Bài giảng Cơ học ứng dụng: Tuần 5 - Nguyễn Duy Khương

Bài giảng Cơ học ứng dụng: Tuần 5 - Nguyễn Duy Khương cung cấp cho học viên những kiến thức về ứng suất và biến dạng; khái niệm cơ bản về sự kéo, sự nén và sự cắt; ứng suất tổng quát và các thành phần ứng suất; trạng thái ứng suất suất phẳng;... Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết nội dung bài giảng!

Trang 1

CHƯƠNG 4 Ứng suất và biến dạng

1 Khái niệm cơ bản về sự kéo, sự nén và sự cắt

2 Ứng suất tổng quát và các thành phần ứng suất

NỘI DUNG

3 Trạng thái ứng suất suất phẳng

4 Các thuyết bền

Ứng suất và biến dạng đơn trục

Trang 2

Ta xét thanh nối giữa xe kéo và máy bay, giả sử bỏ qua khối lượng của thanh và thanh nối chỉ chịu lực tác dụng dọc trục với lực ở hai đầu thanh

là P

Trước khi tác dụng lực P, thanh có chiều dài L Sau khi tác dụng lực dọc trục P, thanh có chiều dài L+, vậy  là độ giản dài so với chiều dài ban đầu

Để khảo sát thành phần nội lực trong thanh ta dùng một mặt cắt mn cắt vuông góc với trục thanh

1 Khái niệm cơ bản về sự kéo, sự nén và sự cắt Bây giờ ta xét thành phần bên trái của mặt cắt mn như là một vật thể tự do

Khi xét phần bên trái mặt cắt, ta sẽ có thành phần ứng suất phân bố liên tục

tác dụng lên mặt cắt và chính thành phần nội lực dọc trục có độ lớn bằng P

là lực tổng hợp của thành phần ứng suất trên

Ứng suất có đơn vị là lực trên một đơn vị diện tích và được ký hiệu là  (sigma) Giả sử ứng suất tác dụng lên mặt cắt mn được phân bố đều trên miền diện tích Nên nội lực tổng hợp của ứng suất có độ lớn bằng độ lớn

của ứng suất nhân với diện tích mặt cắt A, P=A Do đó ta được công thức

Trang 3

Khi thanh giãn ra bởi lực kéo P thì ứng suất sinh ra là ứng suất kéo Nếu tác dụng lực theo chiều ngược lại làm thanh chịu nén thì ứng suất sinh ra là ứng suất nén

Do phương của ứng suất vuông góc với mặt cắt nên ta gọi đây là ứng suất pháp tuyến Ta sẽ có ứng suất pháp có thể là ứng suất kéo hoặc cũng có thể

là ứng suất nén Thành phần ứng suất pháp tuyến sẽ mang dấu dương (+) khi thanh chịu kéo và âm khi thanh chịu nén Trong phần sau chúng ta sẽ xét thêm một thành phần ứng suất khác nữa là ứng suất tiếp (hoặc ứng suất cắt), ứng suất này sẽ nằm song song với mặt cắt

Khi ta sử dụng hệ đơn vị SI thì đơn vị của lực là (N), diện tích là (m2) Vì thế

ta có đơn vị của ứng suất là (N/m2) bằng với đơn vị (Pa), (N/mm2) bằng với đơn vị (MPa)

Theo hình ta thấy với một thanh thẳng chịu tác dụng của lực dọc trục thì chiều dài thanh sẽ thay đổi, thanh sẽ dài hơn khi chịu kéo và ngắn hơn khi chịu nén, độ thay đổi chiều dài này là  Độ giãn dài tỉ đối của thanh sẽ tính bằng độ thay đổi chiều dài  chia cho chiều dài ban đầu của thanh và đại lượng này được gọi là biến dạng 

L



 

Nếu thanh chịu kéo thì biến dạng này là biến dạng kéo, điều này cho thấy

độ dài của thanh sẽ tăng Nếu thanh chịu nén thì biếng dạng này là biến dạng nén, chiều dài thanh sẽ ngắn lại Vì hệ số biến dạng là tỉ số của hai chiều dài nên đơn vị của biến dạng là vô thứ nguyên

Giả sử sự dịch chuyển trên thanh là đồng nhất trên toàn thanh, lực dọc trục tác động vào thanh tại trọng tâm của diện tích mặt cắt và vật liệu đồng

Trang 4

Đàn hồi tuyến tính, định luật Hooke và hệ số Poisson

Rất nhiều vật liệu kết cấu (kim loại, gỗ, nhựa và sứ) đều có giai đoạn đàn hồi tuyến tính khi gia tải lần đầu Theo đó, đường cong ứng suất biến dạng

sẽ bắt đầu là một đường thẳng và đi từ gốc tọa độ

Khi vật liệu ứng xử trong miền đàn hồi và mối quan hệ giữa ứng suất và biến dạng là tuyến tính thì gọi đây là đàn hồi tuyến tính Loại ứng xử này rất quan trọng trong kỹ thuật bởi vì khi thiết kế một kết cấu hoặc một cái máy

sẽ nằm trong miền này để tránh sự biến dạng dẻo của vật liệu

Ví dụ đường cong ứng suất biến dạng của vật liệu thép

Trang 5

Định luật Hooke

Mối quan hệ tuyến tính giữa ứng suất và biến dạng cho một thanh chịu kéo hoặc chịu nén được biểu diễn bằng công thức

E

  

Với  là ứng suất dọc trục,  là biến dạng dọc trục và E

là hằng số tỉ lệ được gọi là mô‐đun đàn hồi của vật liệu

Mô‐đun đàn hồi là độ dốc của đường cong ứng suất biến dạng trong giai đoạn đàn hồi tuyến tính

Robert Hooke (1635‐

1703) là nhà khoa học nổi tiếng người Anh. Là người đầu tiên khám phá vật liệu đàn hồi và đã thí nghiệm nhiều loại vật liệu như kim loại, gỗ, đá, xương và gân

Công thức trên là công thức đơn giản của định luật Hooke chỉ sử dụng để tìm ứng suất và biến dạng dài cho trường hợp thanh chịu kéo và nén (đơn trục) Những trạng thái ứng suất phức tạp hơn ta sẽ khảo sát trong phần sau

Hệ số mô‐đun đàn hồi còn được gọi là hệ số Young do một nhà khoa học người Anh khác tìm ra từ các thanh chịu kéo và chịu nén

Để tìm hệ số mô‐đun đàn hồi ta sử dụng máy kéo nén

Thomas Young (1773‐

1829) là nhà khoa học nổi tiếng người Anh

Trang 6

Hệ số Poisson

Khi thanh được gia tải chịu kéo, chiều dài của thanh sẽ dài hơn, ngược lại độ rộng của thanh là nhỏ hơn

Sự tương phản này ta sẽ thấy rất rõ đối với vật liệu là cao su, nhưng đối với kim loại sự thay đổi này trong miền đàn hồi là rất nhỏ nhưng vẫn tồn tại

Chiều dài thanh khi chưa gia tải

Chiều dài thanh sau khi gia tải

Độ biến dạng theo phương vuông góc với trục thanh ’

chia cho độ biến dạng dài  ta sẽ được tỉ số, tỉ số này gọi là hệ số Poisson được ký hiệu là  (nu) bằng công thức  '



  Dấu trừ (‐) biểu hiện sự chuyển

động ngược chiều của hai trục.

Simeon Denis Poisson (1781‐1840) là nhà toán học nổi tiếng người Pháp.

Là người đã tính toán hệ

số này bằng lý thuyết vật liệu phân tử.

Ứng suất và biến dạng cắt

Phần này ta sẽ xét một loại ứng suất khác gọi là ứng suất cắt, và ứng suất này sẽ nằm tiếp xúc (nằm trong) với mặt cắt

Xét mô hình như hình vẽ, kéo thanh với một lực là P

Xét lực tác động lên con ốc bu‐lông (giải phóng liên kết) và xét mô hình vật thể tự do phần bên phải tại mặt cắt mn ta sẽ có nội lực lực cắt V

Trang 7

Nội lực lực cắt V này chính là lực tổng hợp của ứng suất cắt phân bố trên bề mặt mặt cắt

 m

n

Với lực tác dụng như vậy làm vật thể xuất hiện vết nứt

Giá trị ứng suất trung bình trên mặt cắt thu được bằng cách chia lực cắt V cho diện tích mặt cắt A của vật avg

V A

Trong công thức trên, ta thấy ứng suất cắt giống như ứng suất pháp tuyến cùng là lực trên một đơn vị diện tích vì thế đơn vị của ứng suất cắt sẽ giống với ứng suất pháp tuyến

Ứng suất cắt sẽ xuất hiện khi thanh chịu kéo, chịu xoắn và chịu uốn mà ta

sẽ học trong phần sau

Sự bằng nhau của ứng suất cắt trên mặt phẳng vuông góc

Ta xét một phần tử chịu lực cắt như hình vẽ, giả sử ứng suất cắt trên hai mặt lần lượt là 1và 2 Ta có ứng suất cắt ở mặt đối diện cũng sẽ tương ứng bằng 1và 2

Từ phương trình cân bằng mô‐men ta sẽ chứng minh được

1 2

 

Vì thế ứng suất tiếp trên bốn mặt là bằng nhau Như vậy phần tử chỉ chịu ứng suất cắt

mà không có ứng suất pháp tuyến vì thế gọi đây là trạng thái ứng suất cắt thuần túy

Trang 8

Biến dạng cắt

Với phần tử chịu cắt thuần túy sẽ gây ra biến dạng, ta gọi biến dạng này là biến dạng cắt Khi phần tử chịu biến dạng cắt thì mặt phía trước và sau sẽ bị thay đổi từ hình chữ nhật sang hình thoi Góc của các cạnh bên sẽ thay đổi

Góc tại điểm q và s lúc trước biến dạng là /2 và

góc này giảm đi một góc là  nên góc là có độ

lớn sau biến dạng là /2‐ Tương tự thì góc p và

r sẽ tăng thành /2+.

Góc  là đại lượng của biến dạng góc nên gọi đây là biến dạng cắt Vì biến dạng cắt là một góc nên đại lượng đo là độ và radian

Định luật Hooke cho sự cắt

Trong giới hạn miền đàn hồi, ta có mối quan hệ tuyến tính giữa ứng suất cắt và biến dạng cắt Mối quan hệ này được biểu diễn bằng công thức

G

   Với G là mô‐đun trượt đàn hồi

Mô‐đun trượt đàn hồi có đơn vị giống như mô‐đun đàn hồi E và được tính

bằng công thức

2(1 )

E G







Với  là hệ số Poisson Vì hệ số Poisson có giá trị từ 0 đến 0,5 nên G sẽ có

Trang 9

Ứng suất trong hệ lực tổng quát

Xét một vật chịu lực tác động tổng quát như hình vẽ, để khảo sát các thành phần ứng suất tại điểm Q nằm bên trong vật, ta dùng một mặt cắt đi qua Q

và song song với mặt xy Khi giữ lại phần dưới, ta có được nội lực pháp tuyến và nội lực cắt Ta chỉ xét nội lực này trên miền diện tích A nằm trên mặt cắt thì nội lực bao gồm Fz, Vz Tách Vz thành 2 thành phần lần lượt theo phương x và y là Vzx và Vz

x

y z

F 3

F 4

x

y z

Q

A

V z

V zy

V zx

F z

x

y

z

Chia mỗi thành phần lực này cho diện tích A, khi diện tích A này tiến về

0, ta sẽ có được 3 thành phần ứng suất

z

Q zy

zx

0 lim z z

A

F A



 





zx A

V A



 





A

V A



 







Ba thành phần ứng suất nằm ở mặt dương (có pháp tuyến của mặt cắt

Trang 10

Các thành phần ứng suất

Từ mô hình trên ta lần lượt sử dụng sáu mặt phẳng để cắt vật thể quanh điểm Q để xét các thành phần ứng suất trên 6 mặt, ta sẽ được hình lập phương cạnh a chịu các thành phần ứng suất tổng quát

Sáu thành phần ứng suất     x, y, z, xy, xz, yz

Nếu các thành phần ứng suất nằm trên mặt dương và hướng theo trục tọa

độ thì các thành phần ứng suất này sẽ dương

Ngược lại, nếu các thành phần ứng suất nằm trên mặt âm và hướng ngược chiều trục tọa độ thì các thành phần ứng suất này sẽ dương

Nếu chúng ta lấy ở mặt nghiêng khác (thay đổi hướng của trục tọa độ) ta sẽ được các thành phần ứng suất khác

', ', ', ', ', '

x y z xy xz yz

      Vậy ta có vô số thành phần ứng suất trên những phương bất kỳ trên mặt nghiêng bất kỳ

Ta sẽ chọn được một vài mặt sao cho trên đó chỉ

có thành phần ứng suất pháp, ứng suất tiếp bằng không, ta gọi đây là mặt chính

Trong trường hợp các mặt của phân tố trùng với Những ứng suất nằm trên mặt chính ta gọi là ứng suất chính

Trang 11

3 Trạng thái ứng suất phẳng

Trạng thái ứng suất phẳng

Ta xét một phân tố chỉ chịu trạng thái ứng suất phẳng, sẽ có 2 mặt phẳng trên phân tố có ứng suất bằng không (không có ứng suất) Nếu ta có trục

z vuông góc với hai mặt này thì ta được  z = zx =  zy =0 Vì thế phân tố chỉ

có 3 thành phần ứng suất x ,  y ,  xy

Ta có thấy trong thực tế những bài toán ứng suất phẳng như một tấm phẳng chịu lực tác dụng vào mặt trung hòa của tấm, các lực này nằm trong mặt phẳng

Hoặc một phân tố nằm trên biên mặt phẳng của một kết cấu hoặc máy móc cũng ở trạng thái ứng suất phẳng vì ở bất kỷ điểm nào thuộc bề mặt vật thể không có ngoại lực tác động thì sẽ không có ứng suất trên mặt đó

Trang 12

Ứng suất trên một mặt nghiêng bất kỳ

Ta đang có một phân tố (một điểm trên vật thể) trong hệ trục tọa độ Oxy,

ta được ba thành phần ứng suất phẳng x ,  y ,  xy Giả sử ta quay hệ trục

Oxy một góc  ta sẽ được hệ trục mới Ox 1 y 1 Ta cần tính ứng suất trong hệ

trục tọa độ mới Ox 1 y 1để ta được các ba thành phần ứng suất mới x1 ,  y1 ,

x1y1

Ta xét trên một mặt nghiêng trong phân tố Oxy nghiêng với phương đứng

một góc , gắn trên mặt nghiêng đó hệ trục Ox1y1sao cho trục Ox1vuông góc với mặt phẳng và hướng ra ngoài phân tố, trục Oy1sẽ vuông góc Ox1sao cho

tạ thành hệ trục tọa độ thuận Ox1y1 Trên mặt nghiêng đó ta sẽ có hai thành phần ứng suất x1, x1y1

Dựa vào điều kiện cân bằng lực trong phân tố ta

sẽ tính được mối quan hệ hai thành phần ứng suất mới trên mặt nghiêng đang xét

x y x y

 

Trang 13

Để tính ứng suất trên trục Oy 1 (vuông góc với trục Ox 1), ta chỉ cần sử dụng công thức tính ứng suất pháp x1 như trên nhưng ứng với góc +90 ota sẽ được công thức tính y1

x y x y

Nếu ta lấy tổng của hai ứng suất pháp trên hai trục Ox 1 và Oy 1ta sẽ được

   

Công thức trên cho thấy tổng hai ứng suất pháp trên mặt nghiêng bất kỳ là hằng số (tổng ứng hai suất pháp không đổi)

Trạng thái ứng suất đơn trục: tất cả các thành phần

ứng suất đều bằng không ngoại trừ ứng suất pháp theo phương x (y=xy=0)

1 (1 cos 2 ) 2

x x



Các trạng thái ứng suất đặc biệt

1 1 (sin 2 ) 2

x

x y



Trạng thái ứng suất cắt thuần túy: tất cả các thành

phần ứng suất đều bằng không ngoại trừ ứng suất cắt trên mặt vuông góc trục x (x= y=0)

1 sin 2

x xy

1 1 cos 2

x y xy

Trang 14

Trạng thái ứng suất song trục: chỉ có hai thành phần

ứng suất pháp trên hai mặt khác không (xy=0)

x y x y x

2

x y

Ví dụ: Cho phân tố chịu trạng thái ứng suất như hình vẽ Tính ứng suất trên mặt nghiêng trong các trường hợp sau

30 o

60 o

Trang 15

30 o

Xác định các thành phần ứng suất

60 (MPa)

x

  

Phân tố chịu ứng suất phẳng nên ta có ba thành phần ứng suất

90 (MPa)

y

x <0 vì ứng suất pháp hướng vào trong bề mặt

x

1

x



Quay trục x ngược chiều kim đồng hồ sao cho phương và chiều của trục x cùng chiều với vector pháp tuyến của mặt nghiêng, ta sẽ xác định được góc 

1

x

1

x



Vậy ta được góc của mặt nghiêng  30o

1 1

x y



30 o

3, 48 MPa

79, 95 MPa

x y x y

60 90 60 90

cos 2 30 30 s in2 30

3, 48 (MPa)



2

x y

Tính ứng suất trên một mặt nghiêng đã cho

60 90

s in2 30 30 cos 2 30 2

 

79, 95 (MPa)



Trang 16

1

x

Vậy ta được góc của mặt nghiêng 240o hoặc   120o

2

1

1

x

1

x

 x y1 1

x y x y

60 90 60 90

cos 2 ( 120 ) 30 s in2 ( 120 )

78, 48 (MPa)



2

x y

Tính ứng suất trên một mặt nghiêng đã cho

60 90

s in2 ( 120 ) 30 cos 2 ( 120 ) 2

 



Định dạng
Số trang	16
Dung lượng	871,3 KB