Tài liệu CHƯƠNG 5: CÁC PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN docx

Như vậy ta có thể phát hiện ra nghiệm bằng cách tính trị của hàm trên các đoạn ∆x và xem chúng có đổi dấu không... pháp nội suy bậc hai để tạo ra một phương pháp tìm nghiệm của phương tr

CHƯƠNG 5: CÁC PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN

§1. KHÁI NIỆM CHUNG 

Nếu phương trình đại số hay siêu việt khá phức tạp thì ít khi tìm được nghiệm  đúng.  Bởi  vậy  việc  tìm  nghiệm  gần  đúng  và  ước  lượng  sai  số  là  rất cần thiết. 

có khoảng chứa nghiệm đủ nhỏ. Để xác định khoảng chứa nghiệm ta có thể dùng phương pháp đồ thị. Ngoài ra ta cũng có thể tìm nghiệm bằng phương pháp tìm tăng dần. Ý tưởng của phương pháp này là nếy f1(x).f2(x) < 0 thì có ít nhất một nghiệm của phương trình trong đoạn [x1, x2]. Nếu đoạn [x1, x2] đủ nhỏ  thì  trong  đạon  đó  sẽ  có  một  nghiệm  duy  nhất.  Như  vậy  ta  có  thể  phát hiện ra nghiệm bằng cách tính trị của hàm trên các đoạn ∆x và xem chúng có đổi dấu không.  

     g (x)′ ≤ <q 1 a < <  x b         (4) trong đó q là một hằng số thì phương pháp lặp (3) hội tụ 

f(x)  liên  tục  trên  đoạn  [a,  b]  và  f(a).f(b)  <  0. 

Chia  đoạn  [a,  b]    thành  2  phần  bởi  chính 

x 1  ξ 

x

Phương  trình  (2)  chính  là  biểu  thức  tổng  quát  của  phép  lặp.  Hai  giá  trị  đầu tiên x1 và x2 cần để khởi động phép lặp. Quá trình lặp được minh hoạ bằng hình a 

pháp  nội  suy  bậc  hai  để  tạo  ra  một  phương  pháp  tìm  nghiệm  của  phương trình f(x) = 0 rất hiệu quả. Phương pháp này dùng khi đạo hàm của f(x) khó tính  hay  không  thể  tính  được.  Giả  sử  ta  cần  tìm  nghiêm  trong  đoạn  [x1,  x2]. Quá trình tìm nghiệm bắt đầu bằng việc chia đôi đoạn [x1, x2] bằng điểm x3.  

Trong quá trình này ta tính được f(x1), f(x2) và f(x3). Qua 3 điểm này ta có một đường  cong  bậc  2  và  tìm  được  nghiệm  x  của  đường  cong  bậc  2  này.  Nếu  x nằm  trong  đoạn  [x1,  x2]  như  hình  trên  thì  giá  trị  này  được  chấp  nhận.  Tiếp theo ta tìm nghiệm trong đoạn [x1, x3] hay [x3, x2] tuỳ theo vị trí của x. 

với f(x) thoả mãn điều kiện hội tụ của phép lặp, nghĩa là với mọi x∈ [a, b] ta có: 

xỉ  hàm  bằng  một  đường  thẳng.  Tuy  nhiên  để  giảm  lượng  tính  toán  và  để nghiệm hội tụ nhanh hơn ta có thể dùng phương pháp Muller. Nội dung của phương pháp này là thay hàm trong đoạn [a, b] bằng một đường cong bậc 2 

mà ta hoàn toàn có thể tìm nghiệm chính xác của nó.  

1

2 1

2 0

b

)1(h

f)1(ffa

+γ+

−γ

Tiếp  đó  ta  chọn  x0  làm  một  trong  3  điểm  để  tính  xấp  xỉ  mới.  Các  điểm  này được  chọn  gần  nhau  nhất,  nghĩa  là  nếu  nghiệm  n  ở  bên  phải  x0 thì  ba  điểm tính mới là x0, x1 và n; nếu n nằm bên trái x0 thì 3 điểm tính mới là x0, x2 và nghiệm. Tiếp tục quá trình tính đến khi đạt độ chính xác yêu cầu thì dừng lại. 

x 0,  f 0

x 1,  f 1

x 2,  f 2

′

f(x)g(x) = x ‐ 

Ta xây dựng hàm halley1() để thực hiện thuật toán trên 

1 e

1 0.5f.ff

f(x ) f (x ) f (x )f

i

i i

x

fx

fx

fx

f

x

fx

fx

fx

f

x

fx

fx

fx

Trước hết ta tính ma trận Jacobi A0 = J([P0]) và dùng nó tính lần lặp thứ nhất theo phương pháp Newton. 

  P(xo) = ( ((a0x + a1)x+ a2x)+ + an ‐1 )x + an          (2) 

  Ban đầu       P = 0 

  Bước 0   k = 0    P = ao 

  Bước 1  k = 1    P = aox + a1 

  Bước 2  k = 2    P = (aox + a1)x + a2 

  Bước n‐1  k = n ‐ 1  P = P(xo) = ( ((aox + a1)x+a2x)+ +an‐1)x 

  Bước n  k = n    P = P(xo) = ( ((aox + a1)x+a2x)+ +an‐1)x + an 

Ta xây dựng hàm horner() để tính trị của đa thức tại x: 

) n ( 2

0

0 0

0 0

n

!2

)x(P)

xx(

!2

)x(P)xx(

!1

)x(P)x(P)

  Pn‐1 (x) = boxn‐1  + bo‐1xn ‐ 2 + b2xn ‐ 3 + + bn‐1         (4) Thuật toán để tìm các hệ số nhận được bằng cách so sánh (1) và (3) : 

    bo = ao 

    bi = ai +  bi‐1xo 

    bn = Pn(xo) 

So sánh (2) và (3) ta có : 

P (x ) P (x )(x x )P (x ) P (x ) P (x ) (x x ) (x x )

P (x )

(x x )2!

) n ( 2

0

0 0

0 1

n

!2

)x(P)

xx(

!2

)x(P)xx(

!1

)x(P)x(P)x

0 0

0 1

!2

)x(P)

xx(

!2

)x(P

!1

)x(P)x

)x(P)x(

0 1 n

  Pn(x) = (x ‐ r)(x ‐ q)n‐1      (3) 

Bài toán của ta là cho đa thức (3) dưới dạng: 

  Pn(x) = a1xn + a2xn‐1 + ⋅⋅⋅ + an+1   

và cần tìm r(chú ý là q cũng chưa biết). 

    ϕ = aoyk+n + a1yk+n‐1 + +  anyk = 0      (1) 

Đây là một phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng. Khi cho trước  các giá  trị  đầu  yo,  y1, yn‐1  ta  tìm  được  các  giá  trị  yn,  yn+1,   Chúng  được  gọi  là nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính (1). 

Đa thức  

Pn(x) = a0xn + a1xn‐1 + +an‐1x + an       (2) 

với cùng một hệ số ai như (1) được gọi là đa thức đặc tính của phương trình sai phân tuyến tính (1). Nếu (2) có n nghiệm phân biệt x1, x2, , xn thì (1) có các nghiệm riêng là  

k i

y =  

Nếu yi là các nghiệm của phương trình sai phân là tuyến tính (1),thì  

  yk =c1xk1 +c2xk2 +⋅ ⋅⋅+cnxkn      (3) 

k

1

2 2

1 k

1 1 k

x

xc

c1xc

=

+ +

+

1 k

1

2 2

1 1

k 1 1 1

k

x

xc

c1xc

1 k

1

2 2 1

1 k

1

k

x

xc

c1

x

xc

c1xy

1 2 k

1 k

  Để tính nghiệm lớn nhất của đa thức, ta xuất phát từ các nghiệm riêng 

y1 = 0, y1 = 0, , yn =1  để tính yn+1. Cách tính này được tiếp tục để tính yn+2 xuất phát từ y1 = 0, y2 = 0, ,yn+1 và tiếp tục cho đến khi yk+1/yk không biến đổi nữa. Trị số của yk+n được tính theo công thức truy hồi : 

( 1 k n 1 n k)

0 n

§17. PHƯƠNG PHÁP LẶP BERGE ‐ VIETTE 

Các nghiệm thực, đơn của một đa thức Pn(x) được tính toán khi sử dụng phương pháp Newton     

)x(P

)x(Pxx

i n

i n i 1

Để bắt đầu tính toán cần chọn một giá trị ban đầu xo. Chúng ta có thể chọn một giá trị xo nào đó, ví dụ : 

1 n

n 0

a

ax

)x(Px

x

0 n

0 n 0

1 = − ′  

)x(P

)x(Px

x

1 n

1 n 1

xi+1 là một nghiệm của đa thức. 

  Phép chia Pn(x) cho (x ‐  α1) cho ta Pn‐1(x) và một nghiệm mới khác được tìm theo cách trên khi chọn một giá trị xo mới hay chọn chính xo = α1. Khi bậc của  đa  thức  giảm  xuống  còn  bằng  2  ta  dùng  các  công  thức  tìm  nghiệm  của tam thức để tìm các nghiệm còn lại. 

Ta xây dựng hàm birgeviette() để thực hiện thuật toán trên 

  R1(x) = αx + β 

Để  có  được  một  thương  đúng,  cần  tìm  các  giá  trị  s  và  p  sao  cho  R1(x)  =  0 (nghĩa là α và β triệt tiêu). Với r và s đã cho, các hệ số bi của đa thức Pn‐2(x) và các hệ số α và β được tính bằng phương pháp truy hồi. Các công thức nhận được khi khai triển biểu thức Pn(x) = Q2(x).Pn‐2(x) + R1(x) và sắp xếp lại các số hạng cùng bậc: 

  a1xn + a2xn‐1 + a3xn‐2 + + an+1 = (x2 ‐ rx ‐ s)( b1xn‐2 + b2xn‐3 + b3xn‐4 + + bn‐1)  

Ta biết rằng bn‐1 và bn là hàm của s và p : 

  bn = f(r, s) 

i i

f(r ,s )F(X )

∂

∂ ,

gr

∂

∂ ,

gs

∂

∂ . Các đạo hàm này được tính theo công thức truy hồi. 

Do b1 = a1 nên  

n 1 n n 2

b c b cs

1 0

m 11 0

2 1

n

n 1

cxccxc

cx

0

2 m 2

1

n m n

n 1

cx

ccx

c

cx

1 x

2 (s 1) (s)

k 2

i 1

2 (s 1) (s) (s) (s)

2 (s 1) (s)

Ta dùng chương trình ctschroder.m với m = 2: 

)x(Pxx

i n

i n i 1

Để bắt đầu tính toán cần chọn một giá trị ban đầu xo. Chúng ta có thể chọn một giá trị xo nào đó, ví dụ : 

1 n

n 0

a

ax

)x(Px

x

0 n

0 n 0

)x(P

)x(Px

x

1 n

1 n 1

xi+1 là một nghiệm của đa thức. 

  Phép chia Pn(x) cho (x ‐  α1) cho ta Pn‐1(x) và một nghiệm mới khác được tìm theo cách trên khi chọn một giá trị xo mới hay chọn chính xo = α1. Khi bậc của  đa  thức  giảm  xuống  còn  bằng  2  ta  dùng  các  công  thức  tìm  nghiệm  của tam thức để tìm các nghiệm còn lại. 

Ta xây dựng hàm birgeviette() để thực hiện thuật toán trên 

  a1xn + a2xn‐1 + a3xn‐2 + + an+1 = (x2 ‐ rx ‐ s)( b1xn‐2 + b2xn‐3 + b3xn‐4 + + bn‐1)  

i i

f(r ,s )F(X )

∂ ,

gr

∂

gs

   . .  

  cn = bn + rcn‐1 + scn‐2 

Như vậy ta có: 

n n 1 n 1 n 2 2

m 1 1 0

2 1

n

n 1

cxccxc

cx

0

2 m 2

1

n m n

n 1

cx

ccx

c

cx

Đầu tiên từ (1) ta xây dựng phương trình mới có nghiệm là  2

1 x

n 2 2 2 2 2 2 2

( 1) P(x)P( x) a (x− − = −x )(x −x )⋅⋅⋅(x −x ) Thay x2 = ‐y ta có : 

đó các hệ số được xác định bằng: 

2 (s 1) (s)

k 2

i 1

2 (s 1) (s) (s) (s)

2 (s 1) (s)