Một số thuật toán runge kutta với bước lưới thay đổi giải một lớp phương trình vi phân đại số

DANH MUC VI€T TATBTGTBĐ Bài toán giá tr% ban đau ÔĐTĐ On đ%nh tuy¾t đoi PTVPT Phương trình vi phân thưàng PTVPĐS Phương trình vi phân đai so RK Phương pháp Runge-Kutta HERK Phương pháp K

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I

TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN

Phan Quang Tuyển

M®T SO THU¾T TOÁN RUNGE - KUTTA

VéI BƯéC LƯéI THAY ĐOI GIÁI

LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC

Hà N®i - 2019

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I

TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN

Phan Quang Tuyển

M®T SO THU¾T TOÁN RUNGE - KUTTA VéI

BƯéC LƯéI THAY ĐOI GIÁI M®T LéP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐAI SO

Chuyên ngành: Toán úng dnng

Mã so: 8460112.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC

PGS TSKH Vũ Hoàng Linh

Hà N®i - 2019

LèI CÁM ƠN

Trưác khi trình bày n®i dung chính cua lu¾n văn, tôi xin bày tõ lòng biet ơn

sâu sac tái thay giáo PGS TSKH Vũ Hoàng Linh, ngưài đã trnc tiep hưáng

dan, chi day đe tôi có the hoàn thành lu¾n văn này

Tôi cũng xin bày tõ lòng biet ơn chân thành đen Khoa Toán- Cơ- TinHQC, Phòng Sau đai HQC, Trưàng Đai HQC Khoa HQC Tn nhiên Hà N®i − Đai HQCQuoc gia Hà N®i, cũng như quý thay cô giáo tham gia giãng day khóa cao HQC2017- 2019 đã day bão tôi t¾n tình trong suot quá trình HQC t¾p tai trưàng

Tôi xin gui lài cãm ơn chân thành nhat tái gia đình, ban bè, các đong nghi¾p

ã Khoa khoa HQC CƠ bãn, Trưàng Sĩ quan Pháo binh, nơi tôi đang công tác, đãluôn hő tra, đ®ng viên và tao MQI đieu ki¾n cho tôi HQC t¾p, nghiên cúu và thnchi¾n lu¾n văn này

Cuoi cùng, tôi xin chân thành cãm ơn TS Nguyen Duy Trưàng, giãng viêntrưàng Sĩ quan lnc quân 1, cùng toàn the ban bè, anh ch% em láp cao HQC 2017-

2019 đã đ®ng viên và giúp đã cho tôi trong quá trình thnc hi¾n lu¾n văn

Hà N®i, ngày 28 tháng 11 năm 2019

HQC VIÊN

Phan Quang Tuyen

Mnc lnc

1.1 Phương trình vi phân đai so 13

1.1.1 Khái ni¾m và phân loai phương trình vi phân đai so 13

1.1.2 Chi so cua phương trình vi phân đai so 15

1.2 Phương pháp Runge-Kutta cho phương trình vi phân thưàng 18

1.2.1 Phương pháp Runge-Kutta tőng quát 19

1.2.2 Sn h®i tn và tính őn đ%nh cua phương pháp Runge-Kutta 20

1.3 Đánh giá sai so và lna CHQN bưác đi bang phương pháp nhúng 21

1.3.1 Ý tưãng cua phương pháp nhúng RK 21

1.3.2 Phương pháp nhúng RK 22

2 Phương pháp Runge-Kutta núa hi¾n giái phương trình vi phân đai so 25 2.1 Trưàng hap phương trình vi phân đai so dang nua hi¾n chi so 1 25 2.2 Trưàng hap phương trình vi phân đai so không có tính la 27

2.2.1 Phân tích bài toán 28

2.2.2 Phương pháp Runge-Kutta nua hi¾n 30

2.3 Trưàng hap phương trình vi phân đai so không có tính la và có cau trúc 34

2.3.1 Phân tích cau trúc cua bài toán 35

2.3.2 Sn phn thu®c cua nghi¾m vào du li¾u 37

2.3.3 Rài rac hóa bang phương pháp Runge-Kutta nua hi¾n 39

2.3.4 Sn h®i tn cua phương pháp Runge-Kutta nua hi¾n 42

Tài li¾u tham kháo 66

DANH MUC KÝ HI›U

C p(I, Rm) Không gian các hàm véc tơ m chieu khã vi liên tnc cap p

C p(I, Rm1 ,m2 ) Không gian các hàm ma tr¾n cã m1 × m2 khã vi liên tnc cap

p I k Ma tr¾n đơn v% cap k

rank (A) Hang cua ma tr¾n A

O(h k ) Vô cùng bé cùng b¾c vái h k

DANH MUC VI€T TAT

BTGTBĐ Bài toán giá tr% ban

đau ÔĐTĐ On đ%nh tuy¾t đoi

PTVPT Phương trình vi phân thưàng

PTVPĐS Phương trình vi phân đai so

RK Phương pháp Runge-Kutta

HERK Phương pháp Kutta nua hi¾n (Half explicit Kutta) IRKPhương pháp Runge-Kutta an (Implicit Runge-Kutta)HEOL Phương pháp m®t chân nua hi¾n (Half explicit One - leg ) HELM Phương pháp đa bưác nua hi¾n (Half explicit linear

Runge-multistep)

LèI Mé ĐAU

Trong thnc te, chúng ta g¾p rat nhieu bài toán trong các lĩnh vnc khoa HQC kĩthu¾t như cơ HQC, hóa HQC, h¾ mach đi¾n, lý thuyet đieu khien, đ®ng lnc HQC CHAT lõng, v.v đưac mô hình hóa dưái dang m®t h¾ hőn hap các phương trình viphân ket hap vái các ràng bu®c đai so Các h¾ đó đưac GQI là phương trình vi

phân đai so (PTVPĐS, DAEs) PTVPĐS có dang tőng quát

trong đó t ∈ I = [0, T], F : I × Rm × Rm → Rn, m, n ∈ N Neu ma tr¾nJacobi cua F theo x J không suy bien, theo đ%nh lý hàm an, tù phương trình

(0.0.1) ta có the giãi đưac x J = f (t, x), đây chính là dang cua phương trình

vi phân thưàng (PTVPT) Trong trưàng hap tőng quát, ma tr¾n Jacobi cua Ftheo x J có the suy

bien Khi đó, chúng ta có m®t PTVPĐS, hay còn GQI là phương trình vi phân an

Ví dn 0.0.1 [5, Example 1.3 ]Xét m®t con lac đơn có khoi lưang m và chieu dài l.

Đ¾t h¾ trnc t QA đ® Đe các Oxy như hình ve:

Hình 1: Con lac đơn

Đ®ng năng và the năng cua con lac là T = 1 m x J2 + y J2 , U = mgy, g là gia toc tr QNG trưàng, vái ràng bu®c x2 + y2 − l2 = 0, ta có hàm Lagrange

L = 1 m .x J2 + y J2Σ

− mgy − λ .x2 + y2 − l2Σ,

2 2

.Σ

vái tham so Lagrange λ Phương trình chuyen đ®ng cua con lac có dang

phn thu®c vào đieu ki¾n ban đau x0

Trong ví dn (0.0.1) đe h¾ (0.0.3) có nghi¾m thì đieu ki¾n ít nhat ta can có là

x2 + y2 = l2 Không nhung v¾y, đieu ki¾n ban đau cua PTVPĐS còn có the

liên

quan đen đao hàm cua các ràng bu®c tai thài điem ban đau, xem [3]

Các PTVPĐS xuat hi¾n tù các bài toán thnc te thưàng là các h¾ rat phúc tap,không có hy vQNG giãi đúng, trong khi nhieu trưàng hap chúng ta chi can bietthông tin ve nghi¾m so ho¾c nghi¾m gan đúng vái múc đ® chính xác nhat đ%nhnào đó

Vi¾c nghiên cúu giãi so cho PTVPT đã phát trien tù lâu, trong khi vi¾cnghiên cúu lý thuyet và các phương pháp so cua PTVPĐS mái phát trien manh

trong khoãng hơn 30 năm trã lai đây Các phương pháp so cho PTVPĐS đeuđưac mã

r®ng tù các phương pháp so cho PTVPT Tuy nhiên, có nhieu ví dn cho thaycác phương pháp quen thu®c giãi PTVPT khi áp dnng cho PTVPĐS g¾pnhung khó khăn như: lài giãi so không őn đ%nh ho¾c th¾m chí không ton tai,xãy ra hi¾n tưang giãm cap chính xác, v.v Trong nhung năm cuoi the ki 20 đauthe ki 21, các nghiên cúu t¾p trung vào PTVPĐS dang an Nhóm tác giã P.Kunkel và V Mehrmann đã có nhung nghiên cúu m®t cách có h¾ thong cácPTVPĐS dang

(0.0.1) có chi so tùy ý Các tác giã đã nghiên cúu chi so la cua bài toán và đe xuatcác thu¾t toán đưa bài toán PTVPĐS dang (0.0.1) ve dang chính tac không

Không mat tính tőng quát, ta có the giã su t0 = 0 và f : I × Rm × Rm → Rm1 ,

g : I × Rm → Rm2 , (m = m1 + m2) là các hàm đu trơn và có các đao hàm

riêngb% ch¾n và thõa mãn

Σ f x J(t, x, x

j)Σ không suy bien DQC theo nghi¾m x(t). (0.0.5)(0.0.4) và đe xuat các phương pháp m®t chân nua hi¾n (HEOL), phươngpháp Tác giã V.H Linh và V Mehrmann [7] đã nghiên cúu tính chat cua bài toánhi¾u quã các PTVPĐS (0.0.4) không có tính cương

đa bưác nua hi¾n (HELM), phương pháp Runge-Kutta nua hi¾n (HERK) đegiãiKhi nghiên cúu m®t láp PTVPĐS có cau trúc dang

Rm1 → Rm1 , g = g(t, u) : I × Rm → Rm2 , (m, m1, m2 ∈ N, m = m1 + m2)

đu trơn

và có các đao hàm riêng b% ch¾n Giã su BTGTBĐ có nghi¾m duy nhat x(t) và

g

u

Σ f v E

Σ không suy bien DQC theo nghi¾m x(t) (0.0.7)

Đây là m®t láp các PTVPĐS nam trong dang PTVPĐS không có tính la

(0.0.4) Hai tác giã V.H Linh và N.D Trưàng [8] đã nghiên cúu và đưa racác phương

pháp Runge-Kutta nua hi¾n (HERK) và phương pháp Runge-Kutta an (IRK) đetìm nghi¾m so và đánh giá sai so, cap chính xác

Kutta cho PTVPT đưac áp dnng cho láp bài toán (0.0.4) và (0.0.6).Phương pháp Phương pháp Runge-Kutta nua hi¾n đã đưac ke thùa tù phươngpháp Runge- HERK đưac các tác giã V.H Linh và V Mehrmann [7], V.H Linh

tìm nghi¾m so, đánh giá sai so và bưác lưái h.

Ngoài Lài mã đau, Ket lu¾n và Tài li¾u tham khão, lu¾n văn cua tôi đưacchia ra gom 3 chương

Chương 1 Giái thi¾u

Trong chương thú nhat, tôi se trình bày lai các kien thúc cơ bãn ve: Phươngtrình vi phân đai so, phương pháp Runge-Kutta cho PTVPT, đánh giá sai so

và lna CHQN bưác đi bang phương pháp nhúng

Chương 2 Phương pháp Runge-Kutta nua hi¾n giãi PTVPĐS

Trong chương thú hai, tôi se trình bày phương pháp Runge-Kutta nua hi¾n đegiãi PTVPĐS cho 3 trưàng hap: PTVPĐS dang nua hi¾n chi so 1, PTVPĐSkhông có tính la, PTVPĐS không có tính la và có cau trúc

Chương 3 Phương pháp Runge-Kutta vái bưác lưái thay đői giãi PTVPĐS

Trong chương này, tôi se trình bày phương pháp nhúng vái bưác đi h thay

đői

ket hap vái phương pháp Runge-Kutta nua hi¾n trình bày trong chương 2 Sau

đó thnc hi¾n m®t so thu nghi¾m so đe so sánh và có sn đánh giá vái trưànghap áp dnng phương pháp Runge-Kutta vái bưác lưái đeu h.

Hà N®i, ngày 28 tháng 11 năm 2019

HQC VIÊN

Phan Quang Tuyen

RK cho PTVPT Phan cuoi cùng cua chương 1, tôi se trình bày vi¾c đánh giá sai

so và lna CHQN bưác đi bang phương pháp nhúng áp dnng cho PTVPT

1.1 Phương trình vi phân đai so

1.1.1 Khái ni¾m và phân loai phương trình vi phân đai so

Phương trình vi phân đai so dang tőng quát là phương trình

Nh¾n xét 1.1.1 Trong ví dn trên ta thay đao hàm

trình đau tiên cua (1.1.2), ta đưac

x1J

vào phương trình thn hai, thì

phương trình (1.1.2) se đưac viet lai là

xét BTGTBĐ (1.1.1) vái đieu ki¾n x(t0) = x0, t0 ∈ I, x0 ∈

Rm Đe thão lu¾n ve câu hõi sn ton tai và duy nhat nghi¾m cua PTVPĐS, chúng ta

2 M®t nghi¾m x cua PTVPĐS(1.1.1) thõa mãn đieu ki¾n ban đau đưac GQI là nghi¾m cua BTGTBĐ.

3 M®t đieu ki¾n ban đau x(nghi¾m Khi đó, bài toán 1.1.1) neu bài toán (1.1.1(1.1.1) (t0) ) = ket hap vái đieu ki¾n ban đau có ít nhat m®t vái đieu ki¾n x x0 đưac GQI(t là tương thích vái PTVPĐS0) = x0 GQI là giãi đưac.

Thông thưàng các PTVPĐS có cau trúc toán HQC tùy thu®c vào pham vi úngdnng nhat đ%nh Do đó, chúng ta có các h¾ PTVPĐS phi tuyen, PTVPĐS tuyentính, PTVPĐS nua hi¾n, PTVPĐS an hoàn toàn.

1 Phương trình vi phân đai so phi tuyen

Trong PTVPĐS (1.1.1), neu hàm F là phi tuyen đoi vái bat kì các bien t,

2 Phương trình vi phân đai so tuyen tính

PTVPĐS có dang A(t)x J + B(t)x(t) = q(t) e đây, A(t) và B(t) là matr¾n n × n, tuyen tính Neu A(t ) ≡ A và B(t ) ≡ B thì ta se có PTVPĐS

tuyen tính vái h¾ so hang

3 Phương trình vi phân đai so an hoàn toàn

PTVPĐS dang (1.1.1) thu®c dang an hoàn

toàn

1.1.2 Chí so cúa phương trình vi phân đai so

M®t cách phân loai khác cua PTVPĐS dna vào đ® phúc tap cua bài toán làphân loai theo chi so (index) Trong lý thuyet PTVPĐS có rat nhieu loai chi so,trong lu¾n văn ta chi quan tâm tái chi so vi phân (differentiation index) và chi

so la (strangeness index)

Đ%nh nghĩa 1.1.2 Phương trình vi phân đai so f (t, x(t), x J(t)) = 0 có chi so là µ neu

µ là so lan lay vi phân toi thieu

sao cho các phương trình trên có the rút ra m®t PTVPT x J(t) = g(t, x(t)).

Chi so vi phân như là m®t thưác đo ve khoãng cách giua PTVPĐS vái PTVPTqua các phép lay đao hàm Thưác đo này dưàng như không phãn ánh đưacchính xác bãn chat cua PTVPĐS bãi trong đó chúng ta hau như chi quan tâm tái

µ

tính chat vi phân mà không đe ý đen đ¾c trưng cua các ràng bu®c đai so Thnc

te, các

ràng bu®c đai so đôi khi làm cho bài toán trã nên phúc tap ho¾c đôi khi làmcho bài toán trã nên đơn giãn Tiep theo, chúng ta đe c¾p tái khái ni¾m chi so

la đã đưac P Kunkel và V Mehrmann đưa ra phãn ánh đưac cã bãn chat vi phân

và các đ¾c trưng cua phan đai so cua PTVPĐS Đe đ%nh nghĩa chi so la,chúng ta xét h¾ sau

trong đó F A có dang F A(t, x, x J , , x (A+1)) = 0, (1.1.4)

x J( )



trong lân c¾n đó các tính chat sau đưac thõa mãn

1 Chúng ta có rank cho ton tai m®t hàm ma tr¾n trơn Z M µ(t, x, x J , , x2 có cã (µ+1)() = (µ + µ 1)+ n × 1)n a có hang lán nhat − a trên L µ sao theo tnng điem thõa mãn Z T M µ = 0.

2 Chúng ta có rank [I n 0 0] sao cho ton tai m®t hàm ma tr¾n trơn T Aˆ2(t, x, x J , , x (µ+1)) = a, trong đó Aˆ2 có cã n × 2 d, d = Z T = N n µ

− a, có hang lán nhat theo tnng điem thõa mãn Aˆ2 T2 = 0.

0

,

3 Chúng ta có rank F x J(t, x, x J)T2(t, x, x J , , x (µ+1)) = d sao cho ton tai m®t

hàm

rank Eˆ1 T2 = d, trong đó Eˆ1 = Z T F x J

Đ%nh nghĩa 1.1.3 Xét PTVPĐS dang (1.1.1), giá tr% nhõ nhat µ ∈ N sao cho F thõa

mãn giã thiet (1.1.1) đưac GQI là chi so la cua (1.1.1) Neu µ = 0 thì PTVPĐS (1.1.1)

đưac GQI là không có tính la (strangeness-free).

Nh¾n xét 1.1.2 1 Mnc đích chính cua chi so vi phân là đưa ra khoãng cách đe bien

đői PTVPĐS trã thành m®t PTVPT Tuy nhiên, nghi¾m cua bài toán sau khi bien đői thưàng không trùng vái nghi¾m cua bài toán ban đau.

2 Mnc đích chính cua chi so la là đưa ra khoãng cách bien đői bài toán PTVPĐS trã thành m®t PTVPĐS có cùng nghi¾m nhưng có tính chat giãi tích tot hơn Tính chat đó có the tách bi¾t đưac phan ràng bu®c vi phân và phan ràng bu®c đai so cho các bien Tn đó ta có the thu đưac PTVPT bang vi¾c giãi bien đai so

tn các ràng bu®c và the vào các phương trình còn lai.

Lý thuyet ve chi so la cho PTVPĐS phi tuyen tőng quát (1.1.1) đã đưac nghiênkhông có tính la (0.0.4) Chúng ta quy ưác rang khi nhac đen chi so cuaPTVPĐS cúu Trong bài báo ([5]) có thu¾t toán bien đői dang (1.1.1) ve m®tPTVPĐS dang mà không nói gì thêm thì đó là chi so vi phân cua bài toán.Dna vào đó, chúng

ta giái thi¾u láp PTVPĐS thưàng g¾p có dang:

1 PTVPĐS dang nua hi¾n chi so 1 (Hessenberg chi so 1), xem ([3])

x J = f (t, x, z)

0 = g(t, x, z)

(1.1.7)

Trong đó, ma tr¾n hàm Jacobi g z đưac giã thiet là không suy bien vái MQI

ra z = φ(t, x), the vào phương trình thú nhat ta thu đưac phương trình

vi t Tù phương trình thú hai cua (1.1.7), theo đ%nh lý hàm an ta có thegiãi phân đoi vái x là x J = f (t, x, φ(t, x))

1

Như v¾y, chúng ta có the thay PTVPĐS (1.1.7) có chi so vi phân bang 1

nhưng có chi so la bang 0 hay dang không có tính la

2 PTVPĐS dang nua hi¾n chi so 2 (Hessenberg chi so 2), xem ([3])

x J = f (t, x, z)

0 = g(t, x)

(1.1.8)

Giã thiet rang, ma tr¾n Jacobi g x f z không suy bien vái MQI t Bien đai so

thú hai cua (1.1.8), lay đao hàm theo t ta đưac:

0 = g t(t, x) + g x (t, x) f (t, x, z),tiep tnc lay đao hàm theo t, ta đưac:

Ta can 2 bưác lay đao hàm đe mô tã z J nên PTVPĐS (1.1.8) có chi so 2

1.2 Phương pháp Runge-Kutta cho phương trình vi phân thưàng

Các phương pháp m®t bưác, tiêu bieu là các phương pháp Runge-Kutta (RK)

có ưu điem là đơn giãn, de l¾p trình, de dàng thay đői và đieu chinh bưác lưáikhi tính toán Phương pháp RK đưac hai nhà toán HQC ngưài Đúc là Runge vàKutta xây dnng tù 1895-1901 Trong phan này, tôi se trình bày sơ đo rài rac,

sn őn đ%nh và tính h®i tn, cap chính xác, mien ÔĐTĐ cua phương pháp RKhi¾n

cA bT

0010

α α 000

1 − 1 1 2α2α

0

1 2

12

1

0

1 2

00

1 6

00

1

0

1 3 2

00000010

11 36

1.2.1 Phương pháp Runge-Kutta tong quát

Tőng quát, phương pháp RK s nac cho PTVPT y J = f (t, y) có the đưac viet dưái dang

Phương pháp RK là hi¾n neu a ij = 0 vái j ≥ i, các trưàng hap còn lai là

phương pháp RK an M®t so ví dn ve phương pháp RK hi¾n:

• Phương pháp Euler hi¾n:

• Phương pháp có cap chính xác

2:

1

, neu α = 1 ta có công

thúc hình thang hi¾n, neu α = 2 ta có công thúc trung điem hi¾n

• Công thúc RK 4 nac cő đien:

Phương pháp RK s nac còn có the viet lai dưái dang:

i=1

1.2.2 Sn h®i tn và tính on đ%nh cúa phương pháp Runge-Kutta

Phương pháp RK có the đưac viet lai theo phương pháp m®t bưác dưái dang

y n = y n−1 + h nΨ (t n−1 , y n−1 , h n), (1.2.7)trong đó Ψ thõa mãn đieu ki¾n Lipschitz theo y, tù đó suy ra phương pháp

RK

0- őn đ%nh, xem ([3])

Vi¾c xác đ%nh cap chính xác cho các phương pháp RK s nac vái s > 2 khôngđơn giãn Chúng ta có m®t ket quã ve cap chính xác và sn h®i cua phương phápRK

Đ%nh lý 1.2.1 ([5], Theorem 5.9) Neu các h¾ so a ij , b i , c i cua phương pháp RK thõa mãn các đieu ki¾n:

s

c k−1

1 ,

chúng ta cho | y n | ≤ | y n−1 | khi áp dnng phương pháp cho phương trình thu y J

y n = R(z)y n−1 = Σ1 + zb T (I − zA)−11Σ y n−1, (1.2.9)

trong đó 1 quát trên là = (R1, 1, 1(z) = RK là 1 S + = {)zb T Như v¾y, hàm őn đ%nh cua phương pháp RK tőngT z (= I − h n zA λ )∈ −1C : 1 và mien ÔĐTĐ cua phương pháp| R(z )| ≤ 1}

1.3 Đánh giá sai so và lna CHQN bưác đi bang phương pháp nhúng

M®t so PTVPT có the có các nghi¾m mà nó thay đői m®t cách nhanh chóngtrong m®t khoãng thài gian và lai thay đői m®t cách ch¾m chap trong m®tkhoãng thài gian khác Do đó, chúng ta không the su dnng bưác đi h trong

phương pháp RK như m®t hang so, thay vào đó chúng ta nên su dnng h nhõ

khi mà nghi¾m thay đői nhanh chóng theo thài gian M®t phương pháp so mà

tn đ®ng lna CHQN bưác lưái trong mői bưác là m®t phương pháp thích nghi.M®t láp các phương pháp thích nghi cho vi¾c giãi PTVPT là các phương phápnhúng RK

1.3.1 Ý tưáng cúa phương pháp nhúng RK

chinh bưác lưái h = h n = t n − t n−1 Cho mői thành phan j cua y, (1 ≤ j

≤ m), ta Trong phan này, chúng ta se tìm hieu m®t so cách đe ưác lưang sai so

và đieu CHQN h cho mői j, (1 ≤ j ≤ m), su dnng sai so tương đoi (RTOL) ho¾csai so tuy¾t đoi (ATOL j) Chúng ta muon

|( l j)n | ≤ f rac[ATOL j + |( y j)n | RTOL],

ã đây frac là h¾ so an toàn (frac=0.8 ho¾c 0.9) Đe cho thu¾n ti¾n và tránh rac roicho các phương pháp RK ngưài ta su dnng sai so đ%a phương l j, 1 ≤ j ≤ m.

Ý tưãng cua phương pháp nhúng là chúng ta đi tính hai nghi¾m xap xi y n

và yˆ n tai t n, sao cho yˆ n − y n là ưác lưang sai so đ%a phương cua hai nghi¾mxap xi Chúng ta kiem tra bat đang thúc | yˆ n − y n | ≤ TOL Neu bat đang thúc

này không

Neu phương pháp cho vi¾c tìm y n có cap chính xác p thì l n(h˜ ) ≈ ch˜ p+1

Vì v¾y, thõa mãn thì bưác lưái h se b% loai và bưác lưái khác h˜ se đưac lna

CHQN thay the chúng ta có the CHQN h˜ thõa mãn

và l¾p lai quá trình này cho đen khi m®t bưác lưái chap nh¾n đưac tìm thay Neu bưác lưái đưac chap nh¾n thì tù cùng công thúc có the đưac su dnng đe đoán

m®t bưác lưái lán hơn h n+1 = h˜ cho bưác tiep theo.

tù công thúc s nac có cap p + 1 sao cho có công thúc khác vái cap p đưac

nhúng như v¾y se chung tính toán trên cùng m®t nac Như v¾y, chúng ta sexuat phát trong đó

Chúng ta se su dnng kí hi¾u ket hap cho m®t phương pháp nhúng:

• Ví dn đơn giãn nhat là phương pháp Euler hi¾n đưac nhúng trong

• Phương pháp nhúng Fehlberg 4(5) có 6 nac su dnng phương pháp RK cap

4 đưac nhúng trong phương pháp RK cap 5 Phương pháp nhúng Fehlberg4(5) có h¾ so sai so cua nghi¾m y n có cap chính xác 4 là nhõ nhat

• Phương pháp nhúng Dormand-Prince có 7 nac su dnng phương pháp RK

cap 4 đưac nhúng trong phương pháp RK cap 5 Phương pháp nhúngDormand-Prince 4(5) có h¾ so sai so cua nghi¾m yˆ n có cap chính xác 5 lànhõ nhat Trong khi thnc hi¾n bưác tính tiep theo ta thưàng CHQN nghi¾m cógiá tr% chính xác cao hơn thay the cho y n−1 Hơn nua, ta thay b® h¾ so cua

b T trùng vái h¾ so tai nac thú 7, do đó phương pháp nhúng Dormand- Princethnc chat ta thnc hi¾n có giá như phương pháp RK có 6 nac Vì v¾y, phươngpháp nhúng Dormand-Prince se có đ® chính xác tot hơn phương pháp nhúngFehlberg

Hình 1.1: C¾p Fehlberg 4(5)

Hình 1.2: C¾p Dormand-Prince 4(5)Dna vào ý tưãng và bãng ket hap cua phương pháp nhúng RK ta có thu¾t toán:

Thu¾t toán 1.3.1 Chúng ta giãi phương trình y J = f (t, y) trên đoan [t0, t f ], vái sai so cho trưác là TOL và đieu ki¾n ban đau y(t0) = y0.

1 Vái y n−1 đã biet, bưác lưái h = h0 đã cho, bien đem k = 1, ta tính y n và yˆ n

2 Ta so sánh, neu | yˆ n − y n | ≤ TOL,

• Ta chap nh¾n bưác đi h,

• Ta tính lai y n và yˆ n vái y n−1 trong bưác thn nhat đã biet đưac thay the

• Tăng giá tr% cua k, (k → k + 1) và t = t + h,

| yˆ n − y n |

Tiep tnc quá trình giong như bưác tính đau tiên cho tái khi dnng lai Khi đó, chúng

ta có the in ra ket quã nghi¾m chính xác, sai so cua hai nghi¾m xap xi, sai so thnc te cua nghi¾m so và nghi¾m chính xác, ve đo th% nghi¾m chính xác so vái đo th% nghi¾m so, v.v.

p

1 f racTOL

Chương 2

Phương pháp Runge-Kutta núa hi¾n

giái phương trình vi phân đai so

Trong chương này, tôi se trình bày chi tiet các phương pháp Runge-Kuttanua hi¾n cho 3 trưàng hap: PTVPĐS dang nua hi¾n, PTVPĐS không có tính

la, PTVPĐS không có tính la và có cau trúc Các ket quã chính cua chương nàydna vào [7], [8]

2.1 Trưàng hap phương trình vi phân đai so dang núa hi¾n chí so 1

Các phương pháp so cho PTVPĐS dang nua hi¾n chi so 1 đã đưac nghiêncúu và phát trien trong nhung năm cuoi cua the ki 20 Hưáng nghiên cúu hetsúc tn nhiên bang cách mã r®ng các phương pháp so cua PTVPT cho PTVPĐS.Trong phan này, tôi se trình bày vi¾c rài rac hóa bài toán PTVPĐS dang nuahi¾n chi so 1 bang phương pháp RK

Các PTVPĐS dang nua hi¾n chi so 1 là PTVPĐS đơn giãn nhat có dang

Hơn nua, ta giã su ma tr¾n Jacobi

G z(t, y(t), z(t)), (2.1.2)

cA bT

là không suy bien trong lân c¾n cua nghi¾m chính xác

Đe xây dnng nghi¾m so, ta lay lưái t0 < t1 < t N Đe cho đơn giãn, taxét lưái đeu vái bưác lưái là h Tat cã các ket quã áp dnng cho bưác lưái đeu van

đúng khi mà ta áp dnng cho bưác đi thay đői h Giã su, các h¾ so cua phương

pháp RK s nac có cap p đưac cho trong bãng Butcher

vái A = [a ij]s×s , b = [b1 b1 b s]T, c = [c1 c1 c s]T.Chúng ta se su dnng phương pháp RK ban đau là phương pháp hi¾n thì rài rachóa cua chúng ta se là phương pháp nua hi¾n Trên đoan [t n , t n+1], giã su chúng

(2.1.3)

Đieu ki¾n (2.1.2) , theo đ%nh lý hàm an, tù phương trình thú hai cua (2.1.1) ta

có the giãi ra đưac z = φ(t, y) trong m®t lân c¾n cua nghi¾m Như v¾y, (2.1.1)

ngoài ra ta còn xác đ%nh đưac z n+1 = φ(t n+1 , y n+1) tù phương trình thú 4 cua

(2.1.3) Chúng ta chi ra rang các thành phan cua nghi¾m so y cua (2.1.3) giongnhư nghi¾m so cua phương pháp RK áp dnng cho PTVPT (2.1.4) Do đó,

chúng ta có ket quã ve sn h®i tn sau cho sơ đo RK (2.1.3)

Đ%nh lý 2.1.1 Giã su rang (2.1.2) thõa mãn trong m®t lân c¾n cua nghi¾m (y(t), z(t))

cua (2.1.1) và các giá tr% ban đau là tương thích Cho m®t phương pháp RK cap p, sơ đo

RK (2.1.3) áp dnng cho PTVPĐS (2.1.1) h®i tn cap p, nghĩa là,

Nh¾n xét 2.1.1 Ta su dnng phương pháp RK ban đau ã dang hi¾n thì ta có phương

xác đ%nh giá tr% nac Y i hi¾n và giãi phương trình đai so cho Z i vái i = 1, 2, s.

đai so có the

đưac giãi m®t cách hi¾u quã bang phương pháp l¾p Newton.

2.2 Trưàng hap phương trình vi phân đai so không có tính la

Trong phan này, chúng ta se đưa ra dang cua PTVPĐS không có tính la vàsau đó se giái thi¾u phương pháp RK nua hi¾n cho vi¾c giãi so Đe ti¾n theodõi, ta nhac lai công thúc cua PTVPĐS dang:

(2.2.1)trong đoan I = [t0, t f ], vái đieu ki¾n ban đau x(t0) = x0 Giã su rang f =

f (t, x, x J) : I × Rn × Rn → Rd và g = g(t, x) : I × Rn → Ra, trong đó n = d

là các hàm đu trơn và có các đao hàm riêng b% ch¾n Hơn nua, ta giã su rang (2.2.1)

là PTVPĐS không có tính la, nghĩa là ma tr¾n Jacobi

2.2.1 Phân tích bài toán

giã su BTGTBĐ (2.2.1) có nghi¾m duy nhat x ∗(t) đu trơn và có các đaohàm riêng Trong phan này, đe nghiên cúu giãi tích cua phương pháp so, chúng ta

có the ch¾n trong lân c¾n cua nghi¾m x ∗(t), t ∈ I Theo mnc đích ve giãitích, giã su b% ch¾n trên I Hơn nua, f và g đưac giã su là đu trơn vái các đaohàm riêng b% các thành phan cua x trong (2.2.1) có the đưac sap xep lai vàphân hoach thành

x = [x T , x T ]T, trong đó x1 : I → Rd, x2 : I → Ra, đe mà ma tr¾n Jacobi g x2

cua g úng vái bien x2 (ho¾c f x

1J cua g úng vái bien x1J ) là khã ngh%ch trong lânc¾n cua nghi¾m Neu g x2 là không suy bien thì (2.2.1) có the bien đői thành dang,xem ([5])

x1J

= L(t, x1), x2 = R(t, x1) (2.2.3)Xét PTVPĐS tőng quát dang an, phi tuyen có chi so 1

Theo quá trình bien đői đưac chi ra trong [mnc 4.1, [5]], phương trình (2.2.4)

se đưac thu GQN thành PTVPĐS có chi so la dang

G(t, x, x J) = Σ G1(t, x, x

j)

Σ = 0

Như v¾y, PTVPĐS không có tính la dang (2.2.1) se có chi so vi phân là 1

Tuyen tính hóa (2.2.1) theo nghi¾m chính xác x ∗ ta thu đưac PTVPĐS tuyen

tính vái các h¾ so là hàm so, xem (Mnc 5.1, [5])

Ta se su dnng tính tuyen tính này trong vi¾c nghiên cúu tính giãi tích cua

phương pháp RK nua hi¾n: tính tương thích, őn đ%nh và h®i tn

PTVPĐS dang (2.2.1) tőng quát hơn PTVPĐS dang nua hi¾n chi so 1, đó làtrưàng hap đ¾c bi¾t khi

chi liên quan đen ràng bu®c

đai so Tuy nhiên, ràng bu®c đai so đưac cho dưái dang hi¾n và nó có the đưac