉ ương h p 1̀ ợ
Do đo khi giai môt bai toan ngoai năm v ng ph́ ̉ ̣ ̀ ́ ̀ ́ ự ương phap, chung ta con phai phâń ́ ̀ ̉ tich bai toan đê phat hiên ra nh ng điêu kiên đê bai toan tr nên ngăn gon h n.́ ̀ ́ ̉ ́ ̣ ữ ̀ ̣ ̉ ̀ ́ ở ́ ̣ ơ
Ví d 9: ụ Cho ham sô ̀ ́ y = sin 3 x m − sin x + 1 , goi ̣ S la tâp h p tât ca cac sô t ̀ ̣ ợ ́ ̉ ́ ́ự nhiên m sao cho ham sô đa cho đông biên trên khoang ̀ ́ ̃ ̀ ́ ̉ 0;
� � ham sô ̀ ́ y = sin x đông biên.̀ ́ Khi đo ham sô ́ ̀ ́ y = sin 3 x m − sin x + 1 đông biên trên khoang ̀ ́ ̉ 0;
� � khi va chi khì ̉ ham sô ̀ ́ y t = − 3 mt + 1 đông biên trên ̀ ́ ( ) 0;1
Xet ham sô ́ ̀ ́ f t ( ) = − t 3 mt + 1 trên khoang ̉ ( ) 0;1 co ́ f t '( ) 3 = t 2 − m
Trương h p 1: Nêu ̀ ợ ́ m 0 thi ̀ f t '( ) 0 ham sô ̀ ́ y = f t ( ) đông biên ̀ ́ Đê ham sô ̉ ̀ ́ y = f t ( ) đông biên trên ̀ ́ ( ) 0;1 f (0) 0 1 0 luôn đunǵ
Ta co bang biên thiên ́ ̉ ́ x −
− < < Đê ham sô ̉ ̀ ́ y = f t ( ) đông biên trên ̀ ́ ( ) 0;1 1 3
T hai trừ ương h p trên ta co ̀ ợ ́ m 0
Nhân xet:̣ ́ Bai toan nay đao ham tim đ̀ ́ ̀ ̣ ̀ ̀ ược nghiêm nên ta s dung bang biên thiêṇ ử ̣ ̉ ́ đê phân tich va đ a ra điêu kiên t̉ ́ ̀ ư ̀ ̣ ương đương Chung ta chu y điêu kiên ́ ́ ́ ̀ ̣ m > 0
− < < đê không phai xet nhiêu tr̉ ̉ ́ ̀ ương h p khoang ̀ ợ ̉ ( ) 0;1 năm trong haỳ năm ngoai khoang ̀ ̀ ̉ ;
Ví d 10: ụ Cho ham sô ̀ ́ y = ln( mx ) − + x 2 , co bao nhiêu gia tri nguyên cuá ́ ̣ ̉ tham sô ́ m đê ham sô đa cho nghich biên trên khoang ̉ ̀ ́ ̃ ̣ ́ ̉ (1;4) ? Biêt răng ́ ̀ m < 2020
Xet ham sô ́ ̀ ́ f x ( ) ln( = mx ) − + x 2 trên (1;4)
= − < x ∀ x ( ) 1;4 ham sô ̀ ́ f x ( ) nghich biên trên ̣ ́ (1;4). Đê ham sô ̉ ̀ ́ y = f x ( ) nghich biên trên ̣ ́ (1;4) khi va chi khi ̀ ̉ f (4) 0 ln(4 ) 2 0 m − 2
Nhân xet:̣ ́ Đôi v i ham sô lôgarit chung ta cân chu y t i điêu kiên xac đinh baí ớ ̀ ́ ́ ́ ̀ ́ ́ ́ơ ̀ ̣ ́ ̣ Ở ̀ toan nay ta nhân thây ́ ̀ ̣ ́ f x '( ) 0 < nên bai toan chi xay ra môt tr̀ ́ ̉ ̉ ̣ ương h p̀ ợ
Bài 1: Có bao nhiêu giá tr nguyên dị ương c a tham s ủ ố m đ hàm sể ố
3 2 y = x + x + + x m đ ng bi n trên kho ng ồ ế ả (0; + ) ? bi t r ng ế ằ m < 5
Bài 2: Có bao nhiêu giá tr nguyên c a tham s ị ủ ố m thu c kho ng ộ ả ( 10;10) − để hàm s ố y = 2 x 3 − 2 mx + 3 đ ng bi n trên kho ng ồ ế ả (1; + ) ?
Bài 3: T p h p t t c các giá tr c a tham s ậ ợ ấ ả ị ủ ố m đ hàm sể ố
3 3 2 4 y = x − x + − m đ ng bi n trên kho ng ồ ế ả (3; + ) là
Bài 4: G i ọ S = [ a ; + ) là t p h p t t c các giá tr c a tham s ậ ợ ấ ả ị ủ ố m đ hàm sể ố
3 1 y = x − x + mx m + + đ ng bi n trên kho ng ồ ế ả (2; + ) Khi đó a b ngằ
Bài 5: Cho hàm s ố y = x 3 − mx + 1 G i ọ S là t p t t c các s t nhiên ậ ấ ả ố ự m sao cho hàm s đ ng bi n trên ố ồ ế [ 1; + ) Tính t ng t t c các ph n t c a ổ ấ ả ầ ử ủ S
Bài 6: Tim tât ca cac gia tri th c cua tham sô ̀ ́ ̉ ́ ́ ̣ ự ̉ ́ m sao cho ham sô ̀ ́
Bài 7: Co bao nhiêu sô nguyên ́ ́ m đê ham sô ̉ ̀ ́
Bài 8: Tim tât ca cac gia tri cua tham sô ̀ ́ ̉ ́ ́ ̣ ̉ ́ m đê ham sô ̉ ̀ ́ y x m 1 x m
Bài 9: Co bao nhiêu gia tri nguyên cua tham sô ́ ́ ̣ ̉ ́ m đê ham sô ̉ ̀ ́ 1 2 1
Bài 10: Tim tât ca cac gia tri th c cua tham sô ̀ ́ ̉ ́ ́ ̣ ự ̉ ́ m đê ham sô ̉ ̀ ́ y x m 2
A m 1 B − 1 m 1 C m 1 D m > 0 Bài 11: Biêt răng tâp h p tât ca cac gia tri cua tham sô ́ ̀ ̣ ợ ́ ̉ ́ ́ ̣ ̉ ́ m sao cho ham sồ ́
+ đông biên trên ̀ ́ ( 2; + ) la ̀[ ] a b ; Tinh ́ a b +
Bài 12: Co bao nhiêu sô nguyên cua tham sô ́ ́ ̉ ́ m thuôc đoan ̣ ̣ [ 0;10 ] đê ham sổ ̀ ́
Bài 13: Cho ham sô ̀ ́ y = x 2 + 2 x + − + 2 x m , trong đo ́ m la tham sô th c Goì ́ ự ̣
S la tâp h p tât ca cac gia tri nguyên cua ̀ ̣ ợ ́ ̉ ́ ́ ̣ ̉ m trên đoan ̣ [ − 2020;2020 ] đê ham sổ ̀ ́ đông biên trên khoang ̀ ́ ̉ ( − + 1; ) Sô phân t cua tâp ́ ̀ ử ̉ ̣ S là
Bài 14: Cho ham sô ̀ ́ y = x 2 + + 3 2 x m + 2 − 5 m , tim tât ca cac gia tri cua tham̀ ́ ̉ ́ ́ ̣ ̉ sô ́ m đê ham sô đa cho đông biên trên khoang ̉ ̀ ́ ̃ ̀ ́ ̉ ( 1; + )
Bài 15: Co bao nhiêu gia tri nguyên cua tham sô ́ ́ ̣ ̉ ́ m thuôc đoan ̣ ̣ [ − 5;5 ] đê ham̉ ̀ sô ́ y = cos 3 x − 3 m 2 cos x nghic biên trên ̣ ́ 0; ?
Bài 16: Co bao nhiêu gia tri nguyên d́ ́ ̣ ương cua tham sô ̉ ́ m đê ham sổ ̀ ́
Bài 17: Co bao nhiêu gia tri nguyên d́ ́ ̣ ương cua tham sô ̉ ́ m va nho h n ̀ ̉ ơ 2020 đê ham sô ̉ ̀ ́ y = 4 x − m 2 x + 1 + + m 2 đông biên trên khoang ̀ ́ ̉ ( ) 0;1 ?
Bài 18: Cho ham sô ̀ ́ y e = x + e 2 x − m , gia tri l n nhât cua tham sô ́ ̣ ớ ́ ̉ ́ m đê ham sổ ̀ ́ đa cho đông biên trên ̃ ̀ ́ ( ) 1;2 là
Bài 19: Cho ham sô ̀ ́ y = ln(3 ) 4 x − x 2 + m , co bao nhiêu gia tri nguyên cua thaḿ ́ ̣ ̉ sô ́ m thuôc khoang ̣ ̉ ( − 100;100 ) đê ham sô đa cho đông biên trên đoan ̉ ̀ ́ ̃ ̀ ́ ̣ � � � � 1; e 2 ?
Bài 20: Cho ham sô ̀ ́ y = ln( x 3 + mx + 2) , co bao nhiêu gia tri nguyên cua thaḿ ́ ̣ ̉ sô ́ m thuôc đoan ̣ ̣ [ − 3;3 ] đê ham sô đa cho đông biên trên n a khoang ̉ ̀ ́ ̃ ̀ ́ ử ̉ [ ) 1;3 ?
2.3.2 Bài toán: Tìm đi u ki n c a tham s ề ệ ủ ố m đ hàm s ể ố y = f x m ( ; ) có n đi m c c tr ể ự ị
2.3.2a Phương pháp phat hiên va giai quyêt vân đế ̣ ̀ ̉ ́ ́ ̀
Bươc 1:́ Phat hiên/ thâm nhâp vân đê.́ ̣ ̣ ́ ̀
Câu hoi 1:̉ Cac em đa biêt cach giai cac bai toan tim cac điêm c c tri cuá ̃ ́ ́ ̉ ́ ̀ ́ ̀ ́ ̉ ự ̣ ̉ ham sô ̀ ́ y = f x ( ) ; tim điêu kiên cua tham sô ̀ ̀ ̣ ̉ ́ m đê ham sô ̉ ̀ ́ y = f x m ( ; ) co ́ n điêm̉ c c tri Bai toan tim điêu kiên cua tham sô ự ̣ ̀ ́ ̀ ̀ ̣ ̉ ́ m đê ham sô ̉ ̀ ́ y = f x m ( ; ) co ́ n điêm̉ c c tri se đự ̣ ̃ ược giai nh thê nao?̉ ư ́ ̀
+ bỞ ươc nay, sau khi tiêp nhân câu hoi thi hoc sinh se co nhiêu h́ ̀ ́ ̣ ̉ ̀ ̣ ̃ ́ ̀ ương giaí ̉ quyêt Nh ng se lam nay sinh trong hoc sinh cac vân đê t duy: Dang toan nay đá ư ̃ ̀ ̉ ̣ ́ ́ ̀ư ̣ ́ ̀ ̃ găp hay ch a? Pḥ ư ương phap giai hiên tai co giai đ́ ̉ ̣ ̣ ́ ̉ ược hay không? Nêu không thí ̀ co h́ ương giai quyêt khac không?́ ̉ ́ ́
Bươc 2:́ Tim toi h̀ ̀ ương giai bai toań ̉ ̀ ́
Khi hoc sinh đang phân tich bai toan, giao viên tiêp tuc đăt câu hoi cho hoc sinh.̣ ́ ̀ ́ ́ ́ ̣ ̣ ̉ ̣ Câu hoi 2:̉ Em hay nhăc lai điêu kiên đê ham sô ̃ ́ ̣ ̀ ̣ ̉ ̀ ́ f x ( ;m) co ́ n điêm c c tri?̉ ự ̣
+ bỞ ươc nay hoc sinh se nh lai đ́ ̀ ̣ ̃ ơ ̣ ượ́ c điêu kiên t̀ ̣ ương đương cua bai toan̉ ̀ ́ ham sô ̀ ́ f x ( ;m) co ́ n điêm c c tri ̉ ự ̣ phương trinh ̀ f x '( ;m) 0 = co ́ n nghiêm laṃ ̀
+ Đôi v i hoc sinh yêu h n thi giao viên co thê g i m : Nhăc lai điêu kiêń ớ ̣ ́ ơ ̀ ́ ́ ̉ ợ ở ́ ̣ ̀ ̣ đu đê ham sô co c c tri.̉ ̉ ̀ ́ ́ ự ̣
+ Phân tich: Giao viên phân tich, nêu bo đ́ ́ ́ ́ ̉ ược dâu gia tri tuyêt đôi thi chunǵ ́ ̣ ̣ ́ ̀ ́ ta đa đ a bai toan ̃ ư ̀ ́ f x m ( ; ) vê bai toan trên, giao viên tiêp tuc đăt câu hoi.̀ ̀ ́ ́ ́ ̣ ̣ ̉
Câu hoi 3:̉ Em hay kh dâu gia tri tuyêt đôi cua ham sô ̃ ử ́ ́ ̣ ̣ ́ ̉ ̀ ́ y = f x m ( ; )
+ bỞ ươc nay hoc sinh se co hai đinh h́ ̀ ̣ ̃ ́ ̣ ương:́
+ Phân tich: Giao viên phân tich, nêu s dung h́ ́ ́ ́ ử ̣ ương 1 thi đao ham cho b í ̀ ̣ ̀ ở nhiêu công th c thi viêc xet sô nghiêm cua hai ph̀ ứ ̀ ̣ ́ ́ ̣ ̉ ương trinh ̀ f x '( ;m) 0 = và
− f x = găp kho khăn trong viêc xac đinh sô nghiêm Ta s dung ḥ ́ ̣ ́ ̣ ́ ̣ ử ̣ ương 2: ́
' 0 y = co ́ n nghiêm lam cho ̣ ̀ y ' đôi dâu.̉ ́
(S d ng đi u ki n đ đ hàm s có c c tr )ử ụ ề ệ ủ ể ố ự ị
S đi m c c tr c a hàm s ố ể ự ị ủ ố y = f x ( ) là s nghi m đ n ho c nghi m b i l c aố ệ ơ ặ ệ ộ ẻ ủ phương trình f x m f x m '( ; ) ( ; ) 0 = f x m f x m ( ; ) 0 '( ; ) 0 = =
Nh v y s đi m c c tr c a hàm s ư ậ ố ể ự ị ủ ố y = f x ( ) chính là s đi m c c tr c a hàmố ể ự ị ủ s ố y = f x ( ) và s giao đi m c a ố ể ủ y = f x ( ) v i tr c hoành ( không tính đi m ti pớ ụ ể ế xúc).
Minh h a b ng đ th :ọ ằ ồ ị Đ th ồ ị y = f x ( ) Đ th ồ ị y = f x ( )
Bươc 4: Đanh gia l i giai va nghiên c u sâu bai toań ́ ́ ̀ơ ̉ ̀ ứ ̀ ́
+ Bai toan nay thoat nhin ham sô ch a dâu gia tri tuyêt đôi lam cho chung tà ́ ̀ ̣ ̀ ̀ ́ ứ ́ ́ ̣ ̣ ́ ̀ ́ thây kho khăn, nh ng khi đ a vê ham sô ́ ́ ư ư ̀ ̀ ́ y = [ f x m ( ; ) ] 2 va tim đ ̀ ̀ ượ c đao ham ̣ ̀
' ( ; ) f x m f x m y = f x m thi ta đa quy vê bai toan quen.̀ ̃ ̀ ̀ ́
+ Ngoai cach giai trên chung ta con co thê s dung đô thi hoăc băng biêǹ ́ ̉ ́ ̀ ́ ̉ ử ̣ ̀ ̣ ̣ ̉ ́ thiên đê tim điêu kiên t̉ ̀ ̀ ̣ ương đương cua bai toan.̉ ̀ ́
Cách 2: S d ng b ng bi n thiênử ụ ả ế
N u hàm s ế ố y = f x m ( ; ) nh m đẩ ược nghi m c a đ o hàm ệ ủ ạ f x m '( ; ) thì chúng ta l p b ng bi n thiên, t đó phân tích và đ a ra các đi u ki n tậ ả ế ừ ư ề ệ ương đương c aủ bài toán
Ví d 1:ụ Có t t c bao nhiêu s nguyên ấ ả ố m thu c đo n ộ ạ [ − 2020;2020 ] đ hàmể s ố y = x 3 − 3 x 2 + m có ba đi m c c tr ?ể ự ị
Cách 1: S d ng đi u ki n đ đ hàm s có c c trử ụ ề ệ ủ ể ố ự ị
S đi m c c tr c a hàm s ố ể ự ị ủ ố y = f x ( ) là s nghi m đ n ho c nghi m b i lố ệ ơ ặ ệ ộ ẻ c a phủ ương trình f x f x '( ) ( ) 0 = '( ) 0
− + = Đ hàm s có 3 đi m c c tr ể ố ể ự ị (*) có hai trường h pợ
+ Hai nghi m trong đó m t nghi m khác ệ ộ ệ 0 và khác 2nghi m còn l i làệ ạ nghi m kép b ng ệ ằ 0 ho c b ng ặ ằ 2.
Xét hàm s ố g( ) x = − + x 3 3 x 2 xác đ nh trên ị
Ta có b ng bi n thiên ả ế x − 0 0 +
T b ng bi n thiên suy raừ ả ế Đi u ki n bài toán ề ệ 4
Do m nguyên và thu c đo n ộ ạ [ − 2020;2020 ]suy ra có 4043 giá tr ị m th a mãnỏ bài toán.
Cách 2: S d ng b ng bi n thiênử ụ ả ế
Ta có b ng bi n thiên ả ế x − 0 2 +
T b ng bi n thiên suy raừ ả ế Đ hàm s ể ố y = f x ( ) có 3 đi m c c tr ể ự ị 0
Do m nguyên và thu c đo n ộ ạ [ − 2020;2020 ] suy ra có 4043 giá tr ị m th a mãnỏ bài toán.
Nh n xét:ậ Các em c n n m v ng phầ ắ ữ ương pháp và nh n ra các d u hi u đ đinhậ ấ ệ ể hướng nhanh l i gi i c a bài toán Ngoài hai cách trên các em có th s d ngờ ả ủ ể ử ụ phép suy đ th đ gi i nhan bài toán này.ồ ị ể ả
Ví d 2: ụ Có bao nhiêu giá tr nguyên c a tham s ị ủ ố m đ hàm sể ố
Ta có b ng bi n thiênả ế x − − 1 0 2 +
T b ng bi n thiên suy raừ ả ế Đ hàm s ể ố y = 3 x 4 − 4 x 3 − 12 x 2 + m có 7 đi m c c tr ể ự ị đ th hàm s ồ ị ố y = f x ( ) c tắ tr c hoành t i 4 đi m phân bi t ụ ạ ể ệ 0
Nh n xét:ậ bài toán này ta nh n th y ở ậ ấ f x '( ) 0 = nh m đẩ ược h t nghi m nên taế ệ ch n cách l p b ng bi n thiên.ọ ậ ả ế
Ví d 3: ụ Cho hàm s ố y = x 4 − 2( m − 1) x 2 + 2 m − 3 Có bao nhiêu s nguyênố không âm c a tham s ủ ố m đ hàm s đã cho có ba đi m c c tri.ể ố ể ự ̣
Ta có f x '( ) 0 = x = 0 ( là nghi m đ n ho c nghi m b i 3)ệ ơ ặ ệ ộ
Ta có b ng bi n thiên ả ế x − 0 +
T b ng bi n thiên suy raừ ả ế Đ hàm s ể ố y = f x ( ) có ba đi m c c tr ể ự ị đ th hàm s c t tr c hoành t i 2ồ ị ố ắ ụ ạ đi m phân bi t ể ệ 2 m − < 3 0 3 m < 2 k t h p ế ợ m 1 ta được m 1
Ta có b ng bi n thiênả ế x − − m − 1 0 m − 1 +
T b ng bi n thiên suy raừ ả ế Đ hàm s ể ố y = f x ( ) có ba đi m c c tr ể ự ị − m 2 + 4 m − 4 0 m = 2 th a mãn đi uỏ ề ki n ệ m > 1
T hai trừ ường h p trên ta có ợ 1
Do m nguyên và không âm nên m { 0;1;2 }
Ví d 4: ụ Có bao nhiêu giá tr nguyên c a tham s ị ủ ố m đ hàm sể ố
L i gi i:ờ ả Đ t ặ f x ( ) = + x 3 (2 m − 1) x 2 + (2 m 2 − 2 m − 9) x − 2 m 2 + 9 xác đ nh trên ị Đ hàm s ể ố y = f x ( ) có 5 đi m c c tr ể ự ị hàm s ố y = f x ( ) có 2 đi m c c trể ự ị và đ th ồ ị y = f x ( ) c t tr c hoành t i 3 đi m phân bi t ắ ụ ạ ể ệ
Phương trình x 3 + (2 m − 1) x 2 + (2 m 2 − 2 m − 9) x − 2 m 2 + = 9 0 (*) có 3 nghi m phân bi tệ ệ
Ta có phương trình (*) có 3 nghi m phân bi t ệ ệ phương trình (**) có 2 nghi mệ phân bi t và khác ệ 1 g(1) 0 ∆ > ' 0
Nh n xét:ậ Hàm s b c ba ố ậ y = f x ( ) có hai c c tr và đ th c t tr c hoành t i 3ự ị ồ ị ắ ụ ạ đi m phân bi t thì đ th hàm s ể ệ ồ ị ố y = f x ( ) có 5 đi m c c tr ể ự ị Đ th ồ ị y = f x ( ) Đ th ồ ị y = f x ( )
Ví d 5: ụ Cho ham sô bâc ba ̀ ́ ̣ y = f x ( ) co đô thi nh hinh ve bên d́ ̀ ̣ ư ̀ ̃ ươi.́
Tât ca cac gia tri cua tham sô ́ ̉ ́ ́ ̣ ̉ ́ m đê ham sô ̉ ̀ ́ y = f x ( ) + m co 5 điêm c c tri lá ̉ ự ̣ ̀
Xet ham sô ́ ̀ ́ g x ( ) = f x ( ) + m xac đinh trên ́ ̣ , co ́ g x '( ) = f x '( )
Suy ra sô điêm c c tri cua ham sô ́ ̉ ự ̣ ̉ ̀ ́ y = g x ( ) la sô nghiêm đ n hoăc nghiêm bôi lè ́ ̣ ơ ̣ ̣ ̣ ̉ cua ph̉ ương trinh ̀ g x g x '( ) ( ) 0 = g x g x ( ) 0 '( ) 0 = = f x f x ( ) '( ) 0 + = = m 0 (2) (1)
T đô thi ta co Phừ ̀ ̣ ́ ương trinh (1) co hai nghiêm phân biêt ̀ ́ ̣ ̣ x 1 , x 2 Đê ham sô ̉ ̀ ́ y = g x ( ) co 5 điêm c c tri ́ ̉ ự ̣ Phương trinh (2) co ba nghiêm phân biêt̀ ́ ̣ ̣ va khac ̀ ́ x 1 , x 2 f x ( ) = − m co ba nghiêm phân biêt va khac ́ ̣ ̣ ̀ ́ x 1 , x 2 , t đô thi suy ra ừ ̀ ̣ − < − < 3 m 1 − < < 1 m 3
Vây ̣ − < < 1 m 3 ham sô ̀ ́ y = f x ( ) + m co 5 điêm c c trí ̉ ự ̣
Nhân xet:̣ ́ Đây la bai toan điên hinh cho viêc phân tich đô thi đê xac đinh sô giaò ̀ ́ ̉ ̀ ̣ ́ ̀ ̣ ̉ ́ ̣ ́ điêm va sô c c tri cua ham sô.̉ ̀ ́ ự ̣ ̉ ̀ ́
+ ( v i ớ m la tham sô th c) co nhiêu nhât̀ ́ ự ́ ̀ ́ bao nhiêu điêm c c tri?̉ ự ̣
Ta co bang biên thiên ́ ̉ ́ x − − 1 1 +
Ta nhân thây ham sô ̣ ́ ̀ ́ g x ( ) luôn co hai điêm c c trí ̉ ự ̣
Sô điêm c c tri cua ham sô ́ ̉ ự ̣ ̉ ̀ ́ y = g x ( ) − m phu thuôc vao sô nghiêm cua pḥ ̣ ̀ ́ ̣ ̉ ương trinh ̀ g x ( ) m 0 − = 2 0
T bang biên thiên ta thây phừ ̉ ́ ́ ương trinh (1) co nhiêu nhât 2 nghiêm̀ ́ ̀ ́ ̣
Vây ham sô ̣ ̀ ́ f x ( ) co nhiêu nhât 4 điêm c c tri.́ ̀ ́ ̉ ự ̣
Nhân xet:̣ ́ Đây la bai toan quen thuôc cua ham sô ̀ ̀ ́ ̣ ̉ ̀ ́ y = f x ( ) ma chung ta biêt răng̀ ́ ́ ̀ sô điêm c c tri cua ham sô la sô điêm c c tri cua ham sô ́ ̉ ự ̣ ̉ ̀ ́ ̀ ́ ̉ ự ̣ ̉ ̀ ́ f x ( ) va sô nghiêm cuà ́ ̣ ̉ phương trinh ̀ f x ( ) 0 = ( không tinh nghiêm kep) Bai toan nay cô lâp đ́ ̣ ́ ̀ ́ ̀ ̣ ược m nên ta chon cach lâp bang biên thiên ham sô ̣ ́ ̣ ̉ ́ ̀ ́ ( ) 2
Ví d 7: ụ Cho ham sô bâc ba ̀ ́ ̣ y = f x ( ) co đô thi nh hinh ve bên d́ ̀ ̣ ư ̀ ̃ ươi.́
Tim tât ca cac gia tri cua tham sô ̀ ́ ̉ ́ ́ ̣ ̉ ́ m đê ham sô ̉ ̀ ́ y = f x 2 ( ) + f x ( ) + m co đung 3 điêḿ ́ ̉ c c tri.ự ̣
Xet ham sô ́ ̀ ́ g (x) = f x 2 ( ) + f x ( ) + m xac đinh trên ́ ̣
Ta co bang biên thiêń ̉ ́ x − a 1 3 +
D a vao bang biên thiên, suy ra ham sôự ̀ ̉ ́ ̀ ́ g x ( ) co 3 điêm c c tri.́ ̉ ự ̣ Đê ham sô ̉ ̀ ́ y = g x ( ) co 3 điêm c c tri ́ ̉ ự ̣ 1 0 m − 4 1 m 4 Vây ̣ 1 m 4 ham sô ̀ ́ y = f x 2 ( ) + f x ( ) + m co đung 3 điêm c c tri.́ ́ ̉ ự ̣
K T LU N Ế Ậ
K t lu n ế ậ
Trong đê tai nay tôi đa nghiên c u va trinh bay lai cac kinh nghiêm cua baǹ ̀ ̀ ̃ ứ ̀ ̀ ̀ ̣ ́ ̣ ̉ ̉ thân vê ba bai toan quan trong cua ham sô ̀ ̀ ́ ̣ ̉ ̀ ́ y = f x m ( ; ) Kêt qua đat đ́ ̉ ̣ ược cua để ̀ tai nh sau.̀ ư
1 Phân tich lam ro ban chât cua ba bai toan: Tinh đ n điêu cua ham số ̀ ̃ ̉ ́ ̉ ̀ ́ ́ ơ ̣ ̉ ̀ ́
( ; ) y = f x m , c c tri cua ham sô ự ̣ ̉ ̀ ́ y = f x m ( ; ) , Gia tri l n nhât va gia tri nho nhât cuá ̣ ớ ́ ̀ ́ ̣ ̉ ́ ̉ ham sô ̀ ́ y = f x m ( ; ) băng cach kêt h p đô thi va lâp luân logic đê đ a ra cac điêù ́ ́ ợ ̀ ̣ ̀ ̣ ̣ ̉ ư ́ ̀ kiên ṭ ương đương cua t ng bai toan Đê tai đa đ a ra đ̉ ừ ̀ ́ ̀ ̀ ̃ ư ược nhiêu ph̀ ương phaṕ cho cung môt bai toan va phân tich cac dâu hiêu nhân dang ph̀ ̣ ̀ ́ ̀ ́ ́ ́ ̣ ̣ ̣ ương phap cua t nǵ ̉ ừ vi du cu thê.́ ̣ ̣ ̉
2 Kêt qua nghiên c u cua đê tai la nguôn tai liêu quan trong cho nhom toań ̉ ứ ̉ ̀ ̀ ̀ ̀ ̀ ̣ ̣ ́ ́ trương THPT Tân Ky 3 trong giang day ôn thi TNTHPT QG va đ̀ ̀ ̉ ̣ ̀ ược tô đanh giả ́ ́ cao tinh thiêt th c cua no.́ ́ ự ̉ ́
3 Ap dung cua đê tai trong giang day tai tŕ ̣ ̉ ̀ ̀ ̉ ̣ ̣ ương THPT Tân Ky 3 đa tao chò ̀ ̃ ̣ hoc sinh s h ng thu, niêm tin khi hoc cac dang toan m c vân dung va vân dung̣ ự ứ ́ ̀ ̣ ́ ̣ ́ ở ứ ̣ ̣ ̀ ̣ ̣ cao cua ch̉ ương ng dung đao ham đê khao sat va ve đô thi ham sô Tao tiên đêứ ̣ ̣ ̀ ̉ ̉ ́ ̀ ̃ ̀ ̣ ̀ ́ ̣ ̀ ̀ cho viêc hoc cac cḥ ̣ ́ ương sau va đa thu đ̀ ̃ ược nhiêu kêt qua tich c c trong giang̀ ́ ̉ ́ ự ̉ day ôn thi TN THPT QG Ap dung đê tai trong ky thi TN THPT QG năm hoc 2019̣ ́ ̣ ̀ ̀ ̀ ̣
2020 tai l p 12A1 tṛ ớ ương THPT Tân Ky 3 ma ban thân tôi tr c tiêp giang day đà ̀ ̀ ̉ ự ́ ̉ ̣ ̃ đat đ̣ ược kêt qua cao h n cac năm tŕ ̉ ơ ́ ươc đo Cu thê điêm trung binh môn toan cuá ́ ̣ ̉ ̉ ̀ ́ ̉ l n 12A1 trong ky thi TN THPT QG năm 2019 2020 la 8.5 điêm ( thông kê điêmớ ̀ ̀ ̉ ́ ̉ toan TN THPT 2019 2020 cua l p 12A1)́ ̉ ớ Điêm ̉ 9.6 9.4 9.2 9.0 8.8 8.6 8.4 8.2 7.8 7.6 7.4 6.8 6.6
Ki n ngh ế ị
Trong th i gia t i tôi mong muôn tiêp tuc đờ ớ ́ ́ ̣ ược nghiên c u va m rông đêứ ̀ ở ̣ ̀ tai đôi v i cac ham sô ̀ ́ ớ ́ ̀ ́ y = f x m ( ; ) + g x ( ), y = f u x ( ( );m)
Khi ap dung đê tai vao day hoc, giao viên cân phân l p hoc sinh theo câp đố ̣ ̀ ̀ ̀ ̣ ̣ ́ ̀ ớ ̣ ́ ̣ đê ra cac m c đô bai tâp phu h p v i t ng đôi t̉ ́ ứ ̣ ̀ ̣ ̀ ợ ơ ứ ̀ ́ ượng hoc sinh.̣