Trong đó việc sử dụng tính chất của tứ giác nội tiếp để suy ra các cặp góc bằng nhau và một số đẳng thức tích để bổ trợ cho một trong những phương pháp chứng minh trên là hết sức cần thi[r]
Trang 1Chủ đề 2: Ứng dụng tứ giác nội tiếp chứng minh ba điểm thẳng hàng.
*Các phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng:
- Chứng minh qua 3 điểm xác định được góc bẹt
Ví dụ: 2 góc AOB và góc BOC kề nhau và AOB BOC = 1800, suy ra ba điểm A, O, C thẳng hàng
- Chứng minh 2 đoạn thẳng trùng nhau
Ví dụ: đoạn thẳng AB trùng với đoạn thẳng AC, suy ra ba điểm A, B, C thẳng hàng
- Chứng minh 3 điểm cùng thuộc đường trung trực, đường phân giác hoặc đường trung tuyến
- Chứng minh theo tiên để Ơ- Clít
Ví dụ: AB // EF và BC // EF, suy ra A,B,C thẳng hàng vì theo tiên đề từ 1 điểm có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng cho trước)
- Chứng minh cùng vuông góc
Ví dụ: AC vuông góc với đường thẳng d tại C và BC vuông góc với đường thẳng d tại C suy ra A, B, C thẳng hàng
- Chứng minh tổng hai đoạn thẳng bằng 1 đoạn thẳng lớn
Ví dụ: AB + BC = AC, suy ra A, B, C thẳng hàng
- Chứng minh điểm trùng nhau
Ví dụ: A, B, C' thẳng hàng và C' trùng với C , suy ra A, B, C thẳng hàng
Trong đó việc sử dụng tính chất của tứ giác nội tiếp để suy ra các cặp góc bằng nhau
và một số đẳng thức tích để bổ trợ cho một trong những phương pháp chứng minh trên là hết sức cần thiết đối với học sinh, nó giúp cho việc
chứng minh ba điểm thẳng hàng trở nên dễ dàng hơn
*Bài tập minh họa: Cho đường tròn tâm O đường
kính AB = 2R Lấy điểm M trên tia tiếp tuyến Ax của
đường tròn sao cho AM = AB Đường thẳng MB cắt
đường tròn tại Q, lấy P bất kì trên AQ và gọi H và K
là hình chiếu của P trên AB và AM, gọi C là hình
chiếu của H trên KQ Chứng minh ba điểm C, P, B
thẳng hàng.
Trang 2*Phân tích bài toán:
- Để chứng minh ba điểm C, P, B thẳng hàng Ta có thể chứng minh APB APC 1800
- Nhận thấy, nếu tứ giác AKCP nội tiếp thì AKC APC 1800, nên cần chứng APB=AKC
- Dễ nhận thấy APB PQB PBQ 900PBQ
Và AKC AKP PKC 900PKC, nên cần chứng minh PKC=PBQ thì bài toán được chứng minh
*Lời giải vắn tắt của bài toán:
Tứ giác AKPH là tứ giác nội tiếp (vì AKP AHP 900 900 1800) (1)
Tứ giác AKCH là tứ giác nội tiếp (HCK 900 và HAK 900) (2)
Từ (1) và(2) suy ra 5 điểm A, K, C, P, H cùng thuộc một đường tròn do đó tứ giác AKCP
là tứ giác nội tiếp ACP AKP 900
Mặt khác ta có tứ giác MKPQ là tứ giác nội tiếp
PKQ PMQ
hay PKC PMB (3)
Dễ dàng chứng minh được: PM = PB PMB cân tại P PMB PBM (4)
Từ (3) và (4) PKCPBM hay PKC PBQ (*)
Lại có: APB PQB PBQ 900PBQ(góc ngoài tại đỉnh P của tam giác PQB) (**)
AKCAKP PKC 900PKC (***)
từ (*), (**), (***) suy ra APB=AKC
mà tứ giác AKCP là tứ giác nội tiếp nên AKC APC 1800
APB APC 1800
Do đó ba điểm C, P, B thẳng hàng
*Bài tập vận dụng:
Bài tập 1: Cho hình bình hành ABCD(AC > BD) Đường tròn đường kính AC cắt AB, AD tại H và I Tiếp tuyến tại C của đường tròn (O) cắt BD tại E Chứng minh rằng ba điểm I,
H, E thẳng hàng
Trang 3Bài tập 2: Cho đường tròn tâm O Từ điểm M nằm ngoài đường tròn vẽ tiếp tuyến MA, MC(A, C là tiếp điểm), B thuộc cung lớn AC sao cho MB nằm giữa MO và MC Tia MB cắt đường tròn tại Q(Q khác B), cắt CA tại N Qua Q kẻ đường thẳng song song với BC cắt AC và AM lần lượt tại I và H, gọi K là điểm đối xứng với C qua B Chứng minh rằng
M, I, K thẳng hàng
Bài tập 3: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, một điểm I chuyển động trên cung BC không chứa điểm A (I không trùng với B và C) Đường thẳng vuông góc với IB tại I cắt đường thẳng AC tại E, đường thẳng vuông góc với IC tại I cắt đường thẳng AB tại
F Chứng minh rằng: Ba điểm E, F, O thẳng hàng
Hướng dẫn: Chứng minh AKBI là tứ giác nội tiếp K thuộc (O) Mà EF là đường trung trực của KI E, O, F thẳng hàng
Việc sử dụng không gian mạng “Website” cũng giúp cho học sinh trong cùng trường có thể trao đổi kiến thức, học hỏi cùng nhau (những câu hỏi, bài tập khó và hay…), đây là một hình thức mới và hay mà học sinh bộ môn toán đặc biệt là học sinh lớp 9 trong trường chúng tôi thường xuyên trao đổi, giao lưu với nhau và kết quả mang lại là nhiều em học sinh bộ môn toán (những học sinh học bộ môn toán từ loại khá trở lên) ngày giỏ hơn
Ngoài ra việc sử dụng không gian mạng “Website” khác với không gian mạng
“Trường học kết nối” ở chỗ không chỉ dành riêng cho học sinh trong trường mà còn dành cho học sinh khác ở các trường khác trong tỉnh nói riêng và trong cả nước nói chung, học sinh không chỉ trao đổi trong phạm vi của trường, mà còn có thể trao đổi với học sinh ở các trường khác trong tỉnh nói riêng và trong cả nước nói chung
Giáo viên là người trực tiếp giao các nhiệm vụ chuyên môn cho học sinh thông qua các chủ đề Trong quá trình thực hiện nhiệm vụ được giao, học sinh có thể tham khảo các tài liệu điện tử trên mạng hoặc các tài liệu truyền thống; trao đổi tài liệu và thảo luận với các thành viên trong tổ/nhóm (trực tiếp và qua mạng); trao đổi với thầy cô về những vấn
đề có liên quan Trong quá trình trao đổi giữa thầy với trò sẽ có những vấn đề của học sinh mà có thể trong thời gian nhất định, người thầy chưa giải quyết một cách trọn vẹn Đây chính là cơ hội để người thầy có thể trao đổi thảo luận với đồng nghiệp, cũng có thể hỏi ý kiến chuyên gia về vấn đề đó.
Trang 4Như vậy ứng dụng không gian mạng trong dạy học tứ giác nội tiếp và ứng dụng của tứ giác nội tiếp tạo được mối liên kết tốt giữa trò với trò, giữa trò với thầy, và giữa thầy với thầy; mục tiêu cuối cùng tận dụng mọi khả năng có thể giải quyết nhiều bài toán cụ thể về tứ giác nội tiếp và ứng dụng của tứ giác nội tiếp.
Bài tập 4: Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đường tròn Kẻ các tiếp tuyến AB,
AC (B, C là các tiếp điểm) Kẻ các tuyến AEF không đi qua tâm O (E nằm giữa A và F) Gọi M là giao điểm của OA và BC Chứng minh bốn điểm O, M, E, F cùng nằm trên một đường tròn
Hướng dẫn: Chứng minh tứ giác OMEF nội tiếp (phương pháp 3) AME AFO
chứng minh tam giác AME đồng dạng với tam giác AOF (c-g-c)
Bài tập 5: Cho đường tròn tâm O đường kính AB.Từ điểm M trên tia tiếp tuyến Ax của đường tròn vẽ cát tuyến MQD (Q nằm giữa M và D),MO cắt BQ và BD tại G và H Chứng minh rằng: OG = OH