Tài liệu Các dạng bài tập tổng quát về tính đồng biến và nghịch biến của hàm số pdf

Các dạng bài tập tống quát về tính đông biến và nghịch biến của hàm sô Một số bài tập tự giải... Hướng dẫn: Hầnh độ xị, xạ của hai điểm cực trị thuä mãn xị... Tim m để phương trình cá n

Phân 4 Các dạng bài tập tống quát về tính đông biến và nghịch biến của hàm sô

Một số bài tập tự giải

Bai 1:

Timm dé ham số y = 3% + fre 2ix? + (Sen + 4]x + m + 1đạt cực trị tại xị, xạ san chủ xy <- 1< xy

Hướng dẫn:

Tìm điều khiện để phương trình x? + 2m - 21x + 5m + 4= ñ cá hai nghiệm xị, x¿ san chủ #q<-1<a

Dùng định lý đản tam thức bac hai va cd dap sé: m =- 3

Bài 2:

2

Cho y= 5 2+ (cosa@- 3 sing x? - 801 +cos2 ax +1

1 Ching minh rang Yo @ harm số luãn cá cực trị

2 Gid sie ham sd dat curc tri x4,%9 Chứng minh W 4, ta cú xi + x3 = 16

Bai 3:

Cho y= si rrnx2 - x +rmn +1 Tìm mì để khuäng cách giữa hai điểm cực trị là bé nhất

Hướng dẫn:

- Sir dung két quả dễ chứng rninh sau:

Chn ý = ax#3#+ hx? + cx + da #[, vả giã sử hảm số cá cực trị Gại Ax + B là phần dự trang phép chỉa

của y cha ý Khi đá giã sử xị,x¿ là haảnh độ của cực trị, thì tung độ của các điểm da la:

W1 = Ao + Boye = Axe +B

- Đáp số: dmin= “2m =n

Hai 3: 3

Cho ¥ = x? - 3x? +m?x +m

Tìm mm để đường cong có cực đại, cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thăng y = 5 x - 3

Hướng dẫn: Sử dụng hướng dẫn trang hài 3

Bài 5:

Tìm m đề đường cung y = x#+ 4mx2 + 3(mn+ 13x2 + 1 chỉ có cực tiểu mà không có cực đại

Hướng dẫn: Lập bằng biên thiền và xét dâu y then m

1—^# 1+/7

Bai 6:

Cho ¥ = x4 + (m+ 3)x? + 2fm41)x2

Chứng minh rằng với mọi m + - 1, thì hàm số luân luôn có cực đại tại điểm cé hoanh dé =O

Bài 7:

_ x? + (22 +1) x+r07 +o2+4

Cho

Tìm m dé ham sé cé cu tri va tim khoang cach gitra hai diém cuc tri

2x; +2zz+ ]

Hướng dẫn: Sử dụng công thức, nếu É% ;v¡)lä điểm cực trị (= 1,2) thì y¡= 5

Bài 8:

2

Cha y = —j.4 7m m đề đường cong cĩ cực trị và thuã mẫn hệ thức Ly an — yal =4

xa

T đây vca, ycr tương ứng ký hiệu giá trị cực đại, giá trị cực tiểu cla ham sé

Hướng dẫn — Án dụng cơng thức bải 7

^

Đán số, mm = 3

Bài 9:

Sha y= ——————

~x +1

Tìm m đề cĩ cực đại, cực tiểu và khộng cách từ hai điểm đĩ đến đường thẳng x+y+2=f0là hẳng nhau

Dap sé: m=

Bai 10:

x? 4 2eex +1— 39"

x—?2 Tìm m để đường cung cĩ hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục tung

Hướng dẫn: Hầnh độ xị, xạ của hai điểm cực trị thuä mãn xị xạ < Ũ

Đáp số: - 1 < m « 1

Bài 12:

z? +(2:— 1)x +ưa

Tìm m để hàm số đẳng hiến trang khộng (3,+69}

ra

Đán số: m > - 14

Bai 13:

aT - Cho O = & = 5 chứng mink

a

1 sin @> v- —

6

2

2 sin g> —

TỶ

3 &sing +cosay = 1

4 ost + im ¬ «+1

hướng dan Su dung dao ham dé chirng minh

Ol CAU:

3

1 Xét harn sd fd = sinx - x + = trên [0.2]

2 Mét ham sé ft = =" trên [0.2]

a

31 xét häm so ffx) = sin x +†q x- 2 trấn [0.2]

Bai 14: Cho x > y =O Chirng mink

2 In x—In w

Hướng dẫn: Ea bất đẳng thức về dạng:

x

—— Ì

li — - + > Ú, rỗi sử dung phurcng phap dao harn

v

Bai 15:

Cho x = Ova «<1 ching minh —— <

Aureng dn:

Ễ

Với x>= 1, xét hảm số fit) = Int - —] với t2 1

ale

wửILÍE< x< 1, đặt x= — vỉ quy vẽ trưởng hợp †

v Bai 16:

(ho p, gla cac số tu nhién = 1 Cheng minh vei YO <S@œ<—, tä có sInPx# cns3x =

pep

Huéng dan: viet lai bat dang there dưới dạng trưng đương Sin?PwŒns?qw = —“—“———

(pt py

xét hảm số fit) = tel - te voi <† < 1, cần dùng phương pháp đạn hảm

Bài 1z:

colgx —caigy=xX— ¥

Giải hệ phương trinh: 3 3x vé = 27T

x,y (Ú Zr]

Hướng dẫn: Hảăm số ft = cntgt - t nghịch hiển trén (0, 77}

Đán số: Hệ có nghiệm duy nhất # = y= 1s

2x+1=w +yŸ+y

Bài 18: Giải hệ phương tình 4 2y» +1=z7+z +z

2z+l=x +x/+z

Hướng đâm: Hàm sỗ ft = †! + t‡ + 1 lã đẳng hiển thiên khi t ER

Đán số: Hệ có 2 nghiệm (1,1, 1}; (-1,-1,-1]

Bài 19:

Giải nhưng trinh:4x - 2] flog ,(x —3)+log,(x- 2] = 1ã5z + 1]

Hướng dẫn:

Harm fit) = logetx - 3) + logafx - 2) dang bién khi x =SHam gi) = ˆ

a

la ham nghịch hiển khi x > 3

Dap so: x= 11

Bai 70:

Giải nhưng trình;:5* + 4* + 4# + 28 = — + —+4+ —- 3x? + 5x? - Fx +17

oe 3" 6 Hướng dân: Dùng nhận xét sau:

"xét nhưưững trình f#) = q4), x € O Néu fied la harm đẳng hiển khi x € OD, con gfx) nghich biển khi x

c Ũ Khi đá nầu phương trình đã chủ cá nghiệm trên D thì ná có nghiệm duy nhất e D"

Đán số: x = 1

Bai 71:

Cho bat phương trình: 24 + x)(6 — xì Sx?-2x+mTim m để hất phương trình đúng với mọi x:-4 <x <6 Hướng dẫn: SỐ

ot dung ménh dé vé mai lén quan gia gia tr max va min cOa ham sd ver tính trương thích của

như ơng trình và hắt phương trình ở đây xét hàm số f(x] = 2/4 + x)(Ê — 3 -šÊ+2x-m <ữ với -4 Sxs B Đản số: m = 6

Bài 22:

TT

"2

Tim m dé phurcng trink:2 + 2sin2@x = mifl + cosx}? cd nghiệm trần -

Hướng dân: Điặt tụ == †, rỗi án dụng hướng dẫn trang hải 21

Đán số: < m < 2

1 +g

Bai 23:

3

Tìm a để hệ phương trình: | 22° = 2 + „_ Cú nghiệm duy nhất

3 ay? = x45

+

Hướng dân: vĩ nhương trình fx) = 2#Ê - x?= a? cá nghiệm duy nhật với mại a nên đắp số: với mại a Bai 274:

Cho phucng trinh [ax — 2m + 41x + 5z + LŨ +3 - z =Ú Tim m để phương trình cá nghiệm

Hường dân:

xe 3 _ x*-2BrtH _

fla) = yaa = 8

Viết lại hệ dưới dạng

Hao sé m3

Bài 1 (Đại học, Cao đắng khối A - 2002)

Cho phuong trinkh

lnrl#as # + Ni Tu x+1-2m—-1=0

Tim rm dé phurcng trinh cdé it nhat mét

3N3 |

nghiém thude doan [1;

B4i gis!

Bat ¢=flogs? x+1.Khi 1=x< 347

— O= logsx = ^/3 — 1 Z£ts 2 Luc nay

nhưng trình cá dạng:†?—1 +t-2rm—T1= ñ

Bai toan 44 cho tre thanh: Timm dé hé

sau co nghiémefti = t? +t -—2=2m

+; =ti2

HỆ củ nghiệm khi và chí khi:

min fit) = 2m = max fit) (1)

1st<2 †<stse<+

Ta củ fay = 2t +1 và có bằng biên thiển sau:

ins) LI 4 + “

Tử đủ suy ra

Nhu thé 0 < m 2 ae cac gid tri can tim cla tham số mn

Mayers PEI = PCS) ti

=

Bài 2 (Đại học, Cao đăng khối B - 2003)

Tir gia tri len nhat va ne nhAt cocoa

MS! gras

=

+ a — _—

Ta củ » ` —= T1 - = = ~ ~

aft ực (4 — x2

- O82 thay néu —2ex= O, thi —x=>O=>y'=> O

- li LÍ = x= ago? ,

“1 the ta ca bang bién thién sau:

a

Do đómay v=yv(21=2A2 và mì v2 fEminly(2)yE2)Emin2,2P 2

giá trị lớn nhất đạt được khi x= v2, củn nhủ nhất khi z = -2

Bài 3 (Đại học, Cao đăng khối B - 2004)

Tìm gia tri lan nhất vả nhủ nhất của

2 harn sa:y = trén doan [1,2°]

x Hải nuấi

1 x2in x ——In* x

xẻ

— =Ïn x-—lnˆz — In xt2—In x)

Khi x =[1,ø$] thì x#>ñ vậy dẫu của y' là dấu

của 2.lnx-ln#x Ta cú: 2lnx—ln#x=lnxf2-lnx}

Lap bang bién thién sau:

3x2 A

Ta thu được: hđdax ¬= ye?) = foe ==

hin sự = min {yi}, ylery}

†1<S#=*

= min {0.5} =Ũ

e

Bài 4 (Đại học, Cao đăng khói D - 2004)

Cheng minh rang phường trình sau cá

đúng duy nhat mat nghiérm x3—x2—2»x—1=0

Bái quai:

Ta viết lại nhưng trình dirới dạng

w»” = xe? 4 Be 41= (ek +17 20 £15

Tire (1) suy ra x® = O => x 2 O khi x =O

thi x +41 21=> (x +1721 vì thể từ (1]

suy ra x® 2 1 hay x 21 ‘ay moi nghiém

cOa phureng trinh (néu cd) déu = 1

Lai viét phurong trinh durci dang:

fix) = x®- nw? -2x-1=0 voi x= 1

Tacaofflj=-3 <0, ff{+e0)} = +0020

vậy phương trình fix = 0 chac chan củ

ít nhất rnật nghiệm € [1, +004

Tacda ffx) = Bx?- 2w — 2

= [2x## - 2w] + (1x# - 3] + |

= (2x4 - 2w] + (1x! - dị +1 =2 Ú£- 1Jx +31] +11]

Dũ x>1, nên tửừ(2)suy ra fbj>0 với M x1 Hàm số ffÄ luãn đẳng hiển trên [1, +69}, nên phương trình

đã chủ cú nghiệm trần đá, ná củng cú nghiệm duy nhất Elá lä điểu nhải chứng minh.