Bài tập về số tự nhiên CHUYÊN ĐỀ SỐ NGUYÊN TỐ

b Một số định lý cơ bản + Dãy số nguyên tố là dãy vô hạn không có số nguyên tố nào là lớn nhất + Nếu số nguyên tố p chia hết cho số nguyên tố q hoặc số nguyên tố q chia hết cho số nguy

Bài tập về số tự nhiên - CHUYÊN ĐỀ SỐ NGUYÊN TỐ

I/ Kiến thức cơ bản:

a) Định nghĩa: Số nguyên tố là những số tự nhiên chỉ có hai ước là 1 và chính nó.

b) Một số định lý cơ bản

+ Dãy số nguyên tố là dãy vô hạn ( không có số nguyên tố nào là lớn nhất )

+ Nếu số nguyên tố p chia hết cho số nguyên tố q hoặc số nguyên tố q chia hết cho số nguyên tố p thì

p = q

+ Nếu số nguyên tố p chia hết cho tích abc thì p chia hết ít nhất một thừa số của tích abc

+ Nếu số nguyên tố p không chia hết a và b thì p không chia hết tích ab

II/ Cách nhận biết một số nguyên tố:

- Chia số đó lần lượt cho các số nguyên tố đã biết từ nhỏ đến lớn.

+ Nếu có một phép chia hết thì số đó không là số nguyên tố

+ Nếu chia đến lúc thương nhỏ hơn số chia mà các phép chia vẫn có số dư thì số đó là số nguyên tố

- Một số có hai ước số lớn hơn 2 thì số đó không phải là số nguyên tố.

III/ Số nguyên tố cùng nhau:

Hai số nguyên tố được gọi là nguyên tố cùng nhau khi và chỉ khi chúng có một ước số chung duy nhất

là 1.

a, b nguyên tố cùng nhau �( a, b ) = 1

Hai số tự nhiên liên tiếp thì nguyên tố cùng nhau.

Hai số nguyên tố thì luôn luôn nguyên tố cùng nhau.

Các số a,b,c nguyên tố cùng nhau �( a, b, c ) = 1

IV/ Một số định lí đặc biệt:

a) Định lí Drichlet: Nếu a và b nguyên tố cùng nhau thì tồn tại vô số nguyên tố p có dạng: p = an + b ( n � N)

b) Định lí: Tchebycheff: Trong khoảng từ số tự nhiên n đến số tự nhiên 2n, có ít nhất một số nguyên tố.

V/ Bài toán áp dụng:

Bài 1: Cho a + b = p , p là một số nguyên tố Chứng minh a và b nguyên tố cùng nhau

Giải

Giả sử a và b không nguyên tố cùng nhau, Ta suy ra a và b có ít nhất một ước số d > 1.

a M d và b M d �a b d M � M p d ,d 1  Điều này vô lí, vì p là một số nguyên tố � �( a, b ) =

1

Bài tập 2: Nếu a2 – b 2 là một số nguyên tố thì a 2 – b 2 = a + b

Giải

Ta có a 2 – b 2 = ( a + b) ( a – b)

Nếu a – b > 1 thì a + b > 1

� a2 – b 2 là một hợp số, trái với giả thiết Do đó ta có: a – b � 1 (1)

Mặt khác: a 2 – b 2 là số nguyên tố � a > b (2)

Từ (1) và (2) � a – b = 1 Vậy a2 – b 2 = a + b

Bài 3: Chứng minh rằng tổng bình phương của 3 số nguyên lớn hơn 3 không thể là một số nguyên tố.

Giải

Số nguyên tố lớn hơn 3 có dangjk + 1, k � N mà k � 1 nên bình phương của chúng có dạng 6m + 1,

m �N Do đó tổng bình phương của 3 số nguyên tố là 6n + 3 M 3, n > 1

Điều này chứng tỏ tổng bình phương của 3 số nguyên tố lớn hơn 3 là hợp số

BTVN: 1) Tìm 3 số nguyên tố sao cho tích của chúng gấp 5 lần tổng của chúng

2) Cho m và m 2 + 2 là hai số nguyên tố, Chứng minh rằng m 3 + 2 cũng là số nguyên tố 3) Tìm số a nguyên tố sao cho a + 10 , a + 14 đều là những số nguyên tố

4) Tìm 3 số nguyên tố liên tiếp p, q, r sao cho p 2 + q 2 + r 2 cũng là số nguyên tố

CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2

ẨN-HỆ ĐỐI XỨNG

♣♣♣

A HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

1) Định nghĩa: Là hệ phương trình có dạng

ax by c

a ' x b; y c '

�

� trong đó x, y là ẩn

2) Phương pháp giải: Dùng phương pháp thế, phương pháp cộng đại số, phương pháp đặt ẩn phụ, sử

dụng đồ thị, sử dụng máy tính cầm tay.

3) Các dạng giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn:

*

Dạng 1: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế: ( Các hệ phương trình đơn giản như trong

SGK Đại số 9)

* Dạng 2: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng: ( Các hệ phương trình đơn giản như trong

SGK Đại số 9)

* Dạng 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ:

+Phương pháp giải: - Đặt điều kiện để hệ có nghĩa

- Đặt ẩn phụ và điều kiện của ẩn phụ ( nếu có )

- Giải hệ theo các ẩn phụ đã đặt

- Trả lại ẩn đã cho để tìm nghiệm của hệ

+Ví dụ: Giải hệ phương trình:

1 x 2y 1

2 2y 1 1 x

x y 1

�

�  

�

Giải: Nhận xét

1 x 2y 1

2 2y 1 1 x

Đặt t =

1 x

(t 0) 2y 1

 thì 2y 11 x 1t



Phương trình thứ nhất của hệ trở thành: t +

1

t = 2 � ( t – 1)2 = 0 � t = 1

Khi đó

1 x

2y 1



 =1 �1- x = 2y + 1 � x = - 2y

Thay x = - 2y vào phương trình thứ hai của hệ ta được: - 3y = 1 �

1 y 3

 

khi đó

2 x 3



Vậy hệ có nghiệm

2 1

;

3 3

�  �

* Dạng 4: Giải và biện luận hệ phương trình:

+Phương pháp giải: - Từ một phương trình của hệ tìm y theo x rồi thay vào phương trình thứ hai để

được phương trình dạng ax = b.

- Biện luận:

♦ Nếu a �0 thì

b x a



, thay vào biểu thức của x tìm y, lúc đó hệ có nghiệm duy nhất ♦ Nếu a = 0 ta có 0 x = b

♦ Nếu b = 0 thì hệ có vô số nghiệm, nếu b � 0 thì hệ vô nghiệm

+ Ví dụ : Giải và biện luận theo tham số m:

mx y 2m (1) 4x my m 6 (2)

 

�

�   

�

Từ (1) ta có y = mx – 2m, thay y vào (2) ta được: 4x – m(mx – 2m) = m + 6

�( 4 – m2 )x = - 2m 2 + m + 6

�( m2 – 4)x = ( 2m + 3)( m – 2) (3)

♦ Nếu m 2 – 4 �0 hay m��2thì

2m 3 x

m 2







Khi đó y = mx – 2m =

2

2m

Hệ có nghiệm duy nhất

;

m 2 m 2

♦ Nếu m = 2 thì (3) thỏa với mọi x, và khi đó y = mx – 2m = 2x – 4

Hệ vô số nghiệm ( x ; 2x – 4) với x � R

♦ Nếu m = - 2 thì (3) trở thành 0x = 4 Hệ vô nghiệm.

Dạng 5: Định tham số m nguyên để hệ có nghiệm x, y nguyên:

+ Phương pháp giải: - Áp dụng phương pháp thế để tìm nghiệm (x, y) của hệ theo tham số m.

-Viết nghiệm (x, y) của hệ dưới dạng: n +

K

f (m)với n K nguyên

- Tìm m nguyên để f(m) là ước của K với f(m) là một đa thức với hệ số nguyên theo m

+ Ví dụ : Cho hệ phương trình

2x my 1 (1)

mx 2y 1 (2)

�

�  

�

a) Giải và biện luận theo tham số m

b) Tìm các số nguyên m để cho hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) với x, y là các số nguyên.

Giải: Từ (1) và (2) suy ra: 2x + my = mx + 2y � ( m – 2) ( x – y ) = 0

♦ Nếu m = 2: Hệ vô số nghiệm

♦ Nếu m � 2: Ta có x = y thế vào phương trình (1) � ( m + 2 )x = 1

♦ Nếu m = - 2: Hệ vô nghiệm

♦ Nếu m �  2: Hệ có nghiệm duy nhất x = y =

1

m 2 

b) Khi m khác 2 và -2, hệ có nghiệm duy nhất x = y =

1

m 2  là số nguyên.

�

1

m 2  là số nguyên

Dạng 6: Hệ gồm ba phương trình hai ẩn số

+ Phương pháp giải: - Chọn hai trong ba phương trình của hệ, giải tìm nghiệm của hai phương này

- Nếu nghiệm (x, y) vừa tìm thỏa phương trình thứ ba thì nghiệm (x y) là nghiệm của hệ đã cho, nếu không thỏa thì (x, y) không là nghiệm của hệ

- Ví dụ: Giải và biện luận hệ phương trình:

2x 3y 5 (1)

x y 2 (2)

x 4y m (3)

�

�  

�

�  

�

Giải: Từ (1) và (2) ta có hệ:

2x 3y 5

x y 2

�

�  

�

11 x

y 5

� 

�

  

 

Thay

x , y

vào (3) ta được m = 3 Vậy với m = 3 thì hệ có nghiệm duy nhất

+Bài tập:

1) Tìm m để hệ phương trình sau đây vô nghiệm:

x 2my 1 2mx 6my 4m 3

�

�

2) Cho hệ phương trình:

mx 4y 10 m

x my 4

�

�  

� ( m là tham số )

a) Giải và biện luận theo m.

b) Với giá trị nào của số nguyên m, hệ có nghiệm (x, y) với x, y là các số nguyên dương.

3) Cho hệ phương trình:

x my 1

mx 3my 2m 3

�

�

a) Giải hệ khi m = -3

b) Giải và biện luận hệ đã cho theo m.

B HỆ ĐỐI XỨNG

I/ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN LOẠI 1:

1) Định nghĩa: Hệ phương trình hai ẩn x và y được gọi là hệ phương trình đối xứng loại 1 nếu thay

đổi các ẩn số x, y trong hệ cho nhau thì các phương trình trong hệ không thay đổi.

2) Phương pháp giải:

- Đặt

S x y

P xy

 

�

� 

� ( Điều kiện: S2 – 4P � 0 ) Đưa hệ đã cho về hệ theo S và P

- Giải hệ mới này, tìm được nghiệm ( S 0 ; P 0 ) của hệ.

- x, y là nghiệm của phương trình X 2 – S 0 X + P 0 = 0 Phương trình có nghiệm khi S 2 – 4P � 0

* Biện luận hệ:

- Hệ đã cho vô nghiệm nếu hệ mới chứa S, P vô nghiệm hoặc có nghiệm ( S, P) nhưng không thỏa mãn

S 2 – 4P � 0

- Hệ đã cho có nghiệm nếu hệ mới chứa S, P có nghiệm thỏa mãn S 2 – 4P � 0

* Chú ý:

- Hệ phương trình đối xứng loại 1 nếu có nghiệm ( x 0 ; y 0 ) thì cũng có nghiệm ( y 0 ; x 0 ) Vậy nếu hệ có nghiệm duy nhất thì x 0 = y 0

- Trong nhiều trường hợp, hệ phương trình ban đầu không có dạng đối xứng loại 1 nhưng thông qua phép đặt ẩn phụ thích hợp, bài toán sẽ trở về dạng đối xứng loại 1 quen thuộc

Ví dụ: Giải các hệ phương trình sau:

a)

x y xy 1

x y xy 3

�   

�

Giải: Đặt t = - y ta được hệ phương trình

Đặt

S x t

P xt

 

�

� 

� Điều kiện: S2 – 4P � 0 Ta được hệ phương trình

S 2 (tm)

P 1

(L)

P 8



�

�

� 

� 

�

* Với

S 2

P 1



�

� 

� ta có

x t 2

xt 1

 

�

�

� 

� x, t là nghiệm của phương trình X2 – 2X + 1 = 0 (1)

(1) �X = 1 � x = t = 1

x 1



�

� �  

� Vậy nghiệm của hệ là (x ; y ) = ( 2 ; -1)

b) 2 2

x y 2xy 7

�

�  

� (I)

Giải: 2 2

x y 2xy 7

�

�  

x y 2xy 7 (x y) 2xy 5

�

�

Đặt x + y = S

xy = P

(I)

2

S 2P 7

S 2P 5

�

�

�S2 + S = 12 � S2 + S – 12 = 0

Giải ra ta được: S 1 = 3 ; S 2 = - 4

* S 1 = 3 �P = 2

x và y sẽ là nghiệm cuả phương trình: x 2 – 3x + 2 = 0 ( thỏa mãn S 2 – 4P � 0) � x1 = 1 ; x2 = 2

Vậy x = 1 ; y = 2 và x = 2 ; y = 1

* S 2 = - 4 � P =

11 2

x và y sẽ là nghiệm của phương trình:x 2 + 4x +

11

2 = 0 Không thỏa mãn S2 – 4P � 0 Phương trình

vô nghiệm.

Vậy hệ phương trình có nghiệm: ( 1; 2 ) ; ( 2 ; 1)

Bài tập: Giải các hệ phương trình sau:

a)

x xy y 4

x xy y 2

�   

xy(x y) 2

  

�

�  

3

(x y) 3xy(x y) 2 xy(x y) 2

�

d)

x y xy 7

�

�

�

I/ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN LOẠI 2:

1) Định nghĩa: Hệ phương trình đối xứng loại 2 là hệ phương trình có dạng:

f (x, y) 0 g(x, y) 0



�

� Khi ta

thay đổi các ẩn số x, y trong hệ cho nhau thì phương trình này trở thành phương trình kia và ngược lại.

2) Phương pháp giải: Trừ theo vế với các phương trình đã cho bao giờ cũng thu được phương trình

tích f( x, y ) – g( x, y) = 0 � ( x – y) h( x, y ) = 0

x y h(x.y)



�

� �

� Đến đây ta giải từng trường hợp

* Chú ý: Nếu hệ có nghiệm x 0 ; y 0 thì y 0 ; x 0 cũng là nghiệm của hệ

Ví dụ: Giải các hệ phương trình sau:

a)

3

3

x 2x 7 (1)

y 2y x (2)

�

�

�

Trừ (1) và (2) vế theo vế ta được: x 3 – y 3 + 3x – 3y = 0 �( x – y ) ( x2 + y 2 + xy + 3) = 0

� x – y = 0 � x = y

Thế x = y vào (1) hoặc (2) ta được: x 3 + x = 0 � x = 0

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( 0; 0)

b)

2x 3x y 2

2y 3y x 2

�

�

�

Trừ theo vế ta được: 2x 2 – 2y 2 – 3x + 3y = y 2 – x 2

�2(x2 – y 2 ) – 3( x – y) = - (x 2 – y 2 )

�2( x – y) ( x + y) – 3( x – y) + ( x – y)(x + y) = 0

�( x – y) [ 2( x + y) – 3 + ( x + y) = 0

�( x – y) 3 ( x + y – 1) = 0

�

x y 0

x y 1 0

 

�

�   

�

* x – y = 0 � x = y Thay vào phương trình 2x2 – 3x = x 2 – 2 � x2 – 3x + 2 = 0

1

2

�

�  ��  

�

* x + y – 1 = 0 � x = 1 – y Thay vào phương trình ta được: y2 – y + 1 = 0 Phương trình vô nghiệm

Vậy nghiệm của hệ phương trình là:

x y 1

x y 2

 

�

�  

�

Bài tập: Giải các hệ phương trình sau:

a)

2

2

x 2x 5 4y

y 2y 5 4x

�

�

  

4y

x 3y

x 4x

y 3x

y

�  

�

�

�  

x 2y 2x y

y 2x 2y x

�

�

y 2x 2y x

x 2y 2x y

�

�

�

BÀI 1:

A và B phải lấy những giá trị số nào để có: A x B = A : B

Hướng dẫn: Học sinh cần nắm một số tính chất cơ bản của: phép nhân, phép chia

BÀI GIẢI

- A bằng 0 thì B nhận bất cứ giá trị số nào

- B bằng 1 thì A nhận bất cứ giá trị số nào

BÀI 2:

Tìm số tự nhiên lớn nhất có các chữ số khác nhau mà tổng các chữ số của

nó bằng 20.

Hướng dẫn học sinh: Một số tự nhiên lớn nhất khi số đó có nhiều chữ số nhất.

Muốn có nhiều chữ số nhất và tổng các chữ số bằng 20 thì ta chọn các chữ số có giá trị nhỏ nếu có thể được Ta có: 0 + 1 + 2+ 3 + 4 + 5 + 6 = 21 Vậy ta bớt 1 chữ số nào đó để số đó còn 6 chữ số và tăng giá trị 1 chữ số khác để có số lớn nhất Chữ số hàng trăm nghìn có thể là 9 không? Nhẩm tính ta có 9 + 5 + 3 +

2 + 1 + 0 = 20 Vậy số đó là 953210

BÀI GIẢI

Muốn có số tự nhiên lớn nhất và tổng các chữ số bằng 20 thì ta chọn các chữ số

có giá trị nhỏ và có chữ số 0 để được nhiều chữ số Nếu các chữ số là 0 + 1 + 2+

3 + 4+ 5 + 6= 21 thì dư 1 Ta bỏ đi 1 chữ số và tăng số 6 thành số lớn nhất nếu

Ta có 9 + 5 + 3 + 2 + 1 + 0 = 20 Vậy số 953210 là đáp số của bài toán

BÀI 3:

Tìm số tự nhiên lớn nhất có 3 chữ số mà tổng các chữ số bằng 15.

Hướng dẫn học sinh: Một số tự nhiên có 3 chữ số lớn nhất thì chữ số hàng trăm

phải là số lớn nhất Kết hợp với tổng các chữ số bằng 15 thì chữ số hàng trăm có thể là 9 Từ đó 2 chữ số còn lại phải có tổng là 6 Ta chọn 6 + 0 = 6 Vậy số đó

là 960

BÀI GIẢI

Trước hết, chọn số hàng đơn vị là số 0 Tiếp tục chọn chữ số hàng trăm và chữ

số hàng chục sao cho có tổng 2 chữ số bằng 15 Số 9 cộng với 6 bằng 15 Vậy

số tự nhiên lớn nhất có 3 chữ số và có tổng các chữ số bằng 15 là số 960 Đáp số: 960

BÀI 4:

Cho A = 1 + 11 + 111 + 1111 + + 111111111 + 1111111111 Có 10 số hạng Hỏi A chia cho 9 dư bao nhiêu?

Hướng dẫn học sinh: Vận dụng dãy số cách đều để giải bài toán này

Số hạng thứ nhất là 1 chữ số 1, số hạng thứ mười là 10 chữ số 1 Cặp số hạng thứ nhất và thứ mười có 11 chữ số 1

Số A có tất cả 11 x 5 = 55 chữ số 1 Tổng các chữ số 1 là 55

55 chia 9 dư bao nhiêu?

BÀI GIẢI

Số A có tổng các chữ số 1 là: (10+1) x 5 = 55

Đáp số: dư 1

BÀI 5:

Tìm tất cả các số chẵn có ba chữ số mà khi chia mỗi số đo cho 9 ta được thương

là một số có ba chữ số

(Giải bằng nhiều cách)

Thương bé nhất có ba chữ số là 100 Ta biết 9 là số lẻ khi nhân với số

chẵn sẽ được số chẵn cần tìm

112 x 9 = 1008 loại

Các số cần tìm là: 900, 918, 936, 954, 972, 990

Thương bé nhất có ba chữ số là 100 Số bị chia ứng với thương 100 là:

100 x 9 = 900 Số 900 số chẵn có ba chữ số bé nhất theo yêu cầu của

bài

Các số cần tìm có dạng: 9a8, 9a6, 9a4, 9a2, 9a0 Vận dụng tính chất

chia hết cho 9, ta thay a bằng một chữ số để có tổng các chữ số chia

hết cho 9 Ta có: 918, 936, 954, 972, 990

Các số cần tìm là: 900, 918, 936, 954, 972, 990

Thương bé nhất có ba chữ số là 100 Số bị chia ứng với thương 100 là:

100 x 9 = 900 Số 900 số chẵn có ba chữ số bé nhất theo yêu cầu của

bài

Các số cần tìm là một số vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 9 hay

chia hết cho 18 (2x9=18)

990+ 18 = 1008 loại

Các số cần tìm là: 900, 918, 936, 954, 972, 990

BÀI 6:

Tìm số tự nhiên nhỏ nhất được viết bởi các chữ số khác nhau và tổng các chữ số của nó bằng 25.

Số nhỏ nhất khi có ít chữ số nhất, giá trị từng chữ số lớn nhất có thể Hàng đơn vị là 9; hàng chục là 8; hàng trăm là 7 Vậy hàng nghìn là 1

để có tổng các chữ số bằng 25

Số đó là: 1 789

BÀI 7:

Tìm số lớn nhất được viết bởi các chữ số khác nhau và tổng các chữ số của nó bằng 23.

Số lớn nhất khi có nhiều chữ số nhất, giá trị từng chữ số nhỏ nhất có thể

Ta chọn các chữ số nhỏ nhất là: 0; 1; 2; 3; 4; 5 và 8 để có 0+1+2+3+4+5+8=23

Số lớn nhất đó là: 8 543 210

Tìm số tự nhiên bé nhất khác 0 và chia hết cho 2; 3; 4; 5 và 6.

Số chia hết cho 6 thì chia hết cho 2 và cho 3

Số bé nhất vừa chia hết cho 4, vừa chia hết cho 6 là: 2 x 2 x 3=12

Tìm số tự nhiên bé nhất khác 1 và khi chia số đó cho 2; 3; 4; 5 và

6 thì cùng có số dư bằng 1.

Như bài 8, để đều dư 1 ta thêm vào số bị chia 1 đơn vị 60 + 1 = 61

Tìm số tự nhiên bé nhất sao cho khi chia số đó cho 2; 3; 4; 5 và 6 thì được số dư lần lượt là 1; 2; 3; 4 và 5.

Như bài 8, để đều có số dư bé hơn số chia 1 đơn vị thì ta bớt ở số bị

Một dãy phố có 20 nhà Số nhà được đánh là các số lẻ liên tiếp Biết tống của 20 số nhà đó bằng 2000 Hãy cho biết số nhà cuối cùng.? Tổng 2 số nhà đầu tiên và cuối cùng là: 2000 : (20:2) = 200 Hiệu 2 số nhà đầu tiên và cuối cùng là: (20-1) x 2 = 38

Số nhà cuối cùng là: (200 + 38) : 2 = 119

Một dãy phố có 50 nhà Số nhà được đánh là các số chẵn liên tiếp Biết tống của 50 số nhà đó bằng 4950 Hãy cho biết số nhà đầu tiên?

Tổng 2 số nhà đầu tiên và cuối cùng là: 4950 : (50:2) = 198 Hiệu 2 số nhà đầu tiên và cuối cùng là: (50-1) x 2 = 98

Số nhà đầu tiên là: (198 – 98) : 2 = 50

Khi chuyển dấu phẩy của số thập phân A sang bên phải một chữ số, số

đó tăng thêm 175,05 đơn vị Tính số A

Khi chuyển dấu phẩy của số thập phân sang bên phải một chữ số làm

số đó tăng thêm 10 lần và hơn số trước khi tăng 9 lần 175,05 chính bằng 9 lần số A Số A là: 175,05 : 9 = 19,45

Khi chuyển dấu phẩy của số thập phân B sang bên phải hai chữ số, số

đó tăng thêm 24,75 đơn vị Tính số B