b Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác BCD.. c Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AG.. b Viết phương trình mặt cầu S cĩ tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng BCD.. c Viết phư
Trang 1ĐỀ KIỂM TRA MỘT TIẾT MƠN: HÌNH HỌC 12-Thời gian: 45 phút
Đề:
Bài 1 Cho tứ diện ABCD với A(2; 4; −1), B(1; 4; −1), C(2; 4; 3) và D(2; 2; −1)
a) Chứng minh: AB, AC, AD đơi một vuơng gĩc
b) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác BCD
c) Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AG
Bài 2 Cho bốn điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(−2; 1; −1)
a) Viết phương trình mặt phẳng (BCD)
b) Viết phương trình mặt cầu (S) cĩ tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (BCD)
c) Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa AD và song song với BC Tính khoảng cách giữa hai cạnh đối AD và BC của tứ diện
ĐÁP ÁN:
Bài 1
a) AB=(−1;0;0),AC=(0;0;4),AD=(0;−2;0) (0,5đ)
AB.AC=AC.AD=AD.AB=0
⇒ AB, AC, AD đơi một vuơng gĩc (0,5đ)
b) Giả sử G(x; y; z)
Ta cĩ: (OA OB OC)
3
1
Nên G:
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
+ +
=
+ +
=
+ +
=
3
z z z z
3
y y y y
3
x x x x
C B A
C B A
C B A
⇔ G ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
3
1
; 3
10
; 3
5
(1đ)
c) Trung điểm I của AG cĩ tọa độ ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
3
1
; 3
11
; 6 11
(1;2; 4)
3
1 3
4
; 3
2
; 3
1
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛− −
Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AG:
6x + 12y − 24z − 63 = 0 (1đ)
Bài 2
a) Ta cĩ: BC=(0;−1;1),BD=(−2;0;−1)
⇒ Mp (BCD) cĩ vec-tơ pháp tuyến là: n =[BC,BD]=(1;−2;−2) (1đ) Phương trình mặt phẳng (BCD) qua B cĩ VTPT n =(1;−2;−2)
x − 2y + 2z + 2 = 0 (1đ)
Trang 2b) Do mặt cầu (S) tiếp xúc với mp(BCD) nên bán kính của (S) là:
R = d(A, (BCD)) = 1
4 4 1
2 1
= + +
+
Vậy, phương trình mặt cầu tâm A, bán kính R= 1 là:
(x−1)2 + y2 + z2 = 1 (1đ) c) Ta có: AD=(−3;1;−1), BC=(0;−1;1)
⇒ mặt phẳng (α) có VTPT là: nα =[AD,BC]=(0;3;3)= 3(0; 1; 1)
Phương trình mặt phẳng (α) qua A và có VTPT n = (0; 1; 1): α
Do mp (α) chứa AD và song song với BC nên khoảng cách giữa AD và BC bằng khoảng cách từ điểm B đến mp (α)
d(AD, BC) = d(B, (α)) =
2
1 1 1
1
2