Luận văn thạc sĩ tính ổn định nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân afin suy rộng và ứng dụng

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊNNguyen Trang Anh TÍNH ON бNH NGHIfiM CUA BÀI TOÁN BAT ĐANG THÚC BIEN PHÂN AFIN SUY R®NG VÀ ÚNG DUNG LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC Hà

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN

Nguyen Trang Anh

TÍNH ON бNH NGHIfiM CUA BÀI TOÁN BAT ĐANG THÚC BIEN PHÂN AFIN SUY R®NG VÀ ÚNG DUNG

LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC

Hà N®i - 2018

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN

Nguyen Trang Anh

TÍNH ON бNH NGHIfiM CUA BÀI TOÁN BAT ĐANG THÚC BIEN PHÂN AFIN SUY R®NG VÀ ÚNG DUNG

Lài nói đau

Bàitoánbatđangthúcbienphân(VariationalInequalityProblem)rađòivàonhungnăm1960,ganlienvóicôngtrìnhcnaG.Stampacchia,J.L.Lions

Hi¾nnay,bàitoánbatđangthúcbienphânđãđưocpháttrienthànhnhieu dang khácnhau, ví du: bat đang thúc bien phân vector, tna bat đang thúcbienphân,giabatđangthúcbienphân,batđangthúcbienphânan

bu®c đa di¾n loi xác đ%nh boi nhieu hàm loi toàn phương huu han.

Lu¾nvăngomhaiphan.Phanm®tđưaracáckháini¾mmođauvebài

toánbatđangthúcbienphânafin.Phanhainóivetínhőnđ%nhnghi¾mcna bài toán bien phân afinsuy r®ng có thams o

Dothòigianthnchi¾nkhôngnhieu,kienthúccònhanchenênkhilàmlu¾nvănkhôngtránhkhoicácsaisót.Emmongnh¾nđưocsngópývàphanbi¾ncnaquýthaycôvàbanđQc

Xin chân thành cam ơn!

Mnc lnc

1.1 Bat đang thúcbienphân 6

1.2 Bàitoánbù 12

1.3 Bat đang thúc bienphânafin 14

1.4 Bài toán bùtuyentính 22

2 Tính on đ%nh cua nghi¾m bài toán bat đangthÉcbien phân afin suy r®ng cót h a m so 25 2.1 Batđangthúcbienphânafinsuyr®ng 25

2.2 Tínhnualiêntuctrêncnaánhxanghi¾m 28

2.3 Tínhnualiêntucdưóicnaánhxanghi¾m 33

2.4 Vàiketquavesnőnđ%nh 40

2.5 Úng dungchobài toán quyhoachtoàn phươngvóiràngbu®c toànphương 47

Các ký hi¾u viet tat

đ%nh boi toán tuϕvà t¾pΘ)

suy r®ng

-Fromovitz (MFCQ)

 





Chương 1

Bat đangthÉcbien phâna f i n

Trưóchet,chúngtaseđec¾ptóikháini¾mcnabàitoánbatđangthúc bien phânafinvàbài toán bù tuyentính

ChÉngminh:Layx∈ Θ))lànghi¾mđ%aphươngcna(1.2).CHQNγ> 0saocho

f(y)≥f(xˆ) vóiMQIy∈Θ))∩B(xˆ,γ)

Ta có đieu phai chúng minh (Đpcm)

Tù đó ta có đ%nh nghĩa cna bài toán bat đang thúc bien phân

Đ

%nhnghĩa1.1Neu Θ))⊂R n làm®tt¾ploiđóngkhácrőngvàϕ :Θ)→R n làm®tánhxachot rưácthìbàitoántìmx ˆthóamãn(1.3)đưac GQI làm®tbàitoánbatđangthúcbienphân ho¾cđơngianlàm®tbatđangthúcbienphân(viettatlàVI).Nóđưackýhi¾ulàVI (ϕ,Θ)))

.T¾pnghi¾mSol(VI (ϕ,Θ))))cuaVI(ϕ,Θ)))làt¾p MQI x ˆ∈Θ))thóamãn(1.3).

Nhưv¾y,tađãchirarangbàitoántoiưucóthedantóim®tbàitoánbatđangthúcbienphân,v¾yđiemkhácbi¾tcn a bàitoánbatđangthúcbienphânsovóicácbàitoánquy

Đ%nh lý 1.2([1]) Cho Θ)⊂R n là t¾p loi đóng khácrőngvàϕ:

Θ)→R n làtoántuliêntnc.Neutontaix ∗ ∈Θ))saocho

thì bài toánV I (ϕ,Θ))có nghi¾m.

Th¾tv¾y,đ¾tη=α||y−x ∗ ||,thevào( 1.7)tađưoc

(ϕ (y)−ϕ(x ∗ ),y−x ∗ )≥η||y−x ∗ ||vóiMQIy∈Θ))

Suy ra

(ϕ (y)−ϕ(x ∗ ),y−x ∗ )

||y−x ∗ || ≥ηvóiMQIy∈Θ))

Rõ ràng là neu ton taiα >0sao cho

(1.8)Thì(1.7)đưocthoamãn

Đ

%nhnghĩa1.2Neutontai α>0saocho(1.8)đưacthóamãnthìϕđưac GQI làđơnđi¾u manhtrên Θ)).Neuđieuki¾nyeuhơnsauđây

đưacthóamãnthìϕđưac GQI làđơnđi¾ung¾ttrên Θ)).

Neu đieu ki¾n

đưac thóa mãn thìϕđơn đi¾u trên Θ).

α =inf{v T Dv :v∈R n ,||v|| =1}

Tương tn, neu D là nua xác đ%nh dương thì bieu thúcϕ (x) =Dx+b,x∈Θ)

xác đ%nh m®t toán tu đơn đi¾u.

M¾nh đe 1.3Phát bieu dưái đây làđ ú n g :

(i) Neuϕlà đơn đi¾u ng¾ttrên Θ)thìbàitoánVI(ϕ,Θ)) không

thecóhơnm®tnghi¾m;

(ii) Neuϕlà liên tnc và đơn đi¾utrên Θ)khi đó t¾p nghi¾m cuabài

toánVI(ϕ,Θ)))làt¾ploiđóng(cóthelàt¾prőng).

Đe chúng minh m¾nh đe trên ta can đen bő đe sau

Bođe 1.1[1] Neu Θ)⊂R n là t¾p loi đóng vàϕ : Θ)→R n làtoántu

đơnđi¾uvàliêntnctheotiathìx ˆ∈Sol(VI(ϕ,Θ))))neuvàchsneuxˆ∈Θ))và

ChÉngminh:Đieuki¾ncan:Giasu xˆđơ

(ϕ (y),y−xˆ)≥0vóiMQIy∈Θ)).

⇒0≤(ϕ(xˆ+t(y−xˆ),y−xˆ) vóiMQIt∈(0,1).

Chot→ 0, doϕliên tuc nên ta thu đưoc

Doϕlà đơn đi¾u ng¾t nên theo (1.9)tac ó

(4) mâu thuan vói (1) nên ta có gia su phan chúng là sai.

(ii) Giasuϕlàliêntucvàđơnđi¾utrênΘ).VóiMQIy∈ Θ)),kíhi¾uΨ(y)làt¾pMQIxˆ

∈Θ))thoamãnbatđangthúc(ϕ(y),y−xˆ)≥0.RõrànglàΨ(y)là t¾p loi đóng Tù

Bő đe 1.1 tacó

y∈Θ

Do đóSol (VI(ϕ,Θ)))là t¾p loi đóng (có the rong) (Đpcm)

Θ)→R n là liên tuc, đơn đi¾u manh thì bài toánVI (ϕ,Θ))có duy nhat nghi¾m.

1.2 Bài toánb ù

Trongphannày,tasexétbàitoánbatđangthúcbienphântrongtrưòng hop t¾pràng bu®cΘ)làn ó n

4

M¾nh đe 1.4Neu Θ)là m®t nón loi đóng thìbàitoánVI(ϕ,Θ))cótheđưac

viet lai như sau

%nhnghĩa1.3Bàitoán (1.12)váiΘ))⊂R n làm®tnónloiđóngvàϕ :R n →R n đưackýhi¾

ulàNCP(ϕ,Θ)))vàđưac GQI làbàitoánbù(phituyen)xácđ%nhbáiϕvàΘ)).

1.3 Bat đangthÉcbien phâna f i n

Đ%nh nghĩa 1.4Cho D∈R n×n ,q∈R n , Θ)⊂R n là m®t t¾p loi đa

di¾n.Bàitoánbatđang thúc bienp h â n

đưac GQI làbàitoánbatđangthúcbienphânafin(viettatlàAVI).Bàitoánđưacxácđ

%nhbáit¾pduli¾u{D,q,Θ))}vàđưackýhi¾ulàAVI(D,q,Θ))).T¾pnghi¾mcuabàitoá

nnàyđưacviettatlàSol (AVI(D,q,Θ)))).

Bài toán quy hoach toàn phương có the dan đen bài toán AVI đoi xúng,

cu the như sau:

lý3.3[2].Takíhi¾uA i làhàngthúicnaAvàb i làthànhphanthúicnavéctơ

hi¾uI ={1, ,m},I0={i∈I:(a i ,x ˆ)=b i }vàI1={i∈I:(a i ,x ˆ)>b i }.

Vói bat kỳv∈R n thoa mãn

(a i ,v)≥0vóiMQIi∈I0,

dethayrang ton taiθ1>0saocho

t(a i ,v)≥ 0 vóiMQIi∈Ivàt∈ (0,θ1)

⇒(a i ,x ˆ)+(a i ,tv)≥b i

⇒(a i ,x ˆ+tv)≥b i vóiMQIi∈Ivàt∈ (0,θ1)

vói bat kỳv∈R n thoa mãn

(−a i ,v)≤0vóiMQIi∈I0.

σ ˆ≥0

,

(1.19)

Đ%nh lý 1.4T¾pnghi¾m cuabàitoánbatđang thúc bien phân afin là haphuu han

cuacáct¾p loi đad i ¾ n

Cođ%nht¾p conI0⊂Ivà kýhi¾uQ I0là t¾p tat ca(x, σ)thoa mãn(1.21).

Rõ ràng làQ I0là m®t t¾p đa di¾n loi Tù đó ta có

[

VóiPrR n (x,σ):=x DoPr R n (.) :R n ×R m →R n là m®t toán tutuyen

tính,vóiMQII0⊂I,P r R n( Q I0)làm®tt¾ploiđadi¾n.Tù(1.22)tacó

H¾ qua 1.3Nhung phát bieu sau đây là đúng đan:

(i) T¾pnghi¾m cua m®tbatđang thúc bien phân afinbatkỳ là m®t

%ChÉngminh:Phát bieu (i)đưocsuy ra tù bieu thúc(1.22)vìvóibat

kỳch¾nthìtheo(1.22)nókéotheosntontaicnam®tt¾pchisoI0⊂Isaocho

0 0

n

MQIt≥0.V¾ylàtađãchúngminhbàitoán(1.13)cóm®ttianghi¾m.

chisoI0⊂Isaochot¾p loi đa di¾nΨI0xác đ%nh bang(1.23)làvôhan.

NeuSol (AVI(M,q,Θ)))làvôhan thì tù(1.22)ta suy ra rang có m®t t¾p

Đ%nh lý 1.5[5]T¾pnghi¾m cua (1.13)là khôngb%ch¾n neu và chs neu ton

tai m®tc¾p (v,u0)∈R n ×R n ,v 0,u0∈Sol (AVI(D,q,Θ)))saocho:

(ii) (Du0+q) T v =0;

(iii) (Dv,yưu0)≥ 0vái MQI y∈ Θ)).

ChÉngminh:Đieu ki¾n đu:Gia su rang có m®tc¾p (v, u0)∈R n ×R n ,vƒ=

0, u0∈Sol (AVI(D,q,Θ))),saocho(i)-(iii) đưoc thoa mãn.Đ¾tx t =u0+tv,t

> 0.Laybat kỳy∈Θ), ta suy ra tù (i)-(iii)rang

(Dx t +q, yưx t ) =(D(u+tv) +q, yư(u+tv))

nghi¾m là không b%ch¾n.

(1.22),tontaiI0⊂Isaochot¾pΨI0xácđ%nhboi(1.23)làkhôngb

dungĐ%nhlý 8.4 [14] ta có the chúng minh rang ton taiv∈R n ,vƒ=0,

vàu0∈ΨI sao cho

nghĩa làv∈θ (A) Tù(1.25)tac ó

.D (u0+tv)+q,y−(u0+tv)Σ≥ 0vóiMQIy∈ Θ)).

(1.26)Cođ%nhy∈ Θ))tasuyratù(1.26)rang

Đieunày chira rangv∈l (D).They=u0vào(1.26)t a c ó

.D (u0+tv)+q,ưtvΣ≥0vóiMQIy∈Θ)).

They =u0+t2vvóit > 1vào(1.26)ta đưoc

.D (u0+tv)+q,t2vưtvΣ≥0vóiMQIy∈Θ)).

Tù (1) và (2) ta có (ii) đưoc thoa mãn

Tù(1.26),(1.28)và(ii),vóiMQIy∈Θ))tacó

=(Du0+q, yưu0) +t(Dv, yưu0)

vóiMQIt>0.Đieunàycónghĩalàbatđangthúc(Dv,yưu0)≤0phailàsai.V¾ytacó

0

Ta có the rút ra vài đieu ki¾n đn đe cho(1.13)có t¾p nghi¾m compact.

H¾ qua 1.4Bàitoán (1.13)cót¾p nghi¾mcompact (cóthe là

t¾prőng)neum®ttrongcácđieu ki¾n sau đâyđưac thóam ã n :

1.4 Bài toán bùtuyentính

Giò chúng ta se xét m®t trưòng hop đ¾c bi¾t cna bài toán(1.12).

Đ%nhnghĩa 1.7bàitoán (1.12)váiΘ) =R n vàϕ (x) =Dx+qváiD∈R n×n

vàq∈R n đưackýhi¾ulàLCP(D,q)vàđưac GQI làbàitoánbùtuyentínhxácđ

%nhnghĩa1.8Neu Θ))làm®tnónloiđadi¾nvàtontaiD∈R n×n ,q∈R n saochoϕ (x)=

Dx +qvái MQI x∈ Θ))thì(1.12)đưac GQI làm®tbàitoánbùtuyentínhsuyr®ngvàđưack ýhi¾ulàGLCP(D,q,Θ))).

Tùđ%nhnghĩaphíatrêntathayrangbàitoánbùtuyentínhsuyr®nglà m®ttrưònghopđ¾cbi¾tcnabàitoánAVI.SosánhĐ%nhnghĩa1.8vàĐ%nh

+

nghĩa 1.7 tathaym®t đieu rang cau trúc cna bài toán GLCP rat

giongvóibài toánLCP.Đieunàygiaithíchvì sao nhieuketqua cna LCP có the

úng dungchobài toánGLCP

toán bù tuyen tính LCP(D,q) Dov¾y,bài toán bùthuyentính là bài m®t

bài toánAVIloai đ¾cb i ¾ t

Đ%nh lý 1.5 có the áp dung cho bài toán LCP như sau

ton tai m®tc¾p(v, u0)∈R n ×R n ,vƒ = 0, u0∈Sol (D,q)sao choM¾nh đe

1.5[11]T¾pnghi¾m cua (1.30)là khôngb%ch¾n neu và chsneu

(i)v≥ 0,Dv≥0, v∈l(D);

(ii) (Du0+q) T v =0;

(iii) (Dv,u0) =0.

H¾ qua 1.4 có the áp dung cho bài toán LCP như sau

H¾ qua 1.5Bàitoán (1.30)cóm®t t¾p nghi¾mcompact (cóthe là t¾prőng)neu

và chs neu m®ttrongcácđieu ki¾n sauđưac thóamãn:

(0,v2)∈R2:v2≥ 0}.Trongđieu ki¾n (ii)trongM¾nh đe 1.5, không mat tőng

quát ta giasuv = (0,1) De thayrangkhôngcóu0≥ 0sao cho(Du0+q) T v=

0và(Dv,u0) = 0.TheoM¾nh đe 1.6, Sol(D,q) là t¾pcompact.

(iii)trongM¾nhđe1.5đưacthóamãnneuta CHQN v =(0,1)vàu0=(1,0).TheoM¾nh

đe1.5,Sol(D,q)làt¾pkhôngb%ch¾n.

Θ+

Chương 2

Tính on đ%nh cua nghi¾m bài toán

bat đangthÉcbien phân afin suy r®ng

có thams o

2.1 BatđangthÉcbienphânafinsuyr®ng

Trưóchettađưarađ%nhnghĩacnabàitoánbatđangthúcbienphânafin suy r®ng nhưs au

Đ%nh nghĩa:ChoΘ)⊂R n là t¾p loi đóng khác rong, ta có bài toánb a t

đang thúc bien phân afin suy r®ng (GAVI) là

Tìmx∈Θ))saocho(Dx+q,y−x)≥0, vóiMQIy∈ Θ)).

||x k || −1 x k →v ˆthìvˆ∈recF(ω).

lànuaxácđ%nhdươngtacóvˆT D i v ˆ=0,nghĩalàx=vˆlànghi¾mcnabàitoán toi

ưu không ràng bu®c

neu ton taiv0∈R n sao cho

(D i x ˆ+q i)T v0<0 vóiMQIi∈I (xˆ,ω),

VóiI (xˆ,ω):={i∈{1, ,m}:g i (xˆ,D i ,q i ,c i )=0}làt¾pchisoràngbu®c

hi¾u dung

KhiD i (i=1, ,m)lànuaxácđ%nhdươngthì(SCQ)tươngđươngvói(MFCQ),

ta cóbőđe sauđây

Bo đe 2.3XétbàitoánVI(D,q, ω) Gia su bieu thúc (2.1)thóamãn (SCQ).Khi

đóx∈Sol (D,q, ω)neu và chs neu ton taiλ∈R m thóam ã n :

%F :R n ⇒R s đưocGQIlànualiêntuctrêntaix∈R n neuvóimoit¾pmoVchúaF(x)tont

aiδ> 0saochoF(x¯)⊂VvóiMQIx ¯thoamãn||x¯−x||<δ.

Ký hi¾u

Ket qua dưói đây cung cap m®t đieu ki¾n đn cho tính chat nua liên tuctrên cna ánh xa nghi¾m Sol(.)

Σ

i i i i=1

Đ%nhlý2.1XétbàitoánVI(D,q, ω)vái(Dˆ ,q ˆ,ωˆ)∈P Neubieuthúc(2.1)

thóamãn(SCQ)taiω ˆvà

thìSol(.)lànualiêntnctrêntai (Dˆ,qˆ,ωˆ).

ChÉngminh:GiasuphanchúngrangSol(.)khôngphailànualiêntuctrêntaiω ˆ.

ˆ,qˆ,ωˆ)vàm®tdãy{x k }vóix k ∈Sol (D k ,q k ,ω k )thoamãnx k ∈/

Trưàng hap 1:{x k }b%ch¾n Khi đó, ton tai m®t dãy{k i } ⊂ {k}sao cho

.Σ

Chúý 2.1TheoĐ%nh lý 2.1, (SCQ) và (2.10)là đieu ki¾n đu cho sn nualiên

tnctrêncua ánh xa nghi¾m Sol(.) Nhưngca(SCQ) và (2.10)đeu

khôngphailàđieuki¾ncanchotínhchatnualiêntnctrêncuaánhxanghi¾mSol( )

Đieu này đưac chs ra trong ví dn sau đây:

ω ˆ.Vái MQI t∈R chop t =

Sol(p t)= { ∅ 1 +t}neut≤0 neuk h á c Sol (p t )⊂Uváimőitthóamãn|t|

<δ.Khiđó,Sol (Dˆ,qˆ,Dˆ1,qˆ1,cˆ1,Dˆ2,qˆ2, )Khiđó,váimőit¾pmáUchú

aSol (Dˆ,qˆ,ωˆ)={1}tontaiδ>0saocholànualiêntnctrêntaicˆ2.

Ví dn 2.3Xét bài toán V I (D, q, ω)váin= 2, m= 2,

Σ

.Σˆ

cˆ1

=

1,

ChÚng minh:Neucahai đieu ki¾n (i) và (ii) đeu

xayrathì (2.10)làthóam ã n Khiđó,theoĐ

%nhlý2.1,h¾quađưacchúngminhlàđúng.

2.3 TínhnEaliêntncdưáicuaánhxanghi¾m

M®thàmđatr

%F :R n ⇒R s đưocGQIlànualiêntucdưóitaix∈R n neuF (x)ƒ=∅vàvóimoit¾pmoVth

x ¯−x||<δ.

Trong phan này, vói moi (r,A,b)∈ (R+\{ 0})×R m×n ×R m ,ta ký hi¾u

h0(x,r):=x2−r2≤0,h i (x,A i ,b i ):=A i x+b i ≤ 0.

(2.14)XétlópbàitoánVI(D,q,ω)đưockýhi¾ulàVI(D,q,r,A,b)dưóiđây

vóiMQIy∈F (r,A,b)

Γ :=R n×n ×R n × (R+\{ 0})×R m×n ×R m

Bo đe 2.4Neu bieu thúc (2.14)không thóa mãn (SCQ) tai (r,A,b) thì ton

taib k →bsao cho, vái mői k,t¾pF (r,A,b k )làrőng.

ChÉngminh:Gia su bieu thúc(2.14)không thoa mãn (SCQ) tai (r,A,b)

Khiđ ó , chob k →bs a o chovóimo ik , b k >b Co đ% nh x ∈ R n,t a c ó

h0(x,rˆ)≥0ho¾ch j (x,A j ,b j )≥0vóij∈{1, ,m}.Xétbatrưònghop

sau:

Trưànghap1:Tontaij∈{ 1, ,m}saochoh j (x,A j ,b j )≥0.Khiđó,tasu

yrarangA j x+b k >A j x+b j ≥ 0,dođóx∈/F(r,A,b k ).

Trưànghap2:h0(x,r)=0vàh j (x,A j ,b j )<0vóiMQIj∈{ 1, ,m}.Khiđó,t

ontaim®tdãy{x k }saochox k →xvàh0(x k ,r )<0.Dođó,vóikđnlón,Ax k +b< 0.Đieuđócónghĩalàbieuthúc(2.14)thoamãn(SCQ).

Đieu đó mâuthuan vóigia thiet rang(2.14)không thoa mãn( S C Q )

Trưànghap3:h0(x,r)>0vàh j (x,A j ,b j )<0vóiMQIj∈{ 1, ,m}.

Khiđó,tacóx∈/F (r,A,b k)

Tù 3 trưòng hop trên, ta cóF (r, A, b k)là rong (Đpcm)

Ketquadưóiđâybieuth%đ¾ctínhnualiêntucdưóicnaánhxanghi¾m cna bàitoánV I ( D , q , r , A , b )

→ˆbsaocho,vóimoik,F (rˆ,Aˆ,b k )làrong.ĐieunàycónghĩalàSol(Dˆ,qˆ,rˆ

,Aˆ,b k )=∅vóiMQIk∈N.Khiđó,Sol (Dˆ,.,rˆ,Aˆ,.)khôngthelànualiêntucdư

đúng cnaR n ×R m Neut∈TthìdetM K (t)= 0;Do đó,C0K (t)cũng là không

R n ×R m Tùđó,tontaim®tdãy{ (q s ,b s )}⊂R n ×R m h®itutói (qˆ,ˆb)sao

Xét ba trưòng hop sau:

Trưànghap1:λ s ∈/T∩{ 0}vóivôcùngnhieugiátr%cnas.Khôngmat

tőngquáttacóthegiasurangλ s ∈/T∩{ 0}vóiMQIs.Tùλ s khôngphailàm®tgiátr

%riêngcnaDˆ ,tacó

detM0J (λ s )=det(Dˆ+λ s I )det(−Aˆ T (Dˆ+λ s I)−1 Aˆ ).

Dˆ+

J

λ s I)−1 Aˆ )=|J|.Đieuđókéotheodet(Aˆ T (Dˆ+λ s I)−1 Aˆ )ƒ= 0.Đieu đó có

nghĩalàdetM0J (λ s )ƒ=0vóiMQIs.Tù(2.20)tathuđưoc

s −1.−q sΣ

J j

ˆ,Aˆ,ˆb).Khiđó,tontaiv∈R n sao cho

xˆT v< 0vàAˆ j v<0 vóiMQIj∈J.

Đieu đó có nghĩa là

λˆxˆT v≤ 0vൈAˆ j v≤ 0 vóiMQIj∈J.

Trưànghap 2:λ s ∈Tvóirat nhieu giá tr% cna s Không mat tőngq u á t ,

giasuλ s ∈TvóiMQIs.KhiTlàhuuhan,giasuλ s =λˆ

s Tù(2.20)kéo theo

vóiλ s ∈TvóiMQI

Đieu này có nghĩa lൠs

J h®itutóivàiµˆJ ∈ R.Tùx s h®ituđenxˆ,tacó

H¾qua2.2Xétbàitoán VI (D,q,r,A,b)và(Dˆ,qˆ,rˆ,Aˆ,ˆb)∈Γ.Giasurang

Aˆcóhangđayđu.Neuhàmđatr

%Sol(.)lànualiêntncdưáitai (Dˆ,qˆ,rˆ,Aˆ,ˆb)thìbieuthúc(2.14)thóamãn(SC Q)tai (rˆ,Aˆ,ˆb)vàSol(Dˆ,qˆ,rˆ,Aˆ,ˆb)làhuuhan.

đieu ki¾n dưái đâyđưac thóamãn:

(i) Sol (γˆ)làhuuhan;

Tù| | x||< r ˆvàAˆx+ˆb<0,tontaiδ1> 0vàm®tlânc¾n moV x ⊂U x

≤

Dođó,(2.25)thoamãnvóiMQIγ ¯∈Γthoamãn||γ¯−γˆ||<δ.

Tiep theochúngta se xét trưòng hop (ii) đưoc thoa mãn L¾p lai lýlu¾n

vái MQI dãy{x k }∈F (ωˆ)thóamãn||x k ||→∞.

Thì bon phát bieu sau là tương đương:

(b1)Tonta%m®tsoγ>0saochoSol(D¯,q¯,ω¯)làkhácrőngvái MQI (D¯,q¯,ω¯)∈Pthóamãn||(D¯,q¯,ω¯)−(Dˆ,qˆ,ωˆ)||<γ;

saocho||y k ||→∞.Khôngmattőngquát,tagiasu||y k || −1 y k →hˆvói

Dođó(Dˆ hˆ,hˆ)≤0.Tùgiathiet(a2)tacó(Dˆhˆ,hˆ)≥0.Tùđó(Dˆhˆ,hˆ)=0.

Tù gia thiet(a1), tac ó

2( hˆ,hˆ)< 0vóiMQIz∈F (ω¯)=F(ωˆ).

ĐieunàychiraSol ((D¯,q¯,ω¯))= ∅ ,mâuthuanvóigiathiet(b1).Dođó,

≥

uhˆ∈recF (ωˆ)\{0}saocho

DoSol (Dˆ,qˆ,ωˆ)làkhácrong,tontaixˆ∈Sol(Dˆ,qˆ,ωˆ).Layz k :=xˆ+khˆvói

k =1,2, Dohˆ∈recF(ωˆ),tacóz k ∈F (ωˆ)vóiMQIkvà||z k ||→ +∞

%ch¾n,mâuthuanvóigiathiet(b2).Dođó(b3)đưocthoamãn.Tùđó,z k ∈Sol (Dˆ,q

(b3)⇒(b1): Gia su rang(b3)đưoc thoa mãn Đethuđ ư o c m ® t s n

{ (D k ,q k ,ω k )}⊂Psaocho(D k ,q k ,ω k )→(Dˆ,qˆ,ωˆ)vàSol(D k ,q k ,ω k )=∅

vóiMQIk.Tùgiathiet(2.1)thoamãn(SCQ)taiωˆ,F(.)lànualiêntucdưói

ki,k k i,k i,k

taiωˆtacóvóiMQIx ˆ∈F(ωˆ),vóis>0,tontaik0saochoF (ω k )∩B(xˆ,s)ƒ=∅

vóiMQIk≥k0.Vìthe,tontaii0saocho

làkhácrong,compactvàloivóiMQIi≥i0

.Ápdungđ%nhlýHartman-StampacchiachoVI (D k ,q k ,Z i,k)thuđưoc

Sol (D k ,q k ,Z i,k )=ƒ ∅vóiMQIi≥i0,k≥k0.

Cođ%nhbat kỳx i,k ∈Sol (D k , q k , Z i,k)ta có

(2.35)Giòtasechúngminhrang||x i,k ||

= i.Th¾tv¾y,giasuphanchúngrang

||x i,k || =i.Khi đó, ton ta%α >0sao cho

B¯ (x k,i ,α ):={x∈R n :||x−x i,k ||≤α}⊂{x∈R n :||x||≤i}.

Tù(2.35),

(D k x i,k +q k ,z−x i,k )≥0 vóiMQIz∈F (ω k )∩Bˆ(x i,k ,α ). (2.36)

DoF (ω k )là loi vàα >0,vói moiz∈ F(ω k )ton tait∈(0,1)sao cho

z (t):=x i,k +t(z−x i,k )∈F(ω k )∩B¯(x k,i ,α ).

Thez (t)vàoz trong(2.36)tac ó

0≤ (D k x i,k +q k , z (t)−x i,k ) =t(D k x i,k +q k , z−x i,k ).

Tùđótacó(D k x i,k +q k ,z−x i,k )≥ 0vóiMQIz∈F (ω k ).Vìthe,x i,k ∈

Dov¾y,||x i,k ||

=ivóiMQIi≥i0vàk≥k0.Sol (D k ,q k ,ω k )mâuthuanvóigiathietrangSol(D k ,q k

,ω k )=∅vóiMQik

Co đ%nh bat kỳi≥i0.Khi đó{x i,k },k≥k0có m®tdãycon h®i tu.Không

mattőngquát,giasulimk→∞ x i,k =x i vóix i ∈F (ωˆ)và||x i || = i Cho

k→ ∞trong bieu thúc (2.35)ta đưoc

(Dˆ x i +qˆ,z−x i )≥0vóiMQIz∈Z i :=F(ωˆ)∩{x∈R n :||x||≤i}.(2.37)