CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Động học
Xét dầm composite có tiết diện hình chữ nhật ( b × h ) và chiều dài L như hình
1 Dầm gồm n trục x một góc
Trường chuyển vị lý thuyết Quasi-3D của Zenkour (Zenkour 1999) như sau: u ( x , z , t ) = u 0 w( x , z , t ) = w 0 ( x, t ) + zw 1 ( x, t ) + z 2 w 2 ( x, t ) Trong đó, u 0 ( x, t ) và w 0 ( x, t ) tại trục trung hòa của dầm; là các biến dạng bậc cao.
Trường biến dạng của dầm được xác định: ε x
Quan hệ ứng suất và biến dạng
Quan hệ ứng suất và biến dạng của lớp thứ k vật liệu composite trong hệ tọa độ địa phương của vật liệu:
Với E i , G ij và ν ij vật liệu.
Sử dụng công thức xoay trục, quan hệ ứng suất và biến dạng của lớp thứ k trong hệ tọa độ tổng thể được xác định:
Các dầm composite thông thường có bề rộng cao h , các ứng suất σ y , σ xy và σ yz là rất
y = σ xy = σ yz = 0 , phương trình (6) được biến đổi thành:
Trong trường hợp bỏ qua ứng suất theo phương pháp tuyến (σ z = 0 ), quan hệ ứng suất và biến dạng của dầm như trong lý thuyết HOBT:
Lưu ý rằng, trong lý thuyết HOBT, các biến dạng bậc cao w 1 ( x, t ) không tồn tại.
Năng lượng của dầm
Năng lượng biến dạng của dầm được xác định:
Trong đó, các hệ số độ cứng của dầm được xác định như sau:
Công V do lực nén đúng tâm ( z = −h / 2 ) của dầm là:
20 Động năng của dầm được xác định theo công thức sau:
− Ở đây, dấu chấm tròn là ký hiệu đạo hàm theo thời gian riêng của mỗi lớp và I 1 , I 3 , I 5 , I 7 là các hệ số quán tính. t ; ρ là khối lượng
Tổng năng lượng của dầm là: Π=U+V−K
Lời giải Ritz
2.4.1 Giới thiệu về lời giải Ritz
Phương pháp Ritz là một kỹ thuật giải tích quan trọng, dựa trên nguyên lý chuyển vị ảo và cực tiểu năng lượng toàn phần của hệ cơ học Trong đó, trường chuyển vị trên toàn miền bài toán được xấp xỉ thông qua tổ hợp tuyến tính.
Trong đó: c j là các thông số cần được xác định; ϕ j dạng) Các hàm xấp xỉ cần thỏa mãn các yêu cầu sau:
1 ϕ0 thỏa điều kiện biên hình học của bài toán.
2 ϕ j ( j = 1,2, , N ) thoả đồng thời ba điều kiện sau: a Là các hàm liên tục theo yêu cầu của nguyên lý biến phân; b Thỏa các yêu cầu của điều kiện biên thuần nhất; c Độc lập tuyến tính và hội tụ theo điều kiện sau:
Khi các hàm dạng ϕ 0 và trình (18) được xác định theo nguyên lý cực tiểu năng lượng toàn phần:
Ta thu được N phương trình đại số với
Trong bài toán, các thông số A ij và b i là các yếu tố đã được xác định, tùy thuộc vào đặc điểm của bài toán như thông số hình học, vật liệu và tải trọng Để tìm ra kết quả, cần giải phương trình dựa trên các hàm xấp xỉ.
(21) tìm được các hằng số c j Khi đó, trường chuyển vị ở phương trình (18) được xác định.
Các đặc điểm của lời giải Ritz:
1 Nếu các hàm xấp xỉ ϕ j được chọn thỏa các điều kiện biên động học thì trường chuyển vị giả thiết sẽ hội tụ về lời giải chính xác khi N tăng
N → ∞) Điều này được chứng minh bằng toán học (Mikhlin 1964, Mikhlin 1970, Reddy 1986).
2 Khi N tăng, các hệ số A ij và b i đã tính trước đó sẽ không thay đổi Vì
10 vậy, khi thực hiện tính các hệ số A ij và b i , ta chỉ cần tính thêm các hệ số mới để thêm vào trong phương trình đại số.
3 Nếu như kết quả của phương trình đại số là đối xứng, ta chỉ cần tính các hệ số ở trên hoặc dưới đường chéo của ma trận [ A ] Tính đối xứng của ma trận phụ thuộc vào nguyên lý biến phân của bài toán.
4 Nếu nguyên lý biến phân phi tuyến theo u thì kết quả của phương trình đại số cũng phi tuyến theo c Để giải các phương trình phi tuyến, các phương pháp số (Newton, Newton-Raphson hoặc Ricard) được sử dụng.
5 Khi biến dạng được tính từ trường chuyển vị xấp xỉ thì giá trị biến dạng và ứng suất thường kém chính xác hơn chuyển vị.
6 Phương trình cân bằng của bài toán chỉ thỏa phương trình năng lượng mà không thỏa phương trình vi phân Vì vậy, trường chuyển vị của lời giải Ritz nói chung không thỏa tất cả các phương trình cân bằng, trừ khi, lời giải hội tụ về lời giải chính xác.
7 Khi trường chuyển vị liên tục được xấp xỉ bởi hữu hạn chuỗi (hoặc bậc tự do) thì trường chuyển vị xấp xỉ thường bé hơn trường chuyển vị thật Cụ thể là, trường chuyển vị sử dụng nguyên lý cực tiểu năng lượng của lời giải Ritz sẽ hội tụ tới lời giải chính xác từ phía dưới:
8 Lời giải Ritz có thể áp dụng cho các bài toán vật lý nếu tồn tại nguyên lý công ảo.
2.4.2 Phát triển lời giải Ritz
Trong lời giải Ritz, độ chính xác, tốc độ hội tụ và sự ổn định số phụ thuộc vào các hàm xấp xỉ Aydogdu (2005) đã đề xuất các hàm xấp xỉ đa thức cho phân tích dao động riêng của dầm composite Mantari và Canales (2016) sử dụng hàm đa thức hoặc kết hợp giữa đa thức và lượng giác để phân tích ổn định và dao động của dầm Nguyễn và cộng sự (2017) đã đề xuất các hàm lượng giác để phân tích ứng xử của dầm Nhìn chung, các hàm xấp xỉ đa thức và lượng giác cho kết quả tương tự nhau trong các nghiên cứu này.
Trong nghiên cứu này, chúng tôi nhận thấy rằng mặc dù các phương pháp tĩnh có độ hội tụ chậm đối với hàm lượng giác, nhưng trong phân tích ứng xử động của dầm composite, nghiệm động lại có dạng hàm mũ (Reddy 2004) Do đó, việc lựa chọn hàm xấp xỉ gần giống với nghiệm của bài toán sẽ cải thiện độ chính xác và tốc độ hội tụ của giải pháp Các hàm xấp xỉ được đề xuất trong nghiên cứu này được trình bày trong Bảng 1.
Khi đó, trường chuyển vị của bài toán được xấp xỉ theo dạng sau: u 0 ( x , t ) = ∑ ϕ j , x ( x )u 0 j e i ω t j=1 u 1 ( x , t ) = ∑ ϕ j , x ( x )u 1j e i ω t j =1 w 0 ( x , t ) = ∑ ϕ j ( x ) w 0 j e i ω t w 1 ( x , t ) = ∑ ϕ j ( x ) w 1j e i ω t w 2 ( x , t ) = ∑ ϕ j ( x ) w 2j e i ω t
Trong đó:ω là tần số riêng; i 2 = −1 ẩn số cần xác định; Có thể thấy rằng, các hàm dạng ở Bảng 1 thỏa các điều kiện biên (ĐKB) của bài toán ở Bảng 2.
Bảng 2 Các điều kiện biên. ĐKB S-S
Thay phương trình (23) vào phương trình (17) và sử dụng nguyên lý Lagrange, ta thu được phương trình chủ đạo của bài toán:
∂q j dt ∂q j Ở đây, q j đại diện cho các giá trị ( u 0 j , u 1 j , w 0 j phương trình (24), ta thu được:
Các hệ số của ma trận độ cứng K, ma trận khối lượng M và véc tơ tải F như sau:
K ij 44 = F 11 ∫ ϕ i , xx ϕ j , xx dx − D 13 ∫ ϕ i , xx ϕ j dx + A 33 ∫ ϕ i ϕ j dx +
K ij 45 = G 11 ∫ϕ i , xx ϕ j , xx dx − E 13 ∫ ϕ i , xx ϕ j dx −
Giải phương trình (25), ta thu được tần số dao động riêng, lực ổn định tới hạn, và chuyển vị của bài toán.
VÍ DỤ SỐ
Ví dụ 1
Ví dụ này nghiên cứu về độ hội tụ của lời giải Xét dầm composite (VL I,
0 0 /90 0 , L / h = 5 , E 1 / E 2 = 40 ) có ĐKB khác nhau Tần số riêng, lực ổn định và
Bảng 4 trình bày 15 chuyển vị tại giữa dầm theo m, cho thấy tần số riêng và lực ổn định hội tụ tại m = 12, trong khi chuyển vị hội tụ tại m = 14 Những giá trị này sẽ được áp dụng trong các ví dụ số tiếp theo.
Bảng 4 Sự hội tụ của tần số riêng, lực ổn định và chuyển vị của dầm composite (VL I, 0 0 /90 0 , ĐKB a Tần số riêng
Ví dụ 2
Trong nghiên cứu này, các dầm composite đối xứng và bất đối xứng với tỷ lệ L/h và ĐKB khác nhau được khảo sát Tần số riêng, lực ổn định và chuyển vị tại giữa dầm được trình bày trong Bảng 5-7 Kết quả nghiên cứu được so sánh với lý thuyết HOBT và Quasi-3D, cho thấy sự tương đồng đáng kể với các kết quả đã công bố trước đó Tuy nhiên, có sự khác biệt rõ rệt giữa lý thuyết HOBT và Quasi-3D.
Khi xem xét các dầm bất đối xứng hoặc dầm cao với tỷ lệ L/h = 5, sự khác biệt giữa hai lý thuyết là đáng kể Ngược lại, đối với các dầm mỏng có tỷ lệ L/h = 50, kết quả từ hai lý thuyết này không có sự khác biệt rõ rệt.
Bảng 5 Tần số riêng của dầm composite (0
Nguyen và CS (Nguyen, Nguyen et al 2017) Khdeir and Reddy (Khdeir and Reddy 1994)
Vo and Thai (Vo and Thai 2012) Murthy và CS (Murthy, Mahapatra et al 2005) Aydogdu (Aydogdu 2005)
Mantari and Canales (Mantari and Canales 2016) Matsunaga (Matsunaga 2001) b C-F
Nguyen và CS (Nguyen, Nguyen et al 2017) Khdeir and Reddy (Khdeir and Reddy 1994) Murthy và CS (Murthy, Mahapatra et al 2005) Aydogdu (Aydogdu 2005)
Mantari and Canales (Mantari and Canales 2016) c C-C
Nguyen và CS (Nguyen, Nguyen et al 2017) Khdeir and Reddy (Khdeir and Reddy 1994) Murthy và CS (Murthy, Mahapatra et al 2005) Aydogdu (Aydogdu 2005)
Mantari and Canales (Mantari and Canales 2016)
Bảng 6 Lực ổn định của dầm composite (0 0 /90 0 /0 0 ) và (0 0 /90 0 ) (VL I, E 1 / E 2
Nguyen và CS (Nguyen, Nguyen et al 2017) Khdeir and Reddy (Khdeir and Redd 1997) Aydogdu (Aydogdu 2006)
Mantari and Canales (Mantari and Canales 2016) b C-F
Nguyen và CS (Nguyen, Nguyen et al 2017) Khdeir and Reddy (Khdeir and Redd 1997) Aydogdu (Aydogdu 2006)
Mantari and Canales (Mantari and Canales 2016) c C-C
Nguyen và CS (Nguyen, Nguyen et al 2017) Khdeir and Reddy (Khdeir and Redd 1997)
Mantari and Canales (Mantari and Canales 2016)
Bảng 7 Chuyển vị tại giữa nhịp dầm composite (0 0 /90 0 /0 0 ) và (0 0 /90 0 ) chịu tải trọng phân bố đều (VL II).
Nguyen và CS (Nguyen, Nguyen et al 2017) Murthy và CS (Murthy, Mahapatra et al 2005) Khdeir and Reddy (Khdeir and Reddy 1997) Quasi-3D Nghiên cứu
Nguyen và CS (Nguyen, Nguyen et al 2017) Murthy và CS (Murthy, Mahapatra et al 2005) Khdeir and Reddy (Khdeir and Reddy 1997) Quasi-3D Nghiên cứu c C-C
Nguyen và CS (Nguyen, Nguyen et al 2017) Khdeir and Reddy (Khdeir and Reddy 1997) Quasi-3D Nghiên cứu
Sự phân bố chuyển vị đứng theo chiều cao dầm được biểu diễn ở Hình 2-4.
Với các dầm cao ( L / h = 5 ), chuyển vị đứng tại mép trên ( z = h / 2 ) và mép dưới
( z = −h / 2 ) dầm khác nhau đáng kể.
0 -0.1 -0.2 -0.3 -0.4 -0.5 Nondimensional transverse displacement a 0 0 /90 0 b 0 0 /90 0 /0 0 Hình 2 Sự phân bố chuyển vị đứng dọc theo chiều cao dầm composite (0 0 /90 0 ) và (0 0 /90 0 /0 0 ) có ĐKB S-S (VL II).
S ự p h â n b ố c huyển vị đứng dọc theo chiều cao dầm composite
(0 0 /90 0 ) và (0 0 /90 0 /0 0 ) có ĐKB C-F (VL II).
0.5 1 1.5 2 Nondimensional transverse displacement a 0 0 /90 0 b 0 0 /90 0 /0 0 Hình 4 Sự phân bố chuyển vị đứng dọc theo chiều cao dầm composite
Kết quả nghiên cứu về ứng suất dọc trục, cắt và pháp tuyến của dầm đơn giản với tỷ lệ L/h = 5, 50 được trình bày trong Bảng 8 Những kết quả này đã được so sánh với các nghiên cứu trước đó của Nguyen và cộng sự (2017), Vo và Thai (2012) sử dụng lý thuyết HOBT, cùng với Zenkour (1999) áp dụng lý thuyết Quasi-3D Kết quả cho thấy sự trùng khớp cao với các dữ liệu đã được công bố trước đó.
0 0 /0 0 ) và 0 0 /90 0 ) chịu tải phân bố đều (VL II).
Lý thuyết a Ứng suất dọc trục
Vo and Thai (Vo and Thai 2012)
Zenkour (Zenkour 1999) biểu diễn ở Hình 5 Hình vẽ này cho thấy tần số và lực ổn định tăng khi tỷ số
N on di m en si on al fu n d am en ta l f re qu en cy
Hình 5 Ảnh hưởng của tính dị hướng của vật liệu đến tần số và lực ổn định của
Ví dụ 3
Trong ví dụ này, các dầm đối xứng ( 0 0 / θ / 0 0 ) và bất đối xứng ( 0 0 / θ ) được khảo sát Bảng 9-12 lần lượt biểu diễn tần số riêng, lực tới hạn, chuyển vị ( x = L /
2, z = 0 ) và ứng suất của dầm theo hướng sợi (θ ) Từ Bảng 11 và 12 cho
22 thấy rằng, kết quả nghiên cứu rất gần với kết quả của Vo và cộng sự (Vo, Thai et al 2017).
Bảng 9 Tần số riêng của dầm composite (0 0 /θ /0 0 ) và (0 0 /θ ) (VL I,
Bảng 10 Lực ổn định của dầm composite (0 0 / θ /0 0 ) và (0 0 / θ ) (VL I, E / E = 40 ).
Bảng 11 Chuyển vị đứng tại giữa nhịp dầm composite (0 0 / θ /0 0 ) và (0 0 / θ ) chịu tải trọng phân bố đều (VL II).
Bảng 12 Ứng suất của dầm composite (0 0 / θ /0 0 ) và (0 0 / θ ) ĐKB S-S chịu tải trọng phân bố đều (VL II).
Dầm L/h Tham khảo Hướng sợi (θ )
Vo và CS (Vo, Thai et al 2017)
Vo và CS (Vo, Thai et al 2017)
Vo và CS (Vo, Thai et al 2017)
Vo và CS (Vo, Thai et al 2017)
Vo và CS (Vo, Thai et al 2017)
Vo và CS (Vo, Thai et al 2017) b Ứng suất cắt
Vo và CS (Vo, Thai et al 2017)
Vo và CS (Vo, Thai et al 2017)
Vo và CS (Vo, Thai et al 2017)
Vo và CS (Vo, Thai et al 2017)
Vo và CS (Vo, Thai et al 2017)
Hình 6-8 minh họa sự biến đổi của chuyển vị đứng theo hướng sợi (θ) của các dầm với tỷ lệ L/h = 3 Các hình vẽ chỉ ra sự khác biệt rõ rệt giữa chuyển vị theo lý thuyết HOBT và phương pháp Quasi-3D.
8 7.5 di sp la ce m en t 7
N on di m en si on al
Hình 6 Sự thay đổi của chuyển vị đứng của dầm composite ĐKB S-S theo
20 di sp la ce m en t
18 tr an sv er se 16
N on di m en si on al
Hình 7 Sự thay đổi của chuyển vị ngang của dầm composite ĐKB C-F theo
4.2 4 di sp la ce m en t 3.8
3.6 3.4 tr an sv er se
N on di m en si on al
Hình 8 Sự thay đổi của chuyển vị ngang của dầm composite ĐKB C-C theo hướng sợi ( L / h = 3, VL II).
Sự phân bố ứng suất cắt và ứng suất dọc trục theo chiều cao của dầm
(0 0 /60 0 /0 0 ) và (0 0 /60 0 ) được thể hiện ở Hình 9 và 10 Rõ ràng, ứng suất cắt triệt tiêu tại mép trên ( z = h / 2 ) và mép dưới ( z = −h / 2 ) của dầm. z/ h
Nondimensional shear stress a σ xz b σ xx
Hình 9 Sự phân bố ứng suất theo chiều cao dầm composite ĐKB S-S (0 0 /60 0 /0 0 ,
Hình 10 Sự phân bố ứng suất theo chiều L
/ h = 10 , b σ xx cao dầm composite ĐKB S-S
Ví dụ 4
Nghiên cứu này tập trung vào ứng xử của dầm composite với hướng sợi khác nhau Đặc biệt, dầm ĐKB C-F với hướng sợi 15° và 30° (VL III) đã được khảo sát Kết quả cho thấy năm tần số dao động đầu tiên của dầm, được trình bày trong Bảng 13, và được so sánh với các nghiên cứu trước đó của Chen và cộng sự (Chen, Lv et al 2004) cũng như Abarcar và Cunniff.
1972) Kết quả nghiên cứu rất trùng khớp với kết quả của Chen và cộng sự (Chen, Lv et al 2004), Abarcar và Cunniff (Abarcar and Cunniff
1972), đặc biệt là tần số đầu tiên.Bảng 13 Tần số riêng của dầm composite (VL IV).
Lưu ý: ‘-‘ : kết quả không xuất hiện; ‘*’ : kết quả của dao động xoắn
Kế tiếp, dầm composite (VL IV) với hướng sợi bất đối xứng (45 0 /-45 0 /45 0 /-
Các ĐKB của (45 0) và (30 0 /-50 0 /50 0 /-30 0) đã được phân tích và cho thấy sự khác biệt Tần số riêng của dầm được trình bày trong Bảng 14, và các kết quả nghiên cứu này phù hợp với những kết quả đã được công bố trước đó.
Bảng 14 Tần số riêng của dầm composite (VL IV).
Dầm Lý thuyết Tham khảo
Cuối cùng, các dầm composite (VL IV) đối xứng (θ / −θ) đã được phân tích, với ảnh hưởng của hướng sợi lên tần số riêng, lực ổn định và chuyển vị được thể hiện trong Bảng 15 Tần số riêng cũng được minh họa trong Hình 11 Kết quả nghiên cứu cho thấy sự tương đồng cao với các kết quả của Chen và cộng sự cũng như Aydogdu (Chen, Lv et al 2004).
Aydogdu 2006), và nhỏ hơn kết quả của (Chandrashekhara, Krishnamurthy et al.
1990, Nguyen, Nguyen et al 2017), bỏ qua ảnh hưởng của hệ số Poisson, đặc biệt với hướng sợi là 10 0 ≤ θ ≤ 60 0 Điều này được giải thích như sau: ảnh hưởng
Hệ số Poisson được tích hợp vào phương trình ứng xử với các ứng suất σ y = σ xy = σ yz = 0, dẫn đến sự tồn tại của các biến dạng (ε y ,γ yz ,γ xy ) và làm cho dầm mềm hơn Kết quả trong Bảng 15 cho thấy không có sự khác biệt đáng kể giữa các dầm có và không có hệ số Poisson đối với dầm có hướng sợi 0° hoặc 90° Từ đó, có thể kết luận rằng hiệu ứng Poisson rất quan trọng trong các dầm có hướng sợi lệch góc nhưng không đáng kể đối với các dầm có hướng sợi 0° và 90° (Wang, Zhu et al 2015).
Bảng 15 Tần số riêng, lực ổn định và chuyển vị của dầm composite (VL IV). ĐKB Lý thuyết Tham khảo a Tần số riêng
31 ĐKB Lý thuyết Tham khảo
Hình 11 Ảnh hưởng của hướng sợi đến tần số riêng của dầm ( θ / −θ
) s có các ĐKB khác nhau (MAT IV).
