4,0 điểm a Chứng minh tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng 1 luôn là số chính phương.. Cho tam giác ABC cân tại A.. Các đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và E cắt các đường thẳng AC
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÙ NINH
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP 7
Năm học 2014 - 2015
Môn: TOÁN
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (4,0 điểm)
a) Chứng minh tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng 1 luôn là số chính phương
b) Tìm số nguyên a để
1
3 2
+
+ +
a
a a
là số nguyên
Câu 2 (4,0 điểm)
a) Tìm ba số a, b, c biết: 3a = 2b; 5b = 7c và 3a + 5b – 7c = 60 b) Tìm các cặp số nguyên x, y sao cho: x – 2xy + y = 0
Câu 3 (4,0 điểm) Tìm x biết:
12 x 7 5 x 2
b) x2 +x
+(x+1)(x−2) = 0
Câu 4 (6,0 điểm)
Cho tam giác ABC cân tại A Trên cạnh BC lấy điểm D khác C, sao cho CD 1CB
2
< , trên tia đối của tia BC lấy điểm E sao cho BE = CD Các đường thẳng vuông góc với BC kẻ
từ D và E cắt các đường thẳng AC và AB lần lượt ở K và F Chứng minh rằng:
a) DK = EF b) Đường thẳng BC cắt FK tại điểm I là trung điểm của đoạn thẳng FK
c) Đường thẳng vuông góc với FK tại I luôn đi qua một điểm cố định khi D thay đổi trên cạnh BC
Câu 5 (2,0 điểm):
Cho đa thức A(x) = 1 + x + x2 + x3 + + x99 + x100 Tính giá trị của đa thức A(x) tại x = 1
2
-Hết -Chú ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh: ……… Số báo danh
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÙ NINH
HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP 7
NĂM HỌC 2014 – 2015 Môn thi: Toán
Câu 1 (4,0 điểm)
a) Gọi 4 số tự nhiên, liên tiếp đó là n, n+1, n+2, n+3 (n ∈ Z)
Ta có: n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = n ( n + 3)(n + 1)(n + 2) + 1
= (n2+3 )(n n2+ + +3n 2) 1 (*)
Đặt n2+ =3n t t N( ∈ ) thì (*) = t(t + 2) + 1 = t2 + 2t + 1
= (t + 1)2 = (n2 + 3n + 1)2
Vì n ∈ N nên n2 + 3n + 1 ∈ N Vậy n(n + 1)(n + 2)(+ 3) + 1 là số chính phương.
0,5
0,5 0,5 0,5
b) Ta có :
1
3 2
+
+
+
a
a a
=
1
3 1
3 ) 1 (
+ +
= +
+
+
a
a a
a a
vì a là số nguyên nên
1
3 2
+
+
+
a
a a
là số nguyên khi
1
3
+
a là số nguyên hay a+1 là ước của 3 do đó ta có bảng sau :
Vậy với a = {-4; -2; 0; 2} thì
1
3 2
+
+
+
a
a
a là số nguyên
0,5
0,5
0,5
0,5
Câu 2 (4,0 điểm)
a) Tìm ba số a, b, c biết:
3a = 2b
2 3 14 21
⇒ = ⇒ = ;
5b = 7c
7 5 21 15
14 21 15
Áp dụng tính chất của đãy tỉ số bằng nhau ta có:
3 5 7 60 10
14 21 15 3.14 5.21 7.15 42 7
150
=20; b=30; c=
7
a
+ −
⇒
0,25 0,25 0,5
0,5 0,5
b) x – 2xy + y = 0 ⇔ (1– 2y)(2x – 1) = –1
Vì x,y là các số nguyên nên (1 – 2y) và (2x – 1) là các số nguyên
do đó ta có các trường hợp sau :
0,5 0,5
Trang 3
=
=
⇒
−
=
−
=
−
0
0 1
1 2
1 2
1
y
x x
y
Hoặc
=
=
⇒
=
−
−
=
−
1
1 1
1 2
1 2
1
y
x x
y
Câu 3: (4,0 điểm)
12x 7 5x 2
− + = − ⇒ 15 3 6 1
12 x 7 5 x 2
⇒(6 5) 13
5 4+ x=14
⇒ 49 13
20 x = 14
⇒ 130
343
x =
0,5 0,5
0,5 0,5 b) x2 +x
+(x+1)(x−2) = 0
⇒ x2 +x = 0 và (x+1)(x−2) = 0
+ Xét x2 +x
= 0 ⇒x2 + x = 0 ⇒x(x + 1) = 0 ⇒ x = 0 hoặc x + 1 = 0 ⇒ x = -1 (1)
+ Xét (x+1)(x−2) = 0 ⇒( x + 1)(x - 2) = 0 ⇒ x + 1 = 0 hoặc x - 2 = 0
⇒ x = -1 hoặc x = 2 (2) Kết hơp (1) và (2) ta được x = -1
0,5
0,5 0,5 0,5
Câu 4: (6 điểm)
HS vẽ hình đúng
H
O I
K
F
E
D
C B
A
0,25
Ta có : ∠ABC =∠ACB (∆ABC cân tại A) (1)
∠ABC =∠EBF (Hai góc đối đỉnh) (2)
Từ (1), (2) suy ra ∠ACB =∠EBF hay ∠KCD =∠EBF
Xét ∆ CDK và ∆BEF có ∠D =∠E = 90o; DC EB = (GT); ∠KCD =∠EBF (C/m
0,25 0,25 0,25
Trang 4CDK
⇒ ∆ =∆BEF ( g.c.g)
DK EF
⇒ = (hai cạnh tương ứng)
0,5 0,5 Xét ∆DIK và ∆EIF có ∠D =∠E = 90o; DK=EF (c/m ở câu a) ∠DIK =∠EIF
(hai góc đối đỉnh)
KCD
⇒ ∆ = ∆BEF ( Hai tam giác vuông có một cạnh góc vuông và một góc nhọn
bằng nhau)
IK IF
⇒ = (hai cạnh tương ứng)
Vậy đường thẳng BC cắt FK tại điểm I là trung điểm của đoạn thẳng FK
1,0
1,0
Kẻ AH⊥BC tại H, ta có ∆ AHB = ∆ AHC (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
=> ∠HAB =∠HAC
Gọi O là giao điểm của AH và đường vuông góc với FK kẻ từ I, ta có
OAB OAC
∆ = ∆ (c.g.c) => ∠OBA =∠OCA (3)
OIF OIK
∆ = ∆ ( hai cạnh góc vuông bằng nhau) ⇒ OF OK = , từ đó suy ra
OBF OCK
∆ = ∆ (c.c.c) => ∠OBF =∠OCK (4)
Từ (3) và (4) suy ra ∠OBA =∠OBF = 90o ⇒ OB ⊥ AB⇒ điểm O cố định.
0,5 0,5 0,5 0,5
Câu 5 (2,0 điểm):
Với x= 1
2 thì giá trị của đa thức A = 1 1 12 13 198 199 1001
2 2 2 2 2 2 + + + + + + +
2.A 2
2 2 2 2 2 2
+ + + + + + + ) = 2 + 1 1 12 13 198 199
2 2 2 2 2 + + + + + +
⇒ 2 A = (1 1 12 13 198 199 1001
2 2 2 2 2 2
+ + + + + + + ) + 2 - 1001
1
2
A A
⇒ = + − 100
1
2
2
A
⇒ = −
0,5 0,5 0,5 0,5 Hết