- Ứng dụng tính chất đặc biệt của tam giác cân, tam giác đều, hình thang cân, hình chữ nhật, hình bình hành … - Trung tuyến ứng với cạnh huyền, cạnh đối diện với góc 300 của tam giác vuô[r]
Trang 1CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẰNG NHAU – SONG SONG, VUÔNG GÓC - ĐỒNG QUY, THẲNG HÀNG A.KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.Tam giác bằng nhau
a) Khái niệm: A A '; B B'; C C'
ABC A 'B'C' khi
AB A 'B'; BC B'C'; AC A 'C'
b) Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác: c.c.c; c.g.c; g.c.g
c) Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác vuông: hai cạnh góc vuông; cạnh huyền và một cạnh góc vuông; cạnh huyền và một góc nhọn
d) Hệ quả: Hai tam giác bằng nhau thì các đường cao; các đường phân giác; các đường trung tuyến tương ứng bằng nhau
2.Chứng minh hai góc bằng nhau
- Sử dụng hai góc có cùng số đo
- Dùng quan hệ giữa các góc trung gian với các góc cần chứng minh: Hai góc cùng bằng một góc thứ 3; hai góc cùng bù hoặc cùng phụ với 1 góc
- Hai góc cùng bằng tổng, hiệu của 2 góc tương ứng bằng nhau
- Sử dụng định nghĩa tia phân giác của 1 góc
- Hai góc đối đỉnh
- Dùng quan hệ các góc tạo bởi các đường thẳng song song (2 góc đồng vị, 2 góc so
le )
- 2 góc cùng nhọn hoặc cùng tù có cạnh tương ứng vuông góc hoặc song song
- Hai góc tương ứng của hai tam giác bằng nhau hoặc hai tam giác đồng dạng, hai góc của tam giác cân, đều; hai góc kề đáy của hình thang cân, 2 góc đối hình bình hành,
…
- Hai góc nội tiếp cùng chắn một cung, hệ quả góc nội tiếp
- Sử dụng các tính chất của tam giác, tứ giác nội, ngoại tiếp một đường tròn
- Sử dụng các tỉ số lượng giác sin, cos, tg, cotg của góc nhọn
3.Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau
- Hai đoạn thẳng có cùng số đo
- 2 đoạn thẳng cùng bằng một đoạn thẳng thứ 3
Trang 2- Hai đoạn thẳng cùng bằng tổng, hiệu, trung bình nhân của 2 đoạn thẳng bằng nhau đôi một
- Hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau
- Ứng dụng tính chất đặc biệt của tam giác cân, tam giác đều, hình thang cân, hình chữ nhật, hình bình hành …
- Trung tuyến ứng với cạnh huyền, cạnh đối diện với góc 300 của tam giác vuông,
- Ứng dụng các định nghĩa: Trung điểm đọan thẳng, trung tuyến tam giác
- Sử dụng các yếu tố của đường tròn: hai dây cung của hai cung bằng nhau, hai đường kính của một đường tròn, …
- Dùng tính chất đường trung bình của tam giác, hình thang
- Tính chất các tỷ số bằng nhau; tính chất hai đoạn thẳng song song chắn giữa 2 đường thẳng song song
4.Chứng minh hai đường thẳng, hai đoạn thẳng song song
- Dùng định nghĩa 2 đường thẳng song song
- Dùng mối quan hệ giữa các góc: So le bằng nhau, đồng vị bằng nhau, trong cùng phía bù nhau, …
- Dùng mối quan hệ cùng song song, vuông góc với đường thẳng thứ ba
- Áp dụng định lý đảo của định lý Talet
- Áp dụng tính chất của các tứ giác đặc biệt (2 cạnh đối hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông, hai cạnh đáy hình thang, đường trung bình của tam giác, hình thang
- Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ 3
- Sử dụng kết quả của ácc đoạn thẳng tỷ lệ suy ra các đường thẳng tương ứng song song (ĐL Ta lét đảo)
- Dùng tính chất hai dây chắn giữa hai cung bằng nhau của một đường tròn
5 Chứng minh hai đường thẳng vuông góc
- Định nghĩa 2 đường thẳng vuông góc
- Tính chất 2 tia phân giác của hai góc kề bù
- Dùng tính chất 2 góc nhọn trong tam giác vuông
- Dùng đ/n tính chất 3 đường cao, 3 đường trung trực của tam giác
- Chứng minh chúng song song với hai đường vuông góc khác
Trang 3- Dùng tính chất: đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng còn lại
- Dùng tính chất của đường cao và cạnh đối diện trong một tam giác
- Đường kính đi qua trung điểm của dây
- Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn
- Tính chất tam giác cân, tam giác đều
- Định lý Pitago
- tính chất đường kính đi qua trung điểm 1 dây không qua tâm hoặc qua điểm chính giữa một cung
- Tính chất tiếp tuyến của đường tròn
- Đường nối tâm và dây chung của hai đường tròn
6.Chứng minh ba điểm thẳng hàng
- Dùng tiên đề Ơclit: Nếu AB//d; BC//d thì A, B, C thẳng hàng
- Áp dụng tính chất các điểm đặc biệt trong tam giác: trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, …
- Chứng minh 2 tia tạo bởi ba điểm tạo thành góc bẹt: Nếu góc ABC bằng 1800 thì A,
B, C thẳng hàng
- Áp dụng tính chất: Hai góc bằng nhau có hai cạnh nằm trên một đường thẳng và hai cạnh kia nằm trên hai nửa mặt phẳng với bờ là đường thẳng trên
- Chứng minh AC là đường kính của đường tròn tâm B
7 Chứng minh các đường thẳng đồng quy
- Áp dụng tính chất các đường đồng quy trong tam giác
- Chứng minh các đường thẳng cùng đi qua một điểm: Ta chỉ ra hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm và chứng minh đường thẳng còn lại đi qua điểm đó
- Dùng định lý đảo của định lý Talet
Trang 4CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HAI TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG; HỆ THỨC HÌNH HỌC A.KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.Tam giác đồng dạng
- Khái niệm:
A A '; B B'; C C' ABC A 'B'C' khi AB AC BC
A 'B' A 'C' B'C'
- Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác: c-c-c; c-g-c; g-g
- Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông: góc nhọn; hai cạnh góc vuông; cạnh huyền - cạnh góc vuông
* Tính chất: Hai tam giác đồng dạng thì tỉ số hai đường cao, hai đường phân giác, hai đường trung tuyến tương ứng, hai chu vi bằng tỉ số đồng dạng;
tỉ số hai diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng
2.Phương pháp chứng minh hệ thức hình học
- Dùng định lí Talet, tính chất đường phân giác, tam giác đồng dạng, các hệ thức lượng trong tam giác vuông, …
Giả sử cần chứng minh MA.MB MC.MD
- Chứng minh hai tam giác MAC và MDB đồng dạng hoặc hai tam giác MAD và MCB
- Trong trường hợp 5 điểm đó cùng nằm trên một đường thẳng thì cần chứng minh các tích trên cùng bằng tích thứ ba
Nếu cần chứng minh MT2 MA.MB thì chứng minh hai tam giác MTA và MBT đồng dạng hoặc so sánh với tích thứ ba
Ngoài ra cần chú ý đến việc sử dụng các hệ thức trong tam giác vuông; phương tích của một điểm với đường tròn
CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH TỨ GIÁC NỘI TIẾP
Phương pháp chứng minh
- Chứng minh bốn đỉnh của tứ giác cùng cách đều một điểm
- Chứng minh tứ giác có hai góc đối diện bù nhau
- Chứng minh hai đỉnh cùng nhìn đoạn thẳng tạo bởi hai điểm còn lại hai góc bằng nhau
Trang 5- Chứng minh tổng của góc ngoài tại một đỉnh với góc trong đối diện bù nhau
- Nếu MA.MB MC.MD hoặc NA.ND NC.NB thì tứ giác ABCD nột tiếp (Trong đó MABCD; NADBC)
-Nếu PA.PC PB.PD thì tứ giác ABCD nội tiếp (Trong đó PACBD) -Chứng minh tứ giác đó là hình thang cân; hình chữ nhật; hình vuông; …
Nếu cần chứng minh cho nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn ta có thể chứng minh lần lượt 4 điểm một lúc Song cần chú ý tính chất “Qua 3 điểm không thẳng hàng xác định duy nhất một đường tròn”
Trang 6PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HÌNH HỌC CHỨNG MINH HAI TAM GIÁC BẰNG NHAU
Ba trường hợp bằng nhau của tam giác thường:
Cạnh – Góc – Cạnh (c-g-c)
Góc – Cạnh – Góc (g-c-g)
Cạnh – Cạnh – Cạnh (c-c-c)
Trường hợp đặc biệt của tam giác vuông:
Cạnh huyền – Góc nhọn
Cạnh huyền – Cạnh góc vuông
CHỨNG MINH HAI ĐOẠN THẲNG BẰNG NHAU
Sử dụng yếu tố độ dài của đoạn thẳng:
Hai đọan thẳng có cùng độ dài ( đo được)
Hai đoạn thẳng cùng bằng đoạn thẳng thứ ba(tính chất bắt cầu)
Hai đoạn thẳng cùng bằng tổng (hay hiệu) của hai đoạn thẳng bằng nhau đôi một
Sử dụng hai tam giác bằng nhau:
Hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau
Sử dụng định nghĩa tính chất các hình:
Định nghĩa trung điểm của đoạn thẳng, trung tuyến của tam giác
Cạnh bên của tam giác cân, hình thang cân
Các cạnh của tam giác đều
Bán kính của đường tròn
Đường trung trực của đoạn thẳng, đường trung bình của tam giác của hình thang Đoạn chắn song song
Trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông
Các cạnh của hình bình hành
Hai dây trương cung bằng nhau trong một đường tròn hoặc hai đường tròn bằng nhau
CHỨNG MINH HAI GÓC BẰNG NHAU
Hai góc có cùng số đo góc
Hai góc cùng bằng góc thứ ba
Hai góc cùng bù hoặc cùng phụ với góc thứ ba
Hai góc tương ứng của hai tam giác bằng nhau
Trang 7Định nghĩa tia phân giác của một góc
Hai góc đối đỉnh
Hai góc so le trong, so le ngoài, đồng vị tạo bởi hai đường thẳng song song với một cát tuyến
Hai góc cùng nhọn hoặc cùng tù có cạnh tương ứng song song hoặc tương ứng vuông góc
Hai góc ở đáy của tam giác cân, hình thang cân
Các góc của tam giác đều
CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG
Chứng minh các cặp góc so le trong hoặc đồng vị bằng nhau
Chứng minh hai đường thẳng cùngsong song hoặc cùng vuông góc với một đường thẳng
Sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác, của hình thang
Chứng minh các cặp góc cùng phía bù nhau
Các cạnh đối của hình bình hành
Hai dây chắn giữa hai cung bằng nhau trong một đường tròn
CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG
Ba điểm cùng thuộc một tiahoặc một đường thẳng
Hai đoạn thẳng nối hai trong ba điểm ấy tạo thành góc 1800
Dùng tiên đề Ơclic
Tính chất hai góc đối đỉnh
Tính chất hai tâm và tiếp điểm của hai đường tròn tiếp xúc
Đường kính thì đi qua tâm
Tính chất giao điểm hai đường chéo trong hình bình hành
CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC
Góc tạo bởi hai đường thẳng đó bằng 900
Dựa theo định lí:” Hai đường thẳng song song, đường nào vuông góc với đường thứ nhất thì cũng vuông góc với đường thứ hai
Chứng minh chúng là đường cao và cạnh tương ứng trong tam giác
Phân giác của hai góc kề bù
Đường kính đi qua trung điểm của dây cung( không đi qua tâm)
Đường trung trực của đoạn thẳng
Tính chất góc nội tiếp chắn nửa đường tròn
Trang 8CHỨNG MINH TAM GIÁC CÂN
Tam giác có hai cạnh hoặc hai góc bằng nhau
Tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh đồng thời cũng là đường cao, đường phân giác
Tam giác cân có một góc bằng 600
làtam giác đều
CHỨNG MINH TAM GIÁC VUÔNG
Tam giác có một góc vuông
Dự theo định lí đảo của định lí Pitago
Tam giác có trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy
Tính chất góc nội tiếp chắn nửa đường tròn
DẤU HIỆU NHẬN BIẾT HÌNH THANG
Tứ giác có hai cạnh song song
DẤU HIỆU NHÂN BIẾT HÌNH THANG VUÔNG
Hình thang có một góc vuông
DẤU HIỆU NHẬN BIẾT HÌNH THANG CÂN
Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau
Hình thang có hai đường chéo bằng nhau
DẤU HIỆU NHẬN BIẾT HÌNH BÌNH HÀNH
Tứ giác có các cạnh đối song song
Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau
Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau
Tứ giác có các góc đối bằng nhau
Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
DẤU HIỆU NHẬN BIẾT HÌNH CHỮ NHẬT
Tứ giác có ba góc vuông
Hình thang cân có một góc vuông
Hình bình hành có một góc vuông
Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau
DẤU HIỆU NHẬN BIẾT HÌNH THOI
Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau
Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau
Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc
Trang 9Hình bình hành có một đường chéo là phân giác của một góc
DẤU HIỆU NHẬN BIẾT HÌNH VUÔNG
Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau
Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc
Hình chữ nhật có một đường chéo là phân giác của một góc
Hình thoi có một góc vuông
Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau
Trang 10CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HÌNH HỌC
I Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau
1 Hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau (lớp 7)
2 Hai cạnh bên của tam giác cân, hình thang cân (lớp 7)
3 Sử dụng tính chất trung điểm (lớp 7)
4 Khoảng cách từ một điểm trên tia phân giác của một góc đến hai cạnh của góc (lớp 7)
5 Khoảng cách từ một điểm trên đường trung trực của một đoạn thẳng đến hai đầu đoạn thẳng (lớp 7)
6 Hình chiếu của hai đường xiên bằng nhau và ngược lại (lớp 7)
7 Dùng tính chất bắc cầu
8 Có cùng độ dài hoặc cùng nghiệm đúng một hệ thức
9 Sử dụng tính chất của các đẳng thức, hai phân số bằng nhau
10 Sử dụng tính chất đường trung tuyến của tam giác vuông, đường trung bình trong tam giác (lớp 8)
11 Sử dụng tính chất về cạnh và đường chéo của các tứ giác đặc biệt (lớp 8)
12 Sử dụng kiến thức về diện tích (lớp 8)
13 Sử dụng tính chất hai dây cách đều tâm trong đường tròn (lớp 9)
14 Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến giao nhau trong đường tròn (lớp 9)
15 Sử dụng quan hệ giữa cung và dây cung trong một đường tròn (lớp 9)
II Chứng minh hai góc bằng nhau
1 Hai góc tương ứng của hai tam giác bằng nhau (lớp 7)
2 Hai góc ở đáy của tam giác cân, hình thang cân (lớp 7,8)
3 Các góc của tam giác đều (lớp 7)
4 Sử dụng tính chất tia phân giác của một góc (lớp 7)
5 Có cùng số đo hoặc cùng nghiệm đúng một hệ thức
6 Sử dụng tính chất bắc cầu trong quan hệ bằng nhau
7 Hai góc ở vị trí đồng vị, so le trong, so le ngoài (lớp 7)
8 Hai góc đối đỉnh (lớp 7)
9 Sử dụng tính chất hai góc cùng bù, cùng phụ với một góc khác (lớp 6)
10 Hai góc tương ứng của hai tam giác đồng dạng (lớp 8)
11 Sử dụng tính chất về góc của các tứ giác đặc biệt (lớp 8)
12 Sử dụng tính chất của tứ giác nội tiếp (lớp 9)
Trang 1113 Sử dụng tính chất của góc ở tâm, góc nội tiếp, góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn một cung trong đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau (lớp 9)
III Chứng minh một đoạn thẳng bằng 1
2 đoạn thẳng khác
1 Sử dụng tính chất trung điểm
2 Sử dụng tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông
3 Sử dụng tính chất đường trung bình trong tam giác
4 Sử dụng tính chất tam giác nửa đều
5 Sử dụng tính chất trọng tâm của tam giácgiác
6 Sử dụng hai đồng dạng với tỉ số1
2
7 Sử dụng quan hệ giữa bán kính và đường kính trong một đường tròn
IV Chứng minh một góc bằng nửa góc khác
1 Sử dụng tính chất tam giác nửa đều
2 Sử dụng tính chất tia phân giác của một góc
3 Sử dụng số đo tính được hay giả thiết cho
4 Sử dụng quan hệ giữa góc ở tâm, góc nội tiếp và góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn một cung trong đường tròn
V Chứng minh hai đường thẳng vuông góc
1 Hai đường thẳng đó cắt nhau và tạo ra một góc 90
2 Hai đ thẳng đó chứa hai tia phân giác của hai góc kề bù
3 Hai đường thẳng đó chứa hai cạnh của tam giác vuông
4 Có một đường thẳng thứ 3 vừa song song với đường thẳng thứ nhất vừa vuông góc với đường thẳng thứ hai
5 Sử dụng tính chất đường trung trực của đoạn thẳng
6 Sử dụng tính chất trực tâm của tam giác
7 Sử dụng tính chất đường phân giác, trung tuyến ứng với cạnh đáy của tam giác cân
8 Hai đường thẳng đó chứa hai đường chéo của hình vuông, hình thoi
9 Sử dụng tính chất đường kính và dây cung trong đường tròn
10 Sử dụng tính chất tiếp tuyến trong đường tròn
VI Chứng minh 3 điểm thẳng hàng
1 Chứng minh điểm A thuộc đoạn thẳng BC
Trang 122 Chứng minh qua 3 điểm xác định một góc bẹt ( 0
180 )
3 Chứng minh hai góc ở vị trí đối đỉnh mà bằng nhau
4 Chứng minh 3 điểm xác định được hai đường thẳng cùng vuông góc hay cùng song song với một đường thẳng thứ 3 (Tiên đề Ơclit)
5 Dùng tính chất đường trung trực: chứng minh 3 điểm đó cùng cách đều hai đầu đoạn thẳng
6 Dùng tính chất tia phân giác: chứng minh 3 điểm đó cùng cách đều hai cạnh của một góc
7 Sử dụng tính chất đồng qui của các đường: trung tuyến, phân giác, đường cao trong tam giác
8 Sử dụng tính chất đường chéo của các tứ giác đặc biệt
9 Sử dụng tính chất tâm và đường kính của đường tròn
10 Sử dụng tính chất hai đường tròn tiếp xúc nhau
VII Chứng minh Oz là tia phân giác của góc xÔy
1 Chứng minh tia Oz nằm giữa tia Ox, Oy và xOz yOz hayxOz xOy
2 Chứng minh trên tia Oz có một điểm cách đều hai tia Ox vàOy
3 Sử dụng tính chất đường cao, trung tuyến ứng với cạnh đáy của cân
4 Sử dụng tính chất đồng qui của ba đường phân giác
5 Sử dụng tính chất đường chéo của hình thoi, hình vuông
6 Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến giao nhau trong đường tròn
7 Sử dụng tính chất tâm đường tròn nội tiếp tam giác
VIII Chứng minh M là trung điểm của đoạn thẳng AB
2 Sử dạng tính chất trọng tâm trong tam giác
3 Sử dụng tính chất đường trung bình trong tam giác, hình thang
4 Sử dụng tính chất đối xứng trục và đối xứng tâm
5 Sử dụng tính chất của đường chéo của các tứ giác đặc biệt
6 Sử dụng tính chất đường kính vuông góc với dây cung trong đường tròn
7 Sử dụng tính chất đường kính đi qua điểm chính giữa cung trong đường tròn
IX Chứng minh hai đường thẳng song
1 Hai đường thẳng đó cắt một đường thẳng thứ ba và tạo thành một cặp góc ở vị trí
so le trong, so le ngoài hay đồng vị bằng nhau
2 Hai đường thẳng đó cùng song song hay cùng vuông góc với một đg thẳng thứ ba