Bài giảng Toán rời rạc - Phần 1: Mệnh đề (TS. Nguyễn Viết Đông)

Bài giảng Toán rời rạc - Phần 1: Mệnh đề (TS. Nguyễn Viết Đông) cung cấp cho học viên những kiến thức về mệnh đề và chân trị, phép tính mệnh đề, dạng mệnh đề, quy tắc suy diễn, bài tập luyện tập,... Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết nội dung bài giảng!

Trang 1

Ph n I.M nh đ ầ ệ ề

Biên so n : TS.Nguy n ạ ễ

Vi t Đông ế

1

Trang 3

M nh đ và chân tr ệ ề ị

• Khái ni m v m nh đ :ệ ề ệ ề

M nh đ toán h c ệ ề ọ là khái ni m c b n c a toánệ ơ ả ủ

h c không đ ọ ượ c đ nh nghĩa mà ch đ ị ỉ ượ c mô t ả

M nh đ toán h c(g i t t là m nh đ ) là ệ ề ọ ọ ắ ệ ề

m t kh ng đ nh có giá tr chân lý xác đ nh(đúng ộ ẳ ị ị ị

ho c sai, nh ng không th v a đúng v a saiặ ư ể ừ ừ )

3

Trang 6

M nh đ và chân tr ệ ề ị

• Ký hi u m nh đ : ệ ệ ề

Ng ườ i ta th ườ ng dùng các ký hi u : P, Q, R, … ệ

• Chú ý: M nh đ ph c h p là m nh đ đệ ề ứ ợ ệ ề ược xây d ng t các m nh đ khác nh liên k t ự ừ ệ ề ờ ếchúng l i b ng các liên t (và, hay, n u…ạ ằ ừ ế

thì…) ho c tr ng t “không”ặ ạ ừ

– Ví d : N u tr i t t thì tôi đi d o ụ ế ờ ố ạ

6

Trang 9

Operators

Trang 10

Phép tính m nh đ ệ ề

Phủ định của mệnh đề

Trang 11

The unary negation operator “¬” (NOT) transforms a prop. into its logical negation.

E.g. If p = “I have brown hair.”

then ¬p = “I do not have brown hair.”

11

Trang 12

T F

F T

Trang 14

• Ví d : M nh đ “Hôm nay, cô y đ p và ụ ệ ề ấ ẹ

thông minh ” ch đỉ ược xem là m nh đ đúng ệ ềkhi c hai đi u ki n “cô y đ p” và “cô y ả ề ệ ấ ẹ ấthông minh” đ u x y ra. Ngề ả ượ ạc l i, ch 1 ỉ

trong 2 đi u ki n trên sai thì m nh đ trên s ề ệ ệ ề ẽsai

14

Trang 15

• Mệnh đề “Hôm nay, An giúp mẹ lau nhà và rửa chén” chỉ đúng khi hôm nay An giúp mẹ cả hai

công việc lau nhà và rửa

chén Ngược lại, nếu hôm nay

An chỉ giúp mẹ một trong hai

công việc trên, hoặc không

giúp mẹ cả hai thì mệnh đề

trên sai

15

Trang 16

The binary conjunction operator “ ” (AND)

combines two propositions to form

their logical conjunction.

E.g If p=“I will have salad for lunch.” and

q=“I

will have steak for dinner.”, then p q=“I will

have

salad for lunch and I will have steak for

dinner.” Remember: “ ” points up like an “A”, and it means “ ND”

ND

16

Trang 17

• Note that a

conjunction

p1 p2 … pn

of n propositions

will have 2n rows

in its truth table

• Also: ¬ and operations together are

suffi-cient to express any Boolean truth table!

Trang 18

18

Trang 19

• Phép n i r i(phép tuy n; phép h p)ố ờ ể ợ

M nh đ n i r i ệ ề ố ờ c a hai m nh đ P, Q đủ ệ ề ượ c kí hi u ệ

b i P ở Q (đ c là “P hay Q”), là m nh đ đ ọ ệ ề ượ c đ nh ị

b i : ở

P Q sai khi và ch khi P và Q đ ng th i sai ỉ ồ ờ

19

Trang 20

• Ví d : M nh đ “Tôi đang ch i bóng đá hay ụ ệ ề ơbóng r ”.ổ

M nh đ này ch sai khi tôi v a không đang ch i ệ ề ỉ ừ ơ

bóng đá cũng nh v a không đang ch i bóng r ư ừ ơ ổ

Ng ượ ạ c l i, tôi ch i bóng đá hay đang ch i bóng r ơ ơ ổ

hay đang ch i c hai thì m nh đ trên đúng ơ ả ệ ề

20

Trang 21

downward-Meaning is like “and/or” in English.

21

Trang 22

22

Trang 23

23

Trang 26

26

Trang 28

• Ví d : Xét m nh đ sau : ụ ệ ề

Trang 29

• Mệnh đề “Chiều nay, nếu rảnh tôi sẽ ghé thăm bạn” chỉ sai khi chiều nay tôi rảnh nhưng tôi không ghé thăm bạn

• Ngược lại, nếu chiều nay tôi

bận thì dù tôi có ghé thăm

bạn hay không, mệnh đề trên vẫn đúng Ngoài ra, tất nhiên nếu chiều nay tôi có ghé

thăm bạn thì mệnh đề trên

đúng (dù tôi có rảnh hay

không!)

29

Trang 30

The Implication OperatorThe implication p q states that p implies q.

Trang 31

31

Trang 33

33

Trang 34

• Pheùp keùo theo hai chieàu:

M nh đ P kéo theo Q và ng ệ ề ượ ạ c a hai m nhđ c l i ủ ệ ề

P và Q, ký hi u b i P ệ ở Q (đ c là “P n u và ch n u ọ ế ỉ ế Q” hay P khi và ch khi Q” hay “P là đi u ki n c n ỉ ề ệ ầ

và đ c a Q”), là m nh đ xác đ nh b i: ủ ủ ệ ề ị ở

P Q đúng khi và ch khiỉ P và Q có cùng chân trị

34

Trang 35

35

Trang 36

36

Trang 37

2005

Trang 39

• We have seen 1 unary operator and 5 binary operators . Their truth tables are below

Trang 41

nhất định nào đó, thường được chỉ rõ bởi các dấu ngo c ặ

41

Trang 42

• B ng chân tr là b ng ghi t t c các tr ả ị ả ấ ả ườ ng h p ợ

chân tr có th x y ra đ i v i d ị ể ả ố ớ ạng m nh đ E theo ệ ề chân tr c a các bi n m nh đ p, q, r. N u có n ị ủ ế ệ ề ế

bi n, b ng này s có 2n dòng, ch a k dòng tiêu đ ế ả ẽ ư ể ề

42

Trang 43

D ng m nh đ ạ ệ ề

43

Trang 44

A tautology is a compound proposition that

is true no matter what the truth values of its

atomic propositions are!

Ex p p [What is its truth table?]

A contradiction is a compound proposition

that is false no matter what! Ex p p

[Truth table?]

Other compound props are contingencies.

44

Trang 45

Compound proposition p is logically

equivalent to compound proposition q,

written p q, IFF the compound proposition

p q is a tautology.

Compound propositions p and q are logically

equivalent to each other IFF p and q contain

the same truth values as each other in all

rows of their truth tables

45

Trang 46

Ex Prove that p q ( p q).

TF

F

FF

TT

46

Trang 47

1 Quy t c thay th th 1 ắ ế ứ

Trang 48

Các lu t logic ậ : V i p, q, r là các bi n ớ ế

m nh đ , ệ ề 1 là m t h ng đúng và ộ ằ 0 là m t h ng ộ ằsai, ta có các tương đương logic sau đây:

1) Lu t lu đ ngậ ỹ ẳ

p p p

48

Trang 49

49

Trang 56

• Trivial tautology/contradiction:

p p T p p F

Augustus

De Morgan (1806-1871)

Trang 57

Using equivalences, we can define

operators in terms of other operators

Trang 58

[DeMorgan’s Law]

( p q) ((p r) (p r))

[associative law] cont.

58

Trang 59

( p q) ((p r) (p r)) [ commutes] (q p) ((p r) (p r)) [ associative]

Trang 60

q ( p (p r))

[DeMorgan’s] q ( p ( p r)) [Assoc.] q (( p p) r) [Idempotent] q ( p r)

[Assoc.] (q p) r

[Commut.] p q r

Q.E.D (quod erat demonstrandum)

(Which was to be shown.)

60

Trang 61

• Đ ch ng minh m t d ng m nh đ là h ng ể ứ ộ ạ ệ ề ằđúng, h ng sai, các d ng m nh đ là tằ ạ ệ ề ương

đương lôgic, d ng m nh đ này là h qu ạ ệ ề ệ ảlogic c a d ng m nh đ kia, ta có các cách ủ ạ ệ ềsau:

L p b ng chân tr ậ ả ị

S d ng phép thay th ử ụ ế

61

Trang 64

Qui t c suy di n ắ ễ

• Trong các ch ng minh toán h c, xu t phát t m t s ứ ọ ấ ừ ộ ố

kh ng đ nh đúng ẳ ị p, q, r…(ti n đ ), ta áp d ng các ề ề ụ qui t c suy di n đ suy ra chân lí c a m t m nh đ ắ ễ ể ủ ộ ệ ề

h mà ta g i là k t lu n.ọ ế ậ

• Nói cách khác, dùng các qui t c suy di n đ ch ng ắ ễ ể ứ minh:

.

64

Trang 68

Qui T c Suy Di n ắ ễ

• QUI T C TAM ĐO N LU N(SyllogismẮ Ạ Ậ )

Qui t c này đ ắ ượ c th hi n b ng h ng đúng: ể ệ ằ ằ

Trang 69

• Hai tam giác vuông có cạnh huyền và 1 cặp góc nhọn bằng nhau thì chúng ta có một cạnh bằng nhau kèm giữa hai góc bằng nhau.

• Nếu hai tam giác có cạnh bằng nhau kèm giữa hai góc bằng nhau thì chúng bằng nhau

Suy ra hai tam giác vuông có cạnh huyền và 1 cặp góc nhọn bằng nhau thì bằng nhau

• Một con ngựa rẻ là một con ngựa hiếm

• Cái gì hiếm thì đắt

Suy ra một con ngựa rẻ thì đắt ()

69

Trang 70

• QUI T C MODUS TOLLENSẮ

PHƯƠNG PHÁP PH Đ NHỦ Ị Qui t c này đ ắ ượ c th hi n b ng h ng đúng: ể ệ ằ ằ

Trang 71

Aristotle (ca 384-322 B.C.) 71

Trang 72

• QUI T C TAM ĐO N LU N R I Ắ Ạ Ậ Ờ

Qui t c này đ ắ ượ c th hi n b ng h ng đúng: ể ệ ằ ằ

Ý nghĩa c a qui t c: n u trong hai tr ủ ắ ế ườ ng h p ợ

có th x y ra, chúng ta bi t có m t tr ể ả ế ộ ườ ng h p sai ợ thì ch c ch n tr ắ ắ ườ ng h p còn l i s đúng ợ ạ ẽ

( p qخ��) q p

Trang 73

• QUI T C MÂU THU NẮ Ẫ

CH NG MINH B NG PH N CH NG Ứ Ằ Ả Ứ

Ta có t ươ ng đ ươ ng logic

• Đ ch ng minh v trái là m t h ng đúng ta ể ứ ế ộ ằ

ch ng minh n u thêm ph đ nh c a ứ ế ủ ị ủ q vào các

ti n đ thì đ ề ề ượ c m t mâu thu n. ộ ẫ

( p1 خ��ٮ��p2 p n ) q ( p1 p2 p n q) 0

Trang 74

∴

74

Trang 76

• Ch ng minh r ng ứ ằ :

Trang 78

VÍ D T NG H P Ụ Ổ Ợ

Trang 79

• PH N VÍ D Ả Ụ

Đ ch ng minh m t phép suy lu n là sai hay ể ứ ộ ậ

không là m t h ng đúng. Ta ch c n ch ra m t ộ ằ ỉ ầ ỉ ộ

ph n ví d ả ụ

Trang 80

∴

�خ

s=0 t=1 p=1 q=0 r=1

80

Trang 82

• Let us adopt the following abbreviations:

– sunny = “It is sunny”; cold = “It is cold” ;

swim = “We will swim”; canoe = “We will

• Then, the premises can be written as:

(1) sunny cold (2) swim sunny

(3) swim canoe (4) canoe early

82

Trang 83

1 sunny cold Premise #1.

2 sunny Simplification of 1.

3 swim sunny Premise #2.

5 swim canoe Premise #3.

7 canoe early Premise #4.

83

Trang 84

84

Trang 86

86

Trang 87

• Giải

87

Trang 88

88

Trang 89

89

Trang 90

90

Trang 94

p r

94

Trang 95

p q

s t

95

Định dạng
Số trang	96
Dung lượng	1,2 MB