Luận văn thạc sĩ về bất đẳng thức bất định heisenberg cho toán tử tích phân fourier không unitar

Bien đői Fourier và bien đői tích phân Fourier ngưoc đưoc đ%nh nghĩa boi các công thúc dưói đây: 1 đ%nh trong không gian hàm L1 Rd ho¾c L2 Rd , hai bien đői Fourier F, F −1 thnc sn ta

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I

TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN

CÙ TH± THU MINH

VE BAT ĐANG THÚC BAT бNH

HEISENBERG CHO TOÁN TU TÍCH PHÂN

FOURIER KHÔNG UNITAR

LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC

Hà N®i - 2017

CÙ TH± THU MINH

VE BAT ĐANG THÚC BAT бNH

HEISENBERG CHO TOÁN TU TÍCH PHÂN

FOURIER KHÔNG UNITAR

Chuyên ngành: Toán giai tích

LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC

NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC

PGS TS Nguyen Minh Tuan

Hà N®i - 2017

Mnc lnc

1.1 Đ%nh nghĩa và ví du 5

1.2 Bien đői Fourier như là chuoi 7

1.3 Nhung tính chat cơ ban cna bien đői Fourier 14

2 Bat đang thÉc bat đ%nh Heisenberg 22 2.1 Hàm Hermite 22

2.2 Nguyên lí bat đ%nh cna bien đői Fourier 30

2.2.1 Nguyên lý bat đ%nh Heisenberg 30

2.2.2 Úng dung trong cơ HQc lưong tu 31

2.2.3 Úng dung trong v¾t lý 33

2.3 Nguyên lý bat đ%nh Heisenberg 34

Ket lu¾n 42

Tài li¾u tham khao 42

Ma đau

"Sn ngau nhiên và mò ao cai tr% the giói các nguyên tu Tôi khôngthe miêu ta sn chuyen đ®ng cna m®t electron trong m®t nguyên tunhư tôi đã miêu ta đưòng đao cna m®t trái banh mà ngưòi ta némlên không, hay cu®c hành trình cna chiec tàu re nưóc đai dương Tôikhông nam đưoc sn chuyen đ®ng cna electron vì không the đo o moithòi điem cùng m®t lúc v% trí và v¾n toc cna nó như tôi có the làmvi¾c này cho trái banh hay con tàu Sn không chính xác, hay bat đ

%nh, không the trù khu đưoc cho dù dung cu đo đac có cau kỳ thenào đi chăng nua Nó gan lien vói hành đ®ng đo Thí du lúc đo v%trí m®t electron, tôi phai chieu sáng nó, khi làm v¾y, tôi goi tói đónhung hat ánh sáng se gây nhieu loan v¾n toc cna electron đó Neu

∆x là sn bat đ%nh cna phép đo v% trí x và ∆v là sn bat đ%nh cna phép đo v¾n toc v, thì tích

so cna chúng se luôn luôn lón hơn m®t so rat nho, bang h trong đó h

là hang so Planck, h ∼ 6, 63.10 −27 erg giây):

h

∆x.∆v ≥

2π . V¾y neu chúng ta làm giam sn bat đ%nh ve v% trí (∆x gan zero)

thì sn bat đ%nh se tro nên vô cùng lón đe bù trù, làm the nào đe cho tích

∆x.∆v luôn lón hơn h Tôi không the làm giam cùng m®t lúc ∆x và

∆v."

(Trích- nguon: Internet)

Nhà v¾t lý HQc Đúc Werner Heisenberg đã dien ta sn bat đ%nh trongthe giói nguyên tu chi bang m®t bat đang thúc Nguyên lí batđ%nh là m®t nguyên lí quan TRQNG trong cơ HQc lưong tu Trong toán

HQc, nguyên lí bat đ%nh đưoc the hi¾n rat đa dang, phong phú Trongkhuôn khő nghiên cúu em muon trình bày trong bài lu¾n văn cna mìnhm®t so hieu biet ve Bat đang thúc bat đ%nh Heisenberg cho toán tutích phân Fourier không unitar

2

π

2

π

Lu¾n văn gom hai chương và đưoc sap xep như sau Chương 1 nhaclai đ%nh nghĩa bien đői Fourier và bien đői tích phân Fourierngưoc cùng m®t so ví du Sau đó là nhung tính chat cơ ban cnabien đői Fourier như tính tuyen tính, tính tre, tính liên hop phúc

và m®t so đ%nh lý, bő đe quan TRQNG có su dung trong Chương 2.Trong chương 2, lu¾n văn trình bày ve nguyên lý bat đ%nhHeisenberg , nhung bien dang và bien the cna cna nguyên lý Lu¾nvăn nhan manh đen nguyên lý bat đ%nh cho bien đői tích phânFourier không unitar Đau tiên, ta đe c¾p đen d%ch chuyen cna hàmHermite Hàm Hermite đóng vai trò rat quan TRQNG trong nhungnghiên cúu các dao đ®ng đieu hòa trong

cơ HQc lưong tu, nó là hàm riêng cna phép bien đői T2,1 Do T2,1 khôngphai là toán tu unitar nên đang thúc Parseval không còn đúng cho toán

tu này, thay the vào đó là đang thúc dang Parseval Tiep theo, ta

đe c¾p đen nguyên lý bat đ%nh bang m®t đ%nh lý Vói nhung đailưong đưoc đe c¾p trong đ%nh lý ta tìm hieu ý nghĩa v¾t lý và cơ HQclưong tu Cuoi cùng là nguyên lý bat đ%nh dang Heisenberg cho toán

Đe hoàn thành lu¾n văn, tác gia nh¾n đưoc sn giúp đõ cna thay cô,ban bè, đ¾c bi¾t là sn chi bao hưóng dan t¾n tình cna PGS TS NguyenMinh Tuan, cùng các thay cô trong Seminar b® môn Toán cna trưòngĐai HQc Khoa HQc Tn nhiên- Đai HQc Quoc gia Hà N®i Em xin bày tolòng biet ơn chân thành tói PGS TS Nguyen Minh Tuan và các thay

cô giáo trong khoa Toán- Cơ- Tin HQc, trưòng Đai HQc Khoa HQc Tnnhiên- Đai HQc Quoc gia Hà N®i đã hưóng dan em hoàn thành khóa

HQc Cao HQc 2015-2017

Do thòi gian thnc hi¾n lu¾n văn không nhieu, kien thúc còn han chenên khi làm lu¾n văn không tránh khoi nhung han che và sai sót Ratmong nh¾n đưoc sn góp ý và nhung ý kien phan bi¾n cna quý thay cô

và ban ĐQc

Xin chân thành cam ơn!

Chương 1

Bien đoi tích phân Fourier

1.1 Đ%nh nghĩa và ví dn

Đ%nh nghĩa 1.1 ([13]) Bien đői Fourier và bien đői tích phân Fourier

ngưoc đưoc đ%nh nghĩa boi các công thúc dưói đây:

1

đ%nh trong không gian hàm L1 Rd ho¾c L2 Rd , hai bien đői Fourier

F, F −1 thnc sn tao thành m®t c¾p xuôi-ngưoc Nghĩa là neu GQI cái này

tù bien đői ngưoc dành cho F−1) làbien đői khoi đau thì cái kia se là bien đői ngưoc (Ta chap nh¾n cum

Vói moi x = (x1 , x2, , x d) ∈ R d, kí hi¾u

Đôi khi ta dùng kí hi¾u

(Ff )( x) := f^(x).

Trong nhung trưòng hop phúc hop, ta dùng kí hi¾u

sau

(fg) ∧ (x) := (Ffg)(x), Nghĩa là , (fg) ∧ (x) là bien đői Fourier cna hàm so tích fg.

Ví dn 1.1 Vói moi so dương a, xét hàm so

f (y) = e −a|y|

xác đ%nh trên Rd, trong đó

|y| := .y2 + y2 + · · · + y2.

Ta de nh¾n thay f ∈ L1(Rd ) Hơn nua,

Đây là m®t trưòng hop đ¾c bi¾t cna hàm

Trong trưòng hop này m¾c dù h ∈ L1(R) nhưng Fh ∈/ L1(R).

Ví dn 1.3 Cho hai so bat kì a, b ∈ R thoa mãn a < b Xét hàm so

∫

1

2π , neu x = 0.

Chú ý: Hàm anh cna f0 là Ff0 liên tuc tai MQI điem Tuy nhiên

• f kha tích tuy¾t đoi trên khoang [−T, T ].

• f có so lưong huu han các điem gián đoan loai m®t và không có

điem gián đoan loai hai trong khoang [−T, T ].

• f có so lưong huu han các điem cnu đai và cnc tieu thu®c khoang

[−T, T ].

Theo đ%nh lý Fourier, neu f thoa mãn đieu ki¾n Dirichlet trong

khoang [−T, T ] thì f có the đưoc bieu dien dưói dang m®t chuoi

Đ¾c bi¾t neu f ∈ C1([−T, T ]) thì chuoi Fourier xác đ%nh boi ve

phai cna (1.5) h®i tu tuy¾t đoi và đeu đen f.

Có the nói rang, đieu ki¾n Dirichlet o trên là đn đe chuoi Fourierh®i tu Thnc ra, đieu ki¾n đn đe chuoi Fourier h®i tu đã là moi quantâm cna nhieu nhà toán HQc lón trong thòi gian dài Năm 1922, AndreyKolmogorov đã cho m®t ví du ve hàm kha tích Lebesgue nhưng chuoiFourier cna nó lai phân kỳ hau khap nơi Sau đó, ông lai cho m®t ví du

ve hàm kha tích có chuoi Fourier phân kỳ tai MQI điem Đen nay,

có rat nhieu ket qua đe c¾p đen tính h®i tu cna chuoi Fourier, tù m®t

đieu ki¾n đn là f kha vi tai x den m®t ket qua het súc tinh te cna

Lennart

Carleson rang neu f ∈ L2([0, T ]) thì chuoi cna nó h®i tu hau khap nơi; minh boi Carleson cho đoi tưong thu®c L2 vào năm 1966, và đưocHunt cu the, hai đ%nh lý dưói đây là các phiên ban khác nhau đưoc

chúng mo r®ng cho các đoi tưong thu®c L p (p > 1) vào năn 1968.

Đ%nh lý 1.1 ([13], Đ%nh lý Carleson-Hunt) Gia su f là hàm so xác

đ%nh trên đoan huu han [0, T ] và L p - kha tích vái p > 1 Ký hi¾u

là h¾ so Fourier cua f Khi đó

Đ%nh lý 1.2 ([13], Đ%nh lý Carleson-Hunt) Gia su f ∈ L p (R) vái p > 1

và f có bien đői Fourier f^(ξ) Khi đó

ixξ vái x ∈ R hau khap nơi. dξ = f (x)

Nh¾n xét 1 Trong công thúc (1.5), f đưoc bieu dien boi m®t tőng

nπ

các dao đ®ng vói tan so

T và biên đ® phúc cn Bieu dien này hien

2T

nhiên là tuan hoàn vói chu kỳ trong khoang [−T, T ] này Tuy the,

n

ve phai cna (1.5) không bieu th% hàm f tai nhung điem ngoài khoang

[−T, T ], trù khi f von đã tuan hoàn vói chu kỳ 2T

Trong trưòng hop tőng quát (khi mà f có the không thoa mãn đieu

ki¾n đe chuoi Fourier h®i tu), ta viet

Ta nói rang (1.7) là m®t bieu dien (hình thúc) cna hàm f xác đ%nh

trên đoan huu han [−T, T ].

Ta se thay ngay dưói đây nhung van đe trên khoang huu han dan đen

lý thuyet chuoi Fourier, và nhung van đe trên khoang vô han (−∞, +∞)

dan đen tích phân Fourier

Câu hoi đưoc đ¾t ra m®t cách tn nhiên o đây là: vói nhung hàm xácđ%nh trên R thì sao? Nói cách khác, tìm m®t bieu dien nào đó cnahàm xác đ%nh trên R (không nhat thiet tuan hoàn)

Rõ ràng, m®t bieu dien vói tőng tương tn như (1.5) có le không phù hop nua vì trong tőng đó đai lưong

e (i nπ x)

chi có nghĩa khi T là huu han.

Ý tưong chính o đây là, cho T → ∞ và ta se tìm m®t bieu dien

tương úng cho các hàm so xác đ%nh trên khoang vô han R ( khôngnhat thiet tuan hoàn)

Tam thòi ta ký hi¾u

Nhò đó, h¾ so cn trong (1.5) đưoc viet dưói dang

π

R Σ∫R f (t)e −iωt dtΣ e iωx dω. (1.11)

Dưòng như ta đã có đieu mong muon Thnc v¾y, c¾p các công thúc(1.10) và (1.11) là minh chúng cho m®t phiên ban mói (tương tn chuoiFourier) cho hàm xác đ%nh trên R (không nhat thiet phai tuan hoàn).Chúng ta hieu đieu này như sau:

• Vói đieu ki¾n thích hop áp đ¾t lên hàm f xác đ%nh trên R, bieu

thúc (1.10) xác đ%nh m®t hàm so mói là f GQI là bien đői

Fourier cna f ; (tương úng vói hàm xác đ%nh trên khoang huu

han: bieu thúc (1.6)) cho ta xác đ%nh m®t dãy vô han {c n } GQI

là các h¾ so Fourier)

^

• Tiep theo, chúng ta khao sát hàm f xác đ%nh boi (1.10) đó và

thay rang: vói m®t so đieu ki¾n áp đ¾t lên hàm f thì nó lai đưoc

xác đ%nh (khôi phuc) thông qua ve phai cna (1.11) (theo m®tnghĩa

nhat đ%nh, chang han theo L1- ho¾c L2- chuan); tương úng vói

hàm xác đ%nh trên khoang huu han, hàm f có the bieu th% thông

qua các h¾ so {c n } như công thúc (1.5).

Như v¾y, bien đői Fourier cho hàm xác đ%nh trên khoang vô hanthnc sn là m®t phiên ban khác cna chuoi Fourier

Nh¾n xét 2 Ta cũng l¾p lu¾n rang bien đői Fourier là m®t

phiên ban cna chuoi Fourier tù góc đ® cna lý thuyet truyen sóng liêntuc Cu the, trong so nhung hàm xác đ%nh trên toàn truc so thì nhung

hàm tuan hoàn vói chu kỳ huu han mái có the ( vói các đieu ki¾n bő

sung) bieu dien bang m®t tőng huu han cna nhung hàm cosine vàsine Bien đői Fourier là m®t giai pháp cho cho van đe ve kha năngbieu dien nhung hàm không tuan hoàn, nói m®t cách toán HQc là

chu kỳ đưac kéo dài đen vô han Ve m¾t úng dung, có the khôi phuc

biên đ® cna sóng trong khai trien chuoi Fourier bang tích phân nhòcác tính chat cna cosine và sine Trong nhieu trưòng hop, ngưòi tadùng công thúc Euler

e iθ = cos θ + i sin θ

đe bieu th% chuoi Fourier dưói dang các sóng cơ ban e θ

Trong trưòng hop này, chu kỳ cna sóng là 2π Do cách bieu th%

dưói dang phúc, các h¾ so trong chuoi Fourier có the là nhung sophúc Bieu th% dang phúc cna chuoi Fourier này cũng cho ta ca haiđai lưong là biên đ® cna sóng và pha (góc ban đau) cna sóng Nóinôm na, tan so là so đo so lưong đưòng tròn trong m®t giây Hơn

nua, mũ phúc chúa ca tan so âm: neu θ bieu th% thòi gian có đơn v% giây, thì sóng e iθ và e −iθ đeu có đo th% là đưòng tròn đơn v%, nhưng

chieu bien thiên cna hai đo th% này ngưoc nhau khi θ bien thiên trong khoang [0, 2π] V¾y là, e iθ và e −iθ bieu th% hai tan so khác nhau.

Do v¾y, bien đői Fourier cna chúng cũng bieu th% các tan so khácnhau

Bang phép đong dang ta có the xét hàm sóng vói chu kỳ bat kỳ

khác Boi v¾y, ta an đ%nh chu kỳ bang 1 bang cách xét hàm so e ±imθ,

thay vì hàm so e ±iθ Do v¾y, nhân Fourier e ±imθ bieu th% dao đ®ng chu

kỳ T = 2π Lúc này, đe thu¾n ti¾n trong các tính toán h¾ so ta xét bien

đői Fourier đưoc xác đ%nh boi công thúc sau

(Ff )(x) = e −2πixy f (y)dy. (1.12)

^

m

∫

Rd

Đe minh HQA cho moi liên h¾ giua chuoi Fourier và bien đői Fourier, ta

xét trưòng hop hàm f có giá compact.

Chúng ta có the xác đ%nh đưoc tat ca các h¾ so Fourier cnahung hàm có giá compact, nghĩa là xác đ%nh đưoc chuoi Fourier Cu

the, gia su T là so thnc dương đn lón sao cho khoang − T , T van chúa

khoang múc là 1/T Khi T tăng dan và tien tói vô cùng, các h¾ so Fourier đeu có bieu th% gan vói bien đői Fourier cna hàm f Vói đieu ki¾n thích hop cna hàm f , tőng Fourier bang giá tr% hàm:

∞, tőng này h®i tu tói giá tr% tích phân cna bien đői Fourier ngưoc.

Vói m®t vài đieu ki¾n thích hop cna f , l¾p lu¾n trên là chính xác Theo công thúc (1.13), h¾ so cn có the đưoc hieu như là so lưang các sóng bieu th% trong chuoi Fourier cna f Tương tn như the , bien

đői Fourier cna f đưoc hieu như là m®t hàm so đo tùng tan so riêng

ΣΣ

bi¾t trong hàm sóng, và ta có the tő hop lai nhung sóng này bang laytích phân đe khôi phuc hàm sóng ban đau.

Đ%nh lý 1.3 ([13]) Neu hàm f thóa mãn đieu ki¾n Dirichlet

trong MQI khoang huu han và kha tích tuy¾t đoi trên R thì tích phân Fourier (1.11) h®i tn đen hàm

1

2 [f (x + 0) + f (x − 0)]

tai MQI điem x R Nói cách khác,

Tù nay ve sau, ta GQI ve phai cna (1.14) là tích phân Fourier

Neu f liên tuc tai điem x thì f (x + 0) + f (x − 0) = f (x) Khi đó

công thúc (1.14) tro thành

f (x) = 1

2π R Σ∫R f (t)e −iωt dtΣ e iωx dω.

Như v¾y, ta nh¾n đưoc công thúc (1.11) trong đó dau ∼ đưoc thay boi

= Nhan manh rang công thúc ngưoc (1.14) đúng tai tùng điem thu®ctruc so

Chúng ta se tro lai chn đe ve công thúc ngưoc khi trình bày đ%nh

lý ngưoc cna bien đői Fourier khi hàm f chi kha tích Lebesgue trên R d

( đ%nh lý (1.5))

Đ%nh lý tích phân Fourier này đưoc phát bieu đau tiên trong m®t

chuyên đe női tieng cna Fourier có tiêu đe "La Thèorie Analytique

de la Chaleur " (1882), và ý nghĩa lón lao cna nó đưoc phát hi¾n boi

các nhà toán HQc và v¾t lý Thnc v¾y, đ%nh lý này là m®t trongnhung ket qua lón nhat cna giai tích toán HQc hi¾n đai và có nhungúng dung r®ng lón trong v¾t lý và ky thu¾t

Ta xét m®t vài phiên ban khác cna tích phân Fourier

Trong lý thuyet chuoi Fourier thnc ta biet rang neu hàm f thoa

mãn đieu ki¾n Dini tai MQI điem thu®c khoang [−T, T ] thì chuoi

Fourier cna nó h®i tu, nghĩa là

1

b n = T

Các công thúc (1.16), (1.17), (1.18) là nhung phiên ban khác nhau cna

tích phân Fourier Hơn nua, neu hàm f là chan ho¾c le thì ta còn có

Fourier-Ta tóm tat lai muc này như sau:

• Đoi vói nhung hàm xác đ%nh trên khoang huu han ho¾c hàm

xác đ%nh trên khoang vô han và tuan hoàn, ta có the nghiêncúu chúng boi công cu chuoi Fourier

• Chuoi Fourier không h®i tu trên khoang vô han, trù khi hàm đó

tuan hoàn và thoa mãn các đieu ki¾n đn bő sung Đoi vói nhunghàm xác đ%nh trên khoang vô han và không tuan hoàn, ta cóthe nghiên cúu chúng bang công cu cna tích phân Fourier

1.3 NhEng tính chat cơ ban cua bien đoi Fourier

Tính chat 1.1 (Tính tuyen tính) Neu f, g ∈ L1(Rd ) thì

gian Banach L1(Rd )

Nói cách khác bien đői Fourier là toán tu tuyen tính xác đ%nh trên không

Tính chat 1.2 (Tính d%ch chuyen, tre) Đ¾t

g(y) := e −ihy f (y).

Khi đó ta de chúng minh các tính chat (1.3),(1.4),(1.5) sau :

Tính chat 1.3 (Tính đong dang).

(Ff (α y)) (x) = 1 (Ff ) (α −1 x).

α1α2 αd

Tính chat 1.4 (Tính liên hop phúc).

F(f )(x) = Ff ( −x).

Trong đó f kí hi¾u là liên hap phúc cua f.

Tính chat 1.5 (Tính d%ch chuyen trong hat nhân) Đang thúc sau

Chúng minh Trưóc het, ta chúng minh bieu thúc o ve trái ton tai và

có giá tr% huu han Cu the, ta có

∫Rd∫R

d

.e −ixy f1(x)f2(y).dxdy = ∫

∫R d

Tương tn ta có the chúng minh bieu thúc ve phai ton tai và có giá tr% huu han Th¾t v¾y:

∫Rd (Ff2) (y)f1(y)dy < ∞.

Áp dung đ%nh lý Fubini ta suy ra đang thúc trên, vì các ve trái và phaicna đang thúc đó đeu bang

∫Rd ∫Rd e −iyx f1(x)f2(y)dxdy.

Tính chat 1.8 Neu dãy hàm {f n } n≥1 ∈ L1(Rd ) h®i tn (theo

L1−chuan) đen hàm f, thì dãy hàm anh Fourier f n

n≥1 h®i tn đeu (h®i tn điem)

đen hàm anh cua nó, nghĩa là neu

ǁf n − fǁ1 → 0

thì

f^ n (x) → f^(x).

H®i tn trên theo điem là đeu.

Khang đ%nh tính h®i tu đeu cna dãy này đưoc suy trnc tiep tù đánh giá sau: vói MQI x ∈ R d thì

(y) | dy

= ǁf n − f m ǁ1 → 0

khi n, m → ∞.

Tính chat 1.9 (Bő đe Lebesgue-Riemann) Neu f kha tích tuy¾t

đoi trên R d thì bien đői Fourier f là hàm liên tnc, giái n®i và tri¾t tiêu tai vô cùng.

Chúng minh Tính giói n®i cna anh đưoc suy trnc tiep tù bat đang

Đau tiên ta chúng minh cho hàm b¾c thang

Cho hai c¾p so thnc bat kì (a1 , a2, , a d) và (b1 , b2, , b d) thoa mãn

a j < b j vói MQI j = 1, 2, , d Kí hi¾u

0, neu y ∈/ B d

Su dung ket qua cna Ví du 4 ta tính đưoc

Theo tính chat (1.1), bien đői Fourier là ánh xa tuyen tính Tù đây

ta suy ra anh Fourier cna MQI hàm b¾c thang cũng là hàm liên tuc vàtri¾t tiêu tai vô cùng

Cho bat kỳ hàm f ∈ L1(Rd) Ta biet t¾p hop tat ca các hàm b¾c

thang trù m¾t trong L1(Rd ) (theo L1− chuan) Vì v¾y ton tai dãy các

hàm b¾c thang {f n } sao cho

f n → f theo L1 − chuan Theo tính chat (1.8), dãy các hàm anh fn h®i tu đeu tói hàm f Do đó

hàm giói han f liên tuc và tri¾t tiêu tai vô cùng.

Ta có the chúng minh bő đe này m®t cách ngan GQN hơn Thnc

v¾y, ta gia thiet hàm f trơn, có giá compact trên R Tích phân tùng

Neu f kha tích tuy¾t đoi bat kỳ thì nó có the xap xi ( theo L1− chuan

) boi hàm trơn có giá compact g sao cho ǁf − gǁ1 < ε vói bat kỳ ε > 0cho trưóc Do đó

Ta suy ra đieu phai chúng minh

Can phai nhan manh bő đe Riemann-Lebesgue se không còn đúng

neu hàm goc f chi kha tích mà không kha tích tuy¾t đoi Thnc v¾y,

.∫ f (x)e −ixy dy = ∫ 1

f J (y)e −ixy dy ≤ 1 ∫ |f J (y) | dy → 0

công thúc

(Ff )(x)

=

π , neu x < a

2



0, neu |x| > a.

Các đ%nh lý tiep theo dành cho hàm m®t bien, nhieu bien; the hi¾n

rõ hơn ve hàm anh cna bien đői Fourier.Đe hieu rõ ve hàm anh cna bien đői Fourier ta xét đ%nh lý dưói đây.

Đ%nh lý 1.4 ([13]) Neu f ∈ L1(Rd ) thì Ff là hàm liên tnc đeu trên

Rd



|

Chúng minh Trưóc het ta de dàng chúng minh đưoc bat đang thúc

|sin x| ™ |x|

vói MQI x ∈ R.

Gia su f ∈ L1(Rd) Áp dung bat đang thúc Cauchy-Schwartz ta có

|(u, y)| ™ |u| |y|

Bang tính toán tích phân ta đưoc

2

1

d

(2π)2

(Ff )(y)e ixy dy (1.22)

Rd

vái x ∈ R d hau khap nơi

Chúng minh Trưóc het, đ¾t

1

Theo công thúc F D p f (y) (x) = (ix) p (Ff )(x), các hàm Fg phn kín

S khi g chay khap S Đong thòi, neu φ ∈ C ∞(Rd ) và φ có giá compact thì φ ∈ S Đ¾t

Các ket qua chi tiet hơn đưoc the hi¾n o đ%nh lý sau đây

Đ%nh lý 1.7 ([13]) Ánh xa thác trien F trong (1.7) có các tính chat

(iii) Neu f ∈ L1(Rd) ∩ L2(Rd ) thì Ff = f hau khap nơi.

Như v¾y khi nói đen toán tu tích phân Fourier xác đ%nh trong L2(R)d

ta có the đong nhat các ký hi¾u F :≡ F, và ký hi¾u f van tiep tuc đưoc

su dung mà không lo ngai có sn nham lan trong ký hi¾u đó

y

ΣΣ

Chương 2

Bat đang thÉc bat đ%nh Heisenberg

Xét phép bien đői tích phân đoi xúng cho hàm m®t bien xác đ%nh trên R

(T2,1f ) (x)

:=

1

Đe có đưoc m®t h¾ cơ so trnc chuan trong L2(R), ngưòi ta thưòng cHQN

hàm Hermite dưói dang như sau

Đ%nh lý 2.1 ([13]) Đang thúc sau luôn đúng vái n ∈ N :

T ψ =

.(−1) n

Σt

d

2