Luận văn thạc sĩ nhị phân mũ của phương trình động lực trên thang thời gian

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊNKHOA TOÁN CƠ TIN TRAN TH± LOAN NH± PHÂN MŨ CUA PHƯƠNG TRÌNH Đ®NG LUC TRÊN THANG THèIGIAN... Nh%phânmũcnaphươngtrìnhviphâncóthetìmt

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN

KHOA TOÁN CƠ TIN

TRAN TH± LOAN

NH± PHÂN MŨ CUA PHƯƠNG TRÌNH Đ®NG LUC

TRÊN THANG THèIGIAN

Mnc lnc

Làicamơn ii

Làinóiđau iii

1 KienthÉcchuanb % 1 1.1 Các khái ni¾m cơ banvethangt h ò i gian 1

1.2 Nh% phânmũcna phương trình vi phânvàsaiphân 9

1.3 Nh% phânmũtrên thangt h ò i gian 9

1.4 BőđeGronwall 17

2 Nh% phân mũ trên thang thài gian 20 2.1 Nh%phânmũtrênthangthòigianròirac .20

2.2 Đ%nhlýchính .28

Ket lu¾n . 35

Lài cam ơn

Đehoànthànhđưocchươngtrìnhđàotaovàhoànthi¾nlu¾nvănnày,trongthòigianvùaquatôiđãnh¾nđưocratnhieusngiúpđõquíbáucnagiađình,thaycôvàbanbè.Vìv¾y,nhând%pnày,tôimuonđưocguilòicamơntóiMQIngưòi

Lòiđautiên,tôixinbàytolòngbietơnsâusactóiTS.LêHuyTien,thayđãratnhi¾ttìnhhưóngdanvàchibaotôitrongquátrìnhhoànthànhlu¾nvăn.Tôicũngxinguilòicamơnchânthànhtóitatcacácthaycôtrongkhoa,nhungngưòiđãtrnctieptruyenthukienthúc,giangdaytôitrongquátrìnhHQccaoHQc

TôixincamơnBanchnnhi¾mkhoaToán-Cơ-TinHQc,phòngSauĐaiHQctrưòngĐaiHQcKhoahQcTnnhiênđãtaođieuki¾nthu¾nloiđetôihoànthi¾ncácthntucbaov¾lu¾nvăn

Cuoicùng,tôixincamơnchametôi,nhungngưòiluônyêuthươngvànng h®tôivôđieuk i ¾ n

Lài nói đau

Nh

%phânmũcnaphươngtrìnhtuyentínhkhôngôtônômlàkháini¾msuyr®ngc n a tínhhyperbolicc n a phươngtrìnhtuyentínhôtônôm.Nh

%phânmũđóngvaitròquanTRQNGtrongnhieubàitoáncnalýthuyetcách¾đ®nglnckhôngôtônôm,changhanbàitoánnhieu

Nh%phânmũcnaphươngtrìnhviphâncóthetìmthaytrongsách[3,5].Nh%

phânmũcnaphươngtrìnhsaiphâncótrongchanghan[4]và[6,muc7.6].Ca hai khái ni¾m

trên đeu đưoc thong nhat trongPhép tínhtrênthang thài

tùyý.Úngdungchínhcnaketquatrênlàtínhvungcnanh

%phânmũcnah¾vóih¾sotoántubienđőich¾m:nghĩalàneugiasurangphươngtrìnhtuyen

.

tínhphuthu®cthamsox=A(t,q)xcónh%phânmũđeuvóithamsoq,sauđó

tathaythegiátr%qboihàmq(t)bienđőich¾mtheothòigian.Khiđóphương

ónh%phânmũ.N®idungchính cna lu¾nvăndna trên bài báo[C Poetzsche,

Exponential DichotomiesofLinearDynamic Equations onMeasureChains under SlowlyVaryingCoeffi-cients,J M a t h A na l A p p l , 2 8 9 ( 20 04 ), 3 1 7 – 3 3 5 ]

Lu¾nvănđưocchiathành haichương

Chương 1: trình bày các khái ni¾m cơ ban trên thang thòi gian, nh% phân mũ

thúcGronwall

Chương2:chúngminhh¾tuyentínhnhieucónh%phânmũvóigiathieth¾

tuyentínhbanđauphuthu®cthamsocónh%phânmũ.Đâychínhlàmucđíchchính cnalu¾nvăn

Do thòi gianvànăng lnc có han, có the trong lu¾nvăncòn nhungsaisót.Tácgiamongmuonnh¾nđưocsngópýcnacácthay,cáccôvàcácbanđong

nghi¾p

HàN®i,tháng12năm2014

TranTh%Loan

Chương 1

Kien thÉc chuan b%

Trongchươngnày,lu¾nvănsenhaclaim®tsokienthúccơbantrênthang thòigian,nh

%phânmũtrongkhônggianhuuhanchieu,bőđeGronwall.Qua đó đưa ra khái ni¾m nh

% phânmũtrên thang thòigian

1.1 Các khái ni¾m cơ banvethang thàig i a n

GQIXlàkhônggianBanachthncho¾cphúcvóichuanǁ.ǁ;L(X)làkhônggiantuyentínhcáctnđongcauliêntuctrênXvóichuanxácđ%nhboi

ǁTǁ:=sup ǁxǁ=1 ǁTxǁ.

Kíhi¾uGL(X)làt¾pcácđangcautuyentínhtrênXvàI X làánhxađongnhat trênX.

Đ%nh nghĩa 1.1.Thang thài gianTlà t¾pconđóng, khácrőngtùy ý cua t¾pso

thncR

T¾psothncR,t¾psonguyênZ,t¾psotnnhiênNvàt¾psonguyêndươngN0, làcácthangthòigian.T¾pcácsohuuty,cácsovôty,khoangmo(0,1) không là thang thòig i a n

Taseđ%nhnghĩa đao hàmf ∆cna m®t hàm f xácđ%nhtrênTsaocho

(ii) f ∆=∆f neuT=Z.

Các toán tu nhay tien và toán tu nhay lùi trên thang thòi gian mô phongcách thòi gian bien thiên trên thang thòi gian

cđ%nhbái µ(t)=σ(t)−t GQI làhàmhatgraininess.

Vídn1.1.(i)Neu T=Rthìvái MQI t∈ R

)≤h, k∈

Vóicácsothnch0,h>0vàthangthòigianTthìS h (T)làt¾phoptatca

cácthangthòigianròirac(T˜,µ˜)vóiT˜⊆ Tthoamãn(1.1).Ngoàiratanói

đó là m®t (h0, h) - thang thòi gian (T,≤, µ) neu vói moi điemt0∈Tthì tontait k ,t −k ∈ T ,k∈ Nthoamãn {t k } k∈Z ∈S h (T) Vóibatkìthangthòigianmàkhôngb

%ch¾ntrênvàdưói,hàmhatgraininessµ xácđ%nh,GQIlàm®t(h0,h

)-thangthòigianvóih0> 0và h≥h0+sup t∈T µ(t).

Ví dn 1.2.(i)Rlà m®t( h0, h )- thang thài gian vái0 < h0≤h.

(ii) Thang thài gianrài rac hZ, h > 0có σ(t) =t+h, µ(t)

=h trên h Zvà h Zlàm®t( h0,h )- thang thài gian vái h≤h0≤h.

Ví dn 1.3.(i) Gia su f:T→ Rxácđ%nhbái f(t) =α, t∈ T, trong đó α∈R

làhangso,khiđó f ∆ =0.Báivìvái MQI ε> 0,

%nhnghĩa1.7.Ánhxa φ :T −→X đưac GQI làkhavi(tai t0∈ T),neutontaiduynhatđaohà

m φ∆(t0)∈X ,saochovái MQI ε> 0,khiđó

Đ%nhlý 1.2.Gia su f,g:T→ Rlà các hàm kha vi tai t∈Tκ Khi đó

(i) Tőngcáchàm f+g:T→ Rcũng là hàm kha vi tai tv á i

• Toántu nhay tien σ làrd- liêntnc.

(ii) Trên thang thài gian T=R, rd - liên tnc nghĩa là liên tnc, trênT= hZ, h >0

dov¾y MQI hàmlàrd-liêntnc.

Đ%nhnghĩa1.9.Hàm p :T → R GQI làregressiveneu1+ µ(t)p(t)ƒ =0 vái

(t, s).

Ngoài ra ta có m®t so kí hi¾u

sau.N(T) := T−1(0) là không gian

nhân.R(T) := TXlà khoang bien thiên

Đ%nh nghĩa 1.11.Gia su a, b:T→ R, a a b khi và chs khi0 <|b−a∫.

Khiđó a∈C rd R+(T, R) GQI làràiracb%ch¾ndưáineuΓ (a):=1+|

Vóia∈C rd R+(Tκ ,R) ta có bat đang thúcB e c n u l i

thang thòi gian khác

Bo đe 1.1.Gia su so thnc0 < h0≤h vàcáchàm a, b∈C rd R+(T, R) Khi

đó,cáchangso

E a −(h0,h):= inf

h0≤µ(t,s)≤h e a(t,s), E+(h0,h):= sup

h0≤µ(t,s)≤h e b(t, s)

˜Σ

˜Σ

C rd R+(T˜, R) Khiđó, c0,d0:T→ R ,

=ex p

)˜c(

t n

)=exp ln (1+ µ t ( n+1 , t n ) c ( t n )

t

n

≤ e c0(t n+1 ,t n)=e c0(t k ,t l), l≤k.

n=l

Bő đe đưoc chúng minh

n

n, m

trong đó, x n = Φ n,m x m là nghi¾m cua(1.8).

1.3 Nh%phânmũtrên thang thàigian

Trongphannày,chúngtasegióithi¾ukháini¾mnh%phânmũtrênthang

thòigian,tínhb%ch¾ncnatoántud%chchuyen.Vóiphươngtrìnhđ®nglnctrên

vóiA∈C rd T k ,L(X ) vàtoántud%chchuyenΦA(t,τ ) ∈L(X )nghĩalànghi¾m cna

phép toán tương úng bài toán giá tr% banđ au

Toántud%chchuyenΦA(t,τ)trongtrưònghoptőngquátkhôngkhangưocvàchiton taivóiτ≤t.

Phương trình (1.9) có

(i) c+- tăngb%ch¾n (vóihang so C), neu ton tai m®t so thncC≥1vàc∈C rd R+

(T,R)b%ch¾ntrên thoamãn

ǁΦA(t, τ)ǁ ≤Ce c(t, τ), τ≤t.

(ii) (c,d)-tăngb%ch¾n(vóihangsoC),neuphươngtrình(1.9)cóc+-tăngb% ch¾n,A∈C rd R+

(T,L(X ))vàgiasutaiđótontai d∈C rd R+(T, R)b%ch¾ntrên thoamãn

Ánh xa P thóa mãn đieu ki¾n chính quy neu ánh xa

[I X + µ(t)A(t)]| N(P(t)):N(P(t))→ N(P(σ(t)))

là song ánh Khi đó, ánh xa

ΦA(t, τ) := ΦA(t, τ)| N(P(τ)):N(P(τ))→(N(P(t)))

là m®t đang cau.

Ta đ%nh nghĩa toán tu d%ch chuyen mo r®ng (xem [12]) như sau

Đ%nhnghĩa 1.16.Ánh xaΦ A(t, s) :KerP(s)−→KerP(t )đưac xácđ%nhbái

ΦA(t, s):=

.ΣΦ

vái( t,s)∈ T × T Khiđó,Φ A(t,s)GQI làtoántud%chchuyenmár®ng.

Đ%nhnghĩa 1.17.H¾tuyen tính(1.9)cónh%phân mũ vái a, b, K1, K2neu cóm®t phép chieu chính quy P:T→ L(X )thóa mãn đieu ki¾n

(2) Tươngtn,trongtrưà nghap h> 0phươngtrình( 1 9 ) cónh%p h ânmũvái

α, β neu phő σ(I X + hA )không giao vái hình khuyên

và phép chieubatbienđưacđưarabáiphő {λ∈C:|λ| ≤α }.

Chúý 1.3.Trongđ%nh nghĩa nh% phân mũcáchàm tăng trưáng a, b khôngđưacg i a

s u l à cáchang so.Váicácphương trình vi phân thưàng đieu này đãđưacn g h i ê n

c ú u trong[10] M®t điem nuacanchú ýtrongnh% phân mũ là chúng ta không đòi hói đieu ki¾nhyperbolicnhư là a a0a b Do v¾y thnc chat khái ni¾mnh% phân mũ đang xét á đây là khái ni¾m nh% phân mũ giahyperbolic( xem [6,trang229, đ%nh nghĩa 7.6.4],[ 9 ] )

Bo đe 1.3.Gia su có h¾ tuyen tính(1.9)và

Bo đe 1.4.Gia su C1,C2“1là nhung so thnc và c∈C rd R+(T, R) Neu h¾tuyen

tính(1.9)và(1.12)cócáctoántu d%ch chuyen tương úngthóam ã n

Chúng minh.Vói phương trình tuyen tính(1.9) và phép chieu P, hàm Green

đưoc xác đ%nh như sau

r s,x0= [B(t)−A(t)]G B(t, s)x0.

1.4 Bo đeGronwall

Đ%nhlý 1.7.Cho u,v và w là các hàm liên tnc xác đ%nh trên[ p, q ], w(t)≥ 0vái

t∈[p,q ].Gia sutrên[ p,q ]tacóbatđangt h ú c

TùĐ%nhlý1.7,tacóh¾quaquanTRQNGs a u , h¾quanàychínhlàB ő đeGronwall.

H¾ qua 1.1.Neu v kha vi, thì tù(1.19)ta có

%phânmũcnah¾tuyentínhx O =B(t)xvóiđieu ki¾n h¾ đó đn gan phươngtrìnhx O =A(t,q)xvóitham soqbien thiênch¾m.

2.1 Nh%phânmũtrên thang thài gian ràir a c

Bo đe 2.1.Gia su K1, K2, M1, M2≥1,(T,≤, µ )là m®t thang thài gian rài rac

P^(t k+1)[I X + µ˜(t k)A˜(t k)]=[I X + µ˜(t k)A˜(t k)]P^(t k).

Suy ra

P^(t k+1)ΦA˜(σ(t k),t k)=ΦA˜(σ(t k),t k)P^(t k)do(1.11).

V¾yP:T→ L(X) là phép chieu bat bien cna (2.6)

TieptheotacanchúngminhǁΦA(t,τ ) P ( τ ) ǁ≤K1M1e a(t,τ ) ,

τ≤t Th¾tv¾yTacóΦ A^(t k ,t l)=ΨA^(l,k), l≤k Nêntù(2.2)tacó

Bođe2.2.Giasu(T ,≤,µ )làm®tthangthàigianràirac, T= {t k } k∈Z ,0 <θ1<

1<θ2,K1,K2≥ 1 ,N0≥ 0,cáchàm˜ a,˜b∈C rd R+(T˜, R),˜ aa ˜ b ,trongđó˜ b b%ch¾n

Bő đe đưoc chúng minh.

Cuoi cùngchúngtôi đưa ravanđe nh% phânmũtrên thang thòi gian tőng quát

Bo đe 2.3.Gia su0 ≤h0≤h , |µ| là nhung so thnc, sao cho(T,≤, µ )là( h,h0)

-thangthàigian, C2≥ 1,cáchàm c,c2,d,d2∈C rd R+(T, R),db%ch¾ntrên, d2

rài racb%ch¾n trên và

cad , supξ µ(s)(c(s))<infξ µ(s)(d(s)).

và vecto bat bien Q:T→ L(X )vái Q(t) :=Q t(t).

Chúng minh.Do hàm db%ch¾n trên và d2ròi racb%ch¾n dưói, nên dan đen

c2gc, dgd2b%ch¾n trên

Theo bő đe (1.1)E+

c2gc(h0, h), E+

dgd2(h0,h)<∞.

Giasut0∈ TtùyývàtacHQNthangròigianròiracbatkìT˜={t k } k∈Z ∈ S h (T)

giong như trong gia su (ii) Do đóc, d∈C rd R+(T,R).

Áp dung bat đang thúc Becnuli tac ó

− ˜ c(t k

P t ( t)≡P t ( t)2, P t ( t)ΦB(t,t0)=ΦB(t,t0)P t ( t0)trênT˜.

TrongđóP t0l àphépchieubatbiencnah¾tuyentính(2.21).Tacó

IX + µ(t k+1 ,t k)B˜(t k)≡ Φ B ( t k+1 ,t k)trênZ.ÁnhxaB˜:T˜→L(X)làquayngưocvà

- tăngb%ch¾n vái C là hangs o

(ii) H¾ tuyen tính(2.24)cónh% phân mũ vái a, b,K1,K2và phép chieubatbien

P q :T→ L(X )

(iii) H¾ tuyent í n h

có( c2, d2)tăngb%ch¾n vái C là hang so.

Hơn nua, cho các hàm co đ%nh tùy ý c, d∈ C rd R+(T,L(X ))vái

(ii) Khi không gian tham soQchscóm®t phan tu thìbatđang thúc( 2 2 8 ) là

khôngcanthiet Lúc nàyđ%nhlí (2.1)tráthànhđ%nhlí ve tính vung cuah¾ nh%phân

mũ váib¾ctăngb%ch¾n.Tuynhiêntrênthang thài gianrài racđ%nhlí (1.6) tőng quát hơnđ%nhlí(2.1).

(iv) Neu thang thài gian đang xét là thuan nhat (túc là hàm hatgraininesslàhang so) tacóthe thuđưac côngthúc cn the cho giá tr% cnc đai cua s0,s1theocác b¾ctăng trưáng cua phương trình(2.24), hang so nh% phân mũ cua phươngtrình(2.25)cácgiá tr% h0,h xem chi tiettrong[13,trang125- 126]ho¾cxemtrong[14].

Chúngminh.G i a suphươngtrình(2.24)cóΦ A(.;q),q ∈Qlàtoántuphuthu®c thamso.Tacan chúng minh bon đieus a u :

g a

h0

^B :Z →L(X ) ,

^P :Z →L(X ) ,2

^P := P(t ) 1

^

^

^

(I) Giathietchod∈C rd R+(T,L(X )), b b%ch¾ntrênnên a,d làròiracb%ch¾ntrênvà0 a

t0∈Tbat kì ta có thang thòi gian ròi rac

=ǁ ΦA(t k+1 ,t k;q ∗(t k))ΦA(t k+1 ,t k;q ∗(t k))[I X −P q ∗ (t k )(t k)]ξǁ

=ΦA(t k+1 ,t k;q ∗(t k))[I X −P q ∗ (t k )(t k)]ΦA(t k+1 ,t k;q ∗(t k))ξǁ

≤K2e b(t k ,t k+1 ǁA^(k)ξǁ vóiη∈N ( P^1(k)),trongđó

ǁA^(k)ηǁ≤θ1(1+µ(t k+1 ,t k)˜a(t k)ǁηǁ

vóiη∈R(P^1(k)),ǁA^(k)ξǁ≥θ2+(1+µ(t k+1 ,t k))˜a(t k)ǁξǁ

vóiη∈N ( P^1(k)).Tùgiathiet(ii)tacóvóiMQIq∈Qthì

ǁP q(s)ǁ ≤K1,ǁI X −P q(s)ǁ ≤K2,vóis∈T.

M¾t khác ta có

ǁP1(k)ǁ ≤K1,ǁI X −P2(k)ǁ ≤K2,ǁP2(k)ǁ ≤K1,vóik∈ZCuoi cùng theo (i) và bő đe (1.3) ta có

ǁA(k)ǁ = ǁΦA(t k+1 ,t k;q ∗(t k))ǁ≤

≤C1e c1(t k+1 , t k)

≤C1E c1(h0, h).

1

DođóvóiMQIsothncs0,s1> 0đnnho,ápdungbőđe(2.2)khiđóh¾tuyentính

x O = B˜(t)

(t

1 ):= (B(k)−I X ) , k∈ Z ,

µ˜(t k)trênT˜cónh%phânmũvói˜c,d˜,L1,L2≥ 1vàphépchieubatbienQ˜ t

0:T˜→L(X ).

Chúng minh đưoc hoàn thành

H¾ qua 2.1.Gia subatđang thúc ǁA(t,q ∗(τ))−B(t)ǁ ™ s0, t, τ∈T,0≤

µ(t, τ)≤h, cóthe viet lai nhưs a u

đieu đó không làm thay đői ket lu¾n cua đ%nh lí 2.1.

Chúý 2.2.Đ%nh lí (2.1) khá trùu tưangcónhieu chi tiet kĩ thu¾t chúng ta sedùng nó

đe chúng minhrangkhái ni¾m nh% phân mũ là vung chocách¾ so bien thiên ch¾m.

Cn the ket qua chính phát bieurangneu m®t h¾cónh% phân mũ liên tnc Holdertheom®t tham socođ%nh thì tham so nàycótheđưacthay thebáim®thàmcóhangsoHoldertoàncncđunhómàkhônglàmthayđőitínhnh%phân mũ cua phương trìnhbanđau.

∈

k

H¾qua2.2.Giasu( Q,d )làkhônggianmetric,ánhxa A :T ×Q→L(X

)rd-liêntnc,cácsothnc K1,K2≥ 1 ,C1C2≥ 0 ,α,β∈ (0 , 1]vàcáchàm a,b,c1,c2∈C rd R+

(T, R), aab , b b%ch¾ntrênsaochovái MQI q∈Q giasu

(i) Tacóbatđang thúcHolder

(ii) H¾ tuyen tính(2.24)có c+-tăngb%ch¾n vái hang so C1.

(iii) H¾ tuyen tính(2.24)cónh% phân mũ vái a, b,K1,K2và phép chieubatbien

P q :T→ L(X ).

Ngoàira,laybatkìvàcođ%nhcáchàm c , d∈C rd R+

(T, R)nhưtrong(2.26)thìtacóthe CHQN cácsothnc0 <h0≤h,|µ|≤h đulán.

(iv) K1K2< E b −(h0, h), K1< E c −(h0, h )và K2< E b −(h0, h).

(v) (T,≤, µ )là( h0,h )- thang thài gianràirac.

Khi đó, ton tai các so thnc s0, s1> 0phn thu®c vào h0,h,a, b, c, d, c1, c2, d2, C1,

C2, K1, K2sao cho ánh xa q ∗ :T → Q thóa mãn

(vi) Đieu ki¾nHolder

d(q ∗(t),q ∗(τ )) ≤θ|µ(t,τ ) | β t,τ∈ T , (2.36)

trong đó θ≥ 0thóa mãn Lθ α h αβ ≤s0, Lθ α h αβ max {K1, K2}C a,b(c, d)≤s1.

(vi) H¾ phương trình tuyen tính

x O = A(t,q ∗(t))x (2.37)

thưàngđưacdùngtrongúngdnnglýthuyetnhieucua phương trìnhđ®nglnc trênth angthàigian.

(ii)Tacóthe su dnng h¾ qua (2.2) như là m®t tiêu chuan cho nh% phân mũ

cuah¾tuyentính( 1 9 ) Trongthnctetagiasurang

• h≤µ(t)≤H vái MQI t∈ Tvàcácso thnc h, H > 0

• Tontai so thnc α <β,α∈Rh thóamãn phő cua A(t0)∈

L(X),t0∈ Tcótheđưacphântíchthànhnhungt¾pđóng ràinhau σ1(t0),σ2(t0)vái

Tài li¾u tham khao

[1]B Aulbach, S Hilger,Linear dynamic processes with inhomogeneous

timescale, in Nonlinear Dynamics and Quantum Dynamical Systems,

G.A Leonov, et al., eds., Akademie-Verlag, Berlin, 1990, 9-20

[2]M Bohner,A Peterson, Dynamic Equations on

TimeScales-AnIntro-duction with Applications, Birkhauser, Boston,2001.

[3]W.A.Coppel, Dichotomies in StabilityTheory,LectureNotes in

Mathe-matics, 629, Springer-Verlag, Berlin,1 9 7 8

[4]C.V Coffman , J.J Schaeffer,Dichotomies for linear difference equations,

Mathematische Annalen 172 (1967), 139–166

[5]J.L Daleckii,M.G Kreiin,Stability of Solutions of Differential Equations

inBanachSpace,Translationsof Mathematical Monographs,Vol.43,

Ameri-can MathematicalSociety,Providence, Rhode Island, 1974

[6]D Henry,Geometric Theory of Semilinear Parabolic Equations, Lecture

Notes in Mathematics, 840, Springer-Verlag, Berlin, 1980

[7]S.Hilger, Analysis onmeasurechains –

aunifiedapproachtocontinuousanddiscrete calculus,Results in Mathematics

18 (1990),1 8 – 5 6

[8]R.A Johnson,Remarks on linear differential systems with measurable

coef-ficients, Proc Am Math Soc 100(3) (1987), 491–504.

[9]J Kalkbrenner,Exponential Dichotomy and Chaotic Dynamic of

Noninvert-ible Difference Equations (in german), Ph.D Thesis, University of

Augs-burg, 1994 (available from Wißner Verlag, AugsAugs-burg, ISBN 3-928898-57-4)

[10]J.S.Muldowney,Dichotomies and asymptoticbehaviourforlinear differen-tial

systems,Trans.Am Math Soc 283 (1984),4 6 5 – 4 8 4

[11]K.J Palmer,A perturbation theorem for exponential dichotomies, Proc R.

Soc.Edinb., Sect A 106 (1987), 25–37

[12]C Poetzsche,Exponential dichotomies for linear dynamic equations,

Non-linear Analysis (TMA) 47(2) (2001), 873–884

[13] ——,SlowFiberBundles of Dynamic Equations onMeasureChains

(ingerman),Ph.D.Thesis,UniversityofAugsburg,2002(availablefromLogosVerlag,Berli

n, ISBN3-8325- 0016- 2)

[14] —–,Slow and fast variables in nonautonomousdifferenceequations,Journal of

Difference Equations and Applications 9(5) (2003),473–487

[15]K Sakamoto,A remark on perturbation theorems for exponential

di-chotomies, private correspondence, March 2000.

[16]—–,Estimates on thestrengthof exponential dichotomies andapplicationtointegralmanifolds,JournalofDifferentialEquations107(1994),259–279.

[17]R.J.Sacker,G.R Sell,Aspectraltheoryforlineardifferential systems, Jour- nal

of Differential Equations 27 (1978),320–358

[18]N.VanMinh,Spectraltheoryforlinearnon-autonomous differentialequa-tions,

J Math Anal Appl 187 (1994),339–351

[19]Christian Poetzsche,Exponential Dichotomies ofLinearDynamic Equa-tions

onMeasureChains under SlowlyVaryingCoefficients, J Math Anal Appl.,

289 (2004),317–335