Luận văn thạc sĩ về toán tử tựa không giãn với bài toán bất đẳng thức biến phân

Nói chung, cách tiep c¾n dna trên điem bat đ®ng cna các ánh xa khônggiãn và không giãn suy r®ng đưoc su dung r®ng rãi trong nhieu lĩnh vnccna toán HQc.. MUC LUC4 Liên quan đen bài toán E

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I

TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN

Hà N®i - 2017

NGUYEN XUÂN THÙY

VE TOÁN TU TUA-KHÔNG GIÃN

VéI BÀI TOÁN BAT ĐANG THÚC BIEN PHÂN

LU¤N VĂN THAC SĨ KHOA HOC

NGUYEN XUÂN THÙY

VE TOÁN TU TUA-KHÔNG GIÃN

VéI BÀI TOÁN BAT ĐANG THÚC BIEN PHÂN

Chuyên ngành: Toán giai tích

Mã so: 60460102

LU¤N VĂN THAC SĨ KHOA HOC

NGƯDI HƯDNG DAN KHOA HOC:

GS TSKH LÊ DŨNG MƯU

LèI CAM ƠN

Lu¾n văn đưoc hoàn thành tai trưòng Đai HQc Khoa HQc Tnnhiên - Đai HQc Quoc Gia Hà N®i dưói sn hưóng dan cna Thay giáo GS.TSKH Lê Dũng Mưu Sn đ%nh hưóng cna Thay trong nghiên cúu, snt¾n tình cna Thay trong HQc t¾p và trên het tình yêu thương Thaydành cho em trong cu®c song, đó là nhung thú quý giá nhat mà em đãmay man mói có đưoc Em xin bày to lòng biet ơn chân thành và sâu sacnhat đen vói Thay

Em xin bày to sn biet ơn chân thành đen Ban Giám hi¾u trưòng Đai

HQc Khoa HQc Tn nhiên - Đai HQc Quoc Gia Hà N®i, Khoa Sau đai HQc,Ban Chn nhi¾m Khoa Toán - Cơ - Tin HQc đã tao cơ h®i cho em đưoc làmlu¾n văn tot nghi¾p Đ¾c bi¾t, em xin bày to lòng biet ơn đen các Thay,

Cô giáo trong Khoa Toán - Cơ - Tin HQc, trưòng Đai HQc Khoa HQc

Tn nhiên - Đai HQc Quoc Gia Hà N®i đã nhi¾t tình giang day em trongsuot các năm hQc vùa qua

M¾c dù đã rat co gang, song lu¾n văn cũng không tránh khoi nhungthieu sót Em mong đưoc nhung ý kien đóng góp tù các Thay, Cô giáo vàcác ban đong nghi¾p đe lu¾n văn đưoc hoàn thi¾n hơn

Hà N®i, ngày 09 tháng 10 năm 2017

Nguyen Xuân Thùy

Mnc lnc

1.1 T¾p loi, hàm loi và nón pháp tuyen ngoài 6

1.2 Hàm nua liên tuc dưói 12

1.3 Hàm kha dưói vi phân 13

1.4 Tính đơn đi¾u và kieu-Lipschitz cho các song hàm 16

1.5 Toán tu chieu và bat đang thúc bien phân 18

1.6 Dãy h®i tu yeu, ánh xa nua-đóng và ánh xa tna-không giãn22 2 ÁNH XA TUA-KHÔNG GIÃN VéI ĐIEU KIfiN LIPS- CHITZ VÀ BÀI TOÁN BAT ĐANG THÚC BIEN PHÂN 26

2.1 Đ%nh nghĩa cna ánh xa tna-không giãn trên m®t t¾p loi 26

2.2 Ánh xa tna-không giãn ΦF vói bài toán V IP ( C, F ) 27

3 VE ÁNH XA TUA-KHÔNG GIÃN KHÔNG ĐIEU KIfiN LIPSCHITZ 35 3.1 Đ%nh nghĩa cna ánh xa 35

3.2 Tính chat cna ánh xa 36

LèI Me ĐAU

Cho H là m®t không gian Hilbert thnc vói tích trong và chuan cna nó

lan lưot đưoc ký hi¾u boi (·, ·) và ǁ · ǁ GQI C là m®t t¾p loi, đóng và

khác rong trong H M®t ánh xa T : C −→ C đưoc GQI là không giãn

trên C, neu ǁT (x) − T (y)ǁ ≤ ǁx − yǁ vói MQI x, y ∈ C Ánh xa

T đưoc GQI là tna-không giãn ([1]) trên C neu ǁT (x) − pǁ ≤ ǁx −

pǁ vói MQI x ∈ C và vói MQI điem bat đ®ng p cna T bat cú khi nào T

có m®t điem bat đ®ng Rõ ràng, vói MQI ánh xa (toán tu) không giãn

có m®t điem bat đ®ng là tna-không giãn, nhưng đieu ngưoc lai khôngđúng Các ánh xa tna-không giãn đã đưoc nghiên cúu boi nhieu tác gia vàm®t so phương pháp nghi¾m cna m®t so bài toán có the đưa ve vi¾ctìm m®t điem bat đ®ng cna các ánh xa tna-không giãn đã đưoc pháttrien trong tài li¾u chuyên khao [4] và các bài báo [1, 6, 8, 13, 16]

Nói chung, cách tiep c¾n dna trên điem bat đ®ng cna các ánh xa khônggiãn và không giãn suy r®ng đưoc su dung r®ng rãi trong nhieu lĩnh vnccna toán HQc Trong [5], Combettes và c®ng sn đã giói thi¾u m®t ánh xakhông giãn P f , đưoc GQI là toán tu xap xi, xác đ%nh boi, vói MQI x ∈ H,

1

P f (x) := {z ∈ C : f (z, y) +

r (y − z, z − x) ≥ 0 ∀y ∈ C},

trong đó r > 0 và f : C × C −→ R Vói các gia thiet rang f

là đơn đi¾u, nua liên tuc dưói, loi trên C đoi vói đoi so thú hai và nua

liên tuc (hemicontinuous) trên C đoi vói đoi so thú nhat, hQ đã chúngminh đưoc rang P f là đơn tr%, không giãn trên C Hơn nua, nhóm tác

gia này cũng chi ra rang t¾p điem bat đ®ng cna P f trùng vói t¾p nghi¾m

cna bài toán cân bang

Tìm x ∗ ∈ C : f (x ∗ , y) ≥ 0 ∀y ∈ C EP (C, f )

MUC LUC

4

Liên quan đen bài toán EP (C, f ), m¾c dù nó có m®t công thúc đơn

gian, nhưng nó bao hàm rat nhieu bài toán như toi ưu hóa, điem bat đ®ngKakutani, mô hình cân bang Nash và bat đang thúc bien phân, đưoc xemnhư là các trưòng hop đ¾c bi¾t (xem trong [2, 3, 14])

Toán tu xap xi P f tro thành m®t công cu huu hi¾u cho bat đang thúc

bien phân đơn đi¾u, bài toán cân bang và m®t so chn đe có liên quan Tuynhiên, nói chung đoi vói các song hàm gia đơn đi¾u, toán tu này không làkhông giãn, th¾m chí các giá tr% cna nó có the không loi

Lu¾n văn này nghiên cúu ve ánh xa tna-không giãn vói bài toán batđang thúc bien phân dna trên bài báo [18] Vói n®i dung nghiên cúu này,ngoài phan lòi mo đau, ket lu¾n và tài li¾u tham khao, lu¾n văn đưocchia thành 3 chương Ket qua chính t¾p trung trong Chương 2 vàChương 3

Chương 1 Kien thÉc chuan b% Trong chương này, lu¾n văn phan

đau trình bày nhung kien thúc can thiet ve giai tích loi và giai tích hàm

đe su dung cho các chương tiep theo như t¾p loi, hàm loi, hàm nua liêntuc dưói, hàm kha dưói vi phân, vv Phan tiep theo, lu¾n văn trình bàycác khái ni¾m ve tính đơn đi¾u, kieu-Lipschitz cho các song hàm, toán tuchieu, bat đang thúc bien phân, ánh xa nua-đóng và ánh xa tna-khônggiãn trong không gian Hilbert thnc

Chương 2 Ánh xa tEa-không giãn vái đieu ki¾n Lipschitz và bài toán bat đang thÉc bien phân Trong chương này, ta se đ%nh nghĩa

m®t ánh xa tna-không giãn (đưoc ký hi¾u là ΦF ) vói m®t ánh xa thoa

mãn đieu ki¾n Lipschitz Sau đó, ta xét m®t trưòng hop đ¾c bi¾t cna ΦF

xay ra trong bat đang thúc bien phân khi song hàm

Chương 3 Ve ánh xa tEa-không giãn không đieu ki¾n Lipschitz.

Trong chương này, chúng ta se nghiên cúu ánh xa tna-không giãn L F mà

không đòi hoi đieu ki¾n Lipschitz đoi vói ánh xa F

ω

Chương 1

KIEN THÚC CHUAN B±

Trong chương này, lu¾n văn se trình bày m®t so khái ni¾m, đ%nh nghĩa

và các ket qua can thiet ve giai tích loi và giai tích hàm nham phuc vu choChương 2 và Chương 3 Tài li¾u tham khao chính cho chương này là [1],[5], [18], [22] và [23]

1.1 T¾p loi, hàm loi và nón pháp tuyen ngoài

Trong phan này, ta ký hi¾u Rn là không gian Euclide n-chieu trên

trưòng so thnc R Moi véc tơ x ∈ R n se gom n TQA đ® là các so thnc.Vói hai véc tơ x = (x1, , x n)T và y = (y1, , y n)T thu®c R n,

ta nhac lai rang

n

(x, y) := x k y k

GQI là tích vô hưáng cna hai véc tơ x và y Chuan Euclide cna phan tu

x và khoang cách Euclide giua hai phan tu x và y lan lưot đưoc đ%nh

nghĩa như sau:

ǁxǁ := .(x, x), d(x, y) := ǁx − yǁ.

Ký hi¾u

là t¾p so thnc má r®ng.

Σ

Chương 1 KIEN THÚC CHUAN B±

Đ%nh nghĩa 1.1.1 M®t t¾p C ⊆ R n đưoc GQi là m®t t¾p loi,

neu C chúa MQI đoan thang đi qua hai điem bat kỳ cna nó Nói khác

đi, t¾p C là loi neu và chi neu

M¾nh đe 1.1.3 Cho A, B là các t¾p loi trong R n và C là t¾p loi trong

Rm Khi đó, các t¾p sau là loi:

Trong bat đang thúc bien phân, toi ưu hoá, lý thuyet trò chơi và nhieuchuyên ngành toán úng dung khác, khái ni¾m ve nón có m®t vai trò quan

TRQNG

Đ%nh nghĩa 1.1.4 Cho C là m®t t¾p trong

Rn (1)T¾p C đưoc gQI là nón neu

∀λ > 0, ∀x ∈ C =⇒ λx ∈ C.

là m®t t¾p loi (3)M®t nón loi đưoc GQI là nón NHQN neu nó không

chúa đưòng

thang Khi đó, ta nói O là đinh cna nón Neu nón loi này lai là m®t

t¾p loi đa di¾n thì ta nói nó là nón loi đa di¾n.

Ví dn 1.1.5 M®t ví du đien hình cna nón loi đa di¾n, thưòng đưoc su dung, là t¾p hop nghi¾m cna h¾ bat phương trình tuyen tính có dang:

{x|Ax ≥ 0},

vói A là m®t ma tr¾n thnc cap huu han (so dòng và so c®t là huu han).

M¾nh đe 1.1.6 M®t t¾p C là nón loi neu và chs neu nó có các tính chat sau:

(1) λC ⊆ C, vái MQI λ > 0;

(2) C + C ⊆ C.

ChÚng minh. Gia su C là m®t nón loi Do C là m®t nón, nên ta có

1(1) Tù C là m®t t¾p loi, nên vói mQI x, y ∈ C, thì

2(x + y) ∈ C

V¾y

theo (1) ta có x + y ∈ C.

Ngưoc lai, gia su ta có (1) và (2) Tù (1) suy ra ngay C là m®t nón Gia

su x, y ∈ C và λ ∈ [0, 1] Tù (1) suy ra λx ∈ C và (1 − λ)y ∈ C

Theo (2)

ta có λx + (1 − λ)y ∈ C V¾y C là m®t nón loi.

Đ%nh nghĩa 1.1.7 Cho C ⊆ R n là m®t t¾p loi và x ∈ C Khi

đưoc gQI là nón pháp tuyen trong cna C tai x.

Đ%nh nghĩa 1.1.8 Cho C ⊆ R n , bao affine cna C, ký hi¾u là affC

đưoc xác đ%nh boi

affC =

,λ1x1 + · · · + λ m x m |x j ∈ C,

Σj

=1 λ j = 1,.

M®t điem a ∈ C đưoc GQI là điem trong tương đoi cna C, neu

nó là điem trong cna C theo tô pô cam sinh boi affC và đưoc ký hi¾u

là riC Như v¾y, ta có

riC := {a ∈ C|∃B : (a + B) ∩ affC ⊂ C},

o đây B là m®t lân c¾n mo cna goc.

Cho C ⊆ R n là m®t t¾p loi và f : C −→ R Ta ký hi¾u t¾p

Bang cách cho f (x) = +∞ neu x ∈/ C, ta có the xem f đưoc xác đ

%nh trên toàn không gian, và ta có

domf = ,x ∈ R n |f (x) < +∞,, epif = ,(x, µ) ∈ R n × R|f (x) ≤ µ,.

Đ%nh nghĩa 1.1.9 Cho C ⊆ R n là m®t t¾p loi, khác rong và ánh xa

f : C −→ R Ta nói f là hàm loi trên C, neu epif là m®t t¾p loi trong

Rn+1

Trong trưòng hop ta làm vi¾c vói hàm f : R n −→ R ∪ {+∞}, thì đ%nh

nghĩa trên tương đương vói f là hàm loi trên C neu và chi neu

δ C là m®t hàm loi Hàm này có tên là hàm chs.

(2) Hàm khoang cách đen t¾p loi đóng C đưoc đ%nh nghĩa boi

d C (x) := min x y ,

y∈C

là m®t hàm loi

Đ%nh nghĩa 1.1.11 Cho C ⊆ R n là m®t t¾p loi, khác rong Khi đó,

(1) f : R n −→ R ∪ {+∞} đưoc gQI là hàm loi ch¾t trên C, neu

ǁ − ǁ

2

C

vói MQI x, y ∈ C và vói MQI λ ∈ (0, 1).

(3) f đưoc GQi là hàm lõm trên C, neu −f là hàm loi trên C.

Dưói đây là m®t đieu ki¾n can và đn ve hàm loi, rat ti¾n ích trong

nhieu trưòng hop

M¾nh đe 1.1.12 Hàm f : C −→ R là loi trên C neu và chs neu

Đ%nh nghĩa 1.1.13 Hàm f đưoc GQI là thuan nhat dương (b¾c 1) trên

Rn neu vói MQI x ∈ R n và vói MQI λ > 0, ta có

f (λx) = λf (x).

M¾nh đe 1.1.14 Cho f là m®t hàm thuan nhat dương trên R n Khi đó, f là hàm loi neu và chs neu f là dưái c®ng tính theo nghĩa

f (x + y) ≤ f (x) + f (y) vái MQI x, y ∈ R n

M®t hàm thuan nhat dương và dưói c®ng tính đưoc GQi là dưái

tuyen tính M®t ví du đien hình ve hàm dưói tuyen tính là hàm chuan f

H¾ qua 1.1.17 Cho f1, f2, , f m là các hàm loi, chính thưàng và λ1, λ2, , λ m là các so dương Khi đó, λ1f1 + λ2f2 +

+ λ m f m là hàm loi.

1.2 Hàm nEa liên tnc dưái

Đ%nh nghĩa 1.2.1 Cho hàm f : R n −→ R Khi đó,

(1) f đưoc GQI là nua liên tnc dưái đoi vói E tai m®t điem x, neu

vói MQI dãy {x k } ⊂ E, x k −→ x ta có

lim inf f (x k) ≥ f (x).

(2) f đưoc GQI là nua liên tnc trên đoi vói E tai x, neu −f là nua

liên tuc dưói đoi vói E tai x Hay là, vói MQI dãy {x k } ⊂ E, x k −→

x thì

lim sup f (x k) ≤ f (x).

(3) f đưoc GQI là liên tnc đoi vói E tai x, neu nó vùa là nua liên tuc

trên, vùa là nua liên tuc dưói đoi vói E tai x.

(4) f đưoc GQI là hàm nua liên tuc dưói đoi vói E trong t¾p A, neu

nó là nua liên tuc dưói đoi vói E tai MQI điem thu®c A Tương tn,

ta cũng nói như v¾y vói hàm nua liên tuc trên và hàm liên tuc Khi

f liên tuc (nua liên tuc) tai m®t điem x, đoi vói toàn không gian, thì

ta nói đơn gian f liên tuc (nua liên tuc) tai x.

Đ%nh nghĩa 1.2.2 Cho hai hàm f và g xác đ%nh trên R n, ta nói g là bao đóng cna f , neu epig = epif Hàm f đưoc GQI là đóng neu

epif = epif Bao đóng cna f đưoc ký hi¾u là f

M¾nh đe 1.2.3 Vái MQI hàm f : R n −→ R ∪ {+∞}, các khang đ

%nh sau là tương đương:

(1) Trên đo th% cua f là m®t t¾p đóng trên R n+1, nói cách khác

f = f.

(2) Vái MQI so thnc α, t¾p múc dưái

L f (α) := {x|f (x) ≤ α}

là m®t t¾p đóng.

(3) f là nua liên tnc dưái trên R n

ChÚng minh (1) = ⇒ (2) Gia su x j −→ x, f (x j) ≤ α Khi đó,

(x j , α) ∈ epif Do epif đóng, nên (x, α) ∈ epif V¾y x ∈ L f (α).

(2) =⇒ (3) Gia su x j −→ x Neu

lim inf f (x j) < f (x),

khi đó ton tai α < f (x) sao cho f (x j) ≤ α vói MQI j đn lón V¾y x j

∈ L f (α) vói MQI j đn lón Do x j −→ x và L f (α) đóng, nên x ∈

L f (α) Túc là, f (x) ≤ α Mâu thuan vói đieu ta đã gia su là α < f

(x).

(3) =⇒ (1) Gia su (x j , µ j) ∈ epif và (x j , µ j) −→ (x, µ) Khi đó, f (x j) ≤

µ j vói MQI j Tù (3), ta suy ra

lim inf f (x j) ≥ f (x).

Do v¾y, µ ≥ f (x) hay (x, µ) ∈ epif Tù đó, ta có t¾p epif là đóng

Đen đây ta ket thúc chúng minh M¾nh đe 1.2.3

Đ%nh nghĩa 1.3.1 Cho f : R n −→ R ∪ {+∞} Ta nói x ∗ ∈ R n là

dưái đao hàm cna f tai điem x0 ∈ Rn neu

f (x) − f (x0) ≥ (x ∗ , x − x0) ∀x ∈ R n

T¾p hop tat ca các dưói đao hàm cna f tai điem x0 đưoc GQI là

dưái vi phân cna f tai điem đó và đưoc ký hi¾u là ∂f (x0), nghĩa là

∂f (x0) = ,x ∗ |f (x) − f (x0) ≥ (x ∗ , x − x0)∀x ∈ R n

,.

Hàm f đưoc gQI là kha dưái vi phân tai điem x0 neu ∂f (x0) ƒ= ∅.

Ví dn 1.3.2 Các ví du ve dưói vi phân

(1) Cho C ƒ= ∅ là m®t t¾p loi trong R n Hàm chi

Túc là, dưói vi phân cna hàm chi cna t¾p C tai điem x0 ∈ C chính

là nón pháp tuyen ngoài cna C tai điem x0.

(2) Hàm f (x) = ǁxǁ vói MQIx ∈ R n

Tai điem x = 0, hàm này không kha vi Tuy nhiên, nó kha dưói vi

phân và ta có

∂f (0) = {x ∗ |(x ∗ , x) ≤ ǁxǁ ∀x ∈ R n }.

Đ%nh nghĩa 1.3.3 Cho f : R n −→ R, ta ký hi¾u t¾p các điem

cnc tieu cna hàm f trên C trong R n là argminf (x) và

neu và chs neu 0 ∈ ∂f (y).

là nón pháp tuyen ngoài cua C tai y.

ChÚng minh. Ta xét hàm chi δ C (·) cna t¾p C Khi đó, y là điem

cnc tieu cna f trên C neu và chi neu nó là cnc tieu cna hàm

h(x) = f (x) + δ C (x)

trên toàn không gian Theo đ%nh lý trên, đieu ki¾n can và đn đe y là điem

cnc tieu cna h trên R n là 0 ∈ ∂h(y) Hơn nua, tù

Cuoi cùng, do y ∈ C, nên

∂δ C (y) = N C (y).

Đ%nh lý đưoc chúng minh hoàn toàn

1.4 Tính đơn đi¾u và kieu-Lipschitz cho các song

Đ%nh nghĩa 1.4.2 ([18]) M®t ánh xa F : C −→ H đưoc gQI là

(1) β-đơn đi¾u manh trên C neu ton tai β > 0 sao cho

(1) Song hàm f (x, y) := (F (x), y − x) là β-đơn đi¾u manh

(tương úng vói đơn đi¾u, gia đơn đi¾u) trên C neu và chi neu F là

β-đơn đi¾u manh (tương úng vói β-đơn đi¾u, gia β-đơn đi¾u) trên C.

(2) Neu F là L-Lipschitz liên tuc trên C thì f (x, y) := (F

Đ%nh nghĩa 1.4.4 Cho f : C × C −→ R là m®t song hàm Khi

đó, f đưoc GQI là liên tnc yeu liên ket (jointly weakly continuous) ([18])

trên C × C, neu vói x, y ∈ C và các dãy {x n }, {y n } trong C lan

lưot h®i tu yeu đen x và y thoa mãn

f (x n , y n) −→ f (x, y) khi n −→ ∞.

2

L

1.5 Toán tE chieu và bat đang thÉc bien phân

Trong phan này, ta se đe c¾p đen m®t van đe quan TRQNG trong giaitích loi Đó là phép chieu metric (còn đưoc GQI là phép chieu Euclide) lênm®t t¾p loi đóng Bài toán tìm hình chieu lên m®t t¾p loi có vai trò ratquan TRQNG trong toi ưu và nhieu lĩnh vnc khác như cân bang, batđang thúc bien phân Bài toán này có rat nhieu úng dung, đ¾c bi¾t

nó xuat hi¾n như m®t bài toán phu trong rat nhieu phương pháp sotrong toi ưu, cân bang và bat đang thúc bien phân Đây cũng là m®tcông cu sac bén và khá đơn gian đe chúng minh nhieu đ%nh lý quan

TRQNG như đ%nh lý tách, các đ%nh lý ve sn ton tai nghi¾m cna nhieu van

đe khác nhau trong toán HQc úng dung

Cu the hơn, trong phan này, trưóc het ta se chúng minh sn ton tai

và tính duy nhat cna hình chieu lên m®t t¾p loi đóng Tiep đen, ta sekhao sát m®t so tính chat cơ ban cna toán tu chieu Cuoi phan, se trìnhbày vi¾c su dung toán tu chieu đe chúng minh sn ton tai nghi¾m cũngnhư vai trò cna toán tu này trong m®t thu¾t toán giai bat đang thúc bienphân

Đ%nh nghĩa 1.5.1 Cho C ƒ= ∅ (không nhat thiet loi) và y là m®t véc

thì ta nói π là hình chieu (vuông góc) cna y trên C.

Chú ý 1.5.2 Tù đ%nh nghĩa này, ta thay rang hình chieu P C (y) cna y

trên C se là nghi¾m cna bài toán toi ưu

min ,1

ǁx − yǁ2|x ∈ C,.

Do đó, vi¾c tìm hình chieu cna y trên C có the đưa ve vi¾c tìm cnc tieu

cna hàm toàn phương ǁx − yǁ2 trên C.

ǁ − ǁ

Ta ký hi¾u π = P C (y), ho¾c đơn gian hơn là P (y) neu không can

nhan manh đen t¾p chieu C Chú ý rang, neu C ƒ= ∅, thì d C (y)

huu han (vì 0 ≤ d C (y) ≤ ǁy − xǁ vói MQI x ∈ C).

M¾nh đe 1.5.3 Cho C là m®t t¾p loi, đóng, khác rőng Khi

đó: (1)Vái MQI y ∈ R n , π ∈ C hai tính chat sau là tương đương:

(a) π = P C (y),

(b) y − π ∈ N C (π).

(2) Vái MQ i y ∈ R n , hình chieu P C (y) cua y trên C luôn ton tai và duy nhat.

(3) Neu y ∈/ C, thì (P C (y) − y, x − P C (y)) = 0 là siêu phang tna cua

C tai P C (y) và tách han y khói C, nghĩa là

(P C (y) − y, x − P C (y)) ≥ 0 ∀x ∈ C, và

(P C (y) − y, y − P C (y)) < 0.

(4) Ánh xa y ‹→ P C (y) có các tính chat sau:

(a) ǁP C (x) − P C (y)ǁ ≤ ǁx − yǁ ∀x, ∀y (tính không giãn); (b) (P C (x) −P C (y), x−y) ≥ ǁP C (x) −P C (y)ǁ2 (tính đong

búc).

Chú ý 1.5.4 Ve phép chieu metric, thnc ra, còn có m®t tính chat

manh hơn tính không giãn nêu o trên Cu the, ta có

ǁP (x) − P (y)ǁ2 ≤ ǁx − yǁ2 − ǁP (x) − P (y) − x + yǁ2

∀x, y.

Bây giò, ta se xét m®t úng dung cna phép chieu metric trong Bài toán bat đang thúc bien phân

Phát bieu bài toán: Cho C là m®t t¾p loi, đóng và khác rong trong R n

và F : C −→ R n Khi đó, Bài toán bat đang thúc bien phân (đưoc ký

hi¾u là V IP ) có the đưoc phát bieu như sau:

Tìm x ∗ ∈ C : (F (x ∗), x − x ∗ ) ≥ 0 ∀x ∈ C. (V IP )

Các bài toán trong toi ưu hóa, phương trình v¾t lý toán và nhieu van

đe trong kinh te, ky thu¾t, cân bang giao thông đô th% vv đeu cóthe mô ta dưói dang Bài toán (V IP ).

Sn ton tai nghi¾m và phương pháp giai Bài toán (V IP ) có the dna vào

phép chieu metric Cu the, ta có các ket qua sau đây:

M¾nh đe 1.5.5 Gia su α > 0 Vái mői x ∈ C, ta đ¾t

1

h(x) := P C (x −

α F (x)).

Khi đó, x ∗ = h(x ∗ ) neu và chs neu x ∗ là nghi¾m cua (V IP ).

ChÚng minh Theo tính chat cna phép chieu, h là ánh xa đơn tr% tù

C vào C Tù (1) trong M¾nh đe 1.5.3, ta có

neu và chi neu

Bat đang thúc cuoi cùng neu và chi neu (F (x ∗), x − x ∗ ) ≥ 0 ∀x

∈ C V¾y x ∗ = h(x ∗) neu và chi neu x ∗ là nghi¾m cna (V IP ).

M¾nh đe đưoc chúng minh hoàn toàn

H¾ qua 1.5.6 Neu C là t¾p loi, compac và F liên tnc trên C, thì Bài toán bat đang thúc bien phân (V IP) có nghi¾m.

−

α

ChÚng minh Do phép chieu trên t¾p loi đóng là liên tuc và vì F liên

tuc trên t¾p C, nên h là ánh xa liên tuc trên t¾p C (vì nó là hop cna hai

ánh xa liên tuc) Do h là ánh xa liên tuc tù C vào C, nên theo Đ%nh lý

điem bat đ®ng Brouwer thì h ton tai điem bat đ®ng Theo M¾nh đe

1.5.5, điem bat đ®ng này là nghi¾m cna (V IP ).

Chú ý 1.5.7 Theo M¾nh đe 1.5.5, vi¾c giai Bài toán (V IP ) có

the chuyen ve vi¾c tìm điem bat đ®ng cna ánh xa h Do ánh xa chieu

không giãn, nên h là m®t ánh xa không giãn Do đó, ta có the mo r®ng

nguyên lý ánh xa co Banach đe tìm m®t điem bat đ®ng cna ánh xa này.Trong m®t so trưòng hop riêng quan TRQNG, h là m®t ánh xa co Khi đó

nguyên lý ánh xa Banach có the áp dung trnc tiep đe giai (V IP ).

Dưói đây, ta se xét trưòng hop này Khi F là ánh xa đơn đi¾u manh

và liên tuc Lipschitz trên C, thì ta có the cHQN α thích hop đe h là ánh

xa co trên C Cu the, ta có m¾nh đe sau:

M¾nh đe 1.5.8 Gia su C là t¾p loi, đóng và ánh xa F : C −→ R n

đơn đi¾u manh trên C vái h¾ so β và Lipschitz trên C vái hang so L Khi

1

−

Chương 1 KIEN THÚC CHUAN B±

−→

∞

22

M¾t khác, do F đơn đi¾u manh trên C vói h¾ so β và Lipschitz trên C

vói hang so L, nên

Tù M¾nh đe 1.5.8, ta có ngay h¾ qua sau:

H¾ qua 1.5.9 Neu C là t¾p loi, đóng và ánh xa F là đơn đi¾u manh

và Lipschitz trên C, thì Bài toán (V IP) luôn có duy nhat nghi¾m.

1.6 Dãy h®i tn yeu, ánh xa nEa-đóng và ánh xa

tEa-không giãn

Đ%nh nghĩa 1.6.1 Trong không gian Hilbert H, m®t dãy {x n }

đưoc GQI là h®i tn manh đen x trong H, neu

lim

n−→

∞

ǁx n − xǁ = 0.

Đ%nh nghĩa 1.6.2 Trong không gian Hilbert H, m®t dãy {x n }

đưoc GQI là h®i tn yeu ([23]) đen x trong H, neu

Chương 1 KIEN THÚC CHUAN B±

vói MQI y trong H.

M¾nh đe 1.6.3 ([23]) Gia su H là m®t không gian Hilbert Neu dãy {x n } h®i tn yeu đen x và {y n } là dãy h®i tn manh đen y, thì {(x n , y n )} h®i tn ve (x, y).

ChÚng minh Do dãy {x n } h®i tu yeu đen x, nên {x n } b% ch¾n

Suy ra, ton tai M > 0 sao cho

ǁx n ǁ ≤ M ∀n ∈ N ∗

Ta có |(x n , y n ) − (x, y)| ≤ |(x n , y n )| − |(x n , y)| + |(x n , y) − (x, y)|

≤ ǁx n ǁǁy n − yǁ + |(x n , y) − (x, y)|

≤ Mǁy n − yǁ + |(x n , y) − (x, y)|.

M¾t khác, vì dãy {y n } h®i tu manh đen y và {x n } h®i tu yeu đen x,

nên khi cho n −→ ∞ trong bat đang thúc trên, ta có ngay

lim

n−→

∞

(x n , y n ) = (x, y).

M¾nh đe 1.6.4 ([23]) Gia su H là m®t không gian Hilbert Cho {x n }

là m®t dãy h®i tn yeu đen x Hơn nua, gia su {ǁx n ǁ} h®i tn đen ǁxǁ Khi đó, dãy {x n } h®i tn manh đen x.

ChÚng minh Trưóc het , ta có đang thúc sau

ǁx n − xǁ

Theo gia thiet, ta có

Chương 1 KIEN THÚC CHUAN B±

Do đó, dãy {x n } h®i tu manh đen x.

Tù đây, vói m®t không gian Hilbert thnc H, ta ký hi¾u x n −→ x và

x n ~ x lan lưot là h®i tu manh và h®i tu yeu cna m®t dãy {x n } đen x

trong H.

Đ%nh nghĩa 1.6.5 Vói m®t ánh xa T : C −→ C, ta ký hi¾u Fix(T )

là t¾p các điem bat đ®ng cna T , túc là

Fix(T ) = {x ∈ C : T (x) = x}.

Đ%nh nghĩa 1.6.6 Ánh xa T : C −→ C đưoc GQI là nua-đóng tai 0

([18]) neu vói MQI dãy {x n } trong C ta có

x n ~ x và ǁT (x n) − x n ǁ −→ 0 =⇒ x ∈ Fix(T ).

Đ%nh nghĩa 1.6.7 Cho H là m®t không gian Hilbert thnc và C là

m®t t¾p loi, đóng và khác rong trong H Khi đó,

Chương 1 KIEN THÚC CHUAN B±

25

có m®t điem bat đ®ng

Tù đây, ta có the thay rang MQI ánh xa không giãn có m®t điembat đ®ng là tna-không giãn, nhưng đieu ngưoc lai không đúng.

Ví dn 1.6.8 Các ví du ve ánh xa không giãn và ánh xa tna-không giãn

Chương 2

ÁNH XA TUA-KHÔNG GIÃN

VéI ĐIEU KIfiN LIPSCHITZ VÀ

BÀI TOÁN BAT ĐANG THÚC

BIEN PHÂN

Trong chương này, ta se đ%nh nghĩa m®t ánh xa tna-không giãn (đưoc

ký hi¾u là ΦF ) vói m®t ánh xa thoa mãn đieu ki¾n L-Lipschitz Sau đó,

ta xét m®t trưòng hop đ¾c bi¾t cna ΦF xay ra trong bat đang thúc bien

phân khi song hàm

2.1 Đ%nh nghĩa cua ánh xa tEa-không giãn trên

m®t t¾p loi

C × C ⊆ domf := {(x, y) : f (x, y) < +∞}.

Chương 2 ÁNH XA TUA-KHÔNG GIÃN VáI ĐIEU KIfiN LIPSCHITZ VÀ

BÀI TOÁN BAT ĐANG THÚC BIEN PHÂN

Trong [18], các tác gia đã đ%nh nghĩa ánh xa T f : C −→ C đưoc xác đ%nh

Ta se quan tâm đen m®t trưòng hop đ¾c bi¾t cna ΦF xay ra trong bat

đang thúc bien phân khi song hàm