Tổng hợp kiến thức ôn thi kết thúc học phần giải tích.Hàm số f(x) xác định trên a,+∞ khả tích trên a,b với mọi b ∈ a,+∞. Nếu tồn tại lim┬x∞∫_ab▒f(x)dx thì giới hạn đó là tích phân suy rộng loại 1 của f(x) trên a,b. ∫_a(+∞)▒f(x)dx = lim┬(b+∞)∫_ab▒f(x)dx + nếu tích phân trên tồn tại ta nói tp hội tụ +nếu tp = ±∞ hoặc không tồn tại là tp phân kì
Trang 1ÔN TOÁN
BÀI 1: GIỚI HẠN CỦA H/S
1/ VÔ CÙNG BÉ
a) 1 số vcb cơ bản khi x0
Ln(1+x) =x ex-1 =x [(1+x) a-1] =ax 1-cosax=
(ax )2
2
loga(1+x) =x/lna ax-1=x.lna anxn+an-1xn-1+… +apxp= apxp (n>=p,ap # 0)
b) so sánh các VCB
Lim a/b=0 thì a là vcb bậc cao hơn b
Lim a/b= L #0 thì a và b ngang cấp
Khi L=1 thì a và b là hai vcb tương đương
c) Cách tính giới hạn
Cách 1: pp biến đổi
An-Bn = (a-b)(an-1+ an-2b+…+ bn-1)
Cách 2: quy tắc l’hospital
Dạng 0/0 hoặc vô cùng vô cùng
L= lim đạo hàmmẫu đạo hàm tử đạo hàm đến khi mất dạng vô định hình
Ví dụ: lim
x a
a x−x a
x−a = lim
x a
a x lna−a x a−1
1 = aa(lna-1)
Cách 3: sd logarit
Giới hạn dạng y=limx a [f ( x )] g (x)
Trang 2Đặt y= [f(x)]g(x) và lấy log cơ số e hai vế ta có: lny= g(x).ln[f(x)]
Ví dụ: A= limx (sinx) tanx
LnA= ln limx (sinx) tanx= limx π
2
tanx ln(sinx)
= lim
x π
2
ln (sinx)
cotx =lim
x π
2
cosx (sinx)2 sinx (−1) =0
<L’hospital>
Lna=0 a=1
BÀI 2: ĐẠO HÀM
Bài toán thực tế: Xét một cơ cấu chuyển động như sau: A
Thanh trượt AB dài 13m, đỉnh A trượt trên oy, đỉnh B trượt trên ox
Giả sử điỉnh B đang trượt ra xa gốc O với tốc độ 2m/s
Hỏi đỉnh A của thanh trượt về gốc O ntn khi B trượt tới điểm cách O là 5m B
O Giải
Gọi x là khoảng cách từ B đến O, y là khoảng cách từ A đến O
Bài toán trở thành cho biết x’(t) = 2m/s tìm y’(t) khi x=5m
Theo pitago: x2 + y2 = 132 (1)
Sử dụng quy tắc tính đạo hàm ta có:
2x.x’(t) + 2y.y’(t) = 0 < đạo hàm của 1>
y’(t) = −y x x '(t ) (2)
Khi x=5 thay vào (1) ta có y=12
Thay x=5 y=12 x’(t)=2 vào (2) ta có
Y’(t)= −56 < dấu âm vì A trượt xuống>
Trang 3Vậy đỉnh B trượt ra xa gốc O với tốc độ 2m/s khi đến vị trí cách O là 5m thì đỉnh
A của thanh AB trượt về gố O dọc theo Oy với tốc độ 56 m/s
BÀI 3: TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI 1< TÍCH PHÂN VỚI CẬN VÔ TẬN>
Hàm số f(x) xác định trên [a,+∞] khả tích trên [a,b] với mọi b∈ [a,+∞] Nếu tồn tại
lim
x ∞ ∫
a
b
f ( x )dx thì giới hạn đó là tích phân suy rộng loại 1 của f(x) trên [a,b]
∫
a
+∞
f ( x ) dx = lim
b+ ∞∫
a
b
f ( x )dx
+ nếu tích phân trên tồn tại ta nói tp hội tụ
+nếu tp = ± ∞ hoặc không tồn tại là tp phân kì
Tương Tự: ∫
−∞
a
f ( x) dx = lim
b−∞∫
b
a
f ( x )dx
∫
−∞
+∞
f ( x) dx = ∫
−∞
a
f ( x) dx + ∫
a
+∞
f ( x ) dx
VÍ DỤ:
I= ∫
0
+∞
e x dx = lim
b+ ∞∫
0
b
e x dx = lim eb – 1 = +∞ phân kì
BÀI 4: TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI 2
F(x) xác định trên [a,b] không bị chặn , khả tích trên [a,c] c<b nếuε → 0+lim¿∫
a
b−ε
f (x)¿
¿
tồn tại thì là tích phân suy rộng loại 2
∫
a
b
f ( x )dx = ε → 0+lim¿∫
a
b−ε
f (x)¿
¿
+ gh trên hữu hạn hội tụ
+ gh bằng± ∞hoặc không tồn tại phân kì
Trang 4Tương tự: ∫
a
b
f ( x )dx = ε → 0+lim¿∫
a
c−ε
f ( x)¿
¿
+ ε → 0+lim¿∫
c−ε
b
f ( x)¿
¿
BÀI 5: CỰC TRỊ 1/ Cực Trị Không Có Điều Kiện
Các bước tìm cực trị của hàm số z = f(x,y) trên miền D
+B1: Ta có Z’x=0; Z’y =0 Mi(x0,y0) là điểm dừng
+B2: Đặt A= Z”xx (Mi); B= Z”xy (Mi); C= Z”yy (Mi)
+B3: Xét B2-AC
B2-AC <0 Đạt CT tại Mo < A>0CT
A<0CĐ>
B2-AC >0 Không đạt CTrị tại Mo
B2-AC =0 có thể hoặc không đạt CT tại Mo< Mo là điểm nghi ngờ> +B4: Kết luận
VÍ DỤ: z(x,y) = x3+y3+3xy
Ta có hệ pt: {Z ' x=0
Z ' y =0 ↔{3 x2+3 y=0
3 y2 +3 x=0↔[ {x=−1 y=−1
{x =0 y=0
Ta có điểm dừng M1(-1,-1); M2(0,0)
+Tại M1(-1,-1) ta có B2-AC =-27<0
A= -6<0 Đạt cực CĐ tại M1(-1,-1)
+ Tại M2(0,0) ta có B2-AC= 9>0 không đạt cực trị tại M2(0,0)
2/ Cực trị có điều kiện kí hiệu bằng φ
Các bước giải:
Trang 5+B1: Lập hệ lagrange: L(x,y,φ) =f(x,y) + φ.g(x,y)
{L ' x=f ' x+φ g ' x
L ' y=f ' y +φ g ' y
L ' φ=g ( x , y )=0
↔¿
+B2: Tính g’x; g’y; L”xx; L” xy; L” yy; L”yx
|H| =|g ' x L xx L xy 0 g ' x g ' y
g ' y L yx L yy|↔[|H|>0 đạt CT
|H|<0 đạt CĐ
+B3: Kết luận
3/ Gía trị LN, NN
VD: tìm GTLN, NN của hàm số z=f(x,y) trên D
Z(x,y)= x2+xy+y2 trên miền D= { -1<=x<=1; -1<=y<=1 }
Ta có {z ' x =2 x + y=0
z ' y=2 y + x=0 ↔{x=0 y =0
M(0,0) là điểm dừng Z(M)=0
+ y=1 z= x2+x+1 -1<=x<=1
Z’= 2x+1=0 x=−12
z (−12 ) =34; z (-1) = 1; z (1) = 3
+ y=-1
+ x=1
+x=-1
GTLN là tại; GTNN là tại…
4/ ứng dụng ct vào thực tế
BT1: Pi là giá trị thị trường của sp I; Qi là số lượng sản phẩm thứ I ; C= C(Q1,Q2)
là hàm chi phí tính theo số lượng sp Khi đó lợi nhuận là:
Trang 6π=P 1Q 1+ P 2Q 2−C (Q1 , Q2)
BT2: Q=F(L,K) là hàm sản xuất, L là đơn vị lao động, K là đơn vị tư bản, WL WK
là giá thuê lđ và giá thuê tư bản, hàm lợi nhuận có dạng
π=P F ( L , K )−(Wl L+Wk K )
BÀI 6: ĐỔI BIẾN TRONG HỆ TỌA ĐỘ DESCARTES 1/ CÁCH LÀM
I= ∬F ( x , y ) dxdy= ∬F(x (u , v ), y (u , v )).|J|dudv
J= 1: |U ' x U ' y
V ' x V ' y|
B1: đặt u=; v=
B2: khoảng chứa u; v
B3: tính J
B4: I= ∬F ( x , y ) dxdy= ∬F(x (u , v ), y (u , v )).|J|dudv
BÀI 7: ĐỔI BIẾN TRONG HỆ TỌA ĐỘ CỰC 1/ CÁCH LÀM
B1: Xác định tâm, bán kính đường tròn, vẽ hình
B2: Đặt {x=rcosφ y=rsinφ J=r
B3: Xác định D’ {… ≤ φ≤ … … ≤ r ≤ …
B4: I= ∬F ( x , y ) dxdy= ∬F (rcosφ , rsinφ) r drdφ
VÍ DỤ: Tính
I=∬
D
❑
(x2
+y2
)dxdy D giới hạn bởi x2 + y2 =2x
+ Đường tròn (C) có tâm I( 0,0) bán kính R=1
+ Đặt {x=rcosφ y=rsinφ J=r
Trang 7+ Vậy D’ {−π
π
2
0 ≤r ≤ 2 cosφ
< Giải Thích: thay {x=rcosφ y=rsinφ vào x2 + y2 =2x r ≤ 2cosφ >
+ ∬
D
❑
(x2
+y2
)dxdy = ∬
D '
❑
(r2 cos 2
+r2 sin 2
) r d r d φ
=∬
D '
❑
r3drdφ
=∫
−π
2
π
2
dφ ∫
0
2 cosφ
r3 dr = 3 π2
BÀI 8: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 1
1/ Cung AB cho bởi y = y(x), a≤x≤ b
∫
AB
❑
f (x , y)=∫
a
b
f ¿ ¿
2/ Cung AB cho bởi pt tham số: x =x(t); y = y(t); t1≤ t ≤ t 2
∫
AB
❑
f (x , y)ds=∫
t 1
t 2
f¿ ¿
3/ Cung AB cho bởi: x= x(t); y= y(t); z= z(t) t1≤ t ≤ t 2
∫
AB
❑
f (x , y)ds=∫
t 1
t 2
f¿ ¿
BÀI 9: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 2 1/
{x=x (t) y= y (t ) ∫
BC
❑
P ( x , y )dx +Q ( x , y ) dy
= ∫
tB
tC
P¿ ¿
Trang 8Y=f(x)
∫
BC
❑
P ( x , y )dx +Q ( x , y ) dy = ∫
xB
xA
P [(x , y (x))+Q(x , y ( x )) y '(x )]dx
3/
X= x(y)
∫
BC
❑
P ( x , y )dx +Q ( x , y ) dy=∫
xB xA
P [(x ( y ), y) x ' ( y )+Q(x ( y ), y)]d y
Trang 94/ CÔNG THỨC GREEN
B1: Ta có P(x,y)=; Q(x,y) =
B2: Tính ∂ P ∂ y ; ∂Q ∂ x
B3: Áp dụng CT Green ta ược:được:
I= ∮
L+¿¿
❑P ( X , Y ) dx+Q ( x , y ) dy = ∬
D
❑
∂Q
∂ x−
∂ P
∂ y dxdy
B4: tính bt