Luận văn thạc sĩ phương pháp thứ hai của lyapunov và ứng dụng trong việc nghiên cứu tính ổn định của phương trình vi phân hàm và phương trình vi phân hàm có xung

Hà N®i - Năm2 0 1 2ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN CAO TH± ĐÔNG PHƯƠNG PHÁP THÚ HAI CUA LYAPUNOV VÀ ÚNG DUNG TRONG VIfiC NGHIÊN CÚU TÍNH ON бNH CUA PHƯƠNG TRÌNH

Hà N®i - Năm2 0 1 2

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN

CAO TH± ĐÔNG

PHƯƠNG PHÁP THÚ HAI CUA LYAPUNOV VÀ ÚNG DUNG

TRONG VIfiC NGHIÊN CÚU TÍNH ON бNH

CUA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM VÀPHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM CÓX U N G

LU¾NVĂNTHAC SĨTOÁNH O C

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN

CAO TH± ĐÔNG

PHƯƠNG PHÁP THÚ HAI CUA LYAPUNOV VÀ ÚNG DUNG

TRONG VIfiC NGHIÊN CÚU TÍNH ON бNH

CUA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM VÀPHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM CÓX U N G

Mnc lnc

1 M®t so đ%nh lý cơ ban cua phương pháp thÉ hai

1.1 H¾rútGQN 6

1.2 Các khái ni¾mveőnđ%nh 7

1.3 Các hàm xácđ % n h dau 8

1.4 Đ%nhlýthúnhatcnaLyapunovvesnőnđ%nh 10

1.5 Đ%nh lý thú hai cnaLyapunovvesn őn đ%nht i ¾ m c¾n 12

1.6 Đ%nhlýthúbacnaLyapunovvesnkhôngőnđ%nh 15

1.7 Sn őnđ%nhmũ 17

2 Vephương pháp hàmLyapunovđoiváiphương trình vi phân hàm 20 2.1 Sntont ai du yn hat ng hi¾ mc nab ài toánvóigi át r% ba nđa u 20

2.1.1 Đ%nh nghĩavàkýhi¾u 20

2.1.2 Đ%nh lý ton taivàduynhatnghi¾m 21

2.2 Các đ%nh lý cơ banvephương pháp hàmLyapunovđoivóiphương trình viphânh àm 23

2.2.1 Các khái ni¾mveőnđ%nh 23

2.2.2 Các đ%nh lývesn őn đ%nh nghi¾m cna phương trình vi

phânh à m 252.3 Đ%nhlýRazumikhin 33

cóch¾m vóin h i e u xung 463.3.2 Sn dao đ®ng nghi¾m cna phương trình vi phân tuyent í n h 5 03.3.3 Phương trình Logistic cóch¾m vóinhieux u n g 51

Lài nói đau

M®ttrongnhungngưòiđãc ó c ô n g đautrongvi¾cnghiênc ú u m®tc á chh¾thongvàhoànthi¾ncácbàitoánnghiêncúutínhőnđ

%nhnghi¾mcnaphươngtrìnhviphânlànhàtoánHQcngưòiNgaA.Lyapunov.Vàonăm1982,ôngđãcôngbocácketquanghiêncúutínhőnđ

%nhnghi¾mtronglu¾nvăntiensĩkhoaHQcnőitiengcnamình.Trongbanlu¾nvănnàyôngđãđưaracácphươngphápkhácnhauđegiaiquyetbàitoánvetínhőnđ

%nhnghi¾mcnacácphươngtrìnhviphân.M®ttrongcácphươngphápđólàphươngpháphàmLyapunov,nhòphươngphápnàychúngtacóthexácđ%nhtínhőnđ

%nhnghi¾mcnaphươngtrìnhviphânthôngquatínhchattươngúngcnam®tphiemhàmđưockíhi¾ulàV(t,x)màkhôngcanthietphaibietrõnghi¾mtưòngminhcnaphươngtrìnhviphânđangxét.T ù đóđennayđãc ó ratnhieucôngtrìnhnghiênc ú u khoaHQctieptheovephươngphápnày.Ngoàivi¾cmor®ngvàhoànthi¾nphươngpháphàmLyapunovngưòitađãpháttriennóchonhungmôhìnhnghiêncúumóiđecótheúngdungtrongcácbàitoánthncteđadangvàphúctaphơn

N®i dung chính cna lu¾nvănlà trìnhbàym®t cách h¾ thong cácketqua cơbanvephương pháp hàmLyapunov chocác dang phương trình vi phân thưòngtrongRn,phương trình vi phân hàm, phương trình vi phân hàm b% nhieu có xung.Ngoàivi¾ctrìnhbàycácđ%nhlývetínhőnđ%nh,tínhőnđ%nhti¾mc¾ncnaLyapunovchocác dang phương trình vi phân mói trên,chúngtôi đã giành m®t sn quan tâmđ¾c bi¾t đoivóiphương pháp hàmLyapunovkieu Razumikhin.Phươngphápnàytaonênm®tưuthechochúngtatrongvi¾cnghiêncúutính

őn đ%nh cna phương trình vi phân hàmvàsau đó là phương trình vi phân hàm b

% nhieu cóx u n g

Phancuo i cùngc n alu¾nvănđãtrìnhbàym®tminhHQAchomôhìnhdânsodangđơngian(phươngtrìnhLogistis).Trongmôhìnhnàychúngtôiđãchirakhanăngúngdungcnalýthuyetđ

%nhtínhcnaphươngtrìnhviphânchophươngtrìnhviphântuyentínhcóch¾mvóinhieucóxung

Toàn b® n®i dung lu¾n văn gom ba chương:

Chương 1: M®t so đ%nh lý cơ ban cna phương pháp thú hai cna Lyapunov trong

Rn

Chương 2: Ve phương pháp hàm Lyapunov đoi vói phương trình vi phân hàm.Chương 3: Phương pháp hàm Lyapunov đoi vói phương trình vi phân hàm

có xung

Lài cam ơn

Em xinchânthành cam ơn banchnnhi¾m Khoa toán , các đong nghi¾p đã taođieu ki¾nchoem hoàn thành tot ban lu¾nvănnày.Em xinbàyto lòi cam ơn sâusac tóithayhưóng dan PGS TS Đ¾ng Đình Châu cùng gia đình,banbèđãhưóngdant¾ntìnhcũngnhưđ®ngviênemtrongquátrìnhlàmlu¾nvăn

t y

Trong đóY∈C (0,1)(Ω)Ω))vàΩ)={a < t <∞,y∈G}(alà so hay−∞,Glà t¾p mo

trong không gian Euclide thncnchieuRn ), khi đó moi điem(Ω)t

0,y0)∈Ω)t h o amãn đ%nh lý đ%a phươngvesn ton taivàduy nhat nghi¾my=y(Ω)t,t0, y0)đoivóih¾(1.1)vóiđieu ki¾n ban đauy(Ω)t0, y0)=y0.Trongchươngnàytagiói hanchix é t

n g h i ¾ m t h n c

Gia suη=η(Ω)t)(t≤+∞, t >a) là nghi¾m cnah¾(1.1) (chuyen đ®ng khôngb

%nhieu) mà ta phai nghiên cúu tính őnđ%nhcna nó, hơn nua gia suHlàlânc¾ncna nghi¾m đó sao choU H (η(Ω)t))⊆Gvóit∈[t0,∞), trong đó

U H (η(Ω)t)) ={(Ω)t, y) :t0≤t <+∞:||y−η(Ω)t)||< H≤ ∞}.

Ta đ¾t:

t x

X(Ω)t, x) = [Y(Ω)t, x+η(Ω)t))−Y(Ω)t, η(Ω)t))]∈C (0,1)(Ω)Z), Z={a < t <∞,||x||< H},

hơnnuarõràngX(Ω)t,0)≡0.Dođó,h¾(1.3)c ónghi¾mtamthưòngx =0úngvóinghi¾mđãchoη=η(Ω)t)trongkhônggianRn.H¾(1.3)đưocGQIlàh¾rútGQN(theoLyapunovthìnólàm

®th¾phươngtrìnhcnachuyenđ®ngb%nhieu).Nhưv¾y,vi¾cnghiêncúusnőnđ

%nhcnanghi¾mη=η(Ω)t)trongkhônggianRnđưocđưavenghiênc ú u s nőnđ

%nhc n a nghi¾mtamthưòng(v%tríc â n bang)x =0trongRn

1.2 Các khái ni¾mveonđ%nh

Xéth¾rútGQN(1.3)vóiđieuki¾nbanđaux(Ω)t0)=x0,t0∈ R+,thoamãncácđieuki¾nvetínhtontaivàduynhatnghi¾m.Kíhi¾unghi¾mx(Ω)t)=x(Ω)t,t0,x0)lànghi¾mcna(1.3)

Ta có các khái ni¾m ve tính őn cna nghi¾m tam thưòng như sau:

Đ%nhnghĩa1.2.1.Nghi¾mtamthưàng x(Ω)t)≡ 0 cuah¾(1.3)đưac GQI làőnđ

(i) Nghi¾m tam thưàng x(Ω)t)≡ 0 là őn đ%nh.

(ii) Tontai O=O(Ω)t0)>0 sao cho vái MQI x0và ||x0||<O thì

Đ%nhnghĩa1.3.2.Hàm V=V(t,x) đưac GQI làxácđ

%nhdươngtrong Z0neutontaihàm W(x)∈C(Ω)||x||<h) saocho:

V(t,x)≥W(x)>0 vái MQI ||x||=0

V(Ω)t,0) =W(Ω)0) = 0.

Đ%nhnghĩa1.3.3.Hàm V=V(t,x) đưac GQI làxácđ

%nhâmtrong Z0neutontaihàm W(x)∈C(Ω)||x||<h) saocho:

V(t,x)≤−W(x)<0 vái MQI ||x||=0

V(Ω)t,0) =W(Ω)0) = 0.

Ví dn 1.3.1.Trong không gian thncR2=Oxy , hàm so

V=x2+y2−2αcost,cost, (1.4)

Neu |αcost,|<1 , hàm V xác đ%nh dương vì

V(Ω)t, x, y)≥x2+y2−2|αcost,|.|x|.|y| ≥(Ω)1− |αcost,|)(Ω)x2+y2) =W(Ω)x, y)

vái x2+y2>0 , V=0 vái x=y=0

Neu |αcost,|= 1 hàm V chs là hàm không đői dau dương.

Đ

%nhnghĩa1.3.4.Hàm V=V(t,x) đưac GQI làcógiáihanvôcùngbéb¾ccaokhi x→0 trong

Z0neuvái t0>a nàođó,tacó V(t,x) h®itnđeutheo t đen 0 trên [ t0,∞) ,khi ||x||

→0 ,túclàváibatkỳ ε>0 tontaiso δ=δ(Ω)ε)>0 saocho

|V(Ω)t, x)|<ε (1.5)

khi ||x||<δ và t∈[t0,∞)

Nhò bat đang thúc (1.5) taketlu¾n rang hàmV(Ω)t,x)có giói

hanvôcùngbéb ¾ c c a o k h ix→0seb%ch¾ntrong hình tru nàođó

t0≤t<∞, ||x||<h.

Tachúý rang neuV(Ω)x)là hàm liên tuc khôngphuthu®cvàothòi giantvà

V(Ω)0) = 0, thì rõ ràngV(Ω)x)có giói han vô cùng bé b¾c cao khix→0

t x

t x

ΣΣ

1.4 Đ%nhl ý t h É nhatc u a Lyapunovves E onđ % n h

Gia suX(Ω)t,x)∈C (0,1)(Ω)Z),Z={a< t <∞,||x||<H} vàh¾vi phân

đưocgQIlàđaohàm(toànphan)theotcnahàmV(t,x)theoh¾(1.6)

Neux=x(Ω)t)là nghi¾m cna h¾ (1.6) thìV˙(Ω)t, x)là đao hàm toàn phan theo thòi gian cna hàm hopV(Ω)t, x(Ω)t)), túclà

V˙(Ω)t, x)

=d V(Ω)t,x(Ω)t)).dt

Đúnghơn,giasu(Ω)t,x)∈Z0vàx(Ω)τ,t,x)lànghi¾mcnah¾(1.6)xácđ%nhboiđieuki¾nban đaux(Ω)t, t, x) =x Khiđ ó

V˙(Ω)t,x)=

dV (τ,x(Ω)τ,t,x))

dt

τ=

t

t x

(t, x)

Trong không gianRn, xét m¾t cauS ε ={x∈Rn:||x||=ε}nam hoàn toàn trong

Z0,trong đó0<ε≤h<H.VìS ε là t¾p compactvàhàm W(Ω)x)liên tuc, xácđ

theo nghi¾mx(Ω)t) Dođ ó

αcost, > V(Ω)t0, x(Ω)t0))≥V(Ω)t1, x(Ω)t1))≥W(Ω)x(Ω)t1))≥αcost,.

Đieunàyvôlý.Nhưv¾ynghi¾mx(Ω)t)vóit∈[t0,∞)huu han bat kỳ còn nam trongm¾t cauS ε vì ε<H,nghi¾m đó xácđ%nhvóit0≤t <∞(thác trienvôhanbênphai),hơnn u a

Chúng minh.Tù gia thiet cnađ%nhlý (1.5.1) suy ra nó thoa mãn các đieuki¾n đ

%nhlý(1.4.1),nênnghi¾mtamthưòngx=0cnah¾(1.6)làőnđ%nh.Bâygiò ta se chúngminh nghi¾m tam thưòngx= 0là őnđ%nhti¾mc ¾ n

Đe chúng minh đieu này ta se chúng minh rang vói nghi¾m khác0tùy ýx=x(Ω)t))

thoa mãn đieu ki¾n ban đau||x(Ω)t0)|| ≤h < Hvóihđn nho ta luôn có

lim

t→+

∞

d t

<0,

nên hàm sov(Ω)t)đơn đi¾u giam vàb%ch¾n dưói, nó có giói han huu han:

Tachúng to rangαcost,= 0

Φ(Ω)t)=V˙(Ω)t,x)≤−W1(Ω)x). (1.15)Hàm đó ton tai vì theo gia thiet cna đ%nhlý,V˙(Ω)t, x)là hàm xác đ%nh

âm.Takíhi¾u

γ= inf

Th¾t v¾y, gia suε>0bé tùy ý và

||x(Ω)t1)|| ≥ε,

t x

thì nhò vào công thúc (1.19) và (1.18), ta có:

l > V(Ω)t1, x(Ω)t1))≥W(Ω)x(Ω)t1))≥l,

đieu này là vô lý

Tómlai, tù công thúc (1.21), tac ó

∆≤h <H )tìmđưacđiem(Ω)t0,x0)mà tai đó dau cua hàm V cùng dau vái đaohàm V˙ , túcl à

|V(Ω)t, x)|≤M (1.24)

ta có

V(t,x(Ω)t))≥V(t0,x(Ω)t0))=αcost,>0 (1.26)Tachúngminhrangvóigiátr%t=t1(t1>t0)nàođósethoamãnbatđangthúc

||x(Ω)t1)||>∆0 (1.27)

Th¾t v¾y, gia su||x|| ≤∆0vóit≥t0, khi đó nghi¾mx(Ω)t)thác trien vô han bênphai Vì hàmV(Ω)t, x)có giói han vô cùng bé b¾c cao khix→0, nên tù bat đangthúc (1.26), nhò lý lu¾nđã trình bày trong đ%nh lý thú hai Lyapunov, ta suy rarang

V˙(Ω)τ,x(Ω)τ))dτ≥V(t0,x0)+γ(Ω)t−t0), (1.28)

đieunàytráivóitính b%ch¾ncna hàmV(Ω)t, x)trong mient0≤t <∞,||x||

<∆0.V ìδ>0tùy ývà∆>0co đ%nh, nên theo bat đang thúc(1.25)và(1.27)taketl u ¾ n r a n g n g h i ¾ m t a m t h ư ò n gx=0không őn đ

%nh theoLyapunovkhit→∞ Đ%nh lý đưoc chúngminh

1.7 SE on đ%nhmũ

Đ%nhnghĩa1.7.1.Nghi¾mtamthưàng x=0 cuah¾(1.6)đưac GQI làőnđ

%nhmũkhi t→+∞ neuđoiváimőinghi¾m x(Ω)t)≡x(Ω)t,t0,x0)cuah¾đóátrongmiennàođ

trongđó N và αcost, là hai hang so dương nàođ ó

Bo đe 1.7.1.Neu nghi¾m tam thưàng cua h¾ tuyen tính thuan nhat

Chúý.Đoivóih¾ tuyen tính có h¾ so bien thiên, tù tính őn đ%nh ti¾m c¾n cnanó,nóichungkhôngsuyratínhőnđ%nhmũ.

Ví dn 1.7.1.Xét phương trình vô hưáng

dx x

dt=− t (Ω)1≤t <∞).

nghi¾m tőng quát cua nó có dang

c x(Ω)t) =

t

Như v¾y, nghi¾m x=0 cua phương trình này őn đ%nh ti¾m c¾n khi t→

∞ ,nhưngkhông őn đ%nh mũ

1 2 n

Chương 2

Vephươngpháp

hàmLyapunovđoiváiphươngtrình vi phânhàm

2.1 SE ton tai duy nhat nghi¾m cua bài

toánváigiátr%banđau

2.1.1 Đ%nh nghĩavàkýhi¾u

ChoRn làkhônggianEu cl id,x∈ R n,|x|=√x2+x2+ +x2GQIlàchuan

cnax Vóih >0, ta ký hi¾uC=C(Ω)[−h,0],Rn)là không gian Banach các hàm liêntuc trên[−h,0]và nh¾n giátr%trongRn Vóiϕ∈Cthì chuan cnaϕđưocđ%nhnghĩalà:

Đ%nhnghĩa2.1.1.Hàm x đưac GQI lànghi¾mcuaphươngtrìnhviphân(2.1)

Tase tìm nghi¾m x(Ω)t) =x t(Ω)t0,ϕ) ,(Ω)t0= 1)cua phương trình vi phântrên[0,3]

Nghi¾m cna phương trình vi phân trên có dang

Suy ra

x(Ω)t) =ϕ(Ω)2)+ t6x(Ω)s−1)ds, 2≤t≤3 x(Ω)t)=1+3(Ω)t−1)2, 1≤t≤2.

x(Ω)t)=6(Ω)t−2)[(t−2)2+1]+4, 2≤t≤3 x(Ω)t)=1+3(Ω)t−1)2, 1≤t≤2.

V¾y nghi¾m cna phưòng trình trên[0,3]là

x(Ω)t)=t, 0≤t≤1 x(Ω)t)=1+3(Ω)t−1)2, 1≤t≤2 x(Ω)t)=6(Ω)t−2)[(t−2)2+1]+4, 2≤t≤3.

Cú như v¾y ta có the mo r®ng nghi¾m trên m®t đoan huu han tùy ý

Ví dn 2.1.2.(Bang phương pháp xap xs Laplace) Xét phương trình vi phân

cóch¾m

x˙(Ω)t)=x(Ω)t−1) ϕ(Ω)t)=t, −1≤t≤0.

Đe nghiên cúu tính őn đ%nh cna phương trình vi phân hàm thông thưòng chúng ta thưòng áp dung phương pháp hàm Lyapunov Sau đây, tôi xin trình

Khi đó, phương trình (2.3) có nghi¾m tam thưòngx≡0 Ta đ%nh nghĩa sn őn đ

%nh cna nghi¾m tam thưòng đó

Đ%nhnghĩa2.2.1.Nghi¾mtamthưàng x(Ω)t)≡0 cuaphươngtrìnhviphân(2.3)đưac GQI làőnđ

(i) Nghi¾m tam thưàng x(Ω)t)≡ 0 là őn đ%nh.

(ii) Tontai O=O(Ω)t0)>0 sao cho vái MQI ϕ∈C và ||ϕ||<O t h ì

Trongphannàychúngtôi se giói thi¾u m®t so đieu ki¾n đnvesn őn đ%nhvàkhông

őn đ%nh cna nghi¾m tam thưòngx≡0cna phương trình (2.3).Đâylàketqua mo r®ngcna phương pháp thú haiLyapunovđoivóiphương trình vi phân hàm

Đ%nh nghĩa 2.2.5.(Phiem hàm Lyapunov) Ta nói phiem hàm V:R+×C H → Rlà

phiem hàm Lyapunov neu nó liên tnc và thóa mãn đieu ki¾n Lipschitz theobien thú hai.

Giasux=x t(Ω)t0,ϕ)lànghi¾m(2.3)khiđóđaohàmphaitrêncnaV DQctheo

%nhsau:Trongphannàychúngtase su dung phien hàmLyapunovV=V(Ω)t,ϕ)xác đ

%nhtrênm i e nΩ)=R+× Cđenghiêncúutínhőnđ%nhđeuvàőnđ

%nhti¾mc¾nđeucnaphươngtrìnhv i p h â n h à m ( 2 3 ) , t a l uô n g i a t h i e tf (t,ϕ)l àh

à m t h o a m ã n c á c đ i e u k i ¾ nđam bao sn ton tai và duy nhat nghi¾m vàf(Ω)t,0)=0 Tù

đây ve sau chúngtase su dung các ký hi¾u:

C H ={ϕ∈C:||ϕ|| ≤H,H>0}

Đ%nh lý 2.2.1.(Đ%nh lý őn đ%nh)

Gia su ton tai phiem hàm liên tnc Lyapunov V:R+×C H →R+và hàm

a(Ω).)∈CIP thóa mãn đieu ki¾n:

(i) V(Ω)t,0) = 0;

(ii) a(Ω)||ϕ||)≤V(Ω)t, ϕ);

.

(iii) V(Ω)t, ϕ)≤0.

Khi đó, nghi¾m tam thưàng x≡0 cua (2.3) là őn đ%nh.

Chúng minh.Gia su có hàm V(Ω)t,x)thoa mãn các đieu ki¾n(Ω)i),(Ω)ii),(Ω)iii),ta se chúng minh nghi¾m tam thưòngx≡0cna (2.3) là őnđ % n h

Choε >0đn bé,taxác đ%nh m¾t cau

S ε ={ϕ:ϕ∈C H ,||ϕ||=ε}.

Tù (ii) ta suyra

0< a(Ω)ε)≤V(Ω)t, x), t∈R+, x∈S ε

VìV(Ω)t,0) = 0, màV(Ω)t, x)là hàm liên tuc nên vóit0cođ%nhvàa(Ω)ε)>0ton tai

soδ=δ(Ω)t0, ε)>0sao cho neu||ϕ||< δthìV(Ω)t0, ϕ)< a(Ω)ε).

Layx(Ω)t) =x t(Ω)t0,ϕ)là nghi¾m cna (2.3) sao cho||ϕ||< δ, ta se chúng minh

Khi đó nghi¾m tam thưàng x≡0 cua (2.3) őn đ%nh

đeu.Chúng minh.Xét m¾t cau

S ε ={ϕ:ϕ∈C H ,||ϕ||=ε,0<ε<H}.

Tùđieuki¾n(i)tacóa(Ω)||

ϕ||)≤V(t,ϕ)suyraa(Ω)ε)≤V(t,ϕ),vóiMQIϕ∈S ε.Đongthòi,do

V(Ω)t, ϕ)≤b(Ω)||ϕ||)vàb(Ω)||ϕ||)∈CIP

nênvóia(Ω)ε)>0tacHQNđưocsoδ=δ(Ω)ε)>0saochoneu||ϕ||<δ thì b(Ω)||

ϕ||)<a(Ω)ε),dođób(Ω)δ)<a(Ω)ε)

Lay m®t nghi¾m tùy ýx(Ω)t) =x t(Ω)t0, ϕ)cna (2.3) vói||ϕ||< δthì vóit0cođ%nhbat

Đ%nh lý 2.2.3.(Đ%nh lý őn đ%nh ti¾m c¾n đeu) Gia su ton tai phiem hàm

liêntnc V:R+×C H →R+thóa mãn đieu ki¾n sau:

1 a(Ω)ǁϕǁ)™V(Ω)t, ϕ)™b(Ω)ǁϕǁ), a(Ω)r), b(Ω)r)∈CIP ,

2 V˙(Ω)t, ϕ)™−c(Ω)ǁϕǁ) , c(Ω)r) liên tnc và c(Ω)r)>0 khi r >0

khi đó nghi¾m tam thưàng x≡0 cua h¾ (2.3) là őn đ%nh ti¾m c¾n đeu.

Chúng minh.Tù đ%nh lý trêntacó the suy ra nghi¾m x≡0là őn đ%nh đeu.Tasechúng minhx≡0cna phương trình (2.3) là őn đ%nh ti¾m c¾n đeu Donghi¾mx≡0là őn đ%nh đeu nên ton taiδ0=δ0(Ω)H)>0saochovóit0∈R+vàǁϕǁ<δ0,t a có:

ǁx t(Ω)t0,ϕ)ǁ<H;∀t“t0

M¾t khác∀ε >0,∃δ=δ(Ω)ε)>0sao cho∀t0∈R+, ta có:

ǁϕǁ< δ⇒ǁx t(Ω)t0,ϕ)ǁ< ε,∀t“t0

Gia su đang thúclimt→+∞ ǁx t(Ω)t0, ϕ)ǁ=0không đúng vóix(Ω)t) =x t(Ω)t0, ϕ),(Ω)t0∈

R+,ǁϕǁ< δ0)khi đó ton tai dãyt k có tính chat:

đong thài:

V˙(Ω)x, y) = 2.x(Ω)t).[y(Ω)t)−x(Ω)t).y2(Ω)t−r1] + 2y(Ω)t)[−x(Ω)t)−y(Ω)t).x2(Ω)t−r2)]

=−y2(Ω)t).x2(Ω)t−r2)−x2(Ω)t).y2(Ω)t−r1)

™0

V¾y nghi¾m tam thưàng cua h¾ là őn đ%nh đeu.

Xétf:R×C→Rnlà hàm hoàn toàn liên tuc,f(t,0).VàhàmV:R×C→R

là liên tucvàV˙ (Ω)t, ϕ)đưoc xác đ%nh như (2.5) ta có các đ%nh lý ve őn đ%nh đeu

và őn đ%nh ti¾m c¾n đeu toàn cuc cna phương trình (2.3) như sau

Đ%nhl ý 2 2 4 C h o cách à m l i ê n t n c k h ô n g g i a m u , v,w:R+→ R+, u (Ω)s)>

0,v(Ω)s)>0 v á i s >0 v à u (Ω)0)=v(Ω)0)=w(Ω)0)=0 K h i đ ó t a cócáck h a n g đ % n h s a u : 1) Neucóm®t hàm V:R×C→ Rsaoc h o :

(i) u(Ω)|ϕ(Ω)0)|)≤V(Ω)t, ϕ)≤v(Ω)||ϕ||)

.

(ii) V(Ω)t, ϕ)≤−w(Ω)|ϕ(Ω)0)|)

Khi đó nghi¾m tam thưàng x≡0 cua (2.3) őn đ%nh đeu.

2) Neu átrongđieu ki¾n 1) hàm w(Ω)s)>0 vái s>0 thì nghi¾m x=0 là őn đ

V¾y nghi¾m tam thưòngx=0cna (2.3) là őn đ%nh đeu

2)(Őnđ%nhti¾mc¾nđeu).Giasuε=1vàδ0=δ(Ω)1),đưoccHQNtheođ%nhnghĩaőnđ

%nhcnanghi¾mx=0.Vói0<ε<1tasechirarangtontait¯0=t¯0(Ω)δ0,ε)saocho||ϕ||

V(Ω)t , x )< v(Ω)δ )−w δ δL.v (Ω) δ 0)

= 0.

2 L δ.w(Ω))2 δ

ĐieunàyvôlívìV(t,x)>0nêngiathietcnaphanchúnglàsai.Tùđóchúngto rang neut¯0=

2h(Ω)K+ 1)thìvói||ϕ||<δ0,

||x t(Ω)t0,ϕ)||<ε, t≥t0+t¯0

do v¾y ta có sn őn đ%nh ti¾m c¾n đeu cna nghi¾m tam thưòng

Ví dn 2.2.2.(Su dnng phương pháp hàm Lyapunov) Xét phương trình

x˙(Ω)t)=−a(Ω)t)x(Ω)t)−b(Ω)t)x(Ω)t−r(Ω)t)) (2.6)

á đó a(Ω)t) , b(Ω)t) và r(Ω)t) là các hàm liên tncb%ch¾n, a(Ω)t)>0 , r(Ω)t)>0 , r˙(Ω)t)<1

Neub(Ω)t) = 0thì (2.3) tro thành phương trình vi phân thưòng