Tiếp cận, nhìn nhận khái niệm toán học dưới nhiều cách khác nhau để phát triển năng lực tư duy và giải quyết vấn đề cho học sinh trung học phổ thông

Sáng kiến giúp học sinh phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học, phát triển năng lực giải quyết vấn đề toán học góp phần phát huy tính tích cực chủ động và phát triển phẩm chất năng lực toàn diện cho học sinh được thể hiện theo cách riêng biệt mà không trùng với bất cứ giải pháp nào đã được đề cập.

SÁNG KI N KINH NGHI M Ế Ệ

Đ  TÀI:Ề

TI P C N, NHÌN NH N KHÁI NI M TOÁN H C  Ế Ậ Ậ Ệ Ọ

D ƯỚ I NHI U CÁCH KHÁC NHAU Đ  PHÁT TRI N  Ề Ể Ể

NĂNG L C T  DUY VÀ GI I QUY T V N Đ   Ự Ư Ả Ế Ấ Ề

CHO H C SINH TRUNG H C PH  THÔNG Ọ Ọ Ổ

S  GIÁO D C VÀ ĐÀO T O NGH  ANỞ Ụ Ạ Ệ

TRƯỜNG THPT DI N CHÂU 2Ễ

_

Đ  TÀI:Ề

TI P C N, NHÌN NH N KHÁI NI M TOÁN H C  Ế Ậ Ậ Ệ Ọ

D ƯỚ I NHI U CÁCH KHÁC NHAU Đ  PHÁT TRI N  Ề Ể Ể

NĂNG L C T  DUY VÀ GI I QUY T V N Đ   Ự Ư Ả Ế Ấ Ề

CHO H C SINH TRUNG H C PH  THÔNG Ọ Ọ Ổ

Di n Châu, tháng 3 năm 2021ễ

1.1.2. D y h c theo ti p c n phát tri n năng l c 3 ạ ọ ế ậ ể ự

1.1.3. Đ c đi m năng l c Toán h c 5 ặ ể ự ọ

2.1. Bài Toán 1 9

Trong m t ph ng v i h  t a đ  Oxy cho, , . Ch ng minh là ba đ nh c a m t tam giác. 9 ặ ẳ ớ ệ ọ ộ ứ ỉ ủ ộ

3. TH C NGHI M S  PH M VÀ ĐI U TRA QUAN SÁT 24Ự Ệ Ư Ạ Ề

3.1. Giáo án th c nghi m s  1 24 ự ệ ố

3.2. Giáo án th c nghi m s  2 34 ự ệ ố

3.3. Đi u tra quan sát 46 ề

PH N III. K T LU N VÀ KI N NGH  51Ầ Ế Ậ Ế Ị

TÀI LI U THAM KH O 53Ệ Ả

PH N I. M  Đ UẦ Ở Ầ

1. Lý do ch n đ  tàiọ ề

“Ti p c n, nhìn nh n khái ni m toán h c d ế ậ ậ ệ ọ ướ i nhi u cách khác nhau đ ề ể   phát tri n năng l c t  duy và gi i quy t v n đ  cho h c sinh trung h c ph ể ự ư ả ế ấ ề ọ ọ ổ   thông”.

2. Tính m i c a đ  tàiớ ủ ề

Ch ng minh tính kh  thi và tính hi u qu  khi áp d ng đ  tài nh m nângứ ả ệ ả ụ ề ằ  

PH N II. N I DUNGẦ Ộ

1. C  S  LÍ LU N VÀ TH C TI NƠ Ở Ậ Ự Ễ

1.1. C  s  lí lu nơ ở ậ

1.1.1. Năng l c ự

1.1.2. D y h c theo ti p c n phát tri n năng l c ạ ọ ế ậ ể ự

d c”.ụ

ng d ng công ngh  và thi t b  d y h c hi n đ i) nh m t i  u hóa vi c phát

trình d y h c môn Toán.ạ ọ

1.1.3. Đ c đi m năng l c Toán h c ặ ể ự ọ

Nam)

1.1.4. Các thành t  c a năng l c Toán h c ố ủ ự ọ

hi u, ghi chép, trình bày, di n đ t các n i dung, ý tể ễ ạ ộ ưởng, gi i pháp toán h cả ọ  

mô hình hóa 

ra

4   Năng   l cự  

1.1.5. C u trúc bài h c môn Toán theo ti p c n phát tri n năng l c ấ ọ ế ậ ể ự

g i v n đ  đ  h c sinh đợ ấ ề ể ọ ược tr i nghi m b ng cách huy đ ng các ki n th c vàả ệ ằ ộ ế ứ  

theo cá nhân, theo nhóm

1.2. C  s  th c ti nơ ở ự ễ

h c sinh bi t tái hi n ki n th c, các em bi t b t chọ ế ệ ế ứ ế ắ ước các bài t p ví d  m u,ậ ụ ẫ  

2. TI P C N, NHÌN NH N KHÁI NI M TOÁN H C DẾ Ậ Ậ Ệ Ọ ƯỚI NHI U CÁCHỀ   KHÁC NHAU Đ  PHÁT TRI N NĂNG L C T  DUY VÀ GI I QUY TỂ Ể Ự Ư Ả Ế  

V N Đ  CHO H C SINH TRUNG H C PH  THÔNGẤ Ề Ọ Ọ Ổ

2.1. Bài Toán 1

Nh n xét: ậ  Ba đi m ể A B C, , là ba đ nh c a m t tam giác khi và ch  khi chúngỉ ủ ộ ỉ  

Cách ti p c n th  nh t: ế ậ ứ ấ Ba đi m   ể A B C, , không th ng hàng n u chúng ẳ ế   không cùng thu c m t đ ộ ộ ườ ng th ng, ch ng h n đi m A không n m trên đ ẳ ẳ ạ ể ằ ườ   ng

th ng đi qua hai đi m B và C.  ẳ ể V i cách ti p c n này ta có l i gi i:ớ ế ậ ờ ả

, ,

A B C không th ng hàng nên chúng là ba đ nh c a m t tam giác.ẳ ỉ ủ ộ

không cùng thu c m t đ ộ ộ ườ ng th ng, ch ng h n đi m A không n m trên đ ẳ ẳ ạ ể ằ ườ   ng

th ng đi qua hai đi m B và C đi u này đ ng nghĩa v i kho ng cách t  A đ n ẳ ể ề ồ ớ ả ừ ế  

đ ườ ng th ng BC là m t s  d ẳ ộ ố ươ ng. V i cách ti p c n này ta có l i gi i:ớ ế ậ ờ ả

( )

( )2 2

hai véc t   ơ uuurAB và uuurAC

không cùng ph ươ ng. V i cách ti p c n này ta có l i gi i:ớ ế ậ ờ ả

hai véc t   ơ uuurAB và uuurAC

không cùng ph ươ ng đi u này đ ng nghĩa v i góc gi a hai ề ồ ớ ữ   véc tơuuurAB và uuurAC

khác 00 và khác 180 0  V i cách ti p c n này ta có l i gi i:ớ ế ậ ờ ả

4 65

và ch  khi di n tích  ỉ ệ mi n ph ng ề ẳ  gi i h n b i ba đo n th ng n i ba đi m đó là ớ ạ ớ ạ ẳ ố ể  

m t s  d ộ ố ươ ng. V i cách ti p c n này ta có l i gi i:ớ ế ậ ờ ả

chúng cùng thu c m t đ ộ ộ ườ ng cong Parabol. V i cách ti p c n này chúng ta s ớ ế ậ ẽ  

ch  ra có m t đ ỉ ộ ườ ng Parabol đi qua 3 đi m  ể A B C, , . Ta có l i gi i:ờ ả

chúng cùng thu c m t đ ộ ộ ườ ng tròn.V i cách ti p c n này chúng ta s  ch  ra có ớ ế ậ ẽ ỉ  

m t đ ộ ườ ng tròn đi qua ba  đi m ể A B C, , . Ta có l i gi i:ờ ả

hai đ ườ ng th ng  ằ AB  và  BC  không trùng nhau. V i cách ti p c n này ta có l iớ ế ậ ờ  

L i gi i:ờ ả  ­ Phương trình đường th ng ẳ BC là: x− 8y+ = 11 0.

, ,

A B Clà ba đ nh c a m t tam giác là m t bài Toán quen thu c và khá đ n gi nỉ ủ ộ ộ ộ ơ ả  

( ) ( ) ( )

p p AB p BC p CA− − −   và th y nó  khác 0 thì m i kh ng  đ nh  ấ ớ ẳ ị A B C, , t o

“Gi  s  ngả ử ượ ạc l i ba đi m ể A B C, , không là ba đ nh c a m t tam giác thì d n t iỉ ủ ộ ẫ ớ  

2.2. Bài Toán 2. (BT 11 trang 81 SGK HH12 Nâng cao NXB GD)

(0;0;1)

C ,D(− 2;1; 2 − )  Ch ng minh ứ A B C D, , ,  là b n đ nh c a m t hình t  di n.ố ỉ ủ ộ ứ ệ

Nh n xét: ậ   Bài Toán đ  c p đ n khái ni m “Hình t  di n”. Theo đ nhề ậ ế ệ ứ ệ ị  nghĩa (trang 52 SGK HH11 NXBGD; trang 49 SGK HH11 nâng cao NXB GD) 

, , ,

A B C D  g i là đ nh c a t  di n. Nh  v y đ  ch ng minh b n đi m ọ ỉ ủ ứ ệ ư ậ ể ứ ố ể A B C D, , ,  là 

có m t đi m không n m trên m t ph ng ch a ba đi m còn l i, ch ng h n đi m ộ ể ằ ặ ẳ ứ ể ạ ẳ ạ ể  

D không thu c m t ph ng  ộ ặ ẳ (ABC). Ta có l i gi i:ờ ả

− + − − = − � �D mp ABC( )nên   b n   đi m  ố ể A B C D, , ,   không   đ ngồ  

ax by cz d+ + + = a + +b c , gi i hả ệ tìm a b c d, , ,

có m t đi m không n m trên m t ph ng ch a ba đi m còn l i, ch ng h n đi m ộ ể ằ ặ ẳ ứ ể ạ ẳ ạ ể  

D không thu c m t ph ng  ộ ặ ẳ (ABC) đ ng nghĩa v i đi m D có kho ng cách khác 0 ồ ớ ể ả  

t i m t ph ng  ớ ặ ẳ (ABC). Ta có l i gi i:ờ ả

, ,

AB AC AD

uuur uuur uuur

 không đ ng ph ng  ồ ẳ uuurAB   không th  bi u th  theo hai véc t   ể ể ị ơ uuurAC và 

AD

uuur. Ta có l i gi i:ờ ả

1 3 1

2 0

x y

 không th  bi u th  theo hai véc t  ể ể ị ơ uuurACvà uuurAD

, ,

AB AC AD

uuur uuur uuur

 không đ ng ph ng  ồ ẳ  ��uuur uuur uuurAB AC AD, �� 0

. Ta có l i gi i:ờ ả

( ), 1;1;1

AB AC

� � =

uuur uuur

,  ��AB AC ADuuur uuur uuur, �� = − 4 0  suy   ra   b n   đi m  ố ể A B C D, , ,   không 

b n  ố mi n tam giác ề ABC , ABD,ACD và BCD t o thành m t v t th  chi m ch ạ ộ ậ ể ế ỗ  không gian có th  tích khác 0.  ể Ta có l i gi i:ờ ả

( ), 1;1;1

khi có hai b  m i b  ba đi m trong b n đi m thu c hai m t ph ng phân bi t, ộ ỗ ộ ể ố ể ộ ặ ẳ ệ  

ch ng h n ba đi m   ẳ ạ ể A B C, ,   cùng thu c m t m t ph ng, ba đi m   ộ ộ ặ ẳ ể A B D, ,   cùng  thu c m t m t ph ng và hai m t ph ng này khác nhau ộ ộ ặ ẳ ặ ẳ  Ta có l i gi i:ờ ả

Hai mp(ABC)  và mp(ABD)   là phân bi t nên b n đi m  ệ ố ể A B C D, , ,   không 

khi có hai b  m i b  ba đi m trong b n đi m thu c hai m t ph ng phân bi t, ộ ỗ ộ ể ố ể ộ ặ ẳ ệ  

ch ng h n ba đi m ẳ ạ ể A B C, ,   cùng thu c m t m t ph ng, ba đi m   ộ ộ ặ ẳ ể A B D, ,   cùng  thu c m t m t ph ng và hai m t ph ng này khác nhau đi u này cũng có nghĩa là ộ ộ ặ ẳ ặ ẳ ề   hai m t ph ng này s  t o v i nhau m t góc nh n ặ ẳ ẽ ạ ớ ộ ọ  Ta có l i gi i:ờ ả

3

khi đ ườ ng th ng AD n m ngoài m t ph ng  ẳ ằ ặ ẳ (ABC) đi u ề  này cũng đ ng nghĩa v i ồ ớ   góc gi a ữ  đ ườ ng th ng AD và  ẳ mp(ABC) nh n ọ  Ta có l i gi i:ờ ả

?

(AD ABC, ) > 0 0

đ ươ ng v i hai đ ớ ườ ng th ng AB và CD là hai đ ẳ ườ ng th ng chéo nhau ẳ  Ta có l iờ  

1 1

1 0

y t z

 và AB kCD kuuur uuur,∀  nên hai đường th ng AB và CDẳ  

đ ươ ng v i hai đ ớ ườ ng th ng AB và CD là hai đ ẳ ườ ng th ng chéo nhau đ ng nghĩa ẳ ồ  

v i ớ uuurAB kCD kuuur,∀  và kho ng cách gi a AB và CD là m t s  d ả ữ ộ ố ươ ng. Ta có l i gi i:ờ ả

  uuurAD= −( 3;1; 2 − ),   , 4

19 ,

A B C D không đ ng ph ng nên chúng là b n đ nh c a m t t  di n.ồ ẳ ố ỉ ủ ộ ứ ệ

t ươ ng đ ươ ng v i hai đ ớ ườ ng th ng AB và CD là hai đ ẳ ườ ng th ng chéo nhau ẳ  

t ươ ng đ ươ ng v i có duy nh t m t m t ph ng ch a AB và song song v i CD  ớ ấ ộ ặ ẳ ứ ớ  Ta 

và ch  khi chúng cùng n m trên m t m t c u.  ỉ ằ ộ ặ ầ Ta có l i gi i:ờ ả

t  ỏ A B C D, , ,   cùng thu c m t c u  ộ ặ ầ x2 + y2 + +z2 2x+ 2y+ 2z− = 3 0.V y b n đi mậ ố ể  

, , ,

A B C D không đ ng ph ng nên chúng là b n đ nh c a m t t  di n.ồ ẳ ố ỉ ủ ộ ứ ệ

tri n kh  năng phân tích, phân chia, bi n lu n trể ả ệ ậ ường h p làm phát tri n khợ ể ả 

Nh n xét: ậ  Bài Toán đ  c p đ n khái ni m hình chi u vuông góc c a m tề ậ ế ệ ế ủ ộ  

đ ườ ng th ng  ẳ ∆. Khi đó H là giao đi m c a đ ể ủ ườ ng th ng đi qua P vuông góc v i ẳ ớ  

∆v i đ ớ ườ ng th ng  ẳ ∆. Ta có l i gi i:ờ ả

262 169 250 169

x y

có PH vuông góc v i  ớ ∆thì ta đ ượ c H chính là hình chi u vuông góc c a đi m P ế ủ ể   trên đ ườ ng th ng  ẳ ∆. Ta có l i gi i:ờ ả

th ng  ẳ ∆khi và ch  khi  ỉ H� ∆ và  PH d P= ( ; ∆). Ta có l i gi i: ờ ả

( )

2

2

12 5 25

th ng  ẳ ∆khi và ch  khi  ỉ H� ∆ và  PH ng n nh t ắ ấ  Ta có l i gi i: ờ ả

th ng  ẳ ∆khi và ch  khi H là ti p đi m c a đ ỉ ế ể ủ ườ ng tròn (P; R)),  R= d(P;∆) v i ớ  

đ ườ ng th ng  ẳ ∆ đi u này đ ng nghĩa v i H là giao đi m c a đ ề ồ ớ ể ủ ườ ng th ng  ẳ ∆v i ớ  

đ ườ ng tròn (P R; ) . Ta có l i gi i:ờ ả

( )2 2

góc c a P trên đ ủ ườ ng th ng  ẳ ∆khi và ch  khi H là ỉ  

giao đi m th  hai c a đ ể ứ ủ ườ ng tròn đ ườ ng kính  

AP v i đ ớ ườ ng th ng   ẳ ∆. Trong đó A là đi m ta ể  

ch n b t k  trên đ ọ ấ ỳ ườ ng th ng  ẳ ∆,(trong tr ườ   ng

h p   ợ đăc bi t ệ   n u ta ch n ng u nhiên mà PA ế ọ ẫ  

vuông góc v i  ớ ∆ thì H trùng v i A) ớ  Ta có l i gi i:ờ ả

Nh n xét: ậ  Bài Toán đ  c p đ n khái ni m hình chi u vuông góc c a m tề ậ ế ệ ế ủ ộ  

1 2 1

v i  ớ mp( )α . Ta có l i gi i:ờ ả

trên  mp( )α  khi và ch  khi H thu c  ỉ ộ mp( )α  và véc t   ơ MHuuur vuông góc v i các véc t ớ ơ 

uuur uuur

v i A, B, C là ba đi m b t k  không th ng hàng ta  ớ ể ấ ỳ ẳ ch n trêm  ọ mp( )α . Ta 

x z

2.5. Bài Toán 5. (Trích VD3 trang 94 SGK HH12 nâng cao NXBGD)

Nh n xét: ậ   Bài Toán có đ  c p đên khái ni m giao tuy n c a hai m tề ậ ệ ế ủ ặ  

th ng ch a t t c  các đi m chung c a hai m t ph ng đó, v y đ  xác đ nh giao ẳ ứ ấ ả ể ủ ặ ẳ ậ ể ị   tuy n c a hai m t ph ng ta ch  c n xác đ nh hai đi m chung phân bi t A, B c a ế ủ ặ ẳ ỉ ầ ị ể ệ ủ   chúng khi đó giao tuy n là đ ế ườ ng th ng đi qua hai đi m A, B ẳ ể  Ta có l i gi i:ờ ả

( )α  và ( )β là đ ườ ng th ng đi qua m t đi m chung c a chúng và vuông góc v i ẳ ộ ể ủ ớ   giá c a hai VTPT c a hai m t ph ng  ủ ủ ặ ẳ ( )α  và ( )β  nên d có VTCP  ur =��n nuur uurα, β��. Ta 

2 1 0

+ + + = + − + =  Trong h  (**) đ t  ệ ặ z t=   ta 

Cách ti p c n th  t : ế ậ ứ ư Vi c tìm giao tuy n c a hai m t ph ng   ệ ế ủ ặ ẳ ( )α   và 

( )β  ta chuy n v  tìm t p h p các đi m M là đi m chung c a hai m t ph ng  ể ề ậ ợ ể ể ủ ặ ẳ ( )α  

và ( )β . Ta l y m t đi m M b t k  trong mp ấ ộ ể ấ ỳ ( )α , cho M di đ ng trên  ộ ( )α cho đ n ế   khi M g p mp ặ ( )β  ta l u các v t c a nh ng đi m M g p mp ư ế ủ ữ ể ặ ( )β  l i thì M s  v ạ ẽ ẽ  nên giao tuy n d ế  Ta có l i gi i:ờ ả

đi m M thay đ i trên mp ể ổ ( )α g i  ọ ∆là đ ườ ng th ng qua M và có ph ẳ ươ ng là đ ườ   ng

th ng d. M thay đ i, khi M g p mp ẳ ổ ặ ( )β thì hai đ ườ ng th ng d và  ẳ ∆trùng nhau, khi 

đó ta có ph ươ ng trình đ ườ ng th ng d ẳ  Ta có l i gi i:ờ ả

1 2

1 2

5 3

t + +t t + t + + = , cho t1 = 0 �t2 = − 1 khi đó d và ∆trùng nhau. 

5

1 3 1

( )β . L y M là m t đi m c  th  trên mp ấ ộ ể ụ ể ( )α , (P) là m t ph ng qua M và nh n ặ ẳ ậ  

,

ur =��n nuur uurα β�� làm VTPT khi đó (P) vuông góc v i d. Ch n B là m t đi m chung c a ớ ọ ộ ể ủ  

( )α  và ( )β . Khi đó d đi qua B và vuông góc v i (P).  ớ Ta có l i gi i:ờ ả

L i gi i:  ờ ả Ch n  ọ M(0;0;1) ( )α  ur =��n nuur uurα, β��= −( 5;3;1). Mp(P) qua  M nh nậ  

( ), 5;3;1

ur =��n nuur uurα β��= −  L y ấ B(− 5;2;0)  là m t đi m chung c a ộ ể ủ ( )α  và ( )β , d là giao 

3. TH C NGHI M S  PH M VÀ ĐI U TRA QUAN SÁTỰ Ệ Ư Ạ Ề

3.1. Giáo án th c nghi m s  1ự ệ ố

1. Yêu c u c n đ t ầ ầ ạ

­ H c sinh n m v ng công th c tính kho ng cách t  m t đi m đ n m tọ ắ ữ ứ ả ừ ộ ể ế ộ  

(4)

1. Giáo viên

2 2

∆ + + = +

BT4.Trên hình v  là m t thanh trẽ ộ ượt AB có đ  dài ộ l  không đ i, có hai đ uổ ầ  

2. H c sinh ọ

1. Ho t đ ng 1. Ho t đ ng kh i đ ng. (7 phút) ạ ộ ạ ộ ở ộ

d) S n ph m: Câu tr  l i  ả ẩ ả ờ mong mu nố   t  h c sinh phát bi u 1, 2, 4, 5ừ ọ ể  

2. Ho t đ ng 2. Ho t đ ng hình thành ki n th c. (10 phút) ạ ộ ạ ộ ế ứ

trên ∆. V y đ  tính kho ng cách t  A ậ ể ả ừ đên ∆ 

tròn tâm A bán kính AB. Tìm 

3. Ho t đ ng 3. Ho t đ ng luy n t p. (18 phút) ạ ộ ạ ộ ệ ậ

x y

25 sin

x y

=

=  

458 169 4313 845

x y

1 1

d O AB

= +   2ab 2 ab

­ H c sinh v  thành th o mô hình v  kho ng cách t  m t đi m đ n m tọ ẽ ạ ề ả ừ ộ ể ế ộ  

Oxyz

ng d ng c a kho ng cách trong th c ti n

Oxyz

trên

(4)

Ph mẩ  

hóa

(6)

1. Giáo viên: Giáo án, phi u h c t p, ph n, th c k , máy chi u,  ế ọ ậ ấ ướ ẻ ế

8. Đường vuông góc chung c a hai đủ ường th ng chéo nhau là đẳ ường th ngẳ  

không âm

c) Tìm kho ng cách gi a hai đả ữ ường th ng ẳ

1 : 1 1

AB BC a= = , c nh bên ạ AA'=a 2. M là trung đi m c a BC. Tính theo ể ủ a kho ngả  

2. H c sinh: ọ  + Ôn t p ki n th c v  kho ng cách t  m t đi m đ n m tậ ế ứ ề ả ừ ộ ể ế ộ  

1. Ho t đ ng 1. Ho t đ ng kh i đ ng (7 phút) ạ ộ ạ ộ ở ộ

sinh. Chi u l i các phát bi u và câu h i bài t p tr c nghi m đã h i cho toàn l p,ế ạ ể ỏ ậ ắ ệ ỏ ớ  

2. Ho t đ ng 2. Ho t đ ng hình thành ki n th c (15 phút) ạ ộ ạ ộ ế ứ

m t độ ường th ng trong không gianẳ  

noiú   chung  và   trong   không   gian 

cách làm

Trong   không   gian   Oxyz,   cho   hai 

đó?

cách tính ntn?

u u M M V

nhau qua đó phát tri n t  duy cho h c sinh, phát tri n s  linh ho t trong xoay xể ư ọ ể ự ạ ở 

b

Nhóm 1 và 3

2 : 2 2

1 : 1 1

4. Ho t đ ng 4. Ho t đ ng v n d ng và m  r ng (8 phút) ạ ộ ạ ộ ậ ụ ở ộ

( ;0;0)

B a

( )' ;0;

(0; ;0)

( )1;1

 c  3 l p 12 chúng tôi ki m tra cùng câu h i: Trong không gian Oxyz:

1 2 3

1 : 2 3

0,5+0,52,02,0

10K

10P

12G

12E

theo nhóm

kho ng cách gi a hai đả ữ ường th ng chéo nhau trong trong không gianẳ  

km?

10K

12E

12G

PH N III. K T LU N VÀ KI N NGHẦ Ế Ậ Ế Ị

1. K t lu nế ậ

nhau đ  phát tri n năng l c t  duy và gi i quy t v n đ  cho h c sinh trung h c ể ể ự ư ả ế ấ ề ọ ọ  

ph  thông ổ , là m t gi i pháp kh  thi giúp h c sinh THPT phát tri n năng l c nóiộ ả ả ọ ể ự  

2. Ki n nghế ị

đỡ các em tháo g  nh ng khó khăn vỡ ữ ướng m c.ắ

Xin chân thành c m  n! ả ơ

……., ngày… tháng 03 năm 2021

TÀI LI U THAM KH OỆ Ả

Bài t p Hình h c 1 ậ ọ 2 nâng cao, Nhà xu t b n Giáo d c.ấ ả ụ

Hình h c 1 ọ 2, Nhà xu t b n Giáo d cấ ả ụ

Hình h c 1 ọ 0 nâng cao, Nhà xu t b n ấ ả Giáo d cụ

Hình h c 1 ọ 0, Nhà xu t b n Giáo d c.ấ ả ụ

tr ườ ng ph  thông ổ , Nhà xu t b n Đ i h c S  ph m.ấ ả ạ ọ ư ạ

THPT, Nhà xu t b n Đ i h c S  ph m.ấ ả ạ ọ ư ạ