Một vài bài toán về đa thức và phương trình hàm đa thức một biến

Ưác chung lán nhat cua hai đa thÉcChoPx vàQx là các đa thúc khác 0.Ưác chung lán nhatcnaPx và Qx là đa thúcDx thoa mãn đong thòi các đieu ki¾n sau • Dx là đa thúcđơn khái, túc là h¾ so c

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I

TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN

M®TVÀIBÀITOÁNVEĐATHÚCVÀPHƯƠNG TRÌNH HÀMĐAT H Ú C M ® T B I E N

Mnc lnc

1.1 Đa thúc, nghi¾m cnađathúc 3

1.1.1 Đa thúcm®t bien 3

1.1.2 Đathúcbangnhau 4

1.1.3 Phépc®ngtrùđathúc,nhânđathúc 5

1.1.4 B¾ccnatőng,hi¾uvàtíchcácđathúc 6

1.1.5 Phépchiađathúccódư 6

1.1.6 Phépchiahet Ưócvàb®i 7

1.1.7 Thu¾ttoánEuclid 10

1.1.8 Nghi¾m cna đa thúc, các đ%nh lícơban 12

1.1.9 Đ%nhlíViète 19

1.1.10 Đong nhatthúcNewton 22

1.1.11 Cácbàitoán 23

1.2 Đa thúcvóih¾ so nguyên, đa thúc batk h a quy 30

1.2.1 Đa thúcvóih¾s o nguyên 30

1.2.2 Đa thúc bat kha quyt r ê nZ[x] 31

1.2.3 Moi quan h¾ bat kha quy trênZ[x]vàQ[x] 35

1.2.4 Cácbàitoán 37

2.1 PhươngtrìnhdangP(f)P(g)=P(h) 43

2.2 Phương pháp nghi¾mđathúc 57

2.3 Phương pháp khao sáth¾so 69

2.4 Phương pháp su dung b¾c cnađathúc 72

LèI NÓIĐAU

Đathúclàm®tchuyênđequanTRQNGtrongchươngtrìnhtoánHQcphőthông.Khôngnhungthe,đathúclàm®tchnđehayvàr®nglónđechúngtakhaitháctìmhieu.Cácbàitoánveđathúclàkienthúckiemtrakhôngthethieutrongcáckìthiphőthông.Đ¾cbi

¾ttrongcáckìthiOlimpicquocte,chnđeđathúc,phươngtrìnhhàmđathúcđưocxuathi¾nthưòngxuyênvóinhungdangtoánhetsúcđadang

Dođó,đeđápúngnhucauvegiangday,HQct¾p,lu¾nvăn"M®tvàibàitoánveđathúcvàphươngtrìnhhàmđathúcm®tbien"nhamtìmhieu,thuth¾pcáctàili¾uvàphânloaih¾thongcácbàitoánveđathúc,phươngtrìnhhàmđathúcm®tbien

Bocuclu¾nvăngomlòimođau,haichương,phanketlu¾nvàdanhmuctài li¾uthamk h a o

Chương 1 M®t vài bài toán ve đa thÉc

às n chibaohưóngdant¾ntìnhc n a P GS.T S NguyenNhuy,cùngcácthaycôtrongSeminarb®mônToáncnatrưòngĐaiHQcKhoaHQcTnnhiên-

ĐaiHQcQuocgiaHàN®i.EmxinbàytolòngbietơnchânthànhcácthaycôgiáotrongkhoaToán-Cơ-TinHQc,trưòngĐaiHQcKhoaHQcTnnhiên-

ĐaiHQcQuocgiaHàN®i,đãhưóngdanemhoànthànhkhóaHQcCaoHQc2015-2017.Dothòigianthnchi¾nlu¾nvănkhôngnhieu,kienthúccònhanchenênkhilàmlu¾nvănkhôngtránhkhoinhunghanchevàsaisót.Emmongnh¾nđưocnhungýkiengópýcnaquýthaycôvàbanĐQc

Em xinchânthành camơ n

Hà N®i, tháng 11 năm 2017

HQcviên

CaoTh%Nga

Cho hai đa thúc P(x) =a n x n + .+a1x+a0và Q(x) =b m x m + .+

b1x+b0vái n≥m Neu ton tai n+ 1so đôi m®t khác nhau α1, α2, , α n+1

(α i α j ,∀iƒ=j)sao cho P(α i ) =Q(α i )vái i= 1,2, , n+ 1thì n=m và

k=0 k=0

1.1.4 B¾c cua tong, hi¾uvàtíchcác đathÉc

Tính chat 1.1.6.Cho đa thúcP(x);Q(x) là các đa thúcb¾cm;ntương úng.

• P(x)=Q(x).S(x)+R(x),

• 0≤deg(R(x))<deg(Q(x)).

Chúng minh.

Trưóctiên, tachúngminh tính tont a i

Tachúngminhbangquynaptheom= deg(P).Neudeg(P)<d e g(Q)thìtacóthecH

tai đa thúcS(x)saochoP(x) =Q(x).S(x).Trongtrưòng hopnàytacũngnóiQ(x)chiahetP(x),Q(x)làưóccnaP(x).Kíhi¾utươngúnglà

Q(x)|P(x)vàP(x ).

Q (x)

Đ%nh nghĩa 1.1.9 (Ưác chung lán nhat cua hai đa thÉc)

ChoP(x) vàQ(x) là các đa thúc khác 0.Ưác chung lán nhatcnaP(x) và

Q(x) là đa thúcD(x) thoa mãn đong thòi các đieu ki¾n sau

• D(x) là đa thúcđơn khái, túc là h¾ so cao nhat bang1,

• D(x)làưócchungcnaP(x)vàQ(x),túclàD(x)|P(x)vàD(x)|Q(x),

• NeuD1(x)làm®tưócchungcnaP(x)vàQ(x)thìD1(x)làưóccna

D(x).

Đ%nh nghĩa 1.1.10 (B®i chung nho nhat cua hai đa thÉc)

ChoP(x)vàQ(x) là các đa thúc khác 0.B®i chung nhó nhatc n a P(x)và

Q(x) là đa thúcM(x) thoa mãn đong thòi các đieu ki¾n sau

• M(x) là đa thúc đơn khoi, túc là có h¾ so cao nhat bang1 ,

• M(x)làb®ichungcnaP(x)vàQ(x),túclàP(x)|M(x)vàQ(x)|M(x),

• NeuM1(x)làm®tb®ichungcnaP(x)vàQ(x)thìM1(x)làb®icna

M(x).

Chúý 1.1.11.Kí hi¾uưácchung lán nhatcna hai đa thúcP(x)vàQ(x) là

(P(x), Q(x))vàb®ichung nhó nhatcna hai đa thúcP(x)vàQ(x) là [P(x),

1 P(x)Q(x)

Trưóchet tathayrangP1(x)vàQ1(x) là hai đa thúc nguyên to cùng nhau nghĩa

là không có ưócchungcó b¾c≥1

Th¾tv¾y,neuP1(x) =u(x)P2(x), Q1(x) =u(x)Q2(x)vóidegu(x) ≥1 thì khi

đóP(x) =D(x)u(x)P2(x);Q(x) =D(x)u(x)Q2(x)nên

D ∗ (x) =D(x)u(x) là ưóc chung cnaP(x) vàQ(x) và doD ∗ (x) D(x) vói degu(x) ≥1nênđieunàytráiv

Gia suE(x) là m®t đa thúc sao choE(x) P(x),E(x) Q(x).tasechi ra

E(x) M(x).DoE(x) P(x) nênE(x) có dangE(x) =P(x)S(x) và do

Đ%nh nghĩa 1.1.13 (Hai đa thÉc nguyên to cùng nhau)

HaiđathúcP(x)vàQ(x)đưocGQIlàhaiđathúcnguyêntocùngnhauneu

(P(x), Q(x)) = 1.

1.1.7 Thu¾t toánE u c l i d

Trưóc khi tìm hieu thu¾t toán Euclid, ta đ¾c bi¾t quan tâm đen đ%nh lísau đây

Đ%nh lý 1.1.14.Gia su có hai đa thúc P(x)và Q(x), trong đódeg (P(x)) ≥deg

(Q(x)) Thnc hi¾n phép chia P(x)cho Q(x)đưac thương so là S(x)và sodư là

TacóD(x)vàD1(x) là các đa thúcđơnkhoi.

(3)Tù (1), (2)và(3) suy raD(x) =D1(x).

V¾y (P(x), Q(x)) = (Q(x), R(x)).

Th¾t ra thu¾t toán Euclid nói trên đưoc tőng quát hóa tù thu¾t toán

Euclid đe tìm ưóc chung lón nhat cna hai soavàbthu®c t¾pR.

Neublà ưóc cnaathì (a, b)=b

Neubkhông là ưóc cnaa, gia sua=b.p+cthì (a, b)=( b, c).

Thu¾t toán

a=b.p+r1,0< r1< b b=r1.p1+r2,0< r2<

Ta thnc hi¾n lan lưot các phép chia

Lay 2x3+9x2+10x+3 chia chox2+5x+4 đưoc 2xdư−x2+2x+3.

Layx2+ 5x+ 4 chia cho−x2+ 2x+ 3.đưoc−1 dư 7x+ 7.

Lay−x2

+2x+3 chia cho 7x+7 đưoc 1xdư 3x+ 3.

7

−

Lay7x+7chia cho3x+3 đưoc 7dư 0.

Sothnca(trongm®tsotrưònghop,taxétcasophúc)đưocGQIlànghi¾mcnađathúcP(

x)=a n x n +a n−1x n−1 + +a1x+a0neuP(a)=0.Túclàa n a n +a n−1a n−1 +

Đieu ki¾n đn NeuP(a)=0 thìP(x)chia het cho(x −a).

Gia su:P(x) = (x −a)Q(x) +R(x) suy raP(a) =R(x).VìP(a) = 0 nên

R(x) = 0.

Vì v¾yP(x) chia het cho (x −a).

Lưac đo Horner

Chúng ta se áp dung lưoc đo Horner trong bài toán tìm đa thúc thương

và dư trong phép chia đa thúcf(x)chox −α.

Gia suf(x) =a n x n +a n−1x n−1 + .+a1x+a0.

Khi đó đa thúc thươngg(x)=b n−1x n−1 +b n−2x n−2 + .+b1x+b0( dư cna phép chia) đưoc xác đ%nh theo lưoc đo sau:

Nghi¾m huu ts neu có x= p

q vái(p, q)=1thì p là ưác cua h¾ so tn do a0và

q là ưác cua h¾ so cao nhat a n

Tương tn ta có:a0.q n =−(a n p n +a n−1qp n−1+ .+a1q n−1 p).

QĐ%nh lý 1.1.21.Neu đa thúc P(x)chia het cho đa thúc Q(x)thì

tatcacácnghi¾mcuaQ (x)cũnglà nghi¾ m cu aP(x).

GiasuQ(x)=x2,P(x)=xthì MQI nghi¾mcuaQ(x)=x2đeulànghi¾m

cua P(x) =x nhưng P(x)không chia het cho Q(x).

.Σ

Đ%nh lý 1.1.23 (Đ%nh lí cơ ban cua đai so)

Cho P(x)là đa thúc vái h¾ so phúccób¾cn >0 Khi đó P(x)cón nghi¾mphúc.

Tasesudungcôngcugiaitíchphúcđechúngminhđ%nhlícơbancnađai so.Trưóchet tanhac lai m®t so khái ni¾m trong giaitíchp h ú c

Hàmfchinh hình taiz0khi và chi khi nó kha vi tai m®t lân c¾n nào đó cna

Neuf ∈H(C) vàb% ch¾nton taim >0:|f(x)| ≤m,∀x∈Cthìf=const.

Sauđâyta sechúngminh đ%nh lí cơ ban cna đais o

Chúng minh.

Tachicanchúngminhp(x) có m®t nghi¾m phúc là đn Th¾tv¾y,gia sux1là m®t nghi¾m cnap(x).Neun=1 thìp(x) có 1 nghi¾m,ketqua đúngvóin=1.Gia suketqua đã đúngchotrưòng hop b¾c cna đa thúc làn −1.Tachúngminhchotrưònghopp(x)cób¾cn.Bangphépchiap(x)cho(x−x0)taviet đưocp(x)= (x −x0)g(x)trong đóg(x)có b¾cn −1,x0là

m®tnghi¾mcnađathúcp(x).Theogiathietquynap,g(x)cón−1nghi¾m

phúcx1,x2, ,x n Dođóp(x)cónnghi¾mphúcx1,x2, ,x n

Giasup(x)khôngcónghi¾mphúc.Khiđóp(x) ƒ=0vóiMQIx∈C.Tachúngminhp(x)b

%ch¾ntrênC.Tacó

Vìa n ƒ= 0 nên|x n | |a n |→∞.Do.đó|p(x)|→ ∞khi|.x|→∞, khangđ%nh

đưoc chúng minh Theo khang đ%nh trên, lay 0< r ∈R, rđn lón co đ%nh,

rõ ràng 1

p (x)b%ch¾nvóiMQIx ∈Cthoamãn|x|≥r.Vì

1liên tuc trên

p(x)

p(x)b%ch¾ntrongmien|x|≤r.V¾y,

1b%ch¾n trên toàn b®

p(x)

C,túclànógiaitíchtrênC.Theođ%nhlíLiouville,p(x)làhàmhang,đieu

nàylàvôlívóigia thiet b¾c cnap(x)=n >0.Suy rap(x) có ít nhat m®t

H¾ qua 1.1.24.Neucácđa thúc P và Qcób¾ckhông quá n và trùng nhautai

n+ 1điem phân bi¾t thì chúngbangnhau

H¾ qua 1.1.25.Đa thúc P(x)b¾c n >0có the bieu dien duy nhat dưái dang

Gia sun ≥m.Khi đó ta cón=m+kvóik≥0.

Xét hi¾u

P(x)−Q(x) =a m +k x m+k +a m +k−1 x m+k−1 + .+x m (a m −b m )+x m−1 (a m−1−b m−1)+

.+a0−b0.

Theo bài ra ton tain+1 so đôi m®t khác nhauα1, α2, , α n+1(α i ƒ=α j ,∀iƒ=j)

sao choP(α i ) =Q(α i ) Khi đóP(α i)−Q(α i ) = 0.Suy ra

QH¾ qua 1.1.26.(a)So nghi¾m phúc cua m®t đa thúc vái h¾ so

thnc( neucó)luôn luôn là m®t soc h a n

(b) Neu đa thúc vái h¾ so thncf(x)chscónghi¾m phúc thìf(x)là m®t

Xét đa thúcb¾c3,P(x) =ax2+bx+c(aƒ= 0).

Tacó: ta luôn phântíchđa thúcP(x) thành đa thúc b¾c 2vàm®t đa thúc

b¾cnhat.Màđathúcb¾cnhatluôncónghi¾mthnc,đathúcb¾c2neucó

nghi¾mphúcthìluônlàhainghi¾mphúcliênhop.Suyrađathúcb¾c3luôn có so nghi¾mphúcchan(neuc ó )

Tương tn như v¾y, các đa thúc b¾c 4; 5;· · ·;nluôn có so nghi¾m phúc là so

Trưòng hop 2.klà so chan

Suy ra đa thúcP(x) se phân tích đưoc thành”k”đa thúc b¾c m®t và ”q1”

đa thúc b¾c 2.Khi đón=k+2.q1,suy ranlà so chan.

Tù 2 trưòng hop, ta ket lu¾n rangnvàkcó cùng tính chan le.

(d) Đathúcb¾clevóih¾sothncluônphântíchđưocsaocholuônxuathi¾n

ítnhatm®tđathúcb¾c1nênluôncóítnhatm®tnghi¾mthnc Q1.1.9 Đ%nh

líVièteĐ%nh lí

Viètethu¾n

Cho đa thúcP(x) b¾cn

P(x) =a n x n +a n−1x n−1 + .+a1x+a0

vóia n ƒ=0,a n ,a n−1, ,a1,a0làcácsothncho¾csophúc Gia sux1, x2,.

, x n lànnghi¾m cna đa thúcP(x).

CôngthúcViètesauđâychotabietmoiliênh¾giuatőngvàtíchcácnghi¾m cna đa

thúcvóicác h¾ so cna đa thúcP (x).

n − 2 ,

Sau đây ta se chúng minh công thúc Viète trên.

Chúng minh.

Trưóc het ta hãy xét các đa thúc đơn gian

Xét đa thúc b¾c haiP(x)=x2+ax+bcó hai nghi¾m làp, q.

Bây giò ta xét đa thúc dang tőng quát

Trongđó 1≤i1≤i2 ≤i n x i1x i2 x i k = (−1) ·



a n



a n

n

2

X n −α1X n−1 +α2X n−2 + .+ (−1) n−1 α n−1X+ (−1) n α n = 0

Ta xét m®t so trưòng hop cu the

1 Neux1+x2=S,x1x2=Pthìx1,x2là nghi¾m neu có cna phương trình

X2−SX+P= 0.

2 Neux1+x2+x3=A, x1x2+x2x3+x1x3=B, x1x2x3=Cthìx1, x2, x3

là nghi¾m neu có cna phương trìnhX3−AX2+BX−C=0.

1.1.10 Đong nhatthÉcNewton

Xét đa thúcP(x) =a n x n +a n−1x n−1 + .+a1x+a0vóia n ƒ= 0

Gia sur1, r2, r3, , r n lànnghi¾m cna đa thúcP(x).

Đ¾ts n =r n +r n + .+r n Khi đó ta có các đong nhat thúc sau

n

Cú tiep tuc làm như v¾y ta cóa n s n +a n−1s n−1+ .+a1s1+na0=

= (a n r n + .+a1r1+a0) + .+ (a n r n + .+a1r n +a+ 0) =

1.1.11 Các bàit o á n

Bài toán 1.1.27 (IMO 1976)

Cho các đa thúc P k (x), k=1,2,3 xác đ%nh bái

Tiep tuc quá trình như v¾y, quy nap ta đưocP n (x)=2 cos 2 n t.

TùphươngtrìnhP n (x) =x ⇒2 cos 2 n t= 2 cost.

2Taikhoang(1)tacó2n−1giátr%,taikhoang(2)tacó2n−1+1giátr%nhưng

haikhoanglaicóchunggiátr%0.V¾ycótatca2 n−1+2n−1 +1−1=2 n giá

x−1 ·

Đieu ki¾n can: Neuf(x),g(x)nguyên to cùng nhau thìm, nnguyên to cùng

nhau

Gia sum, nkhông nguyên to cùng nhau, túc làm, ncó m®t ưóc chungd ≥2.

Vìm, ncó ưócchunglàdnên ton taik,q >0 saochom=k.d, n=q.d.Khi đó,x m −1 =x k.d −1 =x d −1Σx d k−1

Suy rax m −1 vàx n −1 đeu chia het chox d −1.

Suy raf(x) vàg(x) đeu chia het cho đa thúc

x d −1 x−1 = 1 +x+x

2+ .+x d−1

Đa thúc này có b¾c lón hơn ho¾c bang 1 (vìd ≥2).Như v¾yf(x) vàg(x)

không nguyên to cùng nhau Suy ra vô lí

Khi đó:p |a0, q|a n Suy rap, qlà các so le.

⇒a n p n +a n−1qp n−1 + .+a1q n−1 p+a0q n = 0

Vô lí vì ve trái là tőng cna m®t so le các so hang le nên không the bang 0.Q

Bài toán 1.1.30 (AIME 2003)

Gia su a, b, c, d làcácnghi¾m cua phương trình x4−x3−x2−1=0

1.s2−s1+ 2.1 = 0⇒s2= 3,

s3−s2−s1+3.0=0⇒s3=4,

s4−s3−s2−s1+4.0=0⇒s4=11,

V¾yP(a)+P(b)+P(c)+P(d)=s4−s3−s1=11−4−1=6. Q

Bài toán 1.1.31 (AIME 1995)

Hãy tìm b neu phương trình x4+ax3+bx2+cx+d= 0vái h¾ so huu

tscóbonnghi¾mphúc,biettőnghainghi¾mlà3+4ivàtíchhainghi¾mcònlailà13 +i Lài giai.

Phương trình có bon nghi¾m phúc Suy ra có hai c¾p so phúc liên hop

Gia su có phương trình bon nghi¾m:x1;x2;x3;x4.

Không mat tính tőng quát, gia sux1+x2=3+4i Suy rax1vàx2không phai là hai so phúc liênh o p

Gia sux1liên hopx3;x2liên hop vóix4 Theo đ%nh lí Viète, ta có

x1x2+x1x3+x1x4+x2x3+x2x4+x3x4=b

⇒x1x2+x3(x1+x2)+x4(x1+x2)+x3x4=b

⇒x1x2+ (x1+x2)(x3+x4) +x3x4=b M¾t khác:x1+x2= 3 + 4i;x3.x4= 13 +i Suy rax1.x2=

13−i,x3+x4= 3−4i.

Suyrab=13 −i+(3+4i)(3−4i)+13+i=26+9−16i2=51. Q

Bài toán 1.1.32 (APMO 2003)

Neu tat ca các nghi¾m cua đa thúc

P(x) =x8−4x7+ 7x6+a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0

là so thnc dương, hãy tìm tat ca các giá tr% có the cua a0.

Theo đong nhat thúc Newton

a8s2+a7s1+2a6=0, vóia i là các h¾ so cna đa thúc Khi

Bài toán 1.1.33 (VMO 1990)

Gia suf(x) =a0x n +a1x n−1 + .+a n−1x+a n là đa thúc váih¾so thnc,có

a0 0vàthóam ãn đangthúc sau vái ∀x∈R

Bài toán 1.1.34 (Olimpic Toán toàn quoc 2003)

Cho biet đa thúc P(x)có b¾c n≥1vái m nghi¾m thnc Chúng minh rang

Tabiet rang moi m®t đa thúc b¾cn ≥1 đeu có đnnnghi¾m thnc ho¾c

phúc(kecab®i).Đongthòibaogiònghi¾mphúccũnglàsochan,vìneuđa thúc có

nghi¾m làα+iβthìα −iβcũng là nghi¾m.Taxét hai trưòngh o p

(i) Neunchanthì so nghi¾m thnc cnaP(x) phai là sochan,suy ramchan,nênm −1làsole.KhiđóQ(x)cób¾cn+2làsochan,nênnghi¾mthnccna nó

phai là sochan

Tù đó ket lu¾n rangP(x)có ít nhatm −1 nghi¾m thnc, suy raQ(x) phai có ít

nhat (m −1)+1=mnghi¾m thnc.

(ii) Neunlàsole,thìsonghi¾mthnccnaP(x)phaile,suyramlevàm −1chan.Khi

đóQ(x)có b¾cn+2 là so le, nên so nghi¾m thnc cna nó phailà sole.

Do đó,ketlu¾nP(x) có ít nhatm −1 nghi¾m thnc, suy raQ(x) phai có ít nhat

1.2 ĐathÉc váih¾ so nguyên, đathÉcbat khaquy

Trongmucnày,chúngtôi se trìnhbàyvàchúngminh bontiêuchuanđechúngminh đa thúc bat kha quy trênZ[x] đó là:tiêuchuanEisentein,

tiêuchuanOsada,tiêuchuanPolya,tiêuchuanOskarPerronvàđưaramoiquan

h¾giuabatkhaquytrênvànhsonguyênvàvànhsohuuti.Tieptheođólà m®t so bàitoán đa thúc bat kha quy áp dung nhung tiêuchuantrên.Trongcáctiêuchuanthì tiêuchuanEisenstein thưòng đưoc ápd u n g

1.2.1 ĐathÉc váih¾ songuyên

Tanhac lai đ%nh nghĩa đa thúcvóih¾ son g u y ê n

Đ%nh nghĩa 1.2.1.Cho đa thúcP(x)=a n x n +a n−1x n−1 + .+a1x+a0

vóia n ƒ= 0.Trongđó:a n ;a n−1; .;a1;a0là các so nguyên Khi đóP(x) làđa

Đ%nh lý 1.2.3 Tiêu chuan Eisenstein

Cho m®t đa thúc :f(x)=a n x n +a n−1x n−1 + .+a0b¾c n >0vái h¾ songuyên.

Gia surang,ton tai m®t so nguyên to p sao cho a n không chia het cho p vàcáca i ,(váii=0,1, ,n−1)chiahetchop,nhưnga0khôngchiahetchop2.Khi đóf(x)là m®t đa thúcbatkha quytrênZ[x].

Chúng minh.

Gia suf(x)kha quy trênZ[x].Khi đó ton tai hai đa thúc b¾c dươngg,h

vói h¾ so nguyên đe

vóir= deg(g);s= deg(h)>0, r+s=n.

Vìb0c0=a0chia het chopmà không chia het chop2vóiplà so nguyên to nên m®t trong hai sob0;c0phai chia het chop.

Gia sub0chia het chop Vìa0không chia het chop2màb0chia het chop

nênc0khôngchiahetchop

cácb i chiahetchop thìb i c i phaichiahetchopvói(i=0,1, ,n−1).Khiđóa n chiahetcho p.Dođóphaitontai m®tb j khôngchiahetchop

GQIilàchisonhonhatđeb i khôngchiahetchop.

Tacóa i =b i c0+b i−1c1+ .+b0c i Vìa i cùngvóitat cac á c s o

h a n g b i−1c1, ,b0c i đeuchiahetchopnênb i c0chiahetchop.M¾tkhácc0khôngchiah

etchopvàb i khôngchiahetchop.Suyravôlí.

Ví dn 1.2.4.Đa thúc P(x) =x4+ 3x3−9x2+ 18x+ 3là đa thúc bat khaquy

thóa mãn tiêu chuan Eisenstein.

Tacó các h¾ so cna đa thúc thoa mãn tiêuchuanEisenstein.a4=1

khôngchiahetcho3;a3=3, a2=−9, a1=18chiahetcho3;a0=3chiahetcho3

nhưng khôngchiahetcho9

Đ%nhlý 1.2.5 Tiêu chuan Osada

Chof(x)=x n +a1x n−1 + .+a n−1x±p là đa thúccócách¾ so nguyên váip là so nguyên

to Khi đó neu p >1+|a1|+ .+|a n−1|thìf(x)là m®t đathúcbatkha quytrênZ[x] Chúng minh.

Giasuf(x)làkhaquy.Khiđó:f(x)=g(x)h(x)vóig,hlànhungđathúcb¾cdươngv óicách¾songuyên.Vìplàsonguyêntonênm®ttrongcácso hang tn do cnaghayhphai

bang± 1.

Giasu:h¾sotndocnagbang ±1.Dođótr%tuy¾tđoicnatíchcácnghi¾m cnag(x)trong

trưòng so phúc phai bang 1 Do đóg(x)=0 phai có m®t nghi¾m phúcαvói | α| ≤1 Vìαcũng là nghi¾m cnaf(x) =0.nên

p=|α n +a1α n−1 + .+a n−1α| ≤1 +|a1|+|a2|+ .+|a n−1|

Suy ra tráivóigiat h i e t

Vídn1.2.6.ĐathúcP(x)=x8+x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+11làđathúcbatk

haq u y

Ta cóp= 11>1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 8.Suy ra đa thúcP(x)

bat kha quy theo tiêu chuan Osada

Đ%nhlý 1.2.7 Tiêu chuan Polya

Chof(x)là m®t đa thúc vái h¾ so nguyên,b¾cn > 0 Đ¾t m=

là nghi¾m cuaf(x)sao cho|f(d i)|<

2m Khi đóf(x)là m®t đa thúc bat kha quy trên Z[x].Chúng

minh.

Gia su:f(x) là khaquy.Khi đóf(x) =g(x)h(x), trong đóg,hlà nhung

đa thúc b¾c dương vói các h¾ so nguyên

Không mat tính tőng quát, ta gia su degh(x) ≤degg(x) =s

Như v¾y:m ≤s < n, ta thay ngayg(d i) 0vàg(d i )chiahetf(d i ).

Đ%nh lý 1.2.8 Tiêu chuan Oskar Perron

Cho đa thúc P(x)vái h¾ so nguyên Gia su ton tai so nguyên b và so nguyênto

p sao cho chúng thóa mãn đieu ki¾n sau

(a) P(b) =p,

Gia suP(x) là đa thúc khaquy.Khi đó ta đ¾t:P(x)=f(x).g(x)vói

f(x), g(x) là hai đa thúc vói h¾ so nguyên và có b¾c≥1.

GQIz i lànghi¾mcnađathúcf(x)màP(x)=f(x)g(x)nênz i cũnglànghi¾mcnađathúc P(x).

2vào bieu thúc (1) ta đưoc|f(b)|>|f(b−1)| ≥1.

Chúng minh tương tn đoivóihàmg(b)ta đưoc |g(b)|>|g(b−1)| ≥1

Khi đó, ton tai các ưócf(b)vàg(b)lón hơn 1 mâuthuan vóigia thietP(b)

là so nguyên to

Ví dn 1.2.9.Gia su so tn nhiên n chu so p=a0a1 a n là m®t so

nguyênto.Chúngminhđathúctươngúng

P(x) =a0x n +a1x n−1 + .+a n−1x+a n

Ta nh¾n thayP(10)=plà m®t so nguyên to.

Lai cóP(9) ƒ= 0.Vì v¾y ta se áp dung tiêu chuan Oskar Perron đe chúng

minh bài toán này

Ta se chúng minh tat ca các nghi¾mzcna đa thúcP(x) đeu thoa mãn bat

đang thúcRez <10 −

2=92· (1)Th¾t v¾y

Xét trưòng hopRe(z)<0 ho¾c |z| ≤1 thì bieu thúc (1) luôn thoa mãn.

.ét tr.ưòn.g hopRe(z)≥0,|z|>1 ta cóRe(z −1)≥0 do đó

nghi¾mzcna đa thúcP(x) thoa mãn bat đang thúc (1).

V¾y đa thúcP(x) bat kha quy trênZ(theo tiêu chuan Oskar Perron).

Q

1.2.3 Moiquanh¾batkhaquytrênZ[x]vàQ[x]

Câu hoi đ¾t ra là tai saochúngta lai quan tâm tói bài toán bat kha quytrênZ[x]màkhôngxétbàitoánbatkhaquytrêncáctrưòngcònlai.Đ%nhlí sau se tralòichocâu hoiđó

X