ABC mặt cầu nội tiếp hình chóp là mặt cầu tiếp xúc với tất cả các mặt của hình chóp và có tâm nằm trong hình chóp.. Câu 20: Cho một vật thể bằng gỗ có dạng khối trụ với chiều cao và bán [r]
Trang 1Trang 1/6 - Mã đề thi 101
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BẮC GIANG
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi có 06 trang)
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2018-2019 MÔN THI: TOÁN - LỚP 12 Ngày thi: 16/3/2019
Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề
Mã đề: 101
I PHẦN TRẮC NGHIỆM (14,0 điểm)
Câu 1: Cho hai đường thẳng Ax, By chéo nhau và vuông góc với nhau, có AB là đoạn vuông
góc chung của hai đường thẳng đó và AB= a Hai điểm M và N lần lượt di động trên Ax và
By sao cho MN =b Xác định độ dài đoạn thẳng AM theo a và b sao cho thể tích tứ diện ABMN đạt giá trị lớn nhất
A
2 2 3
B
2 2 3
b a
AM = −
C
2 2 2
b a
AM = −
D
2 2 2
Câu 2: Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với CD và AB=a CD, =b Gọi I , J lần lượt là
trung điểm của AB và CD, điểm M thuộc đoạn IJ sao cho 1
3
IM = IJ Gọi ( )α là mặt phẳng qua
M và song song với AB và CD. Diện tích thiết diện của tứ diện ABCD cắt bởi mặt phẳng ( )α
là
A 3
2
ab
B 2 3
ab
C 2 9
ab
D 4 9
ab
Câu 3: Cho khối lăng trụ tam giác ABC A B C ' ' ' có thể tích V Gọi I và J lần lượt là trung điểm của hai cạnh AA’ và BB’ Khi đó thể tích của khối đa diện ABCC’IJ là
A 4
5
V
4
V
3
V
5
V
Câu 4: Một hình nón tròn xoay có đường sinh bằng 2a Thể tích lớn nhất của khối nón đó là
A
3
4
3 3
a
π
B
3 16
3 3
a
π
C
3 16
9 3
a
π
D
3 8
3 3
a
π
Câu 5: Gọi x x1, 2 là 2 nghiệm của phương trình (2 3) (2 3) 4
− + + = Khi đó x12 +2x22
bằng
Câu 6: Cho biểu thức
( ) (9 ) (10 ) (11 ) (12 ) (13 ) (14 )15
P x = +x + +x + +x + +x + +x + +x + +x
Hệ số của số hạng chứa 9
x trong khai triển thành đa thức của P(x) là
Câu 7: Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn a+ =b 8 và
2 0
x
x
→
Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào đúng ?
A a∈( )3;8 B b∈( )3; 5 C a∈( )2; 4 D b∈( )4; 9
Trang 2Câu 8: Cho hàm số f x( ) có đạo hàm là f '( )x Đồ thị của hàm số y= f '( )x được cho như hình vẽ dưới đây:
Biết rằng f ( )− + 1 f ( )0 < f( )1 + f ( )2 Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số
( )
y = f x trên đoạn [− 1; 2] lần lượt là:
A f ( ) ( )0 ; f 2 B f ( ) ( )2 ; f 0 C f ( ) ( )1 ; f − 1 D f ( ) ( )1 ; f 2
Câu 9: Cho hình chóp S.ABC có SB = SC = BC = CA = a, hai mặt (ABC) và (ASC) cùng
vuông góc với (SBC) Thể tích V của khối chóp S ABC. là
A
3
3 12
a
3 3 6
a
3 2 12
a
3 3 4
a
V =
Câu 10: Cho các số dương a, b, c khác 1 thỏa mãn loga( )bc = 2; logb( )ca = 4 Giá trị của
( )
logc ab là
A 6
6
Câu 11: Cho tập hợp S ={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7;8; 9} Chọn ngẫu nhiên ba số từ tập S Tính xác suất p
của biến cố trong ba số được chọn ra không chứa hai số nguyên liên tiếp nào
A 5
16
12
21
16
p=
0
1
1
a
b
x x
π
+ +
Câu 13: Một người gửi 58.000.000 đồng vào ngân hàng với lãi suất r %/ tháng theo thể thức
lãi kép (tức là sau mỗi tháng mà người đó không đến rút tiền thì tiền lãi được gộp vào tiền gốc
để tính lãi cho tháng tiếp theo) Biết rằng sau 8 tháng người đó lấy về tất cả số tiền cả gốc và lãi được 61.329.000 đồng Lãi suất hàng tháng gần đúng nhất với giá trị nào sau đây ?
Câu 14: Cho y= f x( ) là hàm số chẵn, liên tục trên [− 6; 6 ] Biết rằng
( ) 8; ( 2 ) 3
f x dx f x dx
−
6
1 ( )
I f x dx
−
A I = 14. B I = 11. C I = 5. D I = 2.
Trang 3Trang 3/6 - Mã đề thi 101
Câu 15: Cho các số thực x y, thỏa mãn bất đẳng thức 2 2 ( )
4 9
x+ y x+ y ≥ Giá trị lớn nhất của biểu thức P= +x 3y là
A 3 10
4
+
B 5 10
4
+
C 2 10 4
+
D 3 2
Câu 16: Trong không gian Oxyz,cho ba điểm A(3;1; 0 ,) (B 0; 1; 0 , − ) (C 0; 0; 6 − ) Nếu tam giác
A B C′ ′ ′ có các đỉnh thỏa mãn hệ thức A A′ +B B′ +C C′ = 0 thì tam giác A B C′ ′ ′ có tọa độ trọng tâm là
A (3; 2;1 − ) B (1; 0; 2 − ) C (2; 3; 0 − ) D (3; 2; 0 − )
Câu 17: Cho dãy số ( )u n xác định bởi 1
* 1
5
u
=
A u2019 =810600 B u2019 =6095381 C u2019 =6207426 D u2019 =6107482
Câu 18: Cho hàm số y= −x sin 2x+3 Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A Hàm số đạt cực tiểu tại
2
x=π
B Hàm số đạt cực đại tại
2
x=π
C Hàm số đạt cực tiểu tại
6
x= −π
D Hàm số đạt cực đại tại
6
x= −π
Câu 19: Cho hình chóp S ABC. có SA SB SC, , đôi một vuông góc và SA = SB= SC= a Tính
bán kính r của mặt cầu nội tiếp hình chóp S ABC. (mặt cầu nội tiếp hình chóp là mặt cầu tiếp xúc với tất cả các mặt của hình chóp và có tâm nằm trong hình chóp)
A
a
r=
a
r =
a
6
a
r=
Câu 20: Cho một vật thể bằng gỗ có dạng khối trụ với chiều cao và bán kính đáy cùng bằng R
Cắt khối gỗ đó bởi một mặt phẳng đi qua đường kính của một mặt đáy của khối gỗ và tạo với mặt phẳng đáy của khối gỗ một góc 0
30 ta thu được hai khối gỗ có thể tích là V1 và V2 , với
1 2
V <V Thể tích V1 bằng
A
3 1
3
18
R
V = π
B
3 1
2 3 9
R
3 1
3 27
R
V = π
3 1
3 27
R
Câu 21: Cho hình chóp đều S ABCD. có cạnh đáy bằng a 2, biết các cạnh bên tạo với đáy góc 60o Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SCD).Tính tanα
A tan 21
7
3
2
3
α =
Câu 22: Thể tích V của vật tròn xoay sinh ra khi quay đường tròn 2 ( )2
x + y− = quanh trục
Ox là
A V = 16π B V =36π2 C V = 24π D V =24π2
Câu 23: Cho phương trình 1( )
5
5x + +m log x−m = 0 với m là tham số Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc khoảng (− 20; 20) để phương trình đã cho có nghiệm thực ?
Câu 24: Tìm m để đường thẳng y= −x 2m cắt đồ thị hàm số 3
1
x y x
−
= + tại hai điểm phân biệt?
Trang 4A 1
3
m
m
≥
≤ −
B − ≤3 m ≤1. C − < 3 m < 1. D 1
3
m m
>
< −
Câu 25: Cho hàm số 4 2
y=ax +bx +c có đồ thị như hình vẽ bên Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào đúng?
A a < 0, b < 0, c < 0 B a < 0, b > 0, c < 0
C a > 0, b < 0, c < 0 D a > 0, b < 0, c > 0
Câu 26: Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm ( ) ( ) ( 2 )
f x = −x x − + x ∀ ∈x ℝ Hàm số
1
g x = f x −x − đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây ?
A (3; +∞) B (− 1; 0) C ( )1; 2 D (−∞ ;1)
Câu 27: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( )α đi qua điểm M(1; 2; 3) và cắt các trục
Ox, Oy, Oz lần lượt tại A , B , C (khác gốc toạ độ O) sao cho M là trực tâm tam giác ABC Mặt phẳng ( )α có phương trình dạng ax+ + − =by cz 14 0 Tính tổng T = + +a b c
A T =14 B T = 8 C T =11 D T = 6
Câu 28: Cho hàm số ln 4
ln 2
x y
−
=
− với m là tham số Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên dương của m để hàm số đồng biến trên khoảng ( )1; e Số phần tử của S là
Câu 29: Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(1; 0; 0 ,) B(− 2; 0; 3 ,) M(0; 0;1) và N(0; 3;1 )
Mặt phẳng ( )P đi qua các điểm M, N sao cho khoảng cách từ điểm B đến ( )P gấp hai lần khoảng cách từ điểm A đến ( )P . Có bao nhiêu mặt phẳng ( )P như vậy ?
A Có vô số mặt phẳng ( )P . B Chỉ có một mặt phẳng ( )P .
C Không có mặt phẳng ( )P nào D Có hai mặt phẳng ( )P .
Câu 30: Trong không gian Oxyz, cho điểm 1;0; 3
−
và mặt cầu ( ) 2 2 2
T x +y +z = Đường thẳngd thay đổi, đi qua điểm M , cắt mặt cầu ( )T tại hai điểm A B, phân biệt Diện tích Slớn nhất của tam giác OABlà
A S =2 7 B S = 4. C S = 7 D S = 2 2.
Câu 31: Cho hàm số
3 2
1
y
=
− + − với m là tham số Tìm tất cả các giá trị của m để
đồ thị hàm số đã cho có 4 đường thẳng tiệm cận
A m > 2hoặc m < − 1. B m< 1hoặc m > 5.
Trang 5Trang 5/6 - Mã đề thi 101
C − < 1 m< 2. D 1 < m< 5.
Câu 32: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng ( )P :x+ 4y− 2z− = 6 0,
( )Q :x− 2y+ 4z− = 6 0 Mặt phẳng ( )α chứa giao tuyến của ( ) ( )P , Q và cắt các trục tọa độ tại các điểm A B C, , sao cho hình chóp O ABC. là hình chóp đều Phương trình mặt phẳng( )α là
A x+ + + =y z 6 0 B x+ + − =y z 6 0 C x+ − − =y z 6 0 D x+ + − =y z 3 0
Câu 33: Đạo hàm của hàm số 1
4x
x
y= + là
2
1 2 1 ln 2
'
2x
x
2
1 2 1 ln 2 '
2 x
x
2
1 2 1 ln 2
'
2x
x
2
1 2 1 ln 2 '
2 x
x
Câu 34: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): 2 2 2
(x−1) + −(y 2) + −(z 3) =1, đường thẳng
:
x− y− z−
− và điểm M(4;3;1) Trong các mặt phẳng sau, mặt phẳng nào đi qua M, song song với ∆ và tiếp xúc với mặt cầu (S) ?
A 2x+ +y 2z− =13 0 B 2x−2y+5z−22=0
C 2x+ −y 2z− =1 0 D 2x− +y 2z− =7 0
Câu 35: Cho hàm số 2
( ) x
f x =e Nguyên hàm ∫ f x dx( ) là
A ∫ f x dx( ) =e2x+C B ∫ f x dx( ) =2e2x +C
C ( ) 1 2
2
x
f x dx= e +C
2 1
x
e
x
+
+
∫
Câu 36: Cho hàm số ( ) 9 ( 2 ) (5 3 2 ) 4
f x =x + m −m x + m − m + m x − với m là tham số
Có bao nhiêu giá trị của m để hàm số đã cho đồng biến trên ℝ?
Câu 37: Cho phương trình cos 2x−(2m+ 1 cos) x+ + =m 1 0,với m là tham số Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có nghiệm trên khoảng ;3
2 2
π π
?
Câu 38: Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường 2
1
y=x + −x và 4
1
y=x + −x là
A 8
2
4
7 15
Câu 39: Cho hàm số ( ) 2 2
1
x px q
f x
x
=
+ , trong đó
2 2
p≠ p +q = Có bao nhiêu cặp (p q; )
sao cho khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số trên bằng 10?
Câu 40: Cho a và b là các số dương thỏa mãn 2
log a+log b =5 và 2
log a +log b=7 Tính giá trị biểu thức T =a b
Trang 6II PHẦN TỰ LUẬN (6,0 điểm)
Bài 1.(2,5 điểm)
2x + 7x+ + 3 2x + 15x+ ≤ 7 3 x+ + 3 3 x+ + 7 4, x∈ ℝ
Bài 2.(2,5 điểm)
Cho lăng trụ ABC A B C ' ' ' có đáy ABC là tam giác vuông tại A Hình chiếu của A' trên mặt phẳng (ABC) là trọng tâm của tam giác ABC Biết BB'= AC =a 3,AB=a Tính thể tích khối chóp C A B BA ' '
Bài 3 (1,0 điểm)
Cho tập hợp S ={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7;8; 9;10} Hỏi có bao nhiêu cách chia tập S thành ba tập
con khác rỗng sao cho trong mỗi tập con đó không có hai số nguyên liên tiếp nào ?
-
- HẾT -
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Cán bộ coi thi số 1 (Họ tên và ký)
Cán bộ coi thi số 2 (Họ tên và ký)
-
Trang 7Ma Câu 1 Câu 2 Câu 3 Câu 4 Câu 5 Câu 6 Câu 7 Câu 8 Câu 9 Câu
10
Câu 11
Câu 12
Câu 13
Câu 14
Câu 15
Câu 16
Câu 17
Câu 18
Câu 19
Câu 20
Ma Câu
21
Câu 22
Câu 23
Câu 24
Câu 25
Câu 26
Câu 27
Câu 28
Câu 29
Câu 30
Câu 31
Câu 32
Câu 33
Câu 34
Câu 35
Câu 36
Câu 37
Câu 38
Câu 39
Câu 40
http://toanhocmuonmau.violet.vn
Trang 8Trang 1/5
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BẮC GIANG
HDC CHÍNH THỨC
HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA CẤP TỈNH
NGÀY THI 16/3/2019 MÔN THI: TOÁN LỚP 12 PHỔ THÔNG
(Bản hướng dẫn chấm có 03 trang)
PHẦN TỰ LUẬN (6.0 điểm)
(2.5
điểm)
Điều kiện: x 1
2
Khi đó
2x 7x 3 2x 15x 7 3 x 3 3 x 7 4
x 3 x 7 2x 1 3 4.
0.75
Nếu 2x 1 3 0 x 4 thì bất phương trình luôn đúng
Nếu x 4 , xét hàm số f (x) x 3 x 7 2x 1 3 trên (4; ) có 0.5
Suy ra f x đồng biến trên (4; ) Mà f 6 4 nên f x f 6 x 6
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là 1; 6
2
0.75
(2.5
điểm)
M
C'
B'
B
A'
G H
K
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC theo giả thiết ta có A’G vuông góc với (ABC)
Tam giác ABC vuông tại A nên 2 2
BC AB AC 2a Gọi M là trung điểm của BC nên AM asuy ra AG 2a
3
0.5
Tam giác A’AG vuông tại G nên ta có: 2 2 a 23
A 'G AA' AG
3
Gọi M là trung điểm của AB Gọi H là hình chiếu vuông góc của G trên AB thì HG song
song với AC nên GH MG 1 GH a 3
AC MC 3 3
Ta có A ' H A'G2 HG2 a 26
3
Vậy
2 ABB'A '
a 26
S A ' H.AB
3
0.75
Trang 9Trang 2/5
Gọi K là hình chiếu vuông góc của G trên A’H ta có tam giác A’GH vuông tại G nên
GK a
GK GH A 'G 78
Do AB vuông góc với A’G và GH nên AB vuông góc với mp(A’GH) từ đó mp(A’GH)
vuông góc với (ABB’A’) mà GK vuông góc với A’H nên GK vuông góc với (ABB’A’)
23 d(G, (ABB' A ')) GK a
78
0.5
GC cắt AB tại N nên ta có
3 d(C, (ABB' A ')) 3GK 3a
Tính được thể tích
3 C.ABB'A '
a 69 V
9
0.75
(1.0
điểm)
Gọi u là số cách chia tập n 1;2; 3; ;n thành ba tập thỏa mãn yêu cầu bài toán
Từ trên lập luận được 2n 2 1, 3
n
u n Từ đó suy ra u10 28 1 255
20 điểm
Lưu ý khi chấm bài:
- Trên đây chỉ là sơ lược các bước giải, lời giải của học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic Nếu học sinh trình bày cách làm khác nhưng đúng thì vẫn được điểm theo thang điểm tương ứng
- Với bài toán hình học nếu học sinh vẽ hình sai hoặc không vẽ hình thì không cho điểm phần tương ứng