Tài liệu CHƯƠNG 9: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠO HÀM RIÊNG ppt

Sử dụng PDETOOL: PDETOOL giải phương trình vi phân đạo hàm riêng bằng cách dùng phương pháp FEM.. Ta có thể bật/tắt tuỳ chọn Grid bằng cách bấm vào Grid trên menu Option.. Ta cũng có th

CHƯƠNG 9: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠO HÀM RIÊNG

§1. KHÁI NIỆM CHUNG 

vi  phân  có  số  biến  độc  lập  lớn  hơn  1.  Trong  chương  này  ta  sẽ  khảo  sát  các phương  trình  vi  phân  đạo  hàm  riêng  cấp  2  với  hai  biến  độc  lập  x  và  y,  có dạng tổng quát: 

Phương  trình  (1)  được  gọi  là  phương  trình  Poisson  nếu  g(x,  y)  =  0  và  gọi  là phương trình Laplace nếu g(x, y) = 0 và f(x, y) = 0. Để dùng phương pháp sai phân ta chia miền thành Mx đoạn, mỗi đoạn dài ∆x = (xf ‐ xo)/Mx dọc theo trục 

x và thành My đoạn, mỗi đoạn dài ∆y = (yf ‐ yo)/My dọc theo trục y và thay đạo hàm bậc 2 bằng xấp xỉ 3 điểm: 

Bây giờ ta khảo sát tiếp các dạng điều kiên biên. Các bài toán PDE có 2 loại điều kiện biên: điều kiên biên Neumann và điều kiên biên Dirichlet. Điều kiện biên Neumann mô tả bằng: 

Công thức này có thể gói gọn vào thuật toán sau, gọi là thuật toán Eulẻ tiến tường minh: 

LL

− +

k 1 1

k 1 2

k 1 3

k 1

M 1

k 1 M

k 1 k 2 k 3

k

M 1 k M

02r b (k 1) b (k)

Chương trình chương trình ctheat2D.m dùng để giải phương trình là:  

yy

T 1,s p (2) p (2)1,s 2 ,s pN ,s(2)

s 1

S 4 

S 3 

S 2 

theo  hai  cách.  Trước  hết  ta  tạo  các  hàm  cơ  sở  bằng  cách  dùng  hàm 

fembasisftn()  và  vẽ  một  hàm  trong  số  đó  bằng  cách  dùng  lệnh  MATLAB 

mesh() như hình a. Thứ hai, không tạo ra hàm cơ sở, ta dùng lệnh MATLAB 

trimesh() để vẽ các hàm hình dạng cho các nút n = 2, 3, 4 và 5 như hình b‐e. Hình f là đồ thị của tổ hợp tuyến tính của các hàm cơ sở: 

0 1 0 0.5 1

-1 0

1 -1

0 1 0 0.5 1

-1 0

1 -1

0 1 0 0.5 1

-1 0

1 -1

0 1 0 0.5 1

-1 0

1 -1

0 1 0 0.5 1

-1 0

1 -1

0 1 0 2 4

Để giải bài toán này bằng FEM, ta xác định 12 điểm trên biên và 19 điểm bên trong, đánh số chúng và chia miền chữ nhất thành 36 miên con hình tam giác 

  a. Phương trình elliptic: Ta sẽ giải phương trình elliptic 

với điều kiện bên: 

g   

2. Sử dụng PDETOOL: PDETOOL giải phương trình vi phân đạo hàm riêng 

bằng  cách  dùng  phương  pháp  FEM.  Để  giải  phương  trình  ta  theo  các  bước sau: 

)  Nhập  lệnh pdetool  vào  cửa  sổ  lệnh  MATLAB.  Cửa  sổ  PDE  toolbox 

xuất hiện. Ta có thể bật/tắt tuỳ chọn Grid bằng cách bấm vào Grid trên menu Option. Ta cũng có thể hiệu chỉnh phạm vi trục x và y bằng cách chọn Axes Limit trong nemu Option 

Nếu muốn cho các hình gắn vào lưới, ta chọn Snap trong menu Option. Nếu muốn tỉ lệ xích của trục x và t bằng nhau để hình tròn nhìn không giống hình ellip ta chọn Axes Equal trong menu Option. 

)  Để  vẽ  miền  Ω  ta  dùng  menu Draw  hay  các  icon  trên  thanh  công  cụ ngay phía dưới các menu. 

)  Để đặt điều kiện biên ta dùng menu Boundary hay icon ∂Ω. Ta bấm 

lên từng đoạn biên để đặt điều kiện cho nó. 

chỉnh lưới ta bấm vào Refine Mesh hay icon  

)  Tiếp  theo  ta  mô  tả  dạng  phương  trình  và  các  thông  số  của  nó  bằng 

cách dùng menu PDE. Muốn thế, ta mở menu PDE hay chọn icon PDE 

và chọn PDE Specification và cho các tham số của phương trình. 

)  Để giải phương trình ta dùng menu Solve hay chọn icon = . Ta chọn menu  con  Parameters  để  nhập  điều  kiện  đầu  và  khoảng  thời  gian  tìm nghiệm 

  u(0, y) = ey ‐ cosy   u(4, y) = eycos4 ‐ e4cosy       (vd1.2) 

u(x, 0) = cosx ‐ ex    u(x, 4) = e4cosx ‐ excos4       (vd1.3) 

¾ Bấm vào icon ∂Ω thì đường biên của đối tượng có màu đỏ. Trên mỗi đoạn biên ta cho điều kiện biên theo (vd1.2) và (vd1.3). Để ghi điều kiện biên cho đoạn nào ta bấm đúp chuột lên đoạn đó. Điều kiện biên đã cho 

là điều kiện biên Dirrichlet. Trên biên trái, ta ghi điều kiện biên: 

h = 1, r = exp(y) ‐ cos(y) trên biên phải:  

h = 1, r = eycos4 ‐ e4cosy  trên biên dưới:  

h = 1, r = cosx ‐ ex  

và trên biên trên:  

h = 1, r = e4cosx ‐ excos4 

h = 1, r = exp(y) ‐ cos(y) trên biên phải:  

h = 1, r = eycos4 ‐ e4cosy  trên biên dưới:  

h = 1, r = cosx ‐ ex  

và trên biên trên:  

h = 1, r = e4cosx ‐ excos4 

¾ Bấm đúp chuột vào icon PDE và chọn phương trình dạng parabolic 

và  các  thông  số  theo  (vd2.1):  c  =  1e‐4,  a  =  0,  f  =  0,  d  =  1.  Trong  menu 

Solve | Parameters ta ghi Time: 0:100:5000, u(t0) = 0 (điều kiện đầu). 

¾ Bấm đúp chuột vào icon      để tạo lưới và sau đó tinh chỉnh nó. 

¾ Bấm đúp chuột vào icon = để giải phương trình. 

u(0, y, t) = 0  u(2, y, t) = 0  u(x, 0, t) = 0   u(0, 2, t) = 0   (vd3.2) u(x, y, 0) = 0.1sin(πx)sin(πy/2)  ∂u/∂t(x, y, 0) = 0 với t = 0    (vd3.3) 

Để giải phương trình ta theo các bước sau: 

¾ Mở công cụ PDETOOL. Vào menu Option | Axes Limit để hiệu chỉnh 

lại  phạm  vi  giá  trị  của  x  và  y  là  [0  2]  rồi  chọn Apply  và Close.  Chọn 

Option | Axes Equal 

¾ Bấm vào icon     để vẽ hình vuông. Khi vẽ xong, nếu chưa đúng kích 

thước ta bấm đúp vào đối tượng bây giờ có tên là R1 để hiệu chỉnh lại thành Left: 0, Bottom: 0, Height: 2, Width: 2. 

¾ Bấm vào icon ∂Ω thì đường biên của đối tượng có màu đỏ. Trên mỗi 

đoạn biên ta cho điều kiện biên theo (vd3.2). Để ghi điều kiện biên cho đoạn nào ta bấm đúp chuột lên đoạn đó. Điều kiện biên đã cho là điều kiện biên Dirrichlet. Trên biên trái, ta ghi điều kiện biên: 

h = 1, r = 0 trên biên phải:  

h = 1, r = 0  trên biên dưới: