Nghiên cứu ảnh hưởng của enso tới mưa gió mùa mùa hè trên lãnh thổ việt nam

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊNNGUYEN HƯƠNG LIÊN M®T SO KET QUA VE TÍCH PHÂN DAO Đ®NG VéI HÀM PHA LÀ ĐA THÚC LU¾N VĂN THAC SĨ TOÁN HOC Chuyên Ngành: Toán Giai Tí

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN

NGUYEN HƯƠNG LIÊN

M®T SO KET QUA VE TÍCH PHÂN DAO Đ®NG

VéI HÀM PHA LÀ ĐA THÚC

LU¾N VĂN THAC SĨ TOÁN HOC Chuyên Ngành: Toán Giai Tích

Mã so: 60 46 01 02

Ngưài hưáng dan khoa HQC : TS Vũ Nh¾t Huy

Hà N®i - 2017

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN

NGUYEN HƯƠNG LIÊN

M®T SO KET QUA VE TÍCH PHÂN DAO Đ®NG

VéI HÀM PHA LÀ ĐA THÚC

LU¾N VĂN THAC SĨ TOÁN HOC Chuyên Ngành: Toán Giai Tích

Mã so: 60 46 01 02

Ngưài hưáng dan khoa HQC: TS Vũ Nh¾t Huy

1.1.2 Không gian đo đưoc, ánh xa đo đưoc, hàm đo đưoc

7

1.1.3 Tích phân Lebésgue 8

1.2 Không Gian Các Hàm Giam Nhanh S ( R n) 11

1.3 Phép Bien Đői Fourier 12 1.3.1 Phép bien đői Fourier trong không gian các hàm giam

nhanh S (Rn) 12 1.3.2 Bien đői Fourier trong không gian L1(Rn) 18

2.1 Ưóc lưong t¾p múc dưói 20 2.2 Bő Đe vander Corput 21 2.3 Đánh giá tích phân dao đ®ng thông qua các không điem cna đao hàm cna hàm pha 25

3.1 Chuan cna toán tu dao đ®ng khi j < n/2 29 3.2 Chuan cna toán tu dao đ®ng khi j > n/2 36 3.3 Chuan cna toán tu dao đ®ng khi j = n/2 39

4

Lài cám ơn

Trưóc khi trình bày n®i dung chính cna lu¾n văn, tôi xin gui lòi cam ơn chân

thành và sâu sac nhat cna mình tói TS Vũ Nh¾t Huy, vì sn giúp đõ, chi bao t¾n

tình, cùng nhung lòi đ®ng viên vô cùng ý nghĩa cna Thay trong suot quá trình tôihoàn thành lu¾n văn tot nghi¾p

Tôi cũng xin chân thành cám ơn sn giúp đõ cna các thay giáo, cô giáo trong khoaToán - Cơ - Tin HQc, trưòng Đai HQc Khoa HQc Tn nhiên - Đai HQc Quoc gia Hà N®i

và Khoa Sau đai HQc, đã nhi¾t tình truyen thu kien thúc và tao đieu ki¾n giúp đõ tôihoàn thành khóa Cao HQc

Tôi xin gui lòi cam ơn đen gia đình, ban bè đã luôn đ®ng viên, khuyen khích, giúp

đõ tôi rat nhieu trong suot thòi gian nghiên cúu và HQc t¾p

Do mói làm quen vói công tác nghiên cúu khoa HQc và còn han che ve thòi gianthnc hi¾n nên lu¾n văn không the tránh khoi nhung thieu sót Tác gia kính mongnh¾n đưoc ý kien đóng góp cna các thay cô và các ban đe lu¾n văn đưoc hoàn thi¾nhơn

Hà N®i, tháng 3 năm 2017

Nguyen Hương Liên

Ma đau

Tích phân dao đ®ng đã thu hút nhieu sn quan tâm cna các nhà Toán HQc

và các nhà V¾t lý tù khi xuat hi¾n công trình Théorie Analytique de la Chaleur cnaJoseph Fourier vào năm 1822 Nhieu bài toán Lý thuyet phương trình đao hàmriêng, hình HQc đai so, lý thuyet xác suat, lý thuyet so; các bài toán ve quang HQc,

âm HQc, cơ HQc lưong tu, đeu có the đưa ve vi¾c nghiên cúu các tích phân daođ®ng M¾c dù bài toán này đã có tù lâu, nhưng do pham vi úng dung r®ng lón cna

nó, nên đen nay van có nhieu nhà Toán HQc quan tâm nghiên cúu nó và đã thuđưoc nhieu ket qua quan TRQNG

Trong pham vi cna lu¾n văn này, chúng tôi dành phan lón cho vi¾c nghiên cúu chuancna toán tu dao đ®ng T λtrong đó

là m®t trong nhung công cu huu hi¾u

Ngoài phan mo đau, ket lu¾n và tài li¾u tham khao, lu¾n văn đưoc chia làm

ba chương:

Chương 1: Kien thÉc chuan b% Chương này trình bày nhung kien thúc cơ

ban ve tích phân Lebésgue, tích phân Fourier trong không gian các hàm giamnhanh S (Rn) làm cơ so đe xây dnng n®i dung chương tiep theo

Chương 2: Ưác lưang tích phân dao đ®ng Chương này trình bày ve vi¾c

đánh giá t¾p múc dưói qua đó chúng minh bő đe vander Corput và phương pháp

∫

đánh giá tích phân dao đ®ng thông qua các không điem cna đao hàm cna hàm pha.

Chương 3: Đánh giá chuan cua toán tE dao đ®ng Chương này trình bày

ve chuan cna toán tu dao đ®ng tù không gian L2(R) vào L2(R)

Chương 1

KIEN THÚC CHUAN B±

Trong chương này, lu¾n văn trình bày các khái ni¾m, tính chat cơ ban và m®t

so đ%nh lý quan TRQNG trong lý thuyet ve tích phân Lebésgue và phép bien đőiFourier N®i dung chương này đưoc tham khao chính trong các tài li¾u [1], [2] và [3]

1.1.1 Vành, σ - đai so và đ® đo

Đ%nh nghĩa 1.1 Cho X là m®t t¾p bat kỳ M®t HQ A các t¾p con cua X đưac

(a) X ∈ A ;

i=1

Đ%nh nghĩa 1.2. M®t HQ C các t¾p con cua X đưac GQI là m®t vành trên X neu

nó thóa mãn các đieu ki¾n sau:

1

A i ∈ C ;

Kí hi¾u R = R ∪ {±∞}

Đ%nh nghĩa 1.3. Cho A là m®t σ - đai so trên X Ánh xa µ : A −→ R đưac GQI

là m®t đ® đo neu các đieu ki¾n sau đây đưac thóa mãn:

S

i

i=1 i=1

(c) µ không đong nhat bang +∞ trên A , túc là ton tai A ∈ A sao cho µ(A) < +∞.

Chú ý: Thay cho σ - đai so A ta có the lay vành C và đ%nh nghĩa đ® đo hoàn toàntương tn, trù đieu ki¾n (b) ta phai gia thiet thêm rang ∞ A i , gia thiet này không

i=1

can thiet neu C là m®t σ - đai so

M®t đ® đo µ trên vành C đưoc GQi là huu han neu vói MQI A ∈ A, µ(A) < +∞

Đ® đo µ đưoc GQI là σ - huu han neu vói MQIA ∈ C ton tai các t¾p A n ∈ C(n = 1, 2, )

sao cho A ⊂ S

A n và µ(A n) < ∞

1.1.2 Không gian đo đưac, ánh xa đo đưac, hàm đo đưac

M®t t¾p hop X cùng vói m®t σ - đai so A trên X đưoc GQI là m®t không gian

đo đưoc, kí hi¾u là (X, A) Neu trên A xác đ%nh m®t đ® đo µ thì ta có m®t khônggian đo (X, A, µ)

Cho (X, χ) và (Y, Υ) là hai không gian đo, ánh xa f : X → Y

Đ%nh nghĩa 1.4 Ánh xa f đưac GQI là (χ, Υ) đo đưac neu vái MQI B ∈ Υ

có f −1(B) ∈ χ Túc là ngh%ch anh cua t¾p đo đưac là m®t t¾p đo đưac (trưàng hap

Cho không gian đo (X, χ) và hàm f : X → R đưoc GQI là hàm thnc đo đưoc

neu nó là (χ, B) đo đưoc, trong đó B là σ - đai so Borel trên R

Đ%nh lý 1.1 Các đieu ki¾n sau là tương đương:

n

T

{ ∈

T

n∈N

Tương tn, {x ∈ x, f (x) = −∞} = {f (x) ≥ n} c ∈ χ V¾y f −1({±∞}) ∈ χ.

n∈N

Do đó các đieu ki¾n trên tương đương nhau

Đ%nh nghĩa 1.5. Hàm f GQI là hàm đơn gian neu ton tai huu han các t¾p rài nhau

1) Tích phân cua hàm đơn gian

Lóp các hàm đơn gian trên (Ω, A) đưoc kí hi¾u S := S(Ω, A)

Xét m®t lóp con cna S gom các hàm không âm S+ := {f ∈ S : f ≥ 0}

Đ%nh nghĩa 1.6. Cho f ∈ S+ có bieu dien f = Σ

2) Tích phân cua hàm đo đưac không âm

Trưóc het ta đ%nh nghĩa tích phân cho hàm đo đưoc không âm, sau đó ta cóthe đ%nh nghĩa cna hàm đo đưoc bat kỳ bang hi¾u cna hai tích phân trên tùngthành phan cna nó

Kí hi¾u L+ = L+(Ω, A) là lóp các hàm đo đưoc không âm

Đ%nh nghĩa 1.7. Cho hàm f ∈ L+ Tích phân cua hàm f theo đ® đo µ đưac đ

%nh nghĩa như sau:

fdµ = sup

n

f n dµ.

3) Tích phân cua hàm đo đưac bat kỳ

Vói MQI hàm f đo đưoc ta có f = f + − f − trong đó

Đ%nh nghĩa 1.8 1 Neu ít nhat m®t trong hai giá tr% ∫

Đ%nh lý 1.2 (Beppo - Levi ve sn h®i tn đơn đi¾u) Gia su f n là dãy hàm đo đưac

n

∫

f n dµ = ∫

fdµ.

đi¾u tăng đen f n.

Vì f n+1 ≥ f n nên cũng như trên, ta có the gia thiet rang g n+1,p ≥ g n,p Khi đó ta có

Đ%nh lý đưoc chúng minh.

Đ%nh lý 1.4 (Fatou - Lebésgue) Gia su f n là m®t dãy các hàm kha tích và

limf n dµ ≤ lim

X X

Đ%nh lý 1.5 (Đ%nh lý Lebésgue ve sn h®i tn b% ch¾n) Gia su f n là dãy hàm

cũng kha tích, ngoài ra:

Chúng minh. Tù h¾ thúc |f n | ≤ g vói MQI n, cho n → ∞, ta đưoc |f n | ≤ g(h.k.n).

Tù đó suy ra f - kha tích

Theo gia thiet limn f n = f (h.k.n) hay

lim |f n − f| = lim |f n − f| = lim |f n − f|(h.k.n).

Và |f n − f| ≤ 2g(h.k.n) vói 2g ∈ L1 Áp dung đ%nh lý Fatou - Lebésgue, ta có:

lim

n |f n − f| dµ = 0.

X

Đ%nh lý đưoc chúng minh

Đ%nh nghĩa 1.9 Không gian S (Rn) là t¾p hap

suppϕ = K, K là t¾p compact trong Rn

Vói MQI x ∈/ K, suy ra

Ví dn 1.2. Cho hàm so ϕ (x) = e −ǁxǁ , x ∈ Rn Khi đó ϕ là hàm so thu®c không

do đó dan đen ϕ là hàm thu®c vào không gian các hàm giam nhanh S(Rn)

Chúng minh đưoc hoàn thành

1.3 Phép Bien Đoi Fourier

Đoi tưong chính cna chúng ta nghiên cúu trong phan này, se là phép bien đői Fourier cna nhung hàm thu®c không gian các hàm giam nhanh S (Rn)

1.3.1 Phép bien đoi Fourier trong không gian các hàm giam nhanh

trong đó x = (x1, x2, , x n) ∈ Rn , ξ = (ξ1, ξ2, , ξ n) ∈ Rn

Đ%nh nghĩa 1.11. Bien đői Fourier ngưac cua hàm f ∈ S (Rn) là hàm đưac xác đ%nh bái

Bây giò ta xét các tính chat cna bien đői Fourier, bien đői Fourier ngưoc cna

hàm thu®c không gian các hàm giam nhanh S (Rn) bang cách đi nghiên cúu ky

hơn các

m¾nh đe sau đây, dna trên tài li¾u (xem [1],[3],[6])

Đ%nh lý 1.6. Cho hàm ϕ ∈ S (Rn) Khi đó Fϕ, F −1 ϕ ∈ S (Rn) và

•D α Fϕ (ξ) = (−i) |α| F (x α ϕ (x)) (ξ) , D α F −1 ϕ (ξ) = i |α| F −1 (x α ϕ (x)) (ξ) ,

•ξ α Fϕ (ξ) = (−i) |α| F (D α ϕ (x)) (ξ) , ξ α F −1 ϕ (ξ) = i |α| F −1 (D α ϕ (x)) (ξ)

gian các hàm giam nhanh S (Rn), có

h®i tu tuy¾t đoi và đeu theo ξ trong Rn và MQI α ∈

D α

(Fϕ)

(ξ), dan đen

Fϕ ∈

C ∞

(Rn)

Vì the moi ξ

α

ξ

+

Su dung phép tính tích phân tùng phan |β| lan

n+1 x x

ǁxǁ)

n

+ 1

ξ

x x∈R

n

+

+

Đieu này dan đen Fϕ ∈ S (Rn).

= (−i) |β| F .

D β ϕ (x)Σ

(ξ) ∀ϕ ∈ S

(Rn) .

V¾y phép bien đői Fourier là

ánh xa tuyen tính liên tuc trên

không gian các hàm giam nhanh

Tù đó suy ra phép bien đői Fourier

(cũng như ngưac cua nó) là phép úng

nghĩa bien đői Fourier cho hàm

ψ (x) trong không gian các hàm

dx =

Rn

ϕ (x) Fψ (x) dx.

Như v¾y, phép bien đői Fourier F là m®t đang cau tuyen tính, tn liên hop, đang

cn trên không gian các hàm giam nhanh S (Rn) vói không gian metric L- 2 (Rn)

M¾nh đe đưoc chúng minh

Dưói đây ta se trình bày m®t so tính chat khác cna phép bien đői Fourier, trong không gian các hàm giam nhanh S (Rn)

M¾nh đe 1.2. Cho hàm ϕ ∈ S (Rn) Khi đó

Chúng minh i) Tù đ%nh nghĩa cna phép bien đői Fourier, ta có

F (ϕ (tx)) (ξ) = |t| −n Fϕ (ξ/t)∀ϕ ∈ S (Rn) , t ƒ= 0, ξ ∈ Rn

Chúng minh đưoc hoàn thành

1.3.2 Bien đoi Fourier trong không gian L1(Rn)

Đ%nh nghĩa 1.12 Cho hàm f ∈ L1 (Rn) Ánh Fourier cua hàm f ký hi¾u là f (ξ)

hay F (f ) (ξ) , là hàm đưac xác đ%nh bái

F (f ) (ξ) = f^(ξ) = (2π) −n/2

∫

M¾nh đe 1.3 Bien đői Fourier cua m®t hàm kha tích tuy¾t đoi (trên toàn trnc so)

là m®t hàm b% ch¾n (trên toàn trnc so) và ngoài ra

−

∞

H¾ qua 1.1 Neu hàm kha tích tuy¾t đoi f và dãy hàm kha tích tuy¾t đoi {f n } thóa

−ixy dx =

2π (isinxy)dx = cosxy −

De dàng kiem tra rang đây là hàm liên tuc và tien tói 0 khi y tien ra vô cùng (ve

ca hai phía)

M¾nh đe 1.4 Bien đői Fourier cua m®t hàm kha tích tuy¾t đoi trên toàn trnc so

(b − a)/ 2π khi y =

0

Chúng minh. Ta biet rang vói m®t hàm ϕ kha tích tuy¾t đoi thì tìm đưoc dãy các hàm b¾c thang ϕ nthoa mãn

De dàng kiem tra rang đây là hàm liên tuc và tien tói 0 khi y tien ra vô cùng (ve

ca hai phía) M¾nh đe đã đưoc chúng minh xong

∫

2.1 Ưác lưang t¾p mÉc dưái

Đ%nh lý 2.1. Cho φ : [a, b] → R là m®t hàm kha vi cap k và gia su rang |φ (k)(x)| ≥ 1

vái k ≥ 1 và vái MQI x ∈ [a, b] Khi đó

|{x ∈ [a, b] : |φ(x)| ≤ β}| ≤ 2kβ

Khi đó E β là hop huu han cna các khoang đóng D%ch chuyen các đoan nàyđóng sát lai vói nhau ta đưoc m®t đoan đóng I có đ® dài |E β | Phân hoach đoan Inày thành k đoan con bang nhau boi k + 1 điem chia x0, x1, x2, , x k sau đódòi các đoan đóng trên ve v% trí cũ Khi đó

) (x − x0) (x − x n−1)(x

− x n+1) (x − x k)

. (x n − x0) (x n − x n−1)(x n − x n+1) (x n − x k)

≤ β

n

= 0

n!(k − n)!|E β | k ≤

|E β | ≤ βk 2

|E β | ≤ β k.2.

Vi¾c đánh giá t¾p múc dưói như trên se cho ta m®t công cu huu hi¾u đe đánh giá tích phân dao đ®ngđưoc trình bày trong bő đe vander Corput dưói đây

M®t vài nh¾n xét đưoc đưa ra trưóc khi chúng minh bő đe này.

Các quan sát chính o đây đó là: vói β đưoc lna cHQN thích hop, dao đ®ng cna

so mũ phúc e iλφ(x) trên t¾p E β là khá nho, do đó có the đưoc bo qua Tù đó ưóc lưong

e đây và trong phan còn lai cna các ghi chú, chúng ta bieu th% boi |E|

đ® đo Lebésgue cna t¾p E ∈ Rn Ưóc lưong cho các t¾p cna chuan cna E β đưoc GQI

là "sub- level set estimates" (ưóc lưong t¾p múc dưói) và nó có liên h¾ m¾t thiet tóiưóc lưong

tích phân dao đ®ng Trên thnc te, nhung khao sát đơn gian o trên cùng vói m®tưóc lưong phù hop cho |E β | se kéo theo ưóc lưong tích phân dao đ®ng đưoc nêutrong bő đe van der Corput Tương tn, m®t l¾p lu¾n giong như the có the đưoc

su dung trong nhieu trưòng hop khác (tat nhiên là vói m®t so chieu cao hơn) đesinh ra ưóc lưong tích phân dao đ®ng Ngưoc lai, ưóc lưong tích phân dao đ®ng

có the đưoc su dung đe suy ra "sub-level set estimates" (ưóc lưong t¾p múcdưói)

minh rang neu φ J(x) ≥ 1 trên [a, b] và φ J là đơn đi¾u thì ta có ưóc lưong:

Áp dung công thúc tích phân tùng phan ta có:

b% ch¾n dưói trên đao hàm cna φ trên [a,b] Do đó k = 1 là đúng.

Tiep theo gia su rang k ≥ 2 và co đ%nh tham so β (tham so này se

cHQN sau) Ta ưóc lưong như trong thao lu¾n trưóc đó là

Tiep theo, ta se trình bày h¾ qua cna bő đe van der Corput, đây là m®t phương pháp giúp đưa ra ưóc lưong cho các tích phân dao đ®ng có dang

∫b a

H¾ qua 2.1 Cho φ : [a, b] → R là m®t hàm kha vi cap k và gia su rang |φ (k)(x)| ≥ 1

vái k ≥ 1 ; ∀x ∈ [a, b] và cho ψ : [a, b] → C là m®t hàm kha vi cap 1 Khi đó, ton tai

L 1(a,

∫x a

Sau đó ta có the viet

L 1(a,

e iλφ(x) ψ (x) dx.

F (x)

dt.

a

≤ sup

x∈[a, b]

a

H¾ qua đã đưoc chúng minh.

Tù bő đe và h¾ qua o trên ta có the nói giua các đánh giá the tích t¾p múc dưói và các đánh giá tích phân dao đ®ng có moi liên h¾ m¾t thiet vói nhau

2.3 Đánh giá tích phân dao đ®ng thông qua các không

điem cua đao hàm cua hàm pha

Chúng ta xem xét tích phân dao đ®ng sau:

Lay a k(k = 1, , d − 1) là các nghi¾m cna P J(z) xep theo thú tn tăng dan

Ta đ%nh nghĩa m®t nhóm L là m®t t¾p hop con gom các phan tu liên tiep cnat¾p hop {a k , k = 1, , d − 1}, và kích thưóc |L| cna nhóm là so lưong các điem

a k trong đó Các nghi¾m b®i là đem đưoc theo b®i cna chúng

Đieu này thoa mãn

Tro lai chúng minh (2.3), đe thu¾n ti¾n ta gia su rang a klà đ®c l¾p L¾p lu¾n này de dàng thoa mãn trong trưòng hop cna các nghi¾m b®i

Ta chia nho I k , k = 1, , d − 1 thành các đoan con như sau

I1 = [a, b] ∩ (−∞, (a1 + a2)/2]

I k = [a, b] ∩ [(a k−1 + a k)/2, (a k + a k+1)/2] , 2 ≤ k ≤ d − 2

Đe thu¾n ti¾n hơn, ta đ¾t I+ = I k ∩ {z > a k } và I − = I k ∩ {z < a k }

Ưóc lưong mong muon o (2.3) là ket qua cna phiên ban đ%a phương hóa dưói đây tai moi điem tói han a k

.∫



Ta đi chúng minh nh¾n đ%nh này theo giá tr% cna |L| Vói |L| = 1, chi có duy

nhat 1 nhóm L = {a k } chúa a k, do đó (2.9) tro thành

.λ min .| |

P J(z) χ(z)

J | dz

|I3| ≤ |(iλP J(z)) −1 e iλP (z) χ(z)|(a, b)|

Đe có đưoc đieu đó ta

đ¾t

δ = (λ |a k − a j |) −1/2

jƒ=k

Hien nhiên tích phân trên khoang I δ = [a k − δ, a k + δ]

thoa mãn bat đang thúc mà

ta mong đoi

M¾t khác, trên moi khoang I ± /I δ

(chúng có the bang rong) ta có

a j | khi a j o bên trái cna a k,

còn khi a j o bên phai cna a k, ta thay

11

(2.10) theo cách nhìn như vói (2.4)

Gia su rang (2.9) đưoc thoa mãn vói các nhóm kíchthưóc n− 1 Xét L = {a M , , a N }, (N = M + n − 1)

thì vói moi nhóm kích thưóc n chúa a k, ta xem xét 3

trưòng hop sau:

• Trưòng hop 1: L không bat đau và không ket thúc tai

, N

• Trưòng hop 2: L bat đau tai a k thì L = {a k , , a N }, (N = k + n − 1).

Bang vi¾c so sánh vói ưóc lưong cho n − 1 nhóm kích thưóc {a k , , a N−1 } ta

có the gia su trưóc rang

Ưóc lưong (2.8) cho tích phân trên I k − là m®t ket qua cna (2.4) và (2.16)

• Trưòng hop 3: Vói nhóm L ket thúc tai điem a k thì cũng tương tn

Chúng minh đưoc hoàn thành