Luận văn thạc sĩ tiếp cận một số bài toán hình học sơ cấp bằng hình học xạ ảnh

Trong m®t phép bien đői xa anh loai hybebolic cua đưàng thang, hai điem bat đ®ng cùng vái c¾p điem tương úng tao thành bon điem có ts so kép không đői.. Trong m®t phép bien đői xa anh lo

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ

NHIÊN

NGUYEN VĂN SƠN

TIẾP CẬN MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC SƠ CẤP

lóp hai 10

anh giua hai dang cap m®t b¾c hai, lóp hai 111.4Ánh xa xa anh giua hai dang cap hai 151.4.1Phép c®ng tuyen giua hai trưòng điem 15

1.4.2 TQA đ® xa anh 151.4.3 B ổ sung phan tu ao vào m¾t phang xa anh thnc 171.4.4 Phép đoi xa, nguyên tac đoi ngau171.4.5 Cnc và đoi cnc 18

2 Ứng dụng hình học xạ ảnh trong hình học sơ cấp 19

2.1Một số bài toán chứng minh đồng quy song song, thẳng hàng 19

2.2Một số bài toán chứng minhđại lượng không đổi hoặc chứng minhđẳng thức liên quan đến độ dài đoạn thẳng 30

2

2.3 toánBài chứng minh đường thẳng luôn đi qua một điểm cố định 42

2

4 Bài toán quỹ tích và hình bao 45

2 .5 Một số bài toán dựng hình 51

2.6 Mộtsố tính chất Euclide đặc trưng của phép biến đổi xạ ảnh

eliptic trên đường thẳng và đường tròn

56 2.7 Một số cách tiếp cận và mở rộng hình học xạ ản h 59

2.7.1 Dùng

hình học afin để nghiên cứu hình học Euclid 59

2.8 Dùng hình học afin và hình học Euclide 68

2.8.1Giải một số bài toán của hình học xạ ảnh 68

2.8.2Phát hiện sự kiện mới của hình học xạ ảnh 70

2.9 Mở rộng định lý Steiner và định lý Fre'gier 77

Ket lu¾n 83

Tài li¾u tham khao 84

3

Ma đau

Hình học xạ ảnh là môn hình học tổng quát sử dụng công cụ tuyến tính Nhiềuđịnh lý hình học nổi tiếng cũng như nhiều bài toán hình học hay trở nên đơn giảndưới góc nhìn của hình học xạ ảnh Vì vậy, sử dụng hình học xạ ảnh là công cụ hữuhiệu trong việc nghiên cứu, giảng dạy và bồi dưỡng học sinh năng khiếu về hìnhhọc ở trường phổ thông

Mục đích của luận văn này là trình bày một số khái niệm trong mặt phẳng xạ ảnhảnh của mặt phẳng afin, Euclide và đặc biệt là ứng dụng hình học xạ ảnh để địnhhướng cho lời giải sơ cấp của các bài toán hình học

Nội dung chính của luận văn được trình bày trong hai chương:

Chương 1 Cơ sở lí thuyết hình học xạ ảnh phẳng

Trong chương này, tác giả trình bày tóm lược các kiến thức cơ sở về mặt phẳng

xạ ảnh và các khái niệm xạ ảnh nghịch đảo, xạ ảnh giữa hai dạng cấp một bậc nhất

và bậc hai, ánh xạ xạ ảnh giữa hai dạng cấp một bậc hai Ngoài ra để khai thác đượcnhiều ứng dụng của hình học xạ ảnh, tác giả sử dụng mô hình xạ ảnh afin, Euclide

có bổ sung các phần tử vô tận

Chương 2 Ứng dụng hình học xạ ảnh trong hình học sơ cấp

Đây là chương chính của luận văn trình bày về ứng dụng của mặt phẳng xạ ảnh và

mô hình của mặt phẳng xạ ảnh afin, Euclide vào việc chứng minh một số định lý vàgiải bài toán hình học sơ cấp thông qua các ví dụ được chọn và phân loại thành nhữngdạng toán khác nhau, mục này cũng đề xuất và chứng minh một tính chất đặc trưngcủa phép biến đổi xạ ảnh eliptic trên đường thẳng và trên đường tròn Phần cuối củachương trình bày mở rộng định lí Steiner, Fre'gier

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn, chỉ bảo rất tận tình củaPGS.TS Vũ Đỗ Long Tác giả cũng xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắcđến thầy về sự giúp đỡ quý báu này Nhân đây tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết

ơn chân thành tới thầy Nguyễn Vũ Lương, Đỗ Thanh Sơn đã giúp đỡ tạo điềukiện cho tác giả trong quá trình thực hiện luận văn này

Mặc dù bản thân đã có cố gắng nhiều trong quá trình thực hiện nhưng luậnvăn không thể trách khỏi những thiếu sót Rất mong được sự chỉ bảo, góp ýcủa các quý thầy cô và các bạn đồng nghiệp

Xin chân trọng cảm ơn

Hà Nội, tháng 1 năm 2017 Người viết luận văn: Nguyễn Văn Sơn

Hình HQc xa anh chuyên nghiên cúu các tính chat xa anh cna các hình, túc

là các tính chat bat bien qua phép chieu xuyên tâm (xem muc 1 2.2), chang hannhư tương quan đong quy, thang hàng, tính chat chia đieu hòa, tính suy bienhay không suy bien cna đưòng b¾c hai, Các khái ni¾m đưoc xét trong cácđ%nh lí cna hình hQc xa anh cũng đeu là nhung khái ni¾m xa anh, chang hannhư điem, đưòng thang, tam giác, tú giác toàn phan, đưòng cong b¾c hai, ti sokép, Trong hình HQc xa anh, ngưòi ta thưòng nghiên cúu nhung ánh xa tùm®t t¾p hop đoi tưong (điem, đưòng thang, m¾t phang) này sang m®t t¾p hopđoi tưong khác Các t¾p hop đoi tưong đó đưoc GQi là nhung dang.

1 Các dang cap m®t b¾c nhat

Đ%nh nghĩa 1.1.1 Hàng điem thang là t¾p hap tat ca các điem cùng thu®c

m®t đưàng thang Đưàng thang này đưac GQI là giá cua hàng điem Mői giá có the chúa nhieu hàng điem khác nhau.

Đ%nh nghĩa 1.1.2 Chùm đưàng thang là t¾p hap tat ca các đưàng thang

trong m¾t phang và cùng đi qua m®t điem Điem này đưac GQ i là giá (hay tâm) cua chùm Mői giá có the chúa nhieu chùm đưàng thang khác nhau.

2 Các dang cap hai

Đ%nh nghĩa 1.1.3 Trưàng điem là t¾p hap tat ca các điem cùng thu®c

m®t m¾t phăng đã cho M¾t phang này đưac GQI là giá cua trưàng M®t giá có the chúa nhieu trưàng điem khác nhau.

Đ%nh nghĩa 1.1.4 Trưàng đưàng thang là t¾p hap tat ca các đưàng thang

cùng thu®c m®t m¾t phăng đã cho M¾t phang này đưac GQI là giá cua trưàng M®t giá có the chúa nhieu trưàng đưàng thang khác nhau.

Đe nghiên cúu hình HQc xa anh, có the dùng nhung khái ni¾m và tính chatkhông xa anh cna nhung hình hQc khác (hình HQc afin, hình HQc Euclide, ) làmphương ti¾n ho¾c nghiên cúu đ®c l¾p

Theo cách thú nhat, ta xem nhung tính chat xa anh là m®t b® ph¾n lan vàotrong nhung tính chat khác cna hình HQc afin và hình HQc Euclide, sau đó sudung kien thúc cna nhung hình HQc này đe nghiên cúu, sau cùng, ta the hi¾ncác ket qua thu đưoc dưói dang xa anh đe đưoc nhung ket qua cna hình HQc xaanh

Theo cách thú hai, ta xây dnng hình HQc xa anh thành m®t môn đ®c l¾p,hoàn toàn không dùng gì đen các tính chat không xa anh làm phương ti¾n

Moi cách nói trên đeu có nhung ưu điem riêng, cách thú nhat thì tn nhiên(phù hop vói l%ch su phát trien cna hình HQc) và gan gũi vói toán phőthông hơn, còn cách thú hai thì lai khoa HQc hơn và ti¾n loi hơn Nhungkien thúc đưoc trình bày trong chương này là theo đưòng loi thú nhat

1.2 Ánh xa xa anh giEa hai dang cap m®t b¾c

nhat

Đ%nh nghĩa 1.2.1 Cho bon điem A, B, C, D thang hàng trên đưàng thang ∆.

CA Trên ∆ ta CHQ n m®t đơn v% dài và m®t hưáng dương Ts so giua hai ts so và

CB DA

đưac GQI là ts so kép cua bon điem thang hàng A, B, C, D và đưac ký hi¾u DB

là (ABCD) Như v¾y

(ABCD) = : =

Neu ti so kép (ABCD) = 1 thì ta nói c¾p điem C, D chia đieu hòa c¾p

điem A, B Khi đó ta cũng nói bon điem A, B, C, D l¾p thành m®t hàng điem đieu hòa, hay c¾p điem A, B và c¾p điem C, D liên hap đieu hòa vái nhau.

Đ%nh nghĩa 1.2.2 Cho bon đưàng thang a, b, c, d đong quy tai điem O Khi đó m®t cát tuyen bien thiên, cat chùm bon đưàng thang đó tai bon điem

A, B, C, D có ts so kép không đői Ts so kép không đői này đưac GQI là ts so kép cua chùm bon đưàng thang đã cho, ký hi¾u là (abcd) hay (OA, OB,

OC, OD).

Neu ti so kép (abcd) = 1 thì ta nói c¾p đưòng thang c, d chia đieu hòa

c¾p đưòng thang a, b Khi đó ta cũng nói bon đưòng thang a, b, c, d l¾p

thành m®t chùm đieu hòa, hay c¾p đưòng thang a, b và c¾p đưòng thang c,

d liên hap đieu hòa vái nhau.

Đ%nh lí 1.2.1 Trên mői đưàng chéo cua tú giác toàn phan, hai đsnh đoi di¾n

chia đieu hòa hai giao điem cua đưàng chéo đó vái hai đưàng chéo còn lai.

Đ%nh lí 1.2.2 Tai mői điem chéo cua m®t hình bon đsnh toàn phan, hai canh

chia đieu hòa hai đưàng thang noi điem chéo đó vái hai điem chéo còn lai.

1.2.2 Ánh xa xa anh giEa các hàng điem và giEa các

chùm đưàng thang

Đ%nh nghĩa 1.2.3 Cho hai đưàng thang d, d J cat nhau tai điem I và m®t điem S nam ngoài hai đưàng thang đó Vái mői điem M thu®c d, ta cho úng vái điem M J thu®c d J sao cho S, M, M J thang hàng Tương úng đó là m®t song ánh tù d lên d J , nó đưac GQI là phép chieu xuyên tâm, vái tâm S, tù d lên d J

Đ%nh nghĩa 1.2.4 Cho hai chùm đưàng thang tâm O và O J và m®t đưàng thang s không đi qua O, O J Vái mői đưàng thang m thu®c chùm

(O), ta cho tương úng vái đưàng thang m J cua chùm (O J ) sao cho s, m, m J

đong quy Tương úng đó là m®t song ánh tù chùm (O) lên chùm (O J ), nó đưac

GQI là phép chieu xuyên trnc, vái trnc s, tù chùm (O) lên chùm (O J ).

Đ%nh nghĩa 1.2.5 M®t song ánh giua hai dang cap m®t đưac GQI là m®t ánh xa xa anh neu nó bao toàn ts so kép.

Theo đ%nh nghĩa trên thì phép chieu xuyên tâm và phép chieu xuyên trucđeu là nhung ánh xa xa anh Phép chieu xuyên tâm và phép chieu xuyên trucđưoc gQI chung là ánh xa phoi canh Sau đây là m®t so tính chat cơ ban cnaánh xa xa anh và ánh xa phoi canh

Đ%nh lí 1.2.3 M QI ánh xa xa anh f : ∆ −→ ∆ J giua hai đưàng thang ∆, ∆ J vái

∆ ƒ= ∆ J là tích cua hai phép chieu xuyên tâm.

−

−

Đ%nh lí 1.2.3’ M QI ánh xa xa anh f : O −→ O J giua hai chùm đưàng thang tâm O, O J vái O =ƒ O J là tích cua hai phép chieu xuyên trnc.

Đ%nh lí 1.2.4 Đieu ki¾n can và đu đe m®t ánh xa xa anh giua hai đưàng thang

phân bi¾t trá thành m®t phép chieu xuyên tâm là giao điem cua hai đưàng thang

đó tn úng.

Đ%nh lí 1.2.4’ Đieu ki¾n can và đu đe m®t ánh xa xa anh giua hai chùm

đưàng thang phân bi¾t trá thành m®t phép chieu xuyên trnc là đưàng thang đi qua hai tâm cua chúng tn úng.

Đ%nh lí 1.2.5 Cho ba điem phân bi¾t A, B, C bat kỳ trên đưàng thang ∆ và

ba điem phân bi¾t A J , B J , C J bat kỳ trên ∆ J Ton tai duy nhat ánh xa xa anh f bien A, B, C theo thú tn thành A J , B J , C J

Đ%nh lí 1.2.5’ Cho ba đưàng thang phân bi¾t a, b, c bat kỳ thu®c chùm

(O) và ba đưàng thang phân bi¾t a J , b J , c J bat kỳ thu®c chùm (O J ) Ton tai

duy nhat ánh xa xa anh f bien a, b, c theo thú tn thành a J , b J , c J

1.2.3 Quan hệ ánh xa xa anh giEa hai dang cap m®t bậc nhất

bang TQA đ® Descartes

Trong hình HQc xa anh ngưòi ta thưòng dùng m®t loai TQA đ® riêng, đó là

TQ a đ® xa anh Trong muc này ta se dùng TQA đ® Descartes thông thưòng làmcông cu trung gian đe nghiên cúu m®t so tính chat cna ánh xa xa anh giua haidang cap m®t b¾c nhat Tuy nhiên o đây, đưòng thang Euclide đã đưoc bősung m®t điem xa vô t¾n mà ta gán cho hoành đ® ( hay + cũng chim®t điem xa vô t¾n cna đưòng thang đó)

Đ%nh lí 1.2.6 Cho hai điem M, M J lan lưat nam trên hai trnc ∆, ∆ J có hoành đ® tương úng là x, x J Đieu ki¾n can và đu đe có m®t ánh xa xa anh f :

∆ ∆J là giua x và x J có m®t liên h¾ nhat bien:

x J = a x + b

Tù (1.1) ta se thiet l¾p đ¾c trưng Euclide - đ¾c trưng hình hQc velưong theo nghĩa Euclide cna ánh xa xa anh giua hai đưòng thang, tù đó ta

có the v¾n dung đưoc vào m®t lóp bài toán hình hQc sơ cap Trưóc het ta đưa

ra đ%nh nghĩa sau ve điem giái han.

Đ%nh nghĩa 1.2.6 Cho ánh xa xa anh f : ∆ ∆ J G Q i J J là điem cua hàng

∆J , úng vái điem xa vô t¾n trên hàng điem ∆ và g QI I là điem cua hàng ∆, úng vái điem xa vô t¾n trên hàng điem ∆ J Hai điem I, J J đưac GQI là hai điem giái han.

H¾ thúc sau đây the hi¾n đ¾c trưng ve lưong cna ánh xa xa anh giua haiđưòng thang.

Đ%nh lí 1.2.7 Cho ánh xa xa anh f : ∆ ∆J , M M J Neu CHQN các điem giái han I, J J tương úng trên ∆, ∆ J làm goc hoành đ® thì ta luôn có

Như v¾y trong mô hình afin hay mô hình Euclide cna m¾t phang xa anh,bat bien xa anh (ti so kép) đưoc dien ta bang m®t bat bien ve lưong thông quađ® dài cna đoan thang Tù đây ta có the áp dung vào vi¾c phát hi¾n và chúngminh nhung h¾ thúc có dang AM.A J M J là m®t hang so (khi c¾p điem M,

M J chuyen đ®ng trên hai đưòng thang nào đó).

Trưòng hop đ¾c bi¾t khi hai điem giói han I, J J đeu o xa vô t¾n, hàm nhat

bien (1.1) tro thành hàm b¾c nhat

Đ%nh lí 1.2.8 Đieu ki¾n can và đu đe m®t ánh xa xa anh giua hai đưàng thang

trá thành m®t ánh xa đong dang là ca hai điem giái han đeu á xa vô t¾n.

Dna vào đ%nh lí này ta có the đe xuat nhung bài toán chúng minh m®t h¾thúc không đői có dang (1.3) Tuy nhiên muon đ¾t ra nhung bài toán chúngminh m®t h¾ thúc không đői có dang (1.3) ho¾c có dang (1.2) ta can có m®t tiêuchuan nh¾n biet m®t ánh xa xa anh giua hai hàng điem

Đ%nh lí 1.2.9 Neu tù mői điem M cua m®t đưàng thang (hàng điem) ∆,

ta xác đ%nh đưac điem M J trên đưàng thang (hàng điem) ∆ J bang nhung phép dnng hình sao cho

i) Giua M và M J có m®t liên h¾ m®t đoi m®t (ke ca phan tu ao neu có), nói cách khác là, ánh xa f : ∆ ∆J , M M J là m®t song ánh.

ii) Các đưàng và m¾t dùng trong các phép dnng hình đe xác đ%nh c¾p điem tương úng

M, M J là nhung đưàng và m¾t đai so.

Khi đó ánh xa f : ∆ ∆J , M M J là m®t ánh xa xa anh giua hai đưàng thang.

Các đ%nh lí 1.2.6 và 1.2.9 cũng đúng đoi vói hai chùm đưòng thang (đoingau cna hai hàng điem)

−→

−→

−→

Đ%nh lí 1.2.10 Cho hai đưàng thang m, m J lan lưat thu®c chùm tâm O,

O J và có h¾ so góc tương úng là k, k J Đieu ki¾n can và đu đe có m®t ánh xa xa anh f : O −→ O J là giua k và k J có m®t liên h¾ nhat bien:

Vì hai hàng cùng giá hay hai chùm cùng tâm nên có the xay ra trưòng hophai phan tu tương úng trùng nhau Nhung phan tu đó đưoc gQI là nhung phan

tu kép (hay phan tu bat đ®ng).

Đ%nh nghĩa 1.2.8 Ta GQI m®t phép bien đői xa anh cua đưàng thang (hay cua m®t chùm đưàng thang) là thu®c loai hybebolic, parabolic hay eliptic tùy theo

nó có hai, m®t hay không có điem (hay đưàng thang) bat đ®ng thnc nào Trưàng hap phép bien đői xa anh loai eliptic, tuy không có phan tu bat đ®ng nào thnc, ta bao rang nó có hai điem (hay đưàng thang) ao liên hap.

2 M®t so tính chat đ¾c trưng

Đ%nh lí 1.2.11 Trong m®t phép bien đői xa anh loai hybebolic cua đưàng thang,

hai điem bat đ®ng cùng vái c¾p điem tương úng tao thành bon điem có ts so kép không đői.

Đ%nh lí 1.2.11’ Trong m®t phép bien đői xa anh loai hybebolic cua m®t chùm

đưàng thang, hai đưàng thang bat đ®ng cùng vái hai đưàng thang tương úng tao thành bon đưàng thang có ts so kép không đői.

Đ%nh lí 1.2.12 Đieu ki¾n can và đu đe m®t phép bien đői xa anh loai hybebolic

trên m®t đưàng thang trá thành m®t bien đői đong dang là m®t trong hai điem bat đ®ng á vô t¾n.

Đ%nh lí 1.2.13 Trong m®t phép bien đői xa anh loai eliptic cua đưàng thang ∆

luôn ton tai hai điem đoi xúng nhau qua ∆ sao cho tù mői điem đó luôn nhìn đoan thang MM J noi c¾p điem tương úng M, M J bat kỳ dưái m®t góc đ%nh hưáng không đői.

Đ%nh lí 1.2.14 Bang m®t phép chieu xuyên tâm ta có the bien m®t phép bien

đői xa anh loai parabolic thành m®t phép bien đői đang cn trên đưàng thang Euclide.

H¾ qua 1.2.1 Neu c HQN điem bat đ®ng cua phép bien đői xa anh loai parabolic làm goc hoành đ® thì m®t phép bien đői parabolic se có dang

x J −

x = const.

3 Phép bien đoi xa anh đoi hap cua m®t dang cap m®t, b¾c nhat

Đ%nh nghĩa 1.2.9 M®t phép bien đői xa anh f : dd (tương úng,

f :

(O) (O)) đưac GQI là phép bien đői xa anh đoi hap cua đưàng thang d (tương úng, cua chùm (O)) neu f 2 = Id d

Đ%nh lí 1.2.15 M®t phép bien hình xa anh khác phép đong nhat f : d

d (tương úng, f : (O) (O)) là phép bien hình đoi hap khi và chs khi

nó có hai điem phân bi¾t M, M J sao cho f (M ) = M J và f (M J) = M (tương úng, hai đưàng thang phân bi¾t m, m J sao cho f (m) = m J và f

(m J) = m).

Đ%nh lí 1.2.16 Neu m®t phép bien hình đoi hap f , khác phép đong nhat, có m®t phan tu bat đ®ng thì nó còn có m®t điem bat đ®ng nua Khi đó c¾p phan tu bat đ®ng này chia đieu hòa MQI c¾p phan tu tương úng cua f.

Đ%nh lí 1.2.17 M®t phép bien hình đoi hap f, khác phép đong nhat, đưac hoàn toàn xác đ%nh neu cho biet hai phan tu phân bi¾t và anh cua chúng.

1.3 Các đưàng cong b¾c hai và láp hai

1.3.1 M®t so đ%nh lí cơ ban liên quan đen đưàng

cong b¾c hai, láp hai

Đ%nh lí 1.3.1 (Đ%nh lí Steiner) Neu f là m®t ánh xa xa anh giua hai chùm đưàng thang (A) và (B), không phai là phép chieu xuyên trnc thì quy tích giao điem cua hai đưàng thang tương úng là m®t đưàng cong b¾c hai không suy bien, đưàng cong này tiep xúc vái anh và tao anh cua hai đưàng thang (AB),

(BA) theo thú tn tai B và A.

Neu f là phép chieu xuyên truc thì quy tích giao điem nói trên là m®t c¾p

đưòng thang, trong đó có m®t đưòng thang đi qua hai tâm A và B.

Đ%nh lí 1.3.1’ Neu f là m®t ánh xa xa anh giua hai đưàng thang a và b, không phai là phép chieu xuyên tâm thì hình bao cua đưàng thang noi hai điem tương úng là m®t đưàng cong láp hai Đưàng cong này tiep xúc vái a, b tai các điem là anh và tao anh cua a ∩ b.

Neu f là phép chieu xuyên tâm thì hình bao nói trên là m®t c¾p điem,

trong đó có m®t điem là giao điem cna hai giá a và b.

Đ%nh lí 1.3.2 (Đ%nh lí Pascal) M®t lnc giác n®i tiep m®t đưàng cong b¾c hai

khi và chs khi ba c¾p canh đoi di¾n giao nhau theo ba điem thang hàng.

Đ%nh lí Pascal có nhieu áp dung trong vi¾c nghiên cúu các đưòng congb¾c hai Khi đưòng cong b¾c hai suy bien thành c¾p đưòng thang thì ta tìmlai đưoc đ%nh lí Pappus V¾y đ%nh lí Pappus là m®t trưòng hop riêng cna đ%nh

lí Pascal Ngoài ra đ%nh lí Pascal có the áp dung cho các trưòng hop đ¾cbi¾t, khi luc giác suy bien thành ngũ giác, tú giác, ho¾c tam giác Đ%nh lí đoingau cna đ%nh lí Pascal chính là đ%nh lí Brianchon

Đ%nh lí 1.3.3 (Đ%nh lí Brianchon) M®t lnc giác ngoai tiep m®t đưàng cong

láp hai khi và chs khi các đưàng thang noi các đsnh đoi di¾n đong quy.

Đ%nh lí Brianchon có nhieu úng dung trong vi¾c nghiên cúu các đưòngcong lóp hai Khi đưòng cong lóp hai suy bien thành c¾p đưòng thang thì tathu đưoc đ%nh lí đoi ngau cna đ%nh lí Pappus Đ%nh lí Brianchon cũngđúng trong trưòng hop luc giác suy bien thành ngũ giác, tú giác, tam giác

Đ%nh lí 1.3.4 Ton tai duy nhat m®t đưàng cong b¾c hai đi qua năm điem bat

kì trong m¾t phang, trong đó không có ba điem nào thang hàng,

Đ%nh lí 1.3.4’ Ton tai duy nhat m®t đưàng cong láp hai tiep xúc vái năm

đưàng thang cho trưác, trong đó không có ba đưàng thang nào đong quy.

Đ%nh lí 1.3.5 (Đ%nh lí Desargues thú hai) M®t đưàng cong b¾c hai bien thiên

trong m®t chùm đưàng cong b¾c hai vach lên trên bat kỳ đưàng thang nào m®t hàng điem liên h¾ xa anh đoi hap vái nhau.

không đői, không phn thu®c vào điem P Ts so kép không đői này đưac GQI là

ts so kép cua bon điem A, B, C, D trên , ký hi¾u là (ABCD) C hay (ABCD) (neu không sa nham lan).

C

C

C

Hình 1.1Tương tn, theo đ%nh lí đoi ngau cna đ%nh lí Steiner ta có đ%nh nghĩa sau:

Đ%nh nghĩa 1.3.1’ Cho bon tiep tuyen a, b, c, d cua đưàng cong láp hai không suy bien Khi đó vái mői tiep tuyen p bat kì cua , gia su p cat a, b,

c, d lan lưat tai A, B, C, D thì ts so kép (ABCD) không đői Ts so kép không đői này đưac GQI là ts so kép cua bon tiep tuyen a, b, c, d cua , ký hi¾u là (abcd) C hay (abcd) (neu không sa nham lan).

Trưóc khi đưa ra đ%nh nghĩa ánh xa xa anh giua hai dang cap m®t b¾c hai,

ta đưa ra đ%nh nghĩa ve ánh xa nghich đao xa anh giua hai dang cap m®t b¾c

nhat và b¾c hai (lóp m®t và lóp hai), trưóc het ta có nh¾n xét sau:

Nh¾n xét 1.3.1 Cho m®t đưàng cong b¾c hai và m®t đưàng thang ∆,

S là m®t điem co đ%nh trên , xét tương úng f : ∆, M M J , trong đó M khác S, còn M J là giao điem cua SM vái đưàng thang ∆ Neu M trùng I thì SM//∆, khi đó f (I) là điem vô t¾n trên ∆ Neu M trùng S thì f (S) là giao điem cua ∆ vái tiep tuyen tai S cua Rõ ràng điem M J đưac xác đ%nh duy nhat, ngưac lai vái mői điem M J trên ∆

có duy nhat điem M trên sao cho f (M ) = M J Như v¾y f là m®t song ánh, hơn nua f và f −1 đeu là nhung song ánh bao toàn ts so kép.

Hình 1.2Tùy theo so giao điem thnc cna ∆ và mà f có hai, m®t ho¾c không có

điem bat đ®ng thnc nào

C

C C

C C

C

C

Đ%nh nghĩa 1.3.2 Cho đưàng cong b¾c hai và m®t đưàng thang ∆, S là m®t điem co đ%nh trên , xét tương úng f : ∆, M M J , xác đ%nh như á nh¾n xét trên Khi đó f và f −1 là nhung song ánh bao toàn ts so

kép và cùng đưac GQI là ánh xa ngh%ch đao xa anh tâm S giua đưàng cong b¾c hai và đưàng thang ∆.

Nh¾n xét 1.3.1’ Cho m®t đưàng cong láp hai và m®t điem O, s là m®t tiep tuyen co đ%nh trên , xét tương úng f : (O), m m J , trong đó m khác s, còn m J là đưàng thang noi giao điem m s và O Neu m trùng i thì f (i) là đưàng thang i J qua O và song song vái s Neu m trùng s thì f (s) là đưàng thang đi qua O và tiep điem cua s vái Rõ ràng đưàng thang m J đưac xác đ%nh duy nhat, ngưac lai vái mői đưàng thang m J

thu®c chùm (O) có duy nhat đưàng thang m cua sao cho f (m) = m J Như v¾y f là m®t song ánh, hơn nua f và f −1 đeu là nhung song ánh bao

toàn ts so kép.

Tùy theo so tiep tuyen thnc vói ve tù O mà f có hai, m®t ho¾c không có

đưòng thang bat đ®ng thnc nào

Đ%nh nghĩa 1.3.2’ Cho đưàng cong láp hai và m®t chùm đưàng thang

tâm O, trên lay m®t tiep tuyen s co đ%nh, xét tương úng f : ∆, M

M J , xác đ%nh như á nh¾n xét trên Khi đó f và f −1 là nhung song ánh

bao toàn ts so kép và cùng đưac GQI là ánh xa ngh%ch đao xa anh trnc s giua đưàng cong láp hai C và chùm đưàng thang (O).

Gia su d, d J là hai đưòng thang và là m®t đưòng cong b¾c hai cho

trưóc Hai điem S, S J co đ%nh nam trên Khi đó tích cna m®t ánh xa ngh%ch

đao xa anh tâm S tù d lên và m®t ánh xa ngh%ch đao xa anh tâm S J tù

lên d J là m®t song ánh bao toàn ti so kép giua d và d J Như v¾y m®t ánh xa

xa anh giua hai hàng điem thang có the đưoc thiet l¾p bang cách lay tíchcna hai ánh xa ngh%ch đao xa anh

Hình 1.3Bây giò neu C, C J là hai đưòng cong b¾c hai và d là m®t đưòng thang

cho trưóc Hai điem S, S J lan lưot nam trên C, C J Khi đó tích cna m®t ánh xangh%ch

C

C

∩ C

đao xa anh tâm S tù lên d và m®t ánh xa ngh%ch đao xa anh tâm S J tù d

lên J là m®t song ánh bao toàn ti so kép giua vàJ Vì trên m®t đưòng thang

có the có vô so phép bien đői xa anh nên dna vào ánh xa ngh%ch đao xa anh, ta

cóthe tao ra vô so song ánh bao toàn ti so kép giua hai đưòng cong b¾c hai.Tương tn, dna vào ánh xa ngh%ch đao xa anh giua hai dang cap m®t lóp m®t

và lóp hai, ta cũng thiet l¾p đưoc vô so song ánh bao toàn ti so kép giua haiđưòng cong lóp hai

Đ%nh nghĩa 1.3.3 Trong m¾t phang, cho hai đưàng cong b¾c hai (láp

hai) không suy bien C, C J M®t song ánh f : C −→ C J bao toàn ts so kép cua bon phan tu bat kì đưac GQI là m®t ánh xa xa anh giua hai đưàng cong b¾c hai (láp hai) C và C J

Đ%nh lí 1.3.6 M®t ánh xa xa anh giua hai đưàng cong b¾c hai (láp hai) đưac

xác đ%nh duy nhat khi biet anh cua ba phan tu đôi m®t không trùng nhau.

Đ%nh nghĩa 1.3.4 M®t song ánh f : C −→ C tù m®t đưàng cong b¾c hai (láp hai) C lên chính nó, bao toàn ts so kép cua bon phan tu bat kì đưac

GQI là m®t phép bien đői xa anh trên đưàng cong C.

Tương tn phép bien đői xa anh trên m®t dang cap m®t b¾c nhat, m®t phépbien đői xa anh trên m®t đưòng cong b¾c hai (lóp hai) khác phép đong nhat cókhông quá hai phan tu bat đ®ng thnc

Đ%nh nghĩa 1.3.5 Ta GQI m®t phép bien đői xa anh trên m®t đưàng cong b¾c hai (láp hai) là thu®c loai hybebolic, parabolic hay eliptic tùy theo nó có hai, m®t hay không có điem (hay đưàng thang) bat đ®ng thnc nào Trưàng hap phép bien đői xa anh loai eliptic, tuy không có phan tu bat đ®ng nào thnc, ta bao rang nó có hai điem (hay đưàng thang) ao liên hap.

Đ%nh nghĩa 1.3.6 M®t phép bien đői xa anh f trên m®t đưàng cong b¾c hai (láp hai) đưac g QI là phép bien hình đoi hap neu f 2 là phép đong nhat.

Đ%nh lí 1.3.7 (Đ%nh lí Frégier) Neu f : là m®t phép bien hình đoi hap cua đưàng cong b¾c hai , khác phép đong nhat, thì đưàng thang noi bat

kì m®t c¾p điem tương úng nào cũng luôn đi qua m®t điem co đ%nh.

Đ%nh lí 1.3.7’ Neu f : là m®t phép bien hình đoi hap cua đưàng cong láp hai , khác phép đong nhat, thì giao điem cua hai đưàng thang tương úng bat kì nam trên m®t đưàng thang co đ%nh.

C C

1.4 Ánh xa xa anh giEa hai dang cap hai

1.4.1 Phép c®ng tuyen giEa hai trưàng điem

Đ%nh nghĩa 1.4.1 M®t song ánh giua hai trưàng điem đưac g QI là m®t

phép c®ng tuyen neu nó bao toàn tính thang hàng cua ba điem bat kì.

Đ%nh lí 1.4.1 Các phép c®ng tuyen bao toàn ts so kép cua bon điem thang hàng

(hay bon đưàng thang đong quy).

Như v¾y m®t phép c®ng tuyen bien m®t hàng điem (hay chùm đưòng thang)

thành m®t hàng điem (hay chùm đưòng thang) liên h¾ xa anh vói hàng (hay

chùm) đã cho Vì v¾y ngưòi ta nói rang các phép c®ng tuyen có tính chat xa

anh.

1.4.2 TQa đ® xa anh

1 TQa đ® xa anh cua m®t điem

Đ%nh nghĩa 1.4.2 Cho hai trnc Ox, Oy lan lưat cat m®t đưàng thang

thú ba á X, Y C HQ n E là m®t điem không nam trên Ox, Oy và XY

G QI E y =

EY ∩ Ox, E x = EX ∩ Oy Úng vái mői điem M trong m¾t phang, GQI M x =

MX ∩ Oy, M y = MY ∩ Ox, ta có hai so

x = (M y E y OX), y = (M x E x OY ) C¾p so (x, y) đưac GQI là TQ a đ® xa anh cua điem M đoi vái tam giác TQ a đ® OXY và đưac kí hi¾u là M (x, y).

Hình 1.4Theo đ%nh nghĩa này thì TQA đ® cna điem E là E(1, 1), nó đưoc gQI là

điem đơn v% Trong nhieu trưòng hop, đe ti¾n loi, ngưòi ta thưòng dùng TQ a đ®

xa anh thuan nhat.

Đ%nh nghĩa 1.4.3 Cho điem M có TQ a đ® xa anh (x, y) Khi đó b® ba so

J

= y, đưac GQI là TQ a đ® xa anh thuan nhat cua điem

M và đưac kí hi¾u là M (x J : y J : z J ).

Theo đ%nh nghĩa này thì E(1 : 1 : 1), O(0 : 0 : 1), X(1 : 0 : 0), Y (0 : 1 :

0) Vói các điem nam trên đưòng thang XY , ta đeu có z J = 0 Vì v¾y z J =

0 là phương trình cna đưòng thang XY

2 Phương trình đưàng thang

Gia su trong m¾t phang xa anh có m®t h¾ tQa đ® xa anh xác đ%nh boi tam

giác TQA đ® OXY , điem đơn v% E và có m®t đưòng thang d Trong m¾t

phang này, ta lay thêm m®t h¾ TQA đ® Descartes vuông góc Iu, Iv và GQi

P là điem có tQa đ® Descartes là (1, 1) GQI P u , P v lan lưot là hình chieu

cna P lên Iu, Iv (Hình 1.4)

Xét phép c®ng tuyen xác đ%nh boi hai tú giác tương úng OE y EE x và

IP v P P u, bien đưòng thang d thành đưòng thang ∆ Gia su điem M có TQA

đ® xa anh là (x, y), qua phép c®ng tuyen này, bien thành điem N có

TQA đ® Descartes là (u, v) Khi đó vì phép c®ng tuyen bao toàn ti so

kép nên ta có x = u và y = v Hơn nua phương trình cna đưòng thang

∆ đoi vói h¾ TQA đ® Descartes có dang Au + Bv + C = 0, do v¾y phương

trình cna d trong h¾ TQA đ® xa anh có dang Ax + By + C = 0 Neu dùng

tQa đ® xa anh thuan nhat x J , y J , z J thì ta có Ax J + By J + Cz J = 0.

Khi d trùng vói XY thì d có phương trình là z J = 0 Tóm lai, phương

trình m®t đưòng thang có dang tőng quát là:

u1x1 + u2x2 + u3x3 = 0 (1.4)

B® ba so (u1, u2, u3) trong phương trình (1.4) còn đưoc gQI là TQA đ® cna

đưòng thang d trong h¾ tQa đ® xa anh đã cHQN

3 Đieu ki¾n can và đu đe ba điem thang hàng

Cho ba điem A, B, C Gia su A(a1 : a2 : a3), B(b1 : b2 : b3), C(c1 : c2 : c3).Đieu ki¾n can và đn đe ba điem A, B, C thang hàng là:

a1 a2 a3

b1 b2 b3 = 0

.c1 c2 c3

4 Đieu ki¾n can và đu đe ba đưàng thang đong quy.

Cho ba đưòng thang u, v, w Gia su u(u1 : u2 : u3), v(v1 : v2 : v3), w(w1 : w2

:

w3) Đieu ki¾n can và đn đe ba điem A, B, C thang hàng là:

u1 u2 u3

v1 v2 v3 = 0

.w1 w2 w3

Đe tránh nhung bat ti¾n khi nghiên cúu hình HQc xa anh thnc, tanhúng m¾t phang xa anh thnc P2 vào m¾t phang xa anh phúc P2(i), nghĩa là

xem moi phan tu cna P2 là m®t phan tu thnc cna P2(i), khi đó thì nhung phan

tu không thnc cna P2(i) đưoc GQi là nhung phan tu ao cna P2

Neu như trong hình HQc phúc trên m¾t phang P2(i), ngưòi ta nghiên cúu

nhung phép c®ng tuyen có h¾ so bat kì, thnc hay ao, thì trong hình HQc xa anhtrên m¾t phang P2 có bő sung các phan tu ao, ngưòi ta chi nghiên cúunhung phép c®ng tuyen có h¾ so thnc Vì v¾y trên phương di¾n hình HQc xaanh phúc thì không có sn phân bi¾t giua các phan tu thnc và ao, còn tronghình hQc xa anh trên m¾t phang P2 có bő sung các phan tu ao thì các tínhchat thnc, ao là nhung bat bien xa anh

Như v¾y ta có the dùng các phan tu ao làm trung gian, ti¾n loi chovi¾c nghiên cúu hình HQc xa anh thnc Nó ti¾n loi o cho khi ta nghiên cúu m®tvan đe gì hay phát bieu m®t ket lu¾n, ta không can phân bi¾t các phan tu

mà ta đang xét là thnc hay ao, do đó không phai phân chia nhieu trưòng hop.Đieu này cũng tương tn như khi ta bő sung các phan tu vô t¾n vào m¾tphang Euclide đe khoi phai phân bi¾t các trưòng hop cat nhau hay khôngcat nhau cna các đưòng thang

Đ%nh nghĩa 1.4.4 Ngưài ta nói rang giua hai trưàng điem và đưàng thang

có m®t liên h¾ đoi xa neu

i) Úng vái mői điem cua trưàng này thì có m®t đưàng thang cua trưàng kia và chs m®t mà thôi,

ii) Úng vái mői đưàng thang cua trưàng này thì có m®t điem cua trưàng kia và chs m®t mà thôi,

iii)Tương quan liên thu®c giua điem và đưàng thang đưac bao toàn.

Đ%nh lí 1.4.2 Phép đoi xa có tính chat xa anh, nghĩa là MQI dang cap m®t thì úng vái m®t dang cap m®t khác liên h¾ đoi xa vái dang đã cho.

Đ%nh nghĩa 1.4.5 Bênh canh mői m¾nh đe phát bieu nên nhung tương quan

giua các điem và đưàng thang trong m¾t phang xa anh, ta có m®t m¾nh đe thú

hai đưac tìm ra bang cách thay vào trong m¾nh đe thú nhat m QI chu

"điem" bang chu " đưàng thang" và MQI chu đưàng thang bang chu

"điem" Hai m¾nh đe trên đưac GQI là hai m¾nh đe đoi ngau cua nhau.

Dna vào phép đoi xa cna m¾t phang xa anh ta có nguyên tac sau đây gQI là

nguyên tac đoi ngau trong m¾t phang xa anh:

Nguyên tac đoi ngau: Hai m¾nh đe đoi ngau vái nhau thì cùng đúng

ho¾c cùng sai.

MQI hình trong m¾t phang đeu do điem và đưòng thang cau tao thành nên

moi hình có m®t hình đoi ngau Hình đoi ngau cna m®t đưòng cong b¾c n

là m®t đưòng cong lóp n và moi điem cna đưòng thú nhat úng vói m®t tiep

tuyen cna đưòng thú hai Moi đưòng thang có the đưoc xem là m®t đưòngcong b¾c 1, có hình đoi ngau là m®t đưòng cong lóp 1, túc là m®t điem

Đ%nh nghĩa 1.4.6 Hai điem M, N đưac GQI là liên hap vái nhau đoi vái đưàng cong b¾c hai neu hai giao điem cua vái đưàng thang MN chia đieu hòa c¾p điem M, N.

Đ%nh lí 1.4.3 Quy tích các điem N liên hap vái m®t điem co đ%nh M đoi vái m®t đưàng cong b¾c hai co đ%nh là m®t đưàng thang Đưàng thang này đưac

GQ i là đưàng đoi cnc cua điem M đoi vái đưàng cong đã cho.

Đ%nh lí 1.4.4 M QI đưàng thang m trong m¾t phang đeu có m®t điem M duy nhat nh¾n m làm đưàng thang đoi cnc đoi vái m®t đưàng cong b¾c hai không suy bien C Điem M này đưac GQ i là cnc cua đưàng thang m đoi vái đưàng cong b¾c hai C.

Đ%nh lí 1.4.5 Neu m®t đưàng thang m và m®t điem N thu®c nhau thì cnc M

và đưàng đoi cnc n cua chúng cũng thu®c nhau.

Đ%nh nghĩa 1.4.7 Hai đưàng thang m, n đưac GQI là liên hap vái nhau đoi vái đưàng cong b¾c hai C neu chúng đi qua cnc cua nhau đoi vái đưàng cong đó.

Đ%nh lí 1.4.6 Hai đưàng thang liên hap vái nhau đoi vái m®t đưàng cong b¾c

hai chia đieu hòa hai tiep tuyen vái xuat phát tù giao điem cua hai đưàng thang đã cho.

C

C

Chương 2

Ứng dụng hình học xạ ảnh trong hình học

sơ cấp

2.1 M®t so bài toán chÉng minh tương quan đong

quy, song song, thang hàng

Ví dn 2.1.1 Cho hai đưàng thang phân bi¾t d, d J Các điem A, B, C nam trên

d, A J , B J , C J nam trên d J G QI M = AB A J B J , N = AC A J C J , P =

Khi đó M, N, P thang hàng (Đ%nh lí Pappus).

Hình 2.1 Đ%nh lí PappusĐ%nh lí Pappus là m®t trưòng hop riêng cna đ%nh lí Pascal, tuy nhiên ta

có the dùng tính chat cna ánh xa phoi canh (phép chieu xuyên tâm) đe chúng

minh như sau:

∩

Chúng minh GQi I là giao điem cna d và d J và gQI R, S lan lưot là giao

điem cna BA J và AC J , BC J và CA J Khi đó (BSMA J) = (IC J B J A J)(phép chieu tâm A xuong đưòng thang A J B J), và (IC J B J A J) = (BC J P R)

(phép chieu tâm C xuong đưòng thang BC J) Do đó (BSMA J) =(BC J P R) Như v¾y hàng (B, S, M, A J , ) (B, C J , P, R, ) Hơn nua

B = RC J SA J, giao điem cna hai hàng tn úng Do đó các đưòng thang SC J ,

MP, A J R đong quy túc N thu®c MP V¾y M, N, P thang hàng.

Bây giò bang cách the hi¾n đ%nh lí Pappus trong mô hình xa anh cna m¾tphang afin, ta se thu đưoc nhieu ket qua khác nhau cna hình HQc sơ cap

Gia su I = d d J Xét t¾p hop điem T = A, B, C, A J , B J , C J , M, N, P, I

GQi ∆ là đưòng thang vô t¾n Ta lan lưot xét các trương hop sau:

1) Không có điem nào cua t¾p T thu®c đưàng thang ∆, ∆ T = Ta có

đ%nh lí Pappus cua hình HQc sơ cap (xem [10], tr 68)

2) I thu®c đưàng thang ∆, ∆ ∩ T = {I} Ta thu đưoc bài toán sau:

Bài toán 2.1.1 Cho hai đưàng thang phân bi¾t d, d J song song Các điem A, B, C nam trên d, A J , B J , C J nam trên d J G QI M = AB∩A J B J , N = AC∩A J C J , P = BC ∩ B J C J Khi đó M, N, P thang hàng.

Lài giai Áp dung đ%nh lí Menelaus lan lưot cho các tam giác CRB,

B J P C J, tương úng vói các cát tuyen (NAC J), (RCA J) ta lan lưot có

NR AC NC AB

A J

A J C

J

AC

=

1, BP BC

J

CB

J

CP

=

J

M B

3) ∆ ∩ T = {M, N, P} Ta đưoc bài toán sau:

Bài toán 2.1.2 Cho hai đưàng thang phân bi¾t d, d J cat nhau Các điem A, B, C nam trên d, A J , B J , C J nam trên d J sao cho AB J //A J B,

BC J //B J C, khi đó AC J //A J C.

Lài giai (xem [1], trang 46) Trưòng hop ∆ T = M, N, P, I

có the chúng minh de dàng dna vào tính chat cna hình bình hành

4) ∆ ∩ T = {A J , B J , C J } Ta đưoc bài toán sau:

Bài toán 2.1.3 Cho ba điem A, B, C thang hàng và ba điem M, N, P sao cho AN//BP, BM//CN, CP//AM Khi đó M, N, P thang hàng.

Hình 2.2

Lài giai Gia su MP cat đưòng thang ABC tai K (trưòng hop không

cat có the kiem tra de dàng) GQi N J là giao điem cna MP và AN Ta chúng

minh N J = N

K A

Th¾t v¾y, vì AN//BP, CP//AM nên ta có KB

CN nên N = N J V¾y M, N, P thang hàng.

Bây giò xét m¾nh đe đoi ngau cna đ%nh lí Pappus ta thu đưoc đ%nh lí sau:

Đ%nh lí 2.1.0 Cho ba đưàng thang a, b, c đong quy tai D và ba đưàng thang a J , b J , c J đong quy tai D J Xét các đưàng thang m, n, p vái m qua a

∩ b J và a J ∩ b, n qua a ∩ c J và a J ∩ c, p qua b ∩ c J và b J ∩ c Khi đó m, n, p đong quy tai m®t điem.

Chúng minh GQi I = a J ∩ c, J = a ∩ c J , K = m ∩ p Ta can chúng minh

V¾y I, J, K thang hàng.

Ví dn 2.1.2 Cho hai tam giác ABC và A J B J C J sao cho AA J , BB J , CC J

đong quy tai S, AB J , BC J , CA J đong quy tai T Chúng minh rang AC J , BA J ,

CB J cũng đong quy tai m®t điem.

Hình 2.4

1) Lài giai xa anh CHQN tam giác ABC làm tam giác TQA đ® và S là điem đơn v

%, A(1 : 0 : 0), B(0 : 1 : 0), C(0 : 0 : 1), S(1 : 1 : 1) Khi đó các đưòng thang

AA J , BB J , CC J có phương trình lan lưot là y = z, z = x, x = y Vì A J , B J , C J

lan lưot nam trên SA, SB, SC nên chúng có TQA đ® là: A J(a : 1 : 1), B J(1 : b :

1), C J(1 : 1 : c) Do v¾y TQA đ® các đưòng thang AB J , BC J , CA J là AB J(0 :

−1 :

b), BC J(c : 0 : −1), CA J(−1 : a : 0) Vì AB J , BC J , CA J đong quy nên ta có

c 0 −1 = 0 ⇐⇒ abc = 1

Xét các đưòng thang AC J , BA J , CB J ta có AC J(0 : c : −1), BA J(−1 : 0 : a), CB J(b : −1 : 0) TQA đ® các đưòng thang này thoa

0 c −1.

V¾y AC J , BA J , CB J đong quy tai m®t điem.

2) Lài giai sơ cap GQi U = AC J CB J Ta can chúng minh A J , B, U thang hàng.

Th¾t v¾y, áp dung đ%nh lí Pappus cho hai đưòng thang TB J và SC J vói

ba điem T, A, B J trên TB J và ba điem S, C, C J trên SC J ta có

T C ∩ SA = A J , T C J ∩ SB J = B, AC J ∩ CB J = U

là ba điem thang hàng

V¾y AC J , BA J , CB J đong quy tai U

Bây giò lan lưot cho S, T, U ra vô t¾n, ta se thu đưoc nhung bài toán

khác nhau cna hình HQc afin

Bài toán 2.1.4 (Cho S ra vô t¾n) Cho hai tam giác ABC và A J B J C J sao cho AA J //BB J //CC J và AB J , BC J , CA J đong quy tai T Chúng minh rang neuAC J cat CB J thì AC J , BA J , CB J đong quy tai m®t điem (Hình 2.4 )

Lài giai GQi D là giao điem cna AA J và BC J, E là giao điem cna CC J

và AB J Gia su AC J cat CB J tai U Ta chúng minh A J , B, U thang hàng Áp

dung đ%nh lí Menelaus chon tam giác C J EA vói cát tuyen B J UC ta có

UA CC J B J E = 1

b −1

0

= abc − 1

= 0

∩

Tù nhung đang thúc trên ta có

A J D UA BC

= 1

A J A UC J BD

Áp dung đ%nh lí Menelaus đao cho tam giác ADC J ta có A J , B, U thang hàng.

Tương tn ta có hai bài toán sau:

Bài toán 2.1.5 (Cho S, T ra vô t¾n) Cho hai tam giác ABC và A J B J C J

sao cho AA J //BB J //CC J và AB J //BC J //CA J Chúng minh rang neu AC J cat CB J

thì AC J , BA J , CB J đong quy tai m®t điem.

Bài toán 2.1.6 (Cho ca ba điem S, T, U ra vô t¾n) Cho hai tam giác ABC

và A J B J C J sao cho AA J //BB J //CC J và AB J //BC J //CA J Chúng minh rang neu

AC J //CB J thì AC J //BA J //CB J

Hình 2.5Dưói đây là bài toán đoi ngau cna bài toán xa anh ban đau

Bài toán 2.1.7 Trong m¾t phang cho các đưàng thang a, b, c, a J , b J , c J

sao cho ba điem A = a a J , C = b b J , B = c c J thang hàng và ba điem

B J = a b J , A J = b c J , C J = c a J thang hàng Chúng minh rang khi đó

a c ∩ J , b a ∩ ∩ J , c b J cũng thang hàng ∩ ∩

∩

Lài giai Áp dung đ%nh lí Pappus cho hai đưòng thang d qua A, B, C và d J

qua A J , B J , C J ta có AC J ∩ CA J , AB J ∩ BA J , BC J ∩ B J C thang hàng.

V¾y a ∩ c J , b ∩ a J , c ∩ b J thang hàng.

Ví dn 2.1.3 Gia su tú giác ABCD ngoai tiep m®t đưàng tròn vái các tiep điem tương úng trên các canh AB, BC, CD, DA là M, P, N, Q Chúng minh rang khi đó MN, PQ, AC, BD đong quy.

Lòi giai sơ cap cho ví du này hoàn toàn tương tn lòi giai cna bài toán 2 2.8

đưoc xét ngay sau đây Trên phương di¾n xa anh thì ví du trên chính là đ%nh

lí Brianchon cho hình bon đinh Tuy nhiên, dưói cách nhìn cna xa anh, tù ví

du này ta có the đe xuat ra nhung bài toán khác nhau cna hình HQc sơ capnhư sau

Bài toán 2.1.8 Cho bon điem M, N, P, Q nam trên đưàng tròn (O) theo thú tn đó Gia su các tiep tuyen vái (O) thóa: các tiep tuyen tai M và Q cat nhau tai A, tiep tuyen tai N cat tiep tuyen tai P và cat AQ lan lưat tai C, D, tiep tuyen tai P cat AM lan lưat tai B Chúng minh rang MN, PQ, AC, BD đong quy.

Lài giai Xét trưòng hop N, P o trên cung nho MQ GQi I là giao điem

cna MN vói AC Xét hai tam giác AMI và CNI ta có A^M I = C^N I và A^IM bù vói N^IC, do đó ta có

=

NC.N I

IA.IM

=

IN.IC

M A

Suy ra

IC = NC Như v¾y I chia trong đoan AC theo ty so NC

Tương tn, gQI J là giao điem cna c¾p đưòng thang AC, P Q Xét ty so

di¾n tích hai tam giác AQJ và CP J , đe ý AM = AQ, CN = CP ta đưoc

MA

Nghĩa là J cũng chia trong đoan AC theo ty so

AC, MN, PQ đong quy tai I.

Tương tn, BD, MN, PQ cũng đong quy tai I.

Suy ra J trùng I, v¾y NC

Trưòng hop N, P nam trên cung lón MQ thì ta cũng chúng minh tương tn,

lúc đó I, J cùng chia ngoài đoan AC theo cùng m®t ty so nên trùng nhau, do

đó ta cũng có BD, MN, PQ cũng đong quy tai I.

Khi điem cho điem A ra vô t¾n ta có bài toán sau:

Bài toán 2.1.9 Cho đưàng tròn đưàng kính MQ Hai điem N, P nam

trên cung MQ sao cho tiep tuyen tai N vái (O) cat các tiep tuyen tai Q

và tai M lan lưat á D và B J , tiep tuyen vái (O) tai P cat các tiep tuyen tai

Q và tai M lan lưat á D J và B Chúng minh rang

a) Các đưàng thang BD, MN, PQ đong quy tai m®t điem I nào đó.

b) Các đưàng thang B J D J , MP, NQ đong quy tai m®t điem J nào đó.

c) Các điem I, J, C cùng năm trên m®t đưàng thang song song vái MB.

d) Các đưàng thang NQ, BD, B J D J đong quy.

e) IO vuông góc vái B J D J và JO vuông góc vái BD.

Lài giai a) GQI I là giao điem cna P Q vói BD Xét hai tam giác DIQ và BIP ta có D^IQ bù vói B^IP và I^P B = I^QD, do đó ta có

ID PB

Như v¾y I chia trong đoan BD theo ty so

b) Tương tn, MP, NQ, B J D J đong quy tai m®t điem J nào đó.

c) Ta chúng minh đưoc MB J QD = MB.QD J Tù đó suy ra

= B J B D J D

IB MB

=

ID QD

Do v¾y IC song song vói

BB J

Hình 2.8

Tương tn JC cũng song song vói BB J Do đó ta có I, J, C cùng nam

trên m®t đưòng thang song song vói MB.

d) De thay rang các đưòng thang BD, B J D J , NP lan lưot là đưòng đoi

cnc cna các điem J, I, C Mà theo chúng minh trên thì ba điem này

thang hàng nên ba đưòng thang BD, B J D J và NP đong quy tai m®t

điem

e) Vì BD và B J D J lan lưot là đưòng đoi cnc cna J, I nên ta có IO vuông

góc vói B J D J và JO vuông góc vói BD.

Ví dn 2.1.4 Cho tú giác toàn phan AEDBCF Chúng minh rang các trnc tâm K, L, M, N cua các tam giác AEF, BDF, CDE, ABC (hình 2.9 ) thang hàng, (Đ%nh lí Steiner).

1) Lài giai xa anh GQi a, b, c, d lan lưot là các đưòng thang BC, CA, AB,

DE, ký hi¾u mnp là tam giác có các đinh là các giao điem cna các

Theo gia thiet ta có K = Ec F b, L = F a Dc, M = Db Ea.

Áp dung đ%nh lí Pappus cho các b® ba (a, b, c) và (D, E, F ) ta có K, L,

M thang hàng Tương tn, L, M, N cũng thang hàng V¾y bon điem K, L,

M, N cùng nam trên m®t đưòng thang (gQI là đưòng thang Steiner cna bonđưòng thang a, b, c, d).

2) Lài giai sơ cap Ta có EM//FL (vì cùng vuông góc vói BC) Tương tn, DL//EK, DM//FK Vì D, E, F thang hàng nên theo bài toán 2.2.3 ta có K,

L, M thang hàng.

Hình 2.9 Đ%nh lí Steiner

Chúng minh tương tn ta cũng có K, L, N thang hàng V¾y bon điem K, L,

M, N

thang hàng

Tù ví du 2.2.4, vói các ký hi¾u hình ve như trên ta có bài toán sau:

Bài toán 2.1.10 G Q i A J , B J , C J lan lưat là hình chieu vuông góc cua A,

B, C lên đưàng thang d, khi đó các đưàng thang vuông góc vái BC, CA, AB

theo thú tn tai A J , B J , C J đong quy tai m®t điem.

Điem đong quy này đưac GQI là trnc cnc cua đưàng thang d đoi vái tam giác

ABC.

Lài giai Theo ví du 2 2 4 ta có K, L, M, N cùng nam trên m®t đưòng

thang GQi O d = B J b ∩ C J c Vì đưòng thang vuông góc vói d ve tù B trùng

vói đưòng thang vuông góc vói d ve tù B J nên L = Dc ∩ B J d Tương tn, M

= Db ∩ C J d Theo đ%nh lí Pappus ta có O d , M, L thang hàng Như v¾y

giao điem O d cna đưòng thang KLMN và B J b nam trên C J c Tương tn,

giao điem O d này cũng nam trên A J a V¾y các đưòng thang A J a, B J b, C J c

và KLMN đong quy tai O d Tù đó suy ra đieu phai chúng minh

Nh¾n xét 2.1.1 Cho tú giác toàn phan xác đ%nh bái bon đưàng thang a, b, c, d, khi đó các trnc cnc cua a, b, c, d theo thú tn đoi vái các tam giác bcd, acd,

abd, abc cùng nam trên đưàng thang Steiner cua tú giác toàn phan đã cho.

O

Hình 2.10

Ta biet rang neu m®t luc giác mà ngoai tiep m®t conic thì ba đưòng thangnoi ba c¾p đinh đoi di¾n đong quy (đ%nh lí Brianchon) Ngoài ba đưòngthang đó ra thì ba đưòng thang noi ba c¾p tiep điem trên các c¾p canh đoidi¾n cũng đáng đưoc quan tâm Câu hoi đ¾t ra là khi nào ba đưòng thangnày cũng đong quy và điem đong quy đó có liên h¾ gì vói điem Brianchon Ta

Giai Gia su luc giác ABCDEF

vùa n®i tiep (C) vùa ngoai tiep (C J)

Khi đó theo đ%nh lí Brianchon thì ba

đưòng thang

AD, BE, CF đong quy tai I GQi M, N, P, Q, R, S

là các tiep điem cna các canh FA, AB, BC,

CD, DE, EF vói (C J) Ta chúng minh MQ, NR, SP

đong quy tai J và J trùng I Th¾t v¾y, vì luc

giác đã cho n®i tiep conic (C) nên ba giao

điem T, U, V cna ba c¾p canh đoi di¾n,

AB và ED; BC và EF ; CD và FA, cùng

nam trên m®t đưòng thang Nhưng vì T, U,

V lan lưot là cnc cna các đưòng thang NR,

PS, MQ

nên suy ra ba đưòng thang này đong quy tai Hình 2.11:

J

Ta còn phai chúng minh I trùng J GQI K, L lan lưot là giao điem cna BC và

FA, CD và FE Áp dung đ%nh lí Brianchon cho hình bon đinh CLFK n®i

tiep, ta có KL, FC, MQ, SP đong quy tai J , túc là FC đi qua J Tương tn

AD, BE cũng qua J V¾y I trùng J và sáu đưòng thang AD, BE, CF, MQ,

NR, SP đong quy tai I M¾nh đe đưoc chúng minh

Nh¾n xét 2.1.2 i) Neu tù m®t điem co đ%nh, ve ba đưàng thang cat m®t

conic cho trưác tai sáu điem, tù sáu điem này dnng các tiep tuyen vái conic thì lnc giác tao thành n®i tiep trong m®t conic.

ii) Neu thay conic bái đưàng tròn thì ta đưac bài toán cua Hình HQ c Euclide Lài giai cua bài toán trong trưàng hap này hoàn toàn tương tn lài giai trên.

2.2 M®t so bài toán chÉng minh đai lưang không đổi

ho¾c chÉng minh m®t đang thÉc liên quan đen đ® dài đoan thang

Ví dn 2.2.6 Cho hai đưàng thang xx J và yy J cat nhau tai O M®t điem

I co đ%nh nam trong góc x J Oy M®t đưàng thang d thay đői luôn đi qua I và cat các đưàng thang xx J , yy J lan lưat tai M, N Ve hình bình hành DOEI vái D, E lan lưat thu®c tia Ox J , Oy Chúng minh rang

a) DM.EN không đői.

b) + không đői.

1) Lài giai xa anh a) Đ¾t DO = a, EO = b Chon hưóng cna các tia

Ox, Oy lan lưot là hưóng dương

trên hai đưòng thang xx J và yy J

Xét ánh xa f : (xx J) (yy J),

, theo đ%nh lí 1 2 9, ta có f là m®t

ánh xa xa anh giua hai hàng

điem trên xx J và yy J, hơn nua

các điem D, E chính là các điem

giói han I, J J trên hai hàng Do đó

theo đ%nh lí 1 2.7, neu chon các

điem D, E theo thú tn

làm goc TQA đ® trên hai truc thì ta có Hình 2.12:

DM.EN = k không đői.

Đe xác đ%nh k ta xét trưòng hop đ¾c bi¾t khi M trùng O thì N cũng

trùng O, do đó ta có k = DO.EO = −ab, không đői b) ChQn điem O làm

goc chung cho hai truc, tù h¾ thúc DM.EN = −ab ta có

(DO + OM )(EO + ON ) = −ab

−→

⇔ DO.ON + EO.OM = −OM.ON

Chia hai ve đang thúc trên cho OM.ON ta đưoc

OM + ON = −1.

2) Lài giai sơ cap a) Ta có the kiem tra đưoc hai tam giác DMI và EIN

đong dang, suy ra DM.EN = DI.EI Tù đó DM.EN =ab không đői.

b) Chúng minh tương tn trong lòi giai xa anh

Ví dn 2.2.7 (THTT, bài T5/221, 1996) Cho tam giác ABC ngoai tiep đưàng tròn tâm O M®t đưàng thang l thay đői luôn đi qua O, cat tia CB, các canh

AC, AB lan lưat tai M, N, P Chúng minh rang bieu thúc sau không phn

Lòi giai sơ cap có the tìm thay o so báo nói trên, sau đây là lòi giai xa

anh: Lài giai Qua O ke các đưòng thang EF, GH, IK lan lưot song song

vói BC, CA, AB, tao thành các hình bình hành BEOG, CKOF, AHOI Vì

O là tâm đưòng tròn n®i tiep tam giác ABC nên đó là các hình thoi Đ¾t m =

OE = OG = BG, n = OK = OF, p = OH = OI.

Hoàn toàn tương tn như ví du 2.2.6, bang cách xét ba ánh xa xa anh trêncác đưòng thang tương úng m®t cách thích hop ta chúng minh đưoc các đangthúc sau:

C®ng các đang thúc trên ve theo ve ta đưoc (2.1)

Trưòng hop đ¾c bi¾t neu tam giác ABC là tam giác đeu có canh bang a

thì ta có h¾ thúc:

PA.PB + NA.NC − MB.MC = a2 .

Ví dn 2.2.8 Cho hình thang ABCD, (AB//CD) n®i tiep đưàng tròn (O)

và m®t đưàng thang d không có điem chung vái (O) và song song vái AB, m®t điem P tùy ý chay trên (O), AP, CP lan lưat cat d tai M và N G QI E, F lan lưat là giao điem cua dvái BC, AD Chúng minh rang EN.F M là m®t hang so.

1) Lài giai xa anh Xét ánh xa f : d −→ d bien M thành N , ta có f là m®t

phép bien đői xa anh (loai eliptic) và có E, F là hai điem giói han (F

−→ ∞ và

∞ −→ E), do đó ta có EN.F M là m®t hang so.

−

Hình 2.13

2) Lài giai sơ cap Xét hai tam giác ENC và FAM ta có E = F , C = M = P

AB Do đó hai tam giác này đong dang Tù đó ta đưoc EN.FM = EC.FA không đői.

Ví dn 2.2.9 Cho đưàng tròn ( O) ngoai tiep tam giác ABC, đưàng thang d tiep xúc vái (O) tai điem A M®t điem P thay đői trên (O) Gia su PB, PC cat d tai M, N Các đưàng tròn (PMC) và (PNB) cat d lan lưat tai I, J Chúng minh rang 2

Trên đưòng thang d cHQN chieu cna −

A → I làm chieu dương Xét

ánh xa f : d d, M N , de thay f là song ánh, hơn nua các

hình trong phép dnng xác đ%nh c¾p điem tương úng M, N là nhung đưòng

đai so Do đó theo đ%nh lí

1.2.9 thì f là m®t phép bien hình xa anh trên d, hơn nua f chi có m®t

điem bat đ®ng duy nhat là A nên nó là phép bien hình loai parabolic.

A) GQi K, L lan lưot là giao điem cna CI, BJ vói (O) Ta chúng minh đưoc

CL//BK//d Do v¾y I, J là hai điem giói han cna f trên d Tù đó neu ta cHQn

I, J làm goc TQA đ® trên hai hàng (cùng giá) cna d thì theo đ%nh lí 1.2.7 ta

có IN.JM = k, không đői Đe xác đ%nh k ta xét trưòng hop đ¾c bi¾t, M

đó N ≡ M ≡ A V¾y IN.JM = −IA

b) Vì f là phép bien hình loai parabolic nên neu cHQN A làm goc TQa đ® thì

theo h¾ qua 1.2.1 ta

có AM − AN = l, không đői Đe xác đ%nh l ta xét trưòng1 1 1

hop đ¾c bi¾t, M ra vô t¾n, khi đó N ≡ I và ta

có

đői

AM − AN = − AI , không

AM.A N

c) Tù câu b) ta suy ra đưoc

NM

= AI = AI

2) Lài giai sơ cap.

a) Ta kiem tra đưoc hai tam giác INC và JBM đong dang, tù đó IN.JM = IC.JB = IC.IK = IA2 Suy ra IN.JM = −

b) Theo câu trên ta có IN.JM = −IA Suy ra

c) Ta có NA.NA = NP.NC = NM.NI, suy ra

NA.(NM + MA) = NM (NA + AI) AM.A

AM.A N

−→

≡

2 I

2

Ví dn 2.2.10 Trong m¾t phang cho tú giác loi ABCD n®i tiep đưàng tròn

(O) M®t điem P chuyen đ®ng trên (O) Các đưàng thang PD, PC cat đưàng thang AB lan lưat tai M, N.