XÁC SUẤT THỐNG KÊ: KỲ VỌNG VÀ PHƯƠNG SAI

Quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên dưới dạng bảng phân phối xác suất, hàm phân phối xác suất hay hàm mật độ xác suất hoàn toàn xác định biến ngẫu nhiên.. Tuy nhiên, khi nghi

KỲ VỌNG VÀ PHƯƠNG SAI

Quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên (dưới dạng bảng phân phối xác suất, hàm phân phối xác suất hay hàm mật độ xác suất) hoàn toàn xác định biến ngẫu nhiên Tuy nhiên, khi nghiên cứu một biến ngẫu nhiên, nếu chỉ đánh giá thông qua quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên đó thì ta sẽ không dễ dàng so sánh được, đánh giá được các biến ngẫu nhiên với nhau về một đặc tính nào đó Vì vậy cần có những con số thể hiện những thông tin cô đọng nhất về biến ngẫu nhiên ấy Các con số này gọi là các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên gồm có kỳ vọng, phương sai, độ lệch chuẩn và các số đặc trưng khác Chúng ta sẽ cùng tìm hiểu về kỳ vọng và phương sai.

1. Kỳ vọng toán: Kỳ vọng toán thường được kí hiệu:

1.2 Ví dụ:

Ví dụ 2 Bắn liên tiếp ba viên đạn độc lập vào một mục tiêu Gọi X là số viên đạn trúng đích trong 3 viên Xác suất trúng đích của mỗi viên đạn là 0,5 Tìm phân phối xác suất của X Tính kỳ vọng của X.

Dưới một số giả thiết nhất định thì

hội tụ về kỳ vọng E(X) khi

Vì vậy với n đủ lớn ta có thể xem

Ví dụ 3: Thời gian giữa hai chuyến xe ở một bến là đại lượng ngẫu nhiên liên tục X

E(cX) cE(X) =

Giả sử biến ngẫu nhiên Y là hàm của biến ngẫu nhiên X,

Ví dụ 4: Giả sử biến ngẫu nhiên X có phân phối xác suất là

Ví dụ 5: Quay trở lại ví dụ 3: Thời gian giữa hai chuyến xe ở một bến là đại lượng ngẫu

nhiên liên tục X (phút) có hàm mật độ xác suất:

1.5 Ứng dụng của kỳ vọng toán:

Khái niệm kỳ vọng toán lúc đầu xuất hiện trong các trò chơi may rủi để tính giá trị mà người chơi mong đợi sẽ nhận được Hiện nay khái niệm này được áp dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực kinh doanh và quản lý như một tiêu chuẩn để ra quyết định trong tình huống cần lựa chọn giữa nhiều chiến lược khác nhau

Trong kinh tế, kỳ vọng toán đặc trưng cho năng suất trung bình của một phương án sản xuất, lợi nhuận trung bình của một danh mục đầu tư, trọng lượng trung bình

hoặc tuổi thọ trung bình của một loại sản phẩm…

Do đó trong kinh tế, kỳ vọng toán là một tiêu chuẩn để ra quyết định khi có nhiều phương án lựa chọn khác nhau

Ví dụ 6:

Bài toán: Trò chơi “Bầu cua tôm cá” công bằng hay thiên vị? Tại sao?

Luật chơi: Giả sử đặt a (đồng) vào ô B Gieo ngẫu nhiên 3 con xúc xắc Nếu xuất hiện

i mặt B thì sẽ được thưởng i lần a đồng (i = 1, 2, 3) Ngược lại không xuất hiện mặt B nào thì mất số tiền đặt vào.

Trò chơi “Bầu cua tôm cá” công bằng hay thiên vị?

Giả sử đặt a (đồng) vào “ô cá”

Gọi X là số tiền thu về sau 1 lần tham gia (tức là 1 lần đặt tiền)

X có thể nhận những giá trị:

-a, a, 2a, 3a.

Ta xem việc gieo 3 con xúc xắc (xí ngầu) như thực hiện dãy 3 phép thử Bernoulli, với

1

n 3, p

6

Số tiền trung bình thu về sau 1 lần tham gia là:

Kết luận: Trò chơi thiên vị cho người “cầm cái”

0 3

1 5 125 P[X a] C

3

1 5 75 P[X a] C

3

1 5 15 P[X 2a] C

ngược lại phải trả 3 triệu Chi phí cho thiết kế là 10 triệu và thuế 10% doanh thu Hỏi

C có nên nhận thiết kế hay không?

2 Phương sai: Trước hết ta xem ví dụ sau: Có hai nhóm người đều có chiều cao trung bình là

160,8 cm

Như vậy, giá trị trung bình không phản ánh hết được sự phân tán của một số liệu Chúng ta cần đến một giá trị khác Đó là giá trị phương sai

Nhóm 1160160167156161E(X) =160,8 cm

Nhóm 2142150187180145E(X) = 160,8 cm

Quay trở lại ví dụ trên: Có hai nhóm người đều có chiều cao trung bình là 160,8 cm.

Nhóm 1: D(X) = 15,7 Nhóm 2: D(X) = 443,7

Ta thấy chiều cao của những người ở nhóm 2 có sự khác biệt nhiều hơn những người ở nhóm 1 Tức là những giá trị đo đạc được ở nhóm 2 cách xa giá trị trung bình hơn những giá trị đo đạc được ở nhóm 1

2.3 Tính chất của phương sai:

a) Dc = 0 (với c là hằng số)

b) (với c là hằng số)

c)

(Trung bình bình phương trừ bình phương trung bình)

Ví dụ 8: Giả sử biến ngẫu nhiên X có phân phối là:

Ví dụ 9: Giả sử X có phân phối đều trên đoạn [0; 1] Tính phương sai của X