Dùng phương pháp chia đôi để tìm nghiệm gần đúng của phương trình

Bài 2: Dùng phương pháp chia đôi tìm nghiệm gần đúng của... Bài tập 6: Dùng phương pháp Gauss để giải những hệ phương trình Ax=b... Dùng đa thức nội suy nhận được tính giá trị f0,25 Giả

Bài 2: Dùng phương pháp chia đôi tìm nghiệm gần đúng của

=> Khoảng phân ly nghiệm [-2.5625; -2.53125 ]

Bài 3: Dùng phương pháp lặp, tìm nghiệm đúng với độ chính xác 10 - 3

a) x3+ 3x2 – 3 = 0 , biết khoảng cách ly nghiệm là ( -2.75; -2.5)

y2 = 5 - 3x2

y

-2   0  1 x

-1

-2

Từ đồ thị ta có: f (-2 ) = - 9 < 0

Khoảng phân ly nghiệm [ - 2 ; -1 ] f (-1 ) = 1 > 0

Vì f (-2 ) f (-1 ) < 0 * Áp dụng phương pháp dây cung ta có: Do f (-2 ) = - 9 < 0 => chọn xo = -2

x1 = xo –

) ( ) (

) ).(

( 0

a f b f

a b x f





= -1.1

f (x1) = 0.036 > 0 => Khoảng phân ly nghiệm [ - 2 ; -1.1 ]

x2 = x1 –

) ( ) (

) ).(

( 1

a f b f

a b x f





= -1.14

f (x2) = 0.098 > 0 => Khoảng phân ly nghiệm [ - 2 ; -1.14 ]

x3 = x2 –

) ( ) (

) ).(

( 2

a f b f

a b x f





= -1.149

f (x3) = 0.0036> 0 => Khoảng phân ly nghiệm [ - 2 ; -1.149 ]

x4 = -1.152 => f (x4) = 0.015> 0

=> Khoảng phân ly nghiệm [- 2 ; -1.152 ]

x5 = -1.1534 => f (x5) = 0.0054 > 0

cuu duong than cong com

=> Khoảng phân ly nghiệm [- 2 ;-1.1534 ]

)(

0 ' 0

x f

x f

= -1.4

x2 = x1 -

)(

)(

1 ' 1

x f

x f

= -1.181081081

x3 = x2 -

)(

)(

2 ' 2

x f

x f

= -1.154525889

x4 = x3 -

)(

)(

3 ' 3

x f

x f

Tìm khoảng phân ly nghiệm :

Bảng biến thiên:

75

)).(

( 0

a f b f

a b x f

)).(

( 1

a f b f

a b x f

)).(

( 2

a f b f

a b x f

* Áp dụng phương pháp tiếp tuyến ( Niwtơn) trong khoảng [ 0 ; 1 ] ta có:

)(

0 ' 0

x f

x f

= 0.3333

x2 = x1 -

)(

)(

1 ' 1

x f

x f

= 0.33766

x3 = x2 -

)(

)(

2 ' 2

x f

x f

)).(

( 0

a f b f

a b x f

)).(

( 1

a f b f

a b x f

)).(

( 2

a f b f

a b x f

=> Khoảng phân ly nghiệm [1.237 ; 2]

)(

0 ' 0

x f

x f

= 1.6206896

x2 = x1 -

)(

)(

1 ' 1

x f

x f

= 1.404181

x3 = x2 -

)(

)(

2 ' 2

x f

x f

= 1.320566

cuu duong than cong com

x4 = x3 -

)(

)(

3 ' 3

x f

x f

= 1.307772

x5 = x4 -

)(

)(

4 ' 4

x f

x f

Vậy ta thấy nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là : x= 0,30991

cuu duong than cong com

Bài tập 6:

Dùng phương pháp Gauss để giải những hệ phương trình

Ax=b Các phép tính lấy đến 5 số lẻ sau dấu phẩy:

0,1 -0,1 -0,5

0,4 0,8 0,2

1

0

0

-0,13333 1,48667 1,6

0,06667 0,09333 -0,48

0,26667 0,82667 0,28

1

1

0,06278 -1,48448

0,55605 -0,33326

1

1

0,54196 0,32397

Vậy nghiệm của phương trình là : (0,32397 ; 0,54196 ;0,22449 )

-2,0 4,3

3

19,07 3,21 -18,25

8,9231 -6,88462

-0,76923 6,60769 -1,61538

7,33462 -18,79386 25,75772

3,93754

-2,29409 9,96378

1

1

-4,33508 1,77810

Bằng phương pháp lặp đơn,tính lặp 3 lần,lấy x (a) =g và đánh giá sai số của x 3

Giải: Từ phương trình (I)

/

1

.

5 / 16 5 / 1 5

/

1

.

8 / 1 8 / 1 8

2 , 3 2 , 0 2 , 0

125 , 0 125 , 0 125 , 0

y x

z

z x y

z y

,

0

2 , 0 0 2

,

0

125 , 0 125 , 0

2 , 3

125 , 0

Ta xet r = maxi 

 3 1

j ij

4 , 0

25 , 0

3 2 1

r r r

 r = maxi 

 3 1

j ij

0,135

0 0,25

0,125 0,2

0

cuu duong than cong com

X(1)

X(2)

X(3)

-0,74375 -0,89453125 -0,961835937

-3,575 -3,865 -3,94484375

-2,58125 -2,8296875 -2,939882875

 .0,110195375 = 0,110195375 Vậy ta có nghiệm của phương trình là:

0, 25897 1 0,12171 1

0, 29038 1

r r r

-0,15902 -0,04826

1,11921 1,17928 1,17773 1,17774

cuu duong than cong com

1,17751 1,17753 1,17751 Nghiệm bằng: (0,94444; 1,17429; 1,17751)

3 0 )(

2 0

(

) 5 )(

3 )(

2 (

3 2 )(

0 2 (

) 5 )(

3 )(

0 (

2 3 )(

0 3 (

) 5 )(

2 )(

0 (

Vậy đa thức Lagrange cần tìm la : p3(x) =

30

30 124 2 65 3

2 , 324 0 , 321 )(

8 , 322 0 , 321 (

) 0 , 325 5 , 323 )(

2 , 324 5 , 323 )(

8 , 322 5 , 323 (

L1(x* )=

) 0 , 325 8 , 322 )(

2 , 324 8 , 322 )(

0 , 321 8 , 322 (

) 0 , 325 5 , 323 )(

2 , 324 5 , 323 )(

0 , 321 5 , 323 (

8 , 322 2 , 324 )(

0 , 321 2 , 324 (

) 0 , 325 5 , 323 )(

8 , 322 5 , 323 )(

0 , 321 5 , 323 (

8 , 322 0 , 325 )(

0 , 321 0 , 325 (

) 2 , 324 5 , 323 )(

8 , 322 5 , 323 )(

0 , 321 5 , 323 (

a Xây dựng đa thức nội suy Niwton tiến xuất phát từ nút x0 =-1 của y = f(x)

b Dùng đa thức nội suy nhận được tính giá trị f(0,25)

Giải : Đa thức vừa lặp là đa thức nội suy Niwton bước không đều



+

! 2

) 1 ( t

 y0 +

! 3

) 2 )(

1

 y0 Theo bài ra ta có : x=0,14  0,1+0,1t =0,1 => t=0,4

cuu duong than cong com

Thay vào trên ta có : Sin(0,14) = 0,09983 + 0,4.0,09884 +

2

) 1 4 , 0 ( 4 ,

1 4

00009984 ,

Dựa vào công thức sai phân lùi ta có

Sin(0,46) = p(x) ; [x= 0,4 + 0,1t = mọi người nhập trong tài liệu.

Sai số tính theo công thức (4.7) ở trênta có :

4

16

14,64 32,96

cuu duong than cong com

Giá trị công thức na+b∑xi =∑yi

a∑xi +b∑xi2 = ∑xiyi

42

01 , 58 42 6

b a

b a

4 , 6

b a

Vậy công thức nghiệm có dạng: y=6,4x +0,5

Bài 13: Cho bảng giá trị

y= f(x) 7,23 8,24 9,20 10,19 11,01 12,05 Hãy tìm công thức thực nghiệm có dạng y = ax + b

0

4 , 6 373333333 ,

6 02

, 439 364

42

01 , 58 42 6

b

a b

a

b a

Vậy công thức thực nghiệm cần tìm là y 0  , 5 6 , 4x

Bài 14: Cho bảng giá trị

cuu duong than cong com

x 0,78 1,56 2,34 3,12 3,81 y= f(x) 2,50 1,20 1,12 2,25 4,28 Hãy tìm công thức thực nghiệm có dạng y = a + bx + cx2

94 7504574 ,

341 761541

, 102 7681

,

32

7696 , 29 761541 ,

102 7681 , 32 61

,

11

35 , 11 7681 , 32 61 , 11

5

c b

a

c b

a

c b

1

4 014714129 ,

4

5 022553658 ,

CHƯƠNG 5: TÌM NGHIỆM GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN

Bài 15: Cho bảng giá trị

y=f(x) 1,6990 1,7404 1,7782 Tính gần đúng y’(55) và y’(60) của hàm số y = lgx So sánh với kết quả đúng tính đạo hàm của hàm số y = lgx

60 1,7782 > 0,0378 Thay vào công thức (1) ta được:

Hãy tính y/( 0 , 12 ) Kết quả làm tròn tới 6 chữ số thập phân

cuu duong than cong com

-15 , 0 )(

12 , 0 (

365 854588

, 4347 02176

, 19162 53444

, 29708

365 854588 ,

4347 02176

, 19162 12

, 0 53444 , 29708

h

x f h x f x

02 , 0

7651977 ,

0 7563321 ,

0 02

, 0

) 00 , 1 ( ) 02 , 1 ( ) 1 ( ) 1

0,510204081 +0,034293552 + 2(0,308641975 +0,206611570 +

I T   Với M Max f //(x), với mọi xa,b

/

2

/ 2

) 4 1 (

8 32 )

4 1 (

1 )

( )

4 1 (

1 )

(

x

x x

x f x

3 4

/ 4 //

) 4 1 (

96 384 )

4 1 (

) 8 32 ( ) 4 1 ( 16 ) 4 1 ( 32 )

4 1 (

8 32 )

(

x

x x

x x

x x

x x

96 1 , 0 384 )

1 , 0

1 , 0 98958767 ,

Trong đó M Max f ////(x) với axb

Ta có:

4 2 ////

3 2

2 ///

2 2 //

2 /

) 2

1 (

) 1 (

64 )

(

) 2

1 (

20 24 12

) ( )

2 1 (

4 4 )

( 2

1

2 )

( 1

1

)

(

x x

x x

f

x x

x x

x f x

x

x x

f x x x

f x

0 180

) 2 5 , 3 (

125 , 0 64 64

) 2 ( )

(

4 S

8 , 0

2

cos 1

sin

dx x x

Chia [-0,8; 0,8] thành 16 đoạn bằng nhau, suy ra h =

16

)8,0(8,

5 ,

0 ln(1 cos )

)ln(cos

Chia [-0,5;0,5] thành 8 đoạn bằng nhau ta có h =0,125

Ta tính ra bảng sau :

f(x) =

)cos1ln(

)ln(cos

Thay số và tính toán ta được kết quả Is = - 0,065330

Bài 24: Cho bài toán Cauchy:

y’= y2 - x2Hãy tìm nghiệm gần đúng bằng phương pháp Euler trên [1,2], chọn bước h= 0,1

Bài giải:

Theo đầu bài ta có: h= 0,1; U0= y(1)= 1, x0 = 1

Áp dụng công thức Euler: Ui+1= Ui+ hf(xi ; yi)

y/   2

y(0) = 1, 0 x 1

Hãy tìm nghiệm gần đúng bằng phương pháp Euler cải tiến ( chỉ lặp 1 lần),chọn bước h

= 0,2 và so sánh kết quả với nghiệm đúng

) , (

) 0 (

1 (

0 0

2 , 0 2 2 , 1 1

0 2 1 1 , 0

186667 ,

1

2 , 0 2 186667 ,

1 2 , 0 186667 ,

1 ) , ( 2 ,

) 1 ( 1 )

1 ( 1 1 )

1 ( 1 )

1 356585 ,

1

4 , 0 2 356585 ,

1 186667 ,

1

0 2 186667 ,

1 1 , 0 186667

1 348325 ,

1

4 , 0 2 348325 ,

1 2 , 0 348325 ,

1 ) , ( 2 ,

) 1 ( 2 )

1 ( 2 2 )

1 ( 2 )

1 499325 ,

1

6 , 0 2 499325 ,

1 348325 ,

1

4 , 0 2 348325 ,

1 1 , 0 348325

1 493721 ,

1

6 , 0 2 493721 ,

1 2 , 0 493721 ,

1 ) , ( 2 ,

) 1 ( 3 )

1 ( 3 3 )

1 ( 3 )

1 631793 ,

1

8 , 0 2 631793 ,

1 493721 ,

1

6 , 0 2 493721 ,

1 1 , 0 493721

1 627884 ,

1

8 , 0 2 627884 ,

1 2 , 0 627884 ,

1 ) , (

) 1 ( 4 )

1 ( 4 4 )

1 ( 4 )

1 756887 ,

1

1 2 756887 ,

1 627884 ,

1

8 , 0 2 627884 ,

1 1 , 0 627884

Câu 26 Cho bài toán Cauchy y/ x y

y(0)= 1 Hãy tìm nghiệm gần đúng bằng phương pháp Euler cải tiến với độ chính xác đến 4 chữ số lẻ thập phân trùng nhau, giá trị của y(0,1) chọn bước h = 0,05

1

(

1

m i i i

i i

m

i u h f x u f x u

) , (

) 0 ( 1 1 0

0 0

) 1 ( 1 1 0

0 0

) 0 ( 2 2 1

1 1

) 1 ( 2 2 1

1 1

Hãy tìm nghiệm gần đúng bằng phương pháp Runge – Kutta cấp 4 trên 0 ; 0 , 6 Chọn bước h= 0,2

Giải Theo bài ra, ta có

3 2 , 0

0 6 , 0

2 , 0 , 6 , 0 , 0

0 0

h b

x

cuu duong than cong com

0

0

x u

0 2020402 ,

0 2 202 , 0 2 2 , 0 ( 6

1 0 ) 2

2 ( 6

1

208164048 ,

0 ) 2020402 1

( 2 , 0 )

; (

.

2020402 ,

0 ) 101 , 0 1 ( 2 , 0 ) 5 , 0

; 5 , 0 (

.

202 , 0 ) 1 , 0 1 ( 2 , 0 ) 5 , 0

; 5 , 0 (

.

2 , 0 ) 0 1 ( 2 , 0 ) ,

(

.

4 3 2 1 0

1

2 3

0 0

4

2 2

0 0

3

2 1

0 0

2

2 0

u

k u h x

f

h

k

k u

h x

f

h

k

k u

h x

202707408 ,

0

1

1

x u

Ta có:

422788992 ,

0 ) 235649101 ,

0 219483908

0 2 208218058 ,

0 ( 6

1 202707408 ,

0 ) 2

2 ( 6 1

235649101 ,

0 ) 422191316 ,

0 1 ( 2 , 0 )

; (

.

219483908 ,

0 ) 31212104 ,

0 1 ( 2 , 0 ) 5 , 0

; 5 , 0 (

.

218827265 ,

0 ) 306816437 ,

0 1 ( 2 , 0 ) 5 , 0

; 5 , 0 (

.

208218058 ,

0 ) 202707408 ,

0 1 ( 2 , 0 ) ,

(

.

4 3 2 1 1

2

2 3

1 1

4

2 2

1 1

3

2 1

1 1

2

2 1

u

k u h x

f

h

k

k u

h x

f

h

k

k u

h x

f

h

k

u x

422788992 ,

0

2

2

x u

Ta có:

6841334 ,

0 ) 293498538 ,

0 260945382

0 2 235750106 ,

0 ( 6

1 422788992 ,

0 ) 2

2 ( 6 1

293498538 ,

0 ) 683734374 ,

0 1 ( 2 , 0 )

; (

.

260945382 ,

0 ) 552020752 ,

0 1 ( 2 , 0 ) 5 , 0

; 5 , 0 (

.

258463521 ,

0 ) 540664045 ,

0 1 ( 2 , 0 ) 5 , 0

; 5 , 0 (

.

235750106 ,

0 ) 422788992 ,

0 1 ( 2 , 0 ) ,

(

.

4 3 2 1 2

3

2 3

2 2

4

2 2

2 2

3

2 1

2 2

2

2 2

u

k u h x

f

h

k

k u

h x

f

h

k

k u

h x

f

h

k

u x

6841334 ,

0

3

3

x u

cuu duong than cong com

029636621 ,

1 ) 412063133 ,

0 345582905

0 2 293607701 ,

0 ( 6

1 6841334 ,

0 ) 2

2 ( 6 1

412063133 ,

0 ) 029716305 ,

1 1 ( 2 , 0 )

; (

.

345582905 ,

0 ) 853179071 ,

0 1 ( 2 , 0 ) 5 , 0

; 5 , 0 (

.

338091342 ,

0 ) 83093725 ,

0 1 ( 2 , 0 ) 5 , 0

; 5 , 0 (

.

293607701 ,

0 ) 6841334 ,

0 1 ( 2 , 0 ) ,

(

.

4 3 2 1 3

4

2 3

3 3

4

2 2

3 3

3

2 1

3 3

2

3 3

u

k u h x

f

h

k

k u

h x

f

h

k

k u

h x

f

h

k

u x

lẻ thập phân

cuu duong than cong com

 = + ℎ( − ( , ). ( , )) = 0,813037 +) = + ( − . ) = 0,764708

 = + ℎ( − ( , ). ( , )) = 0,696278 Vậy nghiệm gần đúng cần tìm là: U3= α= 0,696278

cuu duong than cong com