Luận văn thạc sĩ phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh trung học cơ sở thông qua dạy chuyên đề các dạng toán liên quan đến ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất

Tiem năng cuadayHQCchuyênđe “Các dang toán liên quan đen ưóc chung lón nhatvàb®i chung nho nhat” trong vi¾c pháttrien tưduysángtaochoHQCsinh...14 1.4.. Phương hưóng phát trien tư duy sán

HÀ N®I - NĂM 2019

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOCGIÁODUC

NGHIÊM QUỲNH ANH

PHÁT TRIEN TƯ DUY SÁNG TAO CHOHOCSINHTRUNGHOCCƠSêTHÔNGQUADAYCHUYÊNĐE“C

ÁCDANGTOÁNLIÊNQUANĐEN ƯéC CHUNG LéN NHAT VÀ B®I CHUNG NHÔ NHAT”

LU¾N VĂN THAC SĨ SƯ PHAM TOÁN HOC

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOCGIÁODUC

NGHIÊM QUỲNH ANH

PHÁT TRIEN TƯ DUY SÁNG TAO CHOHOCSINHTRUNGHOCCƠSêTHÔNGQUADAYCHUYÊNĐE“C

ÁCDANGTOÁNLIÊNQUANĐEN ƯéC CHUNG LéN NHAT VÀ B®I CHUNG NHÔ NHAT”

LU¾NVĂNTHACSĨ SƯ PHAMTOÁNHOC CHUYÊNNGÀNH:LÝLU¾NVÀPHƯƠNG PHÁPDAYHOC

LèI CÂM ƠN

Vóitìnhcamchânthànhvàlòngbietơnsâusac,tácgiaxinđưoctrânTRQNGcamơnBangiámhi¾utrưòngĐaiHQCGiáodnc-ĐaiHQCQuocgiaHàN®ivàcác

thaygiáo,côgiáođangcôngtáctaitrưòngđãgiangdayvàtaođieuki¾nthu¾nloichotácgiatrongquátrìnhHQCt¾pvànghiêncúuhoànthànhđetàinày

Đ¾cbi¾t,tácgiaxinbàytolòngkínhTRQNGvàbietơnsâusacnhattóiGS.TSKH.NguyenVănM

¾u,ngưòithayđãt¾ntìnhgiúpđõ,hưóngdantácgiatrongsuotquátrìnhnghiêncúuvàhoànthi¾nlu¾nvăn

Tácgia xin gui lòi cam ơn chân thành tói Ban giám hi¾u, cácthaycô giáotrongtoToántrưòngTHCSNguyenTriPhươngđãtaođieuki¾nthu¾nloitrong quá trìnhtác gia thnc hi¾n đetài

Lòicamơnchânthànhcuatácgiacũngxinđưocdànhchonhungngưòithântronggiađìnhvàbanbè,cácbanđongnghi¾p-

nhungngưòiđãluônquantâm,đ®ngviên,covũ,giúpđõtácgiatrongquátrìnhHQCt¾pvàthnchi¾nđetài

M¾c dù đã có nhieu co gang nhưng lu¾nvănchac chan không tránh khoinhungthieusót.Tácgiaratmongnh¾nđưocnhungýkienđónggópquýbáucua cácthaycôgiáovàcác ban đ®c gia quan tâm đen đetài

XintrânTRQNGcamơn!

Hà N®i, tháng 2năm2019Tácgia

Nghiêm Quỳnh Anh

DANH MUC CÁC CHU VÀ KÝ HIfiU VIET TAT

* Danh mnc các chE viet tat

(a1,a2, ,a n) Ưócchungcuaa1,a2, ,a n

gcd(a1,a2, ,a n) Ưócchunglónnhatcuaa1,a2, ,a n

Q

Σ

DANH MUC CÁC BÂNG

Bang3.1.KetquađieutrathnctrangdayHQCpháttrientưduysáng

taocuagiáoviên 60

Bang3.2.KetquađieutrathnctrangHQCt¾ptheohưóngrènluy¾ntư duysángtaocuaHQCsinh 62

Bang3.3.Phânphoitansoketquabàikiemtraso1 64

Bang3.4.Phânphoitansuatketquabàikiemtraso1 64

Bang3.5.Phânphoitansuattíchlũyketquabàikiemtraso1 64

Bang3.6.Tonghopphânloaiketquabàikiemtraso1 65

Bang3.7.Phânphoitansoketquabàikiemtraso2 66

Bang3.8.Phânphoitansuatketquabàikiemtraso2 66

Bang3.9.Phânphoitansuattíchlũyketquabàikiemtraso2 67

Bang3.10.Tonghopphânloaiketquabàikiemtraso2 67

DANH MUC CÁC BIEU ĐO VÀ SƠ ĐO

Sơđo1.1.Cácgiaiđoancuatưduy 8

Bieuđo3.1.KetquađieutrathnctrangdayH Q Cpháttrientưduy sángtaocuagiáoviên 61

Bieuđo3.2.KetquađieutrathnctrangHQCt¾ptheohưóngrènluy¾n tưduysángtaocuaHQCsinh 62

Bieuđo3.3.Phânphoitansuatbàikiemtraso1 65

Bieuđo3.4.Phânphoitansuattíchlũybàikiemtraso1 65

Bieuđo3.5.PhânloaiketquaHQCt¾pbàikiemtraso1 66

Bieuđo3.6.Phânphoitansuatbàikiemtraso2 67

Bieuđo3.7.Phânphoitansuattíchlũybàikiemtraso2 68

Bieuđo3.8.PhânloaiketquaHQCt¾pbàikiemtraso2 68

Mnc lnc

LŐICÂMƠN i

DANHMUCCÁCCHUVÀKÝ HIfiUVIETTAT ii

DANHMUCCÁCBÂNG iii

DANHMUCCÁCBIEU ĐOVÀSƠĐO iv

MŐĐAU 1

CHƯƠNG1.CƠSêLÝLU¾NVÀTHUCTIEN 5

1.1 Cácvanđe chungvetưduy 5

1.1.1 Khái ni¾mtưduy 5

1.1.2 Đ¾c điem cuatưduy 6

1.1.3 Các giai đoan cuatưduy 7

1.1.4 Các thao táctưduy 8

1.2 Cácvanđevetư duysángtao 9

1.2.1 Kháini¾mtưduysángtao 9

1.2.2 Cácđ¾ctrưngcơbancuatưduysángtao 11

1.2.3 DaytưduysángtaochoHQCsinh 13

1.3 Tiem năng cuadayHQCchuyênđe “Các dang toán liên quan đen ưóc chung lón nhatvàb®i chung nho nhat” trong vi¾c pháttrien tưduysángtaochoHQCsinh 14

1.4 Thnc trangdayvàHQCcác dang toán liên quan đen ưóc chung lón nhatvàb®ichungnhonhattrongchươngtrìnhtoánTHCS 15

1.4.1 Thnc trangdaycuagiáoviên 15

1.4.2 ThnctrangHQCcuaHQCsinh 16

1.5 Phương hưóng phát trien tư duy sáng tao choHQCsinh thông

quadayHQCchuyênđe “Các dang toán liên quan đen ưóc chung lón

nhatvàb®i chungnhonhat” 17

Ket lu¾nchương1 18

CHƯƠNG 2.PHÁTTRIEN TƯ DUYSÁNGTAOCHO HOC SINH THCS THÔNGQUADAYCHUYÊN ĐE“CÁCDANGTOÁNLIÊNQUANĐEN ƯéC CHUNG LéNNHATVÀB®I CHUNG NHÔNHAT” 19

2.1 Các kien thúc cơ ban liên quan đen ưóc chung lón nhatvàb®i chung nhonhat 19

2.1.1 Quanh¾chiahettrongt¾phopsonguyên 19

2.1.2 So nguyên to Hop so Sochínhphương 19

2.1.3 Ưóc chunglónnhat 22

2.1.4 B®i chungnhonhat 23

2.1.5 Đongdư 24

2.2 M®t so dang toán liên quan đen ưóc chung lón nhatvàb®i chung nhonhat 25

2.2.1 Các bài toánveưóc chunglónnhat 25

2.2.2 Cácbàitoánveb®ichungnhonhat 27

2.2.3 M®t so dang toánliênquan 28

2.3 M®t so bi¾n pháp phát trien tư duy sáng tao choHQCsinh THCS thông quaday chuyênđe “Các dang toán liên quan đen ưóc chung lónnhatvàb®ichungnhonhat” 35

2.3.1 Rènluy¾nchoHQCsinhsudnnglinhhoatcácthaotáctưduy 36

2.3.2 KhuyenkhíchHQCsinhtìmranhieucáchgiaichom®tbàitoán 40

2.4 Kien thúc mo r®ng liên quan đen ưóc chung lón nhatvàb®i chung nhonhatgiúpboidưõngtưduysángtaochoHQCsinh 48

2.4.1 Tongcácưócsovàsocácưócsocuam®tso 48

2.4.2 Sohoànchinh 50

2.5 M®t so đe thiHQCsinh gioivàOlympicliênquan 53

Ket lu¾nchương2 57

CHƯƠNG 3 THUC NGHIfiMSƯPHAM 58

3.1 Khái quátvethnc nghi¾msưpham 58

3.1.1 Mnc đíchthncnghi¾m 58

3.1.2 Nhi¾m vnthncnghi¾m 58

3.1.3 Tochúcthncnghi¾m 58

3.1.4 N®i dungthncnghi¾m 58

3.2 Phương phápdaythncnghi¾m 59

3.2.1 CHQNđoi tưongthncnghi¾m 59

3.2.2 Bo tríthncnghi¾m 59

3.2.3 Giáo ánvàđe kiem trathncnghi¾m 59

3.3 Phân tích ket qua phieuđieutra 59

3.3.1 Phân tích ket qua đieu tragiáoviên 59

3.3.2 Phân tích ket qua đieu traHQCsinh 61

3.4 Phân tích ket quathncnghi¾m 63

3.4.1 Đánh giáđ%nhtính 63

3.4.2 Đánh giáđ%nhlưong 64

Ket lu¾nchương3 69

KETLU¾NVÀKHUYENNGH± 70

TÀILIfiUTHAMKHÂO 71

PHULUC

Mê ĐAU

1 Lýdo cHQNđe tài

Ngàynay,đatnưóctađangtrênđưòngđoimóivàpháttrien,dođócancónhungconngưòinăngđ®ngvàkhôngngùngsángtao.ŐVi¾tNamcũngnhưtrên

thegiói,giáodncvàđàotaođưoccoilàquocsáchhàngđau,làđ®nglnccuasnpháttrienkinhtevàxãh®i.Vóisúm¾nhlàmthayđoivàgiatănggiátr

%conngưòi,mnctiêucơbancuagiáodnclàđàotaoranhungconngưòipháttrientoàndi¾nveMQIm¾t,khôngnhungcókienthúcchuyênsâumàcòngiàunănglnctrítu¾,bietv¾ndnnglinhhoatcáckienthúclýlu¾nvàotrongthnctien

Chínhvìv¾ym®ttrongnhungnhi¾mvnhàngđaucuagiáodncngàynaylàgiáodnctheh¾trecónănglnctưduysángtao.Tuynhiên,thnctegiangdaychothaynhungn®idungđưocgiangdaytrênlópchiđơnthuanlànhungkienthúcđưocgóiGQNtrongchươngtrìnhsáchgiáokhoa.Trongkhiđóđeđápúngnhucau

đoimóigiáodnchi¾nnay,cáctrưòngHQCcanphaipháttrienchoHQCsinhkhôngnhungcácnănglncvàphamchattrítu¾màcòncanrènluy¾nchoHQCsinhvekha

năngtưduy,tínhhoplogic,phươngphápkhoaHQCtrongsuynghĩ,trongsuylu¾n,trongHQCt¾p,quađócótácdnnghìnhthànhvàpháttriennănglnctưduysángtaoomőiHQCsinhm®tcáchhi¾uqua

ToánHQClàcơsocuaMQIngànhkhoaHQC,traiquahơnhaingànnămphát

trientoánHQCđãchúngtomìnhnhưm®tđinhcaotrítu¾cuaconngưòi,xâmnh¾pvàohauhetcácngànhkhoaHQCvàlànentangcuanhieulýthuyetkhoaHQCquanTRQNG.Chínhvìv¾ymônToánlàm®ttrongnhungmônHQCchính,xuyênsuotquá

daycuabanthân.NhàtâmlíHQCCrutexkivóitácpham“TâmlýnănglnctoánHQCcuaHQCsinh”cũngđãnghiêncúucautrúcnănglnctoánHQCcuaHQCsinh,đongthòiđãnêub¾tnhungphươngphápboidưõngnănglnctoánchoHQCsinh.Cáctácphamtrongnưócnoib¾tkhácnhư“Rènluy¾ntưduyquavi¾cgiaibàit¾ptoán”cuatácgiaNguyenTháiHòe,hay“Xâydnngcâuhoivàbàit¾pnhamboidưõngm®tsoyeutocuatưduysángtaochoHQCsinhkhávàgioiToánotrưòngTrungHQCcơsoVi¾tNam”cuatácgiaTônThâncũngđãgâyđưocantưongmanhme

Chuđeveưócchunglónnhatvàb®ichungnhonhatcóv

%tríquanTR Q NGtrongchươngtrìnhtoánTrungHQCcơso(THCS).Cácdangtoánveưócchunglón

nhatvàb®ichungnhonhatthưònghayxuathi¾ntrongcácđethiHQCsinhgioivàOlympic.NeuchidùnglaiocáchHQCthôngthưòngthìkhig¾pcácbàitoánkhóhơn,vóinănglnctưduy,khanăngphântíchtonghopcònhancheHQCsinhseratkhókhăntrongvi¾cgiailoaitoánnày.Hơnnuađegiaiđưoccácbàit¾pnângcao,

ngoàicáckienthúccơbancótrongchươngtrình,HQCsinhcònphaibietliênketcácn®idungvànamvungm®tsokienthúcbosungmor®ng.Nhungvanđenàyđ¾trayêucauđoivóigiáoviêndaytoánlàcantăngcưòngdayHQCtheohưóngpháttrientưduysángtaochoH

QCsinh

VóimongmuongiúpHQCsinhgiaiquyetnhungkhókhăntrên,nângcaochatlưongday

HQCn®idungưócchunglónnhatvàb®ichungnhonhat,tôiđãcHQNđetàinghiêncúuPhátt rientưduysángtaocho HQC sinhTrung HQC cơsáthôngquadaychuyênđe“Cácd angtoánliênquanđenưácchunglánnhatvàb®ichungnhónhat”.

2 Mnc đích nghiêncÉu

Nghiêncúulýlu¾nvetưduysángtaotùđóv¾ndnngvàodayHQCpháttrientưduysángtaochoHQCsinhthôngquadaychuyênđe“Cácdangtoánliênquan

đenưócchunglónnhatvàb®ichungnhonhat”otrưòngTHCS

3 Nhi¾m vn nghiêncÉu

- Làmsángtokháini¾mtưduy,tưduysángtaovàcácyeutođ¾ctrưngcua

tư duy sáng tao.

- ĐieutrathnctrangdayHQCpháttrientưduysángtaochoHQCsinhotrưòng

THCStrongdayHQCn®idungưócchunglónnhatvàb®ichungnhonhathi¾nnay.Qua đó đe xuatcác bi¾n pháp phát trien tư duy sáng tao choHQCsinhtrongdayHQCcácdangtoánliênquanđenưócchunglónnhatvàb®ichungnhonhat

- Xâydnngvàkhaithách¾thongcácbàit¾pn®idungưócchunglónnhatvàb®ichungnhonhatphùhopvóisnpháttrientưduysángtaocuaHQCsinh

- Thncnghi¾msưphamđekiemnghi¾mtínhkhathivàhi¾uquacuađetài

4 Đoi tưengvàkhách the nghiêncÉu

- Đoi tưong nghiên cúu: Quá trình phát trien tư duy sáng tao choHQCsinhTHCSthôngquadaychuyênđe“Cácdangtoánliênquanđenưócchunglónnhatvàb®ichung nhonhat”

- Khách the nghiên cúu: Quá trìnhdayHQCchuyênđe “Các dang toán liênquan đen ưóc chung lón nhatvàb®i chung nhonhat”

5 Vanđe nghiêncÉu

Daychuyênđe“Cácdangtoánliênquanđenưócchunglónnhatvàb®ichungnhonhat”trongchươngtrìnhtoánTHCSnhưthenàođepháttrientưduysángtaochoHQCsinh?

6 Gia thuyet nghiêncÉu

NeudayHQCchuyênđe“Cácdangtoánliênquanđenưócchunglónnhatvàb®ichungnhonhat”theohưóngpháttrientưduysángtaothì

- HQCsinh se có húng thúvàcó nhu cauHQCtoán, làm toán; giúpHQCsinh thayđó như là m®t trong nhung nhu cau cua banthân

- HQCsinh có kha năngv¾ndnng các kien thúc, kĩ năngvàogiai toán, biet phântíchn®idungđetùđótìmracáccáchgiaikhácnhauchobàitoán

- HQCsinhbietphântích,pháthi¾n,đexuatbàitoánmóitùbàitoánđãcho

7 Giéi hanvàpham vi nghiêncÉu

- Giói han nghiên cúu: Chương trìnhToánTHCS

- Phamvinghiêncúu:HQCsinhlóp9trưòngTHCSNguyenTriPhương,

qu¾n Ba Đình, thành pho Hà N®i.

8 Phương pháp nghiêncÉu

8.1 Phương pháp nghiên cÝu lýlu¾n

- Nghiêncúu,phântích,h¾thonghóa,kháiquáthóacáctàili¾uvegiáodncHQCmôntoán,tâmlýHQC,lýlu¾ndayHQCmôntoán

- Nghiêncúucácsáchbáo,cácbàivietkhoaHQCtoánphncvnchođetài,các công trình nghiên cúu có cácvanđe liên quan trnc tiep tói đetài

8.2 Phương pháp nghiên cÝu th?ctien

- Đieu tra bang phieu hoi đoivóigiáo viêndayToán,HQCsinh lóp thncnghi¾mvàlóp đoi chúngvethnc trangvanđedayHQCtheo hưóng phát trien tư duysáng tao trong mônToán

- Quan sát các hoat đ®ngdaycua giáo viênvàhoatđ®ngHQCcuaHQCsinhtrong quá trình thncnghi¾m

- Nghiên cúu các san pham hoat đ®ng giáodnc

- Tongket kinh nghi¾m giáodnc

8.3 Phương pháp th?c nghi¾m sưpham

Day thnc nghi¾m 02 giáo án nham đánh giá tính kha thi, hi¾u qua cua đe tài

8.4 Phương pháp thong kê toán HQC

Xulísoli¾uđieutrakhaosátnhambưócđaukiemchúngtínhkhathivàhi¾u qua cua gia thuyetnghiêncúu

Chương 3 Thnc nghi¾m sư pham

CHƯƠNG 1 CƠSêLÝ LU¾N VÀ THUC TIEN 1.1 Cácvanđe chungvetưduy

1.1.1 Khái ni¾m tưduy

Thegi óihi¾nthnccó rat nhieuđ ie um àcon ngưòi chưabi et đe nvàchưanh

¾nthúcđưoc.Cu®csongluônđ¾tranhi¾mvnđòihoiconngưòiphaithauhieunhungđieuchưabietđóm®tcáchsâusac,phainamđưocbanchatvànhungquylu¾ttácđ®ngcuachúng.Quátrìnhnh¾nthúccuaconngưòikhiđóđưocGQIlàtưduy

TheotâmlýHQC,tưduylàthu®ctínhđ¾cbi¾tcuav¾tchatcótochúccao(b®nãoconngưò

i).Thegióiv¾tchatđưoctưduyphanánhdưóidangcáchìnhanhlýtưong:“Tưduyphánánhn hungthu®ctínhbêntrong,bánchat,nhungmoiliênh¾cótínhquylu¾tcuasnv¾t,hi¾ntưang màtrưácđótachưabietđen”[2].

Ő m®tgócnhìn khác: “Tư duy là sn khôi phnc trong ý nghĩa cuachuthevekháchtheváimúcđ®đayđuhơn,toàndi¾nhơnsováicáctưli¾ucámtínhxuat hi¾ndotácđ®ngcuakháchthe”[5,tr.25]làkháini¾mmàtácgiaX.L.Rubinstein đã đưara.

TùđientrietHQCđ

%nhnghĩa:“Tưduy,sánphamcaonhatcuav¾tchatđưactőchúcm®tcáchđ¾cbi¾tlàb®nã o,làquátrìnhphánánhtíchcncthegiáikháchquantrongcáckháini¾m,phánđoán,lýlu¾n

Tómlai, có the hieu tư duy là m®t quá trình tâmlýphan ánh nhung thu®ctínhbanchat,nhungmoiliênh¾vàquanh¾bêntrongcótínhquylu¾tcuasnv¾t,hi¾n tưongtrong hi¾n thnc khách quan mà trưóc đó ta chưa biet Tư duy là môtquátrìnhtâmlýthu®cb¾cthangnh¾nthúclýtính,caohơnhansovóicamgiác, tri giác Cơ sosinhlýcua tư duy là hoat đ®ng cuavođai não Hoat đ®ngtưduyđongnghĩavóihoatđ®ngtrítu¾.Mnctiêucuatưduylàtìmracáctrietlý,lýlu¾n,

phương pháp lu¾n, giai pháp trong các tình huong hoat đ®ng cua con ngưòi.

1.1.2 Đ¾c điem cua tưduy

Thu®cb¾cthangnh¾nthúccao-nh¾nthúclýtính,sovóicamgiác,trigiác

thìtưduycónhungđ¾cđiemmóivechat.Đólànhungđ¾cđiemcơbansau:

+ Tính cóvanđe cua tư duy: Chi khi g¾p nhung tình huong cóvanđe thìtưduymóinaysinh.Hoàncanhcóvanđekíchthíchquátrìnhtưduy.Vìtheđekích thích đưoc tưduy thì cá nhân phai nh¾n thúc đưocđayđu hoàn canhcóvanđevàchuyenchúngthànhnhi¾mvntưduycuacánhân.Túclàcánhâncanphaixác đ

%nhđưocmâuthuanchúađnngtrongvanđelàgì,cáigìđãbiet,cáigìchưabietvàcan phai tìmkiem cái gì đe giaiquyet vanđe

+Tínhgiántiepcuatưduy:Tưduyconngưòikhôngnh¾nthúcthegióim®tcáchtrnctiepmàcókhanăngphanánhhi¾nthnckháchquanm®tcáchgiántiep Tính gián tiep đó đưoc the hi¾n

o vi¾c con ngưòi su dnng ngôn ngu đe tưduy,dùng ngôn ngu làm phương ti¾n đephan ánh the giói Nhò có ngôn ngu mà conngưòisudnngcácketquacuaquátrìnhnh¾nthúccuanhânloaivàkinhnghi¾mcuabanthânvàoquátrìnhtưduyđepháthi¾nrabanchatcuasnv¾thi¾ntưongvàquy lu¾t giuachúng.+ Tính trùu tưongvàkhái quát cua tư duy: Không giongvóinh¾n thúc camtính, tư duy không phan ánh sn v¾t, hi¾n tưong m®t cách cn thevàriêng le màcókhanăngđisâuvàonhungsnv¾t,hi¾ntưongnhamvachranhungthu®ctính

chung,nhungmoiliênh¾,quanh¾cótínhquylu¾tgiuachúng

Tưduycókhanăngtrùuxuatkhoisnv¾t,hi¾ntưongnhungthu®ctính,dauhi¾ucnthe,cábi¾thaygatbonhungyeutokhôngcanthietchigiulaichomình

nhungthu®ctính,banchatchung,moiliênh¾,quanh¾cótínhquylu¾tgiuacác

snv¾t,hi¾ntưong.Trêncơsođó,cácsnv¾thi¾ntưongriêngle,nhưngcónhungthu®ctínhbanchatchungđưockháiquátthànhm®tnhóm,m®tloai,m®tpham trù Nói cách khác, tư duyvùa mang tính trùu tưong, vùa mang tính kháiquát

Tínhtrùutưongcuatưduykhôngchigiúpconngưòigiaiquyetnhungnhi¾m vn hi¾n tai màcòn có the giaiquyetđưoc nhung nhi¾m vn trong tươnglai.Nhòtínhkháiquátnêntrongquátrìnhtưduyconngưòicóthesapxepcácsnv¾t,hi¾n

tưongthànhtùngnhóm,tùngloai,tùngphamtrù,đecónhungquytac,phương

pháp giai quyet nhung tình huong tương tn.

+Tưduycómoiliênh¾ch¾tchevóingônngu:Trongcu®csonghàngngàyconngưòicancóm®tcôngcnđegiaotiep.Đólàđieuki¾nđengônngurađòi

Ngônnguđưocconngưòisudnngnhưm®tphươngti¾nđetưduy.Nhòcóngônngumàquátrìnhtưduycuaconngưòimóidienrađưoc.Vìthetưduycuaconngưòikhôngthetontaineukhôngcóngônngu,ngưoclaineukhôngdnavàotưduythìngônngucũngkhôngthecóđưoc.NgônngurađòiđánhdaubưócnhayvQTtrongsnpháttriencuatưduyvàtưduycũngbatđauphnthu®cvàongônngu.Ngônngutrothànhphươngti¾ngiaotiep,đóngvaitròquanTRQN

Gtronggiaotiepgiuaconngưòivóiconngưòi

+Tưduycóquanh¾m¾tthietvóinh¾nthúccamtính:Tưduyvành¾nthúc

camtínhcómoiquanh¾bi¾nchúngvóinhau.Đâylàmoiquanh¾haichieu

Tưduyđưocbatnguontùnh¾nthúccamtính,ođóquátrìnhnh¾nthúclàmxuathi¾ntìnhhuongcóvanđelàNGQNnguonkíchthíchđenaysinhtưduy.Quátrìnhtưduyđưocdienratrêncơsonhungtàili¾uphongphúdonh¾nthúccam

tínhđemlai,sanphamcuatưduyđưockiemtrabangnhunghìnhthúctrncquantrongthnctien

Ngưoc lai, tư duyvàsan pham cua tư duy có anh hưong manh me đennh¾n thúccam tính, làm cho năng lnc cam giácnhaybén hơn Do đó quá trình nh¾nthúcdienranhanhvàchínhxáchơn.Đongthòikhacphncnhungsailamcuanh¾n thúc camtính

1.1.3 Các giai đoan cua tưduy

Theo tài li¾u [20], K.K.Platonov đã xây dnng sơ đo các giai đoan cua quátrình tư duy như sau

Sơ đo 1.1 Các giai đoan cua tư duy

San pham cua quá trình tư duy là ý nghĩ, nó đưoc bieu hi¾n o khanăngxâydnngnhungkháini¾mchungganvóisntrìnhbàycuanhungquylu¾ttươngúngcuaconngưòi.Nhưv¾ycóthenói,chodùcácvanđetưduycónaysinhtùtronglýlu¾nhaytrongthnctienthìquátrìnhtưduycũngđeudienratheocácgiaiđoantrên

1.1.4 Các thao tác tưduy

Cáctàili¾u[2],[4],[7],[11],[14],[19]đeucóđiemchungchorangcácgiai đoan cua tưduy chi mói phan ánh đưoc cau trúc bên ngoài cua tưduy,còn n®idungbêntrongcuamőigiaiđoantưduylailàm®tquátrìnhđưocdienradnatrêncơ so nhungthao tác tưduy.Nhưv¾y,có the nói các thao tác trí tu¾ chínhlàcácquylu¾tbêntrongcuatưduyvàtưduyđưocdienrathôngquacácthaotácsau

+) Phân tích - Tong hop

Phân tích là quá trình chia đoi tưong ra thành các b® ph¾n, các thành phankhác nhau đe đi sâu vào các chi tiet cn the, nhung đ¾c điem cua đoi tưong

Tonghop là quá trình hop nhat, ket hop nhung b® ph¾n, nhung thành phankhácnhauđãđưoctáchròicuađoitưongnhòsnphântíchthànhm®tchinhtheđe

tùđónh¾nthúcđoitưongm®tcáchbaoquátvàtoàndi¾nhơn

Cóthenói,phântíchvàtonghoplàhaihoatđ®ngcơbancuaquátrìnhtưduyvàlàhaim¾tđoil¾pnhau.Boiphântíchlàcơsođetonghop,còntonghoplaigiúpđ

Tươngtnlàthaotáctưduymàođótùnhungđoitưonggiongnhauom®tsodauhi¾ncóthesuyrađưocchúngcũnggiongnhauonhungdauhi¾nkhác

+) Khái quát hóa, đ¾c bi¾t hóa, trùu tưong hóa

TheoG.Polya:“Kháiquáthóalàchuyentùvi¾cnghiêncúum®tt¾phapđoitưangđãc hođenvi¾cnghiêncúum®tt¾phaplánhơn,trongt¾phapđóbaogom cá t¾p hap ban đau”

[15,tr.21]

Nhưv¾y,có the nói rang khái quát hóa là thao tác tư duy đi tù cái riêng đencáichung,tùcáiđ¾cbi¾tđencáitongquát,haytùcáitongquátnhođencáitong quát lónhơn.Đ¾c bi¾t hóa là thao tác tư duy nham chuyen tù ca m®t lóp đoi tưong sangm®t đoi tưong cua lóp đó

Trùutưonghóalàthaotáctưduynhamgatbonhungm¾t,nhungthu®ctínhkhôngcanthietvephươngdi¾nnàođóvàchigiulainhungyeutođ¾ctrưng,can thiet cho tưduy

1.2 Cácvanđevetư duy sáng tao

1.2.1 Khái ni¾m tư duy sángtao

TheoTùđienTiengvi¾tđ%nhnghĩa:“Sángtaolàtaoranhunggiátr

%máivev¾tchatho¾ctinhthan,cócáchgiáiquyetmái,khôngb%gòbó,phnthu®cvàocái

đã có” [24, tr.1089].

Trongcuon“SotayTâmlýHQC”,tácgiaTranHi¾pvàĐőLongchorang:“Sán gtaolàhoatđ®ngtaol¾ppháthi¾nnhunggiátr

%v¾tchatvàtinhthan.Sángtaođòihóicánhânpháipháthuynănglnc,pháicóđ®ngcơ,trit húc,kynăngvàváiđieuki¾nnhưv¾ymáitaonênsánphammái,đ®cđáo,sâusac”[6,tr.34].

TrongtoánHQC,G.Polyaquanni¾mrang[16]:M®ttưduyGQIlàcóhi¾uqua

neutưduyđódanđenlòigiaim®tbàitoáncnthenàođó.Tưduycóthecoilàsángtaoneutưduyđótaorađưocnhungtưli¾u,phươngti¾n,cáchthúcđegiai

cácbàitoánsaunày.Solưongcácbàitoánv¾ndnngnhungtưli¾u,phươngti¾n,cáchthúcnàycànglón,cónhieudangkhácnhauthìkhiđómúcđ®sángtaocuatưduycàngcao.Ôngcũngnêurakhanăng:Vi¾ctìmphươnghưóngtuykhônggiaiđưocbàitoánnàynhưnglaigoiranhungsuynghĩcóhi¾uquađegiaibàitoán khác

Trongtàili¾u[18],tácgiachorang:“Tưduysángtaolàm®tdangtưduyđ®cl¾ptaoraýtư ángmáiđ®cđáocóhi¾uquágiáiquyetvanđecao.Ýtưángmáithehi¾náchőpháthi¾nvanđe mái,tìmrahưángđimáitaoraketquámái.Tínhđ®cđáocuaýtưángthehi¾nágiáiphápla,h iem,khôngquenthu®cho¾cduynhat”.Tùcáckháini¾mvetưduysángtao,tanh¾nthaym¾

cdùsángtaođưocgiaithíchocácgócđ®khácnhaunhưngcáctácgiađeuthongnhatchorang:tưduysángtaolàm®tthu®ctính,m®tphamchattrítu¾đ¾cbi¾tcuaconngưòi,hoatđ®ngsángtaodienraoMQIl

úc,MQInơi,trongMQIlĩnhvnc;banchatcuasángtaolàconngưòitìmrađưoccáimói,

cáiđ®cđáovàcógiátr

%xãh®i.Điemchungnàyđeuđưoccáctácgianhanmanhnhưnglaiđưocnhìnnh¾ndưóinhung

gócđ®khácnhau.Cónhungtácgiachiquantâmđencáimóicuasanphamdohoatđ®ngtaora,cónhu

ngtácgialaichiquantâmđencáchthúc,đenquytrìnhtaoracáimóicuasanpham.Tuynhiêncáimóicuasanphamcũngcónhieumúcđ®khácnhau,cócáimóiđoivóicaxãh®i,cócáimóichiđoivóibanthânngưòitaoranó.M®tđiemchungk

háclàcáctácgiađeunhanmanhđenýnghĩaxãh®icuasanphamsáng tao

Tronglu¾nvănnày,tácgiaquanni¾m:Tưduysángtaolàm®tdangtưduy

đ®cl¾p,cókhuynhhưóngpháthi¾nvàgiaithíchbanchatsnv¾ttheohưóngmói,

ho¾ctaoraýtưongmói,cáchgiaiquyetmói,đ®cđáomàkhôngcantheonhung đieu đãcó.

1.2.2 Các đ¾c trưng cơ ban cua tư duy sángtao

Khinghiêncúuvetưduysángtao,nhàtâmlýHQCngưòiMyGuilfordJ.P.chorang:tínhmemdeo(flexibility),tínhnhuannhuyen(fluency),tínhđ®cđáo(originality),t ínhhoànthi¾n (elaboration) vàtínhn haycamvanđe (problem‘s

sensibility) lànhungđ¾ctrưngcuatưduysángtao.Theoông,tưduysángtaovebanchatlàtìmkiemvàthehi¾nnhungphươngpháplogictrongtìnhhuongcóvanđe,tìmkiemnhungphươngphápkhácnhauvàmóicuavi¾cgiaiquyetvanđe,giaiquyetnhi¾mvn.Dođó,sángtaolàm®tthu®ctínhcuatưduy,làm®tphamchatcuaquátrìnhtưduy

Trongđetàinày,tácgiathongnhatvóiquanđiemcuacácnhànghiêncúutâmlý

HQCsángtaokinhđiennhưGuilfordJ.P.,TorranceP.E.,chorangtưduy

sángtaođưocđ¾ctrưngboicácyeutochínhnhưtínhmemdeo(flexibility),tínhnhuannhuyen(fluency),tínhđ®cđáo(originality),tínhhoànthi¾n(elaboration)vàtínhnhaycamvanđe(problem‘ssensibility)

Có the thay rang tính mem deo cua tư duy có nhung đ¾c trưng sau:

+ Biet v¾n dnng, phoi hop linh hoat các thao tác tư duy, các phương pháp suylu¾n

+Dedàngchuyentùhoatđ®ngtrítu¾nàysanghoatđ®ngtrítu¾khác,tùgiai

pháp này sang giai pháp khác

+Suynghĩkhôngr¾pkhuôn,khôngmáymóc,khôngb%kìmhãmboinhung kinh nghi¾m, phương pháp, cách thúc suy nghĩ đã có tùtrưóc

+Khanăngnh¾nravanđemóitrongđieuki¾nquenthu®c,nhìnthaychúc năng mói cua đoi tưong đãbiet

b Tính nhuan nhuyen(Fluency)

riêng le cua các tình huong, hoàn canh, snv¾tm®t cách nhanhchóng,đưaragiathuyetveýtưongmói.Ýtưongđưaracóchatlưongcàngtotthìsnsáng tao đưoc đánh giácàngcao

Tính nhuan nhuyen cua tư duy the hi¾n o các đ¾c trưng sau:

+ Kha năng nhìn nh¾n và xem xét đoi tưong dưói nhieu khía canh khác nhau.+ Kha năng tao ra nhieu ý tưong, tìm đưoc nhieu giai pháp cho m®t van đe.Tùnhungđ¾ctrưngcuatínhnhuannhuyenmàchuthecóthecHQNđưocgiaipháptoiưuđegiaiquyetvanđe

c Tính đ®c đáo(Originality)

Tínhđ®cđáocuatưduysángtaolànănglnctưduyđ®cl¾ptrongquátrình

giaiquyetvanđe,nógiúpchuthenhìnnh¾ncácsnv¾t,hi¾ntưongtheocáccách

khác,móilasovóinhungcáchtrưóc,tùđóđưaraphươngthúcgiaiquyetlaho¾cduynhat

Tính đ®c đáo đưoc đ¾c trưng boi các kha năng sau:

+Khanăngtìmnhungliêntưongvànhungkethopmói,nhunggiaiphápmói lavàduy nhatsovóinhung giai pháp hi¾ncó

+Khanăngtìmranhungmoiliênh¾giuacácsnv¾thi¾ntưongtưongnhưkhông cóquan h¾vóinhau

Tómlai,cácđ¾ctrưngcuatưduysángtaokhôngtáchròinhaumàchúngcó quan h¾m¾t thietvóinhau, hő tro, bo sung cho nhau Kha năngchuyentù hoatđ®ngtrítu¾nàysanghoatđ®ngtrítu¾khác(tínhmemdeo)taođieuki¾nchovi¾c

tìm ra nhieu giai pháp trên nhunggócđ®vàtính huong khác nhau(tínhnhuannhuyen)vànhò đe xuat đưoc nhieu phương án khác nhau mà có the tìmđưoc phươngánla,đ¾csac(tínhđ®cđáo).Tatcanhungđ¾ctrưngcơbannàylaicómoiquanh¾ch¾tchevóicácđ¾ctrưngkhácnhưtínhhoànthi¾n,tínhnhaycamvanđe, Tatcacácyeutođ¾ctrưngnóitrêngópphantaonêntưduysángtao,đinh cao nhat trong các hoatđ®ng trí tu¾ cua conngưòi.

1.2.3 Day tư duy sáng tao cho HQC sinh

%nhungm¾nhl¾nhnàođóchiphoi"[23].DođótrongquátrìnhdayHQCchoHQCsinh,giáoviêncantaođieuki¾nđeHQCsinhtntìmhieuvàpháthi¾nvanđe,giáoviênchiđóngvaitròlàngưòihưóngdan,thúcđayđ®ngcơvàtaosnquantâmcuaHQCsinhđoivóivanđenhamkíchthíchtưduycuaHQCsinh

TrongquátrìnhdayHQC,giáoviêncanthưòngxuyêntochúccáchoatđ®ngHQCt¾pmangtínhhoptác,làmvi¾ctheonhómđeHQCsinhcósntươngtáctưduy,cócơh®iđưoccùngnhauthaolu¾nvàcùngnhauchiaseketquacôngvi¾c.CácýkiencuamőicánhântrongnhómgiúpHQCsinhcóthenhìnnh¾nvanđedưóinhieugócđ®khácnhau,tùđócùngnhautìmrabanchatvanđevàcùngnhaugiaiquyet.HQChoptáccũngcóthegiúpHQCsinhtìmrađưocnhieuýtưonghayđegiaiquyetvanđem®tcáchhi¾uquanhat

Nhưv¾y,HQChoptáctronglópHQClàm®ttrongnhungcáchthúcquanTRQNGthúcđaysnthànhcôngcuaHQCsinh,giúpHQCsinhcótưduysacbénhơn.Ngoàira,giáoviêncóthetraudoitưduysángtaochoHQCsinhthôngquanhieucáchkhácnhư:

+Chuanb

%tàili¾u,giáocnbotrotrongquátrìnhdayHQCnhamkíchthíchtưduysángtaonhưtranh,anh, chúađnngnhieuaný

+G i ó i t h i ¾ u choH Q Cs i n h n h u n g c u o n sá ch,n h u n g v i d e o h ì n h a n h , p h i

m t ruy¾nverènluy¾nvàpháttrientưduysángtaochoHQCsinh

+ChoH Q Csinhdienlainhung snki¾n l

%chsuho ¾cđ¾tH Q Csinhvàotìnhhuongmànhungnhânv¾tchínhohaiphíađoil¾pnhau

+ChoHQCsinhtralòinhungcâuhoicónhieuphươngántralòi

+ChoHQCsinhĐQCvàphântíchnhungbàibáo,cáctàili¾uthamkhaohaynhungvanđetrongcu®csonggangũivóicácemđetìmravídnvenhungtưtưongđoil¾p.MuonpháttrientưduysángtaochoHQCsinhthìtrưóchetngưòigiáoviên

canphaithehi¾nđưocđieuđóochínhbanthânmình,cnthelàngưòigiáoviên can:

+Taocơh®ichoHQCsinhđưoctiepc¾nvóinhieuquanđiemcuanhieutrưòngpháikhácnhautrongmôitrưòngtíchcnc

+Coimo,khuyenkhíchHQCsinhnóilênnhungsuynghĩcánhâncuamìnhchúkhôngphaichilàl¾plainhunggìgiáoviênđãnói

+Thayđoiquanđiemkhicóbangchúngxácthncđưocđưara,sansàngchapnh¾nkhuyetđiemcuaHQCsinh,đeHQCsinhđưocthoasúcsángtao

+ Tìm kiem đưoc nhieu giai pháp hay, giàu tưong tưong và hi¾u qua

Nhưv¾y,vi¾cdayHQCpháttrientưduysángtaochoHQCsinhcanđưoctienhànhotatcacácmônHQC.Đ¾cbi¾ttrongđó,ngưòigiáoviênphailuônlàm®ttamgươngsángtaođoivóiHQCsinh

1.3 Tiem năng cuadayHQCchuyênđe “Các dang toán liên quan đen ưéc chunglénnhatvàb®ichungnhonhat”trongvi¾cpháttrientưduysángtaochoHQCsin h

TrongchươngtrìnhSoHQC,ưócchunglónnhatvàb®ichungnhonhatlàm®tn®idungkienthúcquanTRQNGvàxuyênsuotvìnócóliênquanđennhungkienthúckhácnhưquanh¾chiahet,songuyênto,hopso,sochínhphương,đongdư,phươngtrìnhnghi¾mnguyên, Đâylàn®idungchúađnngtiemnăngtolóntrongvi¾cboidưõngvàpháthuynănglncsángtaochoHQCsinhboinhunglídosau

Thúnhat,ưócchunglónnhatvàb®ichungnhonhatlàn®idungkienthúcxuyênsuotchươngtrìnhtoánHQCcapTHCS,cóh¾thongbàit¾pđadangtùcác

bàit¾pcơbantìmưócchunglónnhat,b®ichungnhonhatđennhungbàit¾pphoikethopv¾ndnngcáckienthúcliênquan,haybàit¾pcansudnngphươngpháp

ưócchunglónnhatvàb®ichungnhonhatđetìmlòigiai.Bêncanhnhungbàit¾ptrongsáchgiáokhoa,giáoviêncóthekhaithác,taođieu ki¾nđeH Q Csinhđưoctiepc¾nvóinhungkienthúcmóinhưđongdư,đ

%nhlýTh¾ngdưTrungHoa,phươngtrìnhnghi¾mnguyên, trêncơsonhungkienthúccơban.Thú hai, các dang toán liên quan đen ưóc chung lón nhatvàb®i chung nhonhat có nhieu bài t¾pvóinhieu cách giai khác nhau nhò su dnng các tínhchatvequan h¾ chia het, so nguyên to, so chính phương, đong dư, nên neu khaithác sâu bài toán se de dàng tao ra bài toán mói Qua đó giúp rèn luy¾n tínhmemdeovàtính nhuan nhuyen cua tư duy sángtao

Thúba,cácdangtoánliênquanđenưócchunglónnhatvàb®ichungnhonhatthưònghayxuathi¾ntrongcácđethiHQCsinhgioi,đethiOlympicnênvi¾cmor®ngkienthúclàđieuratcanthiet.Đienhìnhcóthekeđenlàkienthúcvetongcácưócsovàsocácưócsocuam®tsoxuatpháttùsnphântíchchínhtaccuam®tsonguyêndương.Đieunàytaođieuki¾nchoHQCsinhđưoctiepc¾nvóinhungkienthúcnângcaotrênnentangnhungkienthúccơbanđãcó

Nhưv¾y,cóthethaytiemnăngcuadayHQ Cchuyênđecácdangtoánliênquanđenưócchunglónnhatvàb®ichungnhonhattrongvi¾cpháttrientưduy

+TrongchươngtrìnhsáchgiáokhoatoánTHCS,cácdangtoánveưócchung

lónnhatvàb®ichungnhonhatchixuathi¾nomúcđ®cơbannhưbàitoánchúng

minhtínhchiahet,tìmưócvàb®i,tìmưócchunglónnhatvàb®ichungnhonhat

+Trongthncte,cáchdayphobienhi¾nnaylàgiáoviênchiđưarakienthúcchungvekháini¾m,đ%nhlý,cáchtìmưócchunglónnhatvàb®ichungnhonhat

cuacácsoroigiaithíchchúngminh,sauđóđưaram®tsobàit¾pápdnngcôngthúcđegiaimàkhôngcósnhưóngdan,phântíchchoHQCsinh.ĐieunàykhienHQCsinhphaicogangtiepthu,v¾ndnngcácdangtoánsancóm®tcáchmáymóc

màkhônghieurõbanchatcuabàitoán,khôngphânbi¾tđưoccansudnngkienthúcnàođegiaibàitoán

1.4.2 Th?c trang HQC cua HQC sinh

Tùnhungkinhnghi¾mcuabanthânvànhungchiasecuaHQCsinh,tôithaythnctrangcuavi¾cHQCcácdangtoánliênquanđenưócchunglónnhatvàb®ichungnhonhatcuaHQCsinhotrưòngTHCSnhưsau

+HQCsinhthưòngápdnngcôngthúcm®tcáchmáymóckhigiaibàit¾p,làmtheocácdangtoáncósantrưócđó

+ĐasoHQCsinhkhitìmrađưocm®tlòigiaichobàitoánđãcamthaythoa

mãnngaymàkhôngtìmxembàitoáncócòncáchgiainàokháckhông

+HQCsinhkhôngcóthóiquenkhaithácbàitoánđetìmrabàitoánmóivóicáchgiaiquyetmói

+HQCsinhítcócơh®iđưockhámphá,làmchukienthúc,ítđưocv¾ndnngkienthúcđã

HQCvàothncte

Nhưv¾y,tùthnctrangvi¾cdayvàHQCcácdangtoánliênquanđenưócchunglónnhatvàb®ichungnhonhat,đòihoigiáoviênphaitìmracácbi¾nphápthích

hopđepháttrientưduysángtaochoHQCsinh,đeđápúngđưocyêucaungàycàng

caocuaxãh®ihi¾nnayvenguonnhânlnc

1.5 PhươnghưéngpháttrientưduysángtaochoHQCsinhthôngquadayHQCchuyênđe

“Các dang toán liên quan đen ưéc chung lén nhatvàb®i chung nhonhat”

Pháttriencácthaotáctưduycơbanđưocxemlàsnpháttrienvelưong,làn®idungcuahoatđ®ngtưduy,cácthaotáctưduycơbanneukhôngđưocthnchi¾nthìsekhôngcóquátrìnhtưduydienra.Rènluy¾nvi¾csudnnglinhhoatcácthaotáctưduylàm®tn®idungqua

nTRQNGvàcótínhquyetđ%nhđensnpháttrien cácyeutocuatưduysángtaochoHQCsinh.Tuynhiên,neuchidùnglaiovi¾crènluy¾ncácthaotáctưduythìchưađuđecósnsángtao.Snsángtaochicóđưockhicósnpháttrienvechattrongchínhcácthaotáctưduyđó.Nhưv¾y,chikhinàoMQIquátrìnhtưduyđatđenđ®memdeo,nhuannhuyen,đ®cđáo,hoànthi¾nvànhaycamthìkhiđónómóithethi¾nđưocđ¾ctrưngcuatínhsángtao

MuonpháttrientưduysángtaochoHQCsinhthìcanchúTRQNGpháttriencácyeutocuatưduysángtao,nghĩalàcanphaicócáccáchthúc,kythu¾tcntheđetácđ®ngtrnctiepvàotínhmemdeo,tínhnhuannhuyen,tínhđ®cđáo,tínhhoànthi¾n,tínhnhaycamcuatưduysángtao.Nhưv¾y,vi¾cpháttriencácthaotáctưduycơbanvàpháttriencácyeutocuatưduysángtaonêutrêncómoiquanh¾bi¾nchúnghőtrochonhau

Quanhungphântíchtrên,đepháttrientưduysángtaochoHQCsinhthôngquaday

HQ Cchuyênđecácdangtoánliênquanđenưócchunglónnhatvàb®ichungnhonhattacóthethnchi¾ntheom®tsophươnghưóngcnthenhưsau

+PháttrientưduysángtaochoHQCsinhthôngquavi¾crènluy¾nchoHQCsinhcácthaotáctưduynhưphântích,tonghop,sosánh,tươngtn,trùutưonghóa,

kháiquáthóa,đ¾cbi¾thóa

+Xâydnngh¾thongcáckienthúccơbannhưquanh¾chiahet,songuyên

to,hopso,sochínhphương,ưócchunglónnhat,b®ichungnhonhat,đongdư,phươngtrìnhnghi¾mnguyên, vàbàit¾pliênquanđenưócchunglónnhat,b®ichungnhonhatphùhopvóitùngđoitưongHQCsinh

+HưóngdanHQCsinhphântíchvanđe,nhìnnh¾nbàitoándưóinhieugócđ®,dnđoánbàitoánđãcholàdangtoántìmưócchunglónnhat,b®ichungnho

%nhhưóngcáchgiai,xâydnngquytrìnhgiaichomőibàitoán

+Vóinhungbàitoánkhó,rènluy¾nchoHQCsinhkynăngbiettáchvanđe,đoitưongthànhnhungđoitưong,vanđenhohơnđetùngbưócgiaiquyet

+RènchoH Q Csin hk hô ngchapnh¾n m®t cá chgiai quenthu ®cho¾cd uynhat;luônkhuyenkhích,kíchthíchHQCsinhv¾ndnngcáckienthúcvetínhchiahet,đongdư,nghi¾mnguyêncuaphươngtrình, đetìmranhieucáchgiaikhác

nhaugiúpHQCsinhrènluy¾ntínhlinhhoatkhichuyentùphươngphápgiainày

sangphươngphápgiaikhác

+TaochoHQCsinhthóiquenkhim®tbàitoánđưocgiaibangm®tcáchgiai

dàidòng,tasenghĩngayđenvi¾ccóthesecóm®tcáchgiaikhácnganGQNvàđ®cđáohơn

+Rènluy¾nchoHQCsinhbietcáchv¾ndnngkienthúcveưócchunglónnhatvàb®ichungnhonhatvàogiaiquyetnhungvanđetrongthnctien

Ket lu¾n chương 1

Trongchương1,lu¾nvănđãnêuđưocm®tsoquanđiemcuacácnhàkhoaHQCvekháini¾mtưduy,tưduysángtao,gópphanlàmsángtom®tsoyeutođ¾ctrưngcuatưduysángtao,nêurathnctrangdayvàHQCcácdangtoánliênquanđenưócchunglónnhatvàb®ichungnhonhattrongchươngtrìnhtoánTHCShi¾nnay.Đongthòi,lu¾nvăncũngđãlàmsángtođưocsncanthietvàtiemnăngcuachuyênđecácdangtoánliênquanđenưócchunglónnhatvàb®ichungnhonhattrongvi¾cpháttrientưduysángtaochoHQCsinh,đưarađưocphươnghưóngphát trientưduysángtaochoHQCsinhthôngquadayHQCchuyênđenày

CHƯƠNG 2 PHÁTTRIEN TƯ DUYSÁNGTAOCHO HOC SINH THCS

Đ%nhnghĩa2.1(xem[10],[28]).Vóia,blàhaisonguyên,tanóisonguyênachiahetchoso

nguyên b(hayso nguyên a là b®i cua so nguyên b,hayso nguyên bchiahetsonguyêna,haysonguyênblàưáccuasonguyêna)neutontaim®tso

nguyênqsao choa=bq.Khi đó ta kí hi¾ua.b.

Ngưoc lai, neuso nguyên a khôngchiahetchoso nguyên bthì ta kí hi¾ul à aƒ.b.

Tính chat 2.1(xem[10],[12]).Vóia, b, clà các so nguyên Neua.b,b.cthì khi đóa.c Tính chat 2.2(xem [10],[13]).Vóia, b, c, m, nlà các so nguyên Neua.c,b.c

thì khi đó(ma+nb).c.

Tính chat 2.3(Thu¾t toán chia, xem [10]).Vóia,blà hai so nguyên bat kì và

b >0 Khi đó luôn ton tai duy nhat c¾p so nguyênqvàrsao cho

so nguyên to(i=1, n)vàp n là so nguyên to lónnhat.

Taxétp=p1p2 pn + 1 Dop1p2 pn p i (i= 1, n)vàbat kìp i nào cũngkhônglàưóccua1nênpkhôngchiahetchobatkìp i nào.Vìpkhôngchia

het cho bat kì so nguyên to nào nho hơn do đóplà so nguyên to, màp > p n (mâu thuan vóip n là so nguyên to lón nhat).

Đ%nhlý2.2(xem[10]).Neualàm®thopsothìacóítnhatm®tưócnguyênto không lón

hơn√

a.

ChÝng minh.Doalà hop so nêna=mn, trong đómvànlà các so

nguyên,1<m ≤n < a.Taphaicóm≤ √ a.Vìmcóưócnguyêntovàưócưócnguyên tonàycũnglàưóccuaa,nênưócnguyêntocuaakhônglónhơn √

to.L¾plaiquátrìnhtrên,tatieptncgachkhoidãysonhungsochiahetchoMQIsonguyêntokhônglónhơn√

a.Khiđónhungsocònlaicuadãytrongbanglà nhung so nguyên to không lón hơna.

QuátrìnhtrênđâyGQIlàsàngEratosthenes.

Tính chat 2.6(xem [12]).Gia sua1a2 an là tích cuanso nguyên dương vàp

là so nguyên to Neua1a2 an pthì ton tai ít nhat m®ta i p(i=1, n).

(ii) Khi phân tích m®t so chính phương ra thùa so nguyên to, ta đưoc các thùa so là lũy thùa cua so nguyên tovóiso mũchan.

(iii) Sochínhphươngchiacho3cósodưlà0;1 So

chính phương chia cho 4 có so dư là 0;1

So chính phương chia cho 5 có so dư là 0; 1; 4

So chính phương le chia cho 4 ho¾c chia 8 có so dư là 1

(iv) Không có so chính phương nào o giua hai so chính phương liêntiep

(v) Neuhaisonguyênliêntiepcótíchlàm®tsochínhphươngthìm®ttrong hai so nguyên

đó là so0

2.1.3 Ưác chung lánnhat

Đ%nhnghĩa2.5(xem[12]).Choncácsonguyêna1,a2, ,a n.Neucósonguyên

bsaochob|a i vóiMQIi=1,nthìbđưocGQIlàm®tưácchungcuacáca i

Mői ưóc chung cua b® soa1, a2, , a n kí hi¾u là(a1, a2, , a n)

Đ%nhnghĩa2.6(xem[12]).Choncácsonguyêna1,a2, ,a n S o n g u yênd đưocGQI

làưácchunglánnhatcuaa1,a2, ,a n neudlàưócchungcuacácsoa i (i=1,n)vàdlàgiát

r%lónnhat

Ưóc chung lón nhat cua b® soa1, a2, , a n kí hi¾u là gcd(a1, a2, , a n)

Neugcd(a1,a2, ,a n )=1 ,thìcácsonguyêna1,a2, ,a n đưocGQIlà

nguyên to cùng nhau.

Neugcd(a i ,a j)=1vóiMQI1≤i<j≤nthìcácsonguyêna1,a2, ,a n

đưocGQITa nhac lai các tính chat cơ ban cua ưóc chung lón nhat.làđôim®tnguyêntocùngnhau.

Tínhchat2.8(xem[10],[12]).Choncácsonguyêna (i)g c d (0,a 1,a2, ,a n.Khiđó,tacó

1,a2, ,a n )=gcd(a1,a2, a n)

(ii)g c d (1,a1, a2, ,a n)= 1 =gcd(−1,a1, a2, .a n)

(iii) gcd(a1,a2, ,a n )=gcd((a1,a2, ,a n −1),a n)(cáchtìmưócchung

lón nhat cua nhieu so đưoc quy ve tìm ưóc chung lón nhat cua hai so)

(iv) gcd(ka1,ka2, ,ka n)=|k|.gcd(a1,a2, a n)vóiMQIk∈Z.

(v) Neua=bq+rthìgcd(a,b)=gcd(b,r).

(vi) gcd(0,a)= |a|vóiMQIa∈Z.

(vii) Choa,b,clàcácsonguyên.Neugcd(a,b)=1vàachiahetbcthìa

chia hetc.

(viii) Choa, b, clà các so nguyênvàd=gcd(a, b) Khi đó phươngtrình

ax+by=ccó nghi¾m nguyên khi và chi khicchia het chod.

Tù(v),tatrìnhbàym®tphươngphápthưònghayđưocsudnngđetìmưócchunglónnhatcuahaisonguyêndương.Thu¾ttoánnàyđưocGQIlàthu¾ttoán Euclid-m®ttrongnhungthu¾ttoánquanTRQNGnhatvetínhchiahetvàconhat

cuatoánHQC(đưocbietđencáchđâykhoang2000năm)

Thu¾t toán Euclid(xem [17]).Gia sur0=a,r1=bvóia,blà các so nguyên

dương vàa ≥b Áp dnng liên tiep thu¾t toán chia, ta có

V¾y gcd(a, b)=r k là so dư khác 0 cuoi cùng trong dãy phép chia.

2.1.4 B®i chung nhónhat

Ta nhac lai các tính chat cơ ban cua b®i chung nho nhat

Tính chat 2.9(xem [12],[25]).Choncác so nguyênb1, b2, , b n Khi đó ta có

(i) Neutrongb1,b2, ,b n cóítnhatm®tsobang0thì

[b1, b2, , b n ] = 0và lcm(b1, b2, , b n) = 0

(ii) Dob1,b2, ,b n cóm®tb®ichunglàb1b2. b n nên[b1,b2, ,b n]là m®t t¾p khácrőng

(iii) lcm(mb1,mb2, ,mb n )=m.lcm(b1,b2, ,b n)

(iv) Choavàblà các so nguyên khác 0 Khi đó tacó

lcm(a, b).gcd(a, b) = |a|.|b|.

(v) Vóib (v’)l c m (b1,b2, ,b n đongthòikhác0.Khiđótacó

1,b2, ,b n)luôntontaivà

lcm(b1, b2, , b n ) =lcm(lcm(b1, b2, , b n −1), b n)(cách tìm b®i chung nho nhat cua nhieu so đưoc quy ve tìm b®i chung nho nhatcua hai so)

(v”)N e u b1,b lcm(b2, ,b n làcácsođôim®tnguyêntocùngnhauthì

1,b2, ,b n)=|b1b2. b n |.

H¾ qua 2.1(xem[12],[25]).Choblà b®i chung cuanso nguyênb1, b2, ,b n

tùng đôi m®t nguyên to cùng nhau Khi đóblà b®i cua tíchb1b2 bn

2.1.5 Đongdư

Đ%nh nghĩa 2.9(xem [8]).Choavàblà hai so nguyên dương Ta nóiavàbđong dư

vói nhau theo modunm(vóimlà so nguyên dương) và kí hi¾ua ≡b(modm)neu và chi neu(a −b).m.

Tính chat 2.10(xem [8]).Các tính chat cơ ban cua đong dư thúc.

(i) Neua ≡b(modm)vàc≡d(modm)thìa+c≡b+d(modm )

vàac ≡bd(modm).

(ii) Neuplà so nguyên tovàab ≡0 (modp)thìa≡0 (modp)hayb≡0 (modp).

y≡N i (modm i ).

Đ¾tx0=M1N1a1+M2N2a2+ .+M n N n a n

Tacóx0≡M i N i a i ≡a i (modm i),∀i=1, n.V¾yx0là nghi m úng¾m đúng đúng cua

h¾đãcho.Neuxvàx J đeunghi¾mđúngh¾đãchothìtacóx−x J ≡0(modm i),

∀i= 1, n Do đó

x−x J ≡0 (modm), hayx ≡x J (modm).V¾yh¾(2.2)códuynhatnghi¾m.

2.2 M®t so dang toán liên quan đen ưéc chung lén nhatvàb®i chung nho nhat

2.2.1 Các bài toánveưác chung lánnhat

Ta xét m®t so bài toán tìm ưóc chung lón nhat cua các so cho trưóc và bài toán liên quan đen ưóc chung lón nhat

Bài toán 2.1.Tìm ưóc chung lón nhat cua 56 và 98.

Phântích.Đâylàbàitoánđơngian,HQCsinhdedànggiaiđưocbangcáchlàmthôngthưòngnhưsau

Lài giai.Tacó56 =23.7và98 =2.72.

Các thùa so nguyên to chung vói so mũ nho nhat là 2 và 7

gcd(56; 98) = 2.7 =14.

V¾y ưóc chung lón nhat cua 56 và 98 là 14

Bài toán 2.2.Tìm ưóc chung lón nhat cua 14; 42 và 126.

Phân tích.Do ca 42 và 126 đeu chia het cho 14 nên có the áp dnng thu¾t toán

Euclid đe tìm lòi giai cho bài toán

Lài giai.Ta có gcd(14; 42; 126)=gcd(14; 0; 0)=14.

V¾y ưóc chung lón nhat cua 14; 42 và 126 là 14

Bài toán 2.3.Cho hai so tn nhiêna=987654321vàb=123456789 Tìm ưóc

chung lón nhat cuaavàb.

Phân tích.Đe tìm ưóc chung lón nhat cua hai soavàbtheo cách làm thông thưòng

là không de Nh¾n thay rangavàbtuy là hai so khác nhau nhưng lai có tong các chu so bang nhau (cùng bang 45) Tong này chia het cho 9 nênavàbcùng chia het

Bàitoán2.4.M®tsocóbachusocótongcácchusocuanóbang7.Chúngminh rang so đó chia

het cho 7 khivàchi khi chu so hàng chncvàchu so hàng đơnv%giongnhau

Phântích.Canbieudiensocóbachusotrongh¾th¾pphân.Sođóchiahetcho

7khivàchikhihi¾ucuachusohàngchncvàchusohàngđơnv%bang0

Làigiai.G QI socóbachusolàabc(a,b,c ∈N,1≤a≤9và0≤b,c≤9).

Ta vietabc=100a+10b+c=98a+7b+2(a+b+c)+(b −c)=98a+7b+14+ (b −c).

Do đóabc.7 ⇔(b−c).7 Mà0≤b−c <7nênb−c=0hayb=c.

V¾y ta có đieu can chúng minh

Nh¾nxét2.2.Neubàitoán2.2vàbàitoán2.3sudnngcáchlàmthôngthưòngđe tìm ưóc

chung lón nhat cua haihaynhieu so như o bài toán2.1thì se mat nhieu thòi gianvàcho

lòi giai khônghay.Vi¾c linh hoat su dnng các tính chatvequan h¾ chia het, thu¾ttoán Euclid giúp đưa ra lòi giai m®t cách nhanh chóngvàhayhơn cho mői bàitoán

2.2.2 Các bài toánveb®i chung nhónhat

Ta xét tiep m®t so bài toán tìm b®i chung nho nhat cua các so cho trưóc vàbài toán liên quan đen b®i chung nho nhat

Bài toán 2.5.Tìm b®i chung nho nhat cua60và128.

V¾y b®i chung nho nhat cua 60 và 128 là 1920

Bài toán 2.6.Tìm b®i chung nho nhat cua 100 và 250.

Phân tích.Đe tìm lòi giai ta áp dnng tính nham b®i chung nho nhat cua

haihaynhieu so bangcách nhân so lón nhatlan lưotvói1;2;3; c h o đ e n khiđưoc

ket qua là m®t so chia het cho các so cònlai

Phân tích.Do 17và21 là hai so nguyên to cùng nhau nên de dàng tìm đưoc ưóc

Bàitoán2.8.Tìmm®tsocóbachuso,bietrangkhibótsođóđi8đơnv%thìđưoc m®t so chia het cho 7,

neu bót so đó đi 9 đơnv%thì đưoc m®t so chia het cho8, neubótsođóđi10đơnv

%thìđưocm®tsochiahetcho9

Phân tích.Đe tìm so tn nhiênxcan đưa bài toán ve tìm b®i chung nho nhat cua

các so thoa mãn đieu ki¾n đã cho ban đau

Làigiai.G QI xlàsocantìmthoamãnyêucauđebài,tacó100 ≤ x <1000.

Theo đe bài ta có

x−8.7⇒x−1.7 x−9.8⇒x−1.8 x−10.9⇒x−1.9.

Do đóx −1chia het cho b®i chung nho nhat cua 7; 8; 9 Do 7; 8; 9 là các so nguyên to cùng nhau nênlcm(7; 8; 9) = 7.8.9 = 504.

Mà99≤x−1<999nênx−1=504⇔x=505.V¾yso

can tìm là505

Nh¾nxét2.4.Tathayneuchisudnngcáchlàmthôngthưòngđetìmưócchunglónnhatv

àb®ichungnhonhatcuacácsochotrưócđôikhikhôngphailàcáchhay.V¾ndnnglinhhoatcáckienthúcvequanh¾chiahet,thu¾ttoánEuclid,cácsonguyêntocùngnhauhaymoiquanh¾giuaưócchunglónnhatvàb®ichung

nhonhatgiúpHQCsinhđưarađưocnhungcáchgiaiđ®cđáovàsángtaohơn

2.2.3 M®t so dang toán liênquan

Trongphannày,taxétm®t so bài toán liên quan đen so nguyên to, đongdưvàphương trình Diophantine

Dang 1 Các bài toán liên quan đen so nguyên to

Trưóctiên, taxétcác bài toán nh¾n biet m®t so là so nguyên tohayhop

so.Phântích.Đegiainhungbàitoánnày,tachicanchiracácsođãchocóthoamãn

cácdauhi¾unh¾nbietsonguyêntovàhopsohaykhông

Bài toán 2.9.Trongcác so 15; 41; 123; 345; 1155 so nào là so nguyên to ? sonàolà

hop so ?

Lài giai.Các so 15; 123; 345 là hop so vì chúng lón hơn 3 và chia het cho 3.

So 1155 là hop so vì so này lón hơn 1 và chia het cho 11

So 41 là so nguyên to vì so này lón hơn 1, chi có hai ưóc là 1 và chính nó

Bàitoán2.10.Xétxemmőitongho¾chi¾usaulàsonguyêntohayhopso?

a)5.6.7 −10.11; c)1.2.3.4 −1;

b)5313+164322; d)13.15.17 +21.23.27.

Lài giai.a)5.6.7 −10.11có ít nhat ba ưóc là 1; 2 và 5 nên hi¾u này là hop so.

b) Tong5313+164322cóchusot¾ncùnglà5nênchiahetcho5.Tongnàylai lón hơn 5nên là hopso

c) Tacó1.2.3.4 −1=23là m®t so nguyên to, vì 23 chi có hai ưóc là

Bài toán 2.11.Tìm so nguyên toasao choa4+ 2cũng là so nguyên to

Phân tích.Đe bài cho caavàa4+2đeu là so nguyên to, nên chi can

xéta=2ho¾ca=3 Khi đó dna vào tính chata=3t ±1(t∈Z+) thìa4chia cho 3 dư 1

Suy raa4+ 2 = 3u+ 1 + 2 = 3(u+ 1).3vàa4+ 2>3.

Nêna4+ 2là hop so

V¾ya4+ 2là so nguyên to khia= 3.

Bàitoán2.12.Choavà8a2+1làcácsonguyênto.Chúngtorang8a2−1cũng là so nguyênto.

Phântích.Dnavàođebàichoa,8a2+1,8a2−1đeulàcácsonguyêntonênta

Mà8a2+ 1>3nên suy ra8a2+ 1là hop so (vô lí vì trái vói gia thiet)

+) Neua= 3t(t ∈N ∗ ) Doalà so nguyên to nêna= 3.

Vóia= 3thì8a2+ 1 = 8.32+ 1 = 73là so nguyên to và8a2−1 =

8.32−1 = 71cũng là so nguyên to.

Bàitoán2.13.Choa,b,c,dlàcácsonguyêndươngthoamãna2+b2=c2+d2.Chúngminhran

g3a+5b+7c+9d+40làhopso.

Phân tích.Đe chúng minhMlà hop so can làm xuat hi¾n m®t bieu thúc có moi

liên h¾ vóiM, trong đó bieu thúc mói đưoc xây dnng dna trên tính chat chan le

cua tong các tích đôi m®t các so nguyên dương liên tiep

h¾ (2.3) khi phân tích tính chan le cuan.

Làigiai.Doavàblàhaisonguyêntocùngnhaunêntheođ%nhlýTh¾ngdưTrung Hoa, ton tai so

nguyênkthoa mãn h¾ phương trình đongdư

+) Neunle thì(ab −1) n ≡ −1 (moda), nên(ab−1) n k≡ −1 (moda).

Suy ra(ab −1) n k+ 1.a.

V¾yluôntontaisonguyênksaocho(ab −1) n k+1làhopsovóiMQIsonguyêndư

ơngn.

Bài toán 2.15.Tìm so nguyên dương nho nhat sao cho khi so đó chia cho 7 dư1,

chiacho17dư2,chiacho37dư3,chiacho47dư4,chiacho13dư5

Phân tích.Nh¾nthaycác so chia 7; 17; 37; 47; 13 là các so đôi m®t nguyên to

cùng nhauvàcác so dư là các so nguyên tùyý.Khi đó đe giai bài toán tađưavegiaih¾phươngtrìnhđongdưtuyentínhbangcáchsudnngđ%nhlýTh¾ngdư TrungHoa.Nhòsudnngđ%nhlýTh¾ngdưTrungHoamàvi¾ctìmnghi¾mcuah¾phương trình đong dư se tro nên đơn gianhơn sovóivi¾c giai h¾ phương trình đongdưthôngthưòng