Một số mô hình phân tích chuỗi thời gian và ứng dụng

Tù nhung chuői du li¾u này ngưài ta phân tích và rút ra nhung quy lu¾t cua m®t quá trình đưac mô tãthông qua chuői du li¾u, tù đó có the đưa ra nhung dn báo haynhung quyet đ%nh đúng đan,

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN

KHOA TOÁN -CƠ- TIN HOC

Đ¾NG VĂN THOAI

M®T SO MÔ HÌNH PHÂN TÍCH CHUOI THèI GIAN VÀ ÚNG

DUNGLU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC

Hà N®i - 2013

Đ¾NG VĂN THOAI

M®T SO MÔ HÌNH PHÂN TÍCH CHUOI THèI GIAN VÀ ÚNG

DUNGLU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC

Chuyên ngành: Lý thuyet xác suat và thong kê toán HQC

Mã so: 60460106

Ngưài hưáng dan: GS.TSKH Đ¾NG HÙNG THANG

Hà N®i - 2013

LèI CÁM ƠN

Trưác khi trình bày n®i dung chính cua Lu¾n văn em xin đưacbày tõ lòng biet ơn sâu sac tái GS.TSKH Đ¾NG HÙNG THANG -ngưài đã t¾n tình hưáng dan đe em có the hoàn thành khóa lu¾n này

Em cũng xin bày tõ lòng biet ơn chân thành tái toàn the các thay

cô giáo trong khoa Toán - Cơ - Tin HQC, Đai HQC Khoa HQC Tn Nhiên,Đai HQC Quoc Gia Hà N®i đã tham gia giãng day và giúp đã emtrong suot quá trình HQC t¾p tai khoa

Nhân d%p này tác giã cũng xin đưac gui lài cãm ơn chân thành táigia đình, ban bè đã luôn ã bên, cő vũ, đ®ng viên, giúp đã em trongsuot quá trình HQC t¾p và thnc hi¾n lu¾n văn tot nghi¾p

PHAN Mé ĐAU

Nhân loai đã bưác sang th¾p niên thú hai cua the ki 21 Cùng vái

sn phát trien không ngùng cua các lĩnh vnc kinh te- xã h®i, các mônkhoa HQC CƠ bãn cũng đã đat đưac rat nhieu thành tnu đáng ke Đ¾cbi¾t là trong lĩnh vnc Toán HQC, rat nhieu ket quã thu đưackhông nhung giúp nhân loai giãi quyet các bài toán có tính chat lýthuyet mà còn góp phan giãi quyet các đưac bài toán thnc te cuacu®c song đ¾t ra Trong đó phãi ke đen b® môn Xác suat- Thong kê.Xác suat-Thong kê hi¾n nay đang là m®t trong nhung ngành ToánHQC thu hút đưac rat nhieu sn quan tâm cua không chi các nhà khoaHQC mà còn có cã các nhà quãn lý, nhà đau tư

Dn báo là lĩnh vnc ra đài tù rat sám, gan lien vái cu®c song thnctien cua con ngưài tù xa xưa Các quan sát trong thnc te thưàng đưacthu th¾p dưái dang chuői du li¾u Tù nhung chuői du li¾u này ngưài

ta phân tích và rút ra nhung quy lu¾t cua m®t quá trình đưac mô tãthông qua chuői du li¾u, tù đó có the đưa ra nhung dn báo haynhung quyet đ%nh đúng đan, k%p thài Ví dn như dn báo thài tiet, dnbáo chi so chúng khoán, múc tăng dân so, dn báo nhu cau su dnngđi¾n, dn báo so lưang sinh viên nh¾p HQC CUA m®t trưàng đai HQC Các ket quã úng vái tùng thài điem đưac ghi lai tao thànhm®t chuői thài gian Chuői thài gian đang đưac su dnng như m®tcông cn huu hi¾u đe phân tích trong nhieu lĩnh vnc cua kinh

te, xã h®i cũng như trong nghiên cúu khoa HQC Chính do tamquan TRQNG đó mà nhieu tác giã đã đe xuat nhung mô hình khácnhau đe phân tích chuői thài gian như là các mô hình hoi qui, phântích Furie Trong đó mô hình ARIMA cua Box-Jenkins là mô hìnhđưac đánh giá rat cao

Mô hình cho ket quã khá tot trong phân tích du li¾u Tuy nhiên, snphúc tap cua thu¾t toán đã gây ra nhung khó khăn trong quá trìnhphân tích, nhat là khi chuői so li¾u có nhung thay đői phãn ánh snphi tuyen cua mô hình như chuői thài gian tài chính

Trong khuôn khő cua Lu¾n văn, tác giã đã trình bày ve mô hìnhphương sai có đieu ki¾n cua sai so thay đői tn hoi quy (ARCH) và

m®t so mô hình mã r®ng cua nó (GARCH, GARCH − M, TGARCH) Sau đó, các mô hình này đưac áp dnng vào vi¾c đ%nh giá

quyen CHQN cua cő phieu IBM N®i dung chính cua lu¾n văn đưactrình bày trong 6 chương có n®i dung tương úng như sau:

• Chương 1: Nhung khái ni¾m ban đau

• Chương 2: Mô hình ARCH

• Chương 3: Mô hình GARCH

• Chương 4: Mô hình GARCH − M

• Chương 5: Mô hình TGARCH

• Chương 6: Úng dnng cua các kieu mô hình ARCH trong vi¾c đ

Mnc lnc

Lài

cám ơn

.

i Phan má đau .

.

ii Chương 1 Nhung khái ni¾m ban đau

2 1.1 Quá trình dùng

2

1.1.1 Quá trình ngau nhiên 2

1.1.2 Hàm trung bình và hàm hi¾p phương sai 2

1.1.3 Quá trình dùng 3

1.1.4 Hàm tn tương quan và hàm tương quan riêng 4

1.2 Mô hình ARMA

5

1.2.1 Quá trình trung bình trưat tn hoi quy ARMA 5

1.2.2 Đánh giá ve mô hình ARMA 6

1.3 suatLai cő phieu

6 Chương 2 Mô hình ARCH .

.

9 2.1 Cau trúc cua mô hình

9

2.2 Tính chat

10

2.2.1 Sn bieu dien tn hoi quy và hi¾p phương sai dùng 10

2.2.2 Moment không có đieu ki¾n 12

2.3 Ưác lưang

13

2.4 Kiem đ%nh hi¾u úng ARCH

2.5 Dn báo .

Chương 3 hình Mô GARCH 30

3.1.Cau trúc mô hình 30

3.2.Tính chat 31

3.2.1 GARCH đưac bieu dien như là ARCH ( ∞ ) .31

3.2.2 Đieu ki¾n dùng 32

3.2.3 Moment không có đieu ki¾n 34

3.2.4 Đ® NHQN cua mô hình 36

3.3.Ưác lưang 37

3.4.Kiem đ%nh mô hình 38

3.5.Dn báo 38

3.6.Ví dn áp dnng 39

3.7.Ưu điem và nhưac điem cua mô hình 44

Chương 4 hình Mô GARCH-M 47

4.1.Cau trúc mô hình 47

4.2.Tính chat 48

4.3.Ưác lưang 49

4.4.Kiem đ%nh mô hình 50

4.5.Ví dn 50

4.6.M®t vài lưu ý khi áp dnng 54

Chương 5 hình Mô TGARCH 55

5.1.Cau trúc mô hình 55

5.2.Tính chat 56

5.2.1 Sn bieu dien hoi quy 57

5.2.2 Đieu ki¾n dùng 57

5.2.3 Moment không có đieu ki¾n 57

5.2.4 Dáng đi¾u cua đuôi mô hình 58

5.3.Ưác lưang và kiem đ%nh mô hình 58

5.4.Ví dn 58

5.5.Ưu và nhưac điem cua mô hình TGARCH 62

Chương 6 Úng dnng cúa các kieu mô hình A R C H trong vi¾c đ%nh giá

q u y en CHQN .64

6.1.Hap đong quyen CHQN 64

6.2.Du li¾u và phương pháp 66

6.3.Ket quã 68

Tài li¾u tham kháo 74

Danh sách hình ve

1.1

Giá cő phieu IBM hàng tuan (3/1/2000 - 21/10/2013) 4

1.2 Bieu đo phân bo lai suat hàng tuan và phân phoi chuan 7 1.3 Bieu đo lai suat hàng tuan 7

2.1 Đo th% ACF cua lai suat hàng tuan (IBM) 18

2.2 Đo th% PACF cua bình phương lai suat 18

2.3 Sai so chuan có đieu ki¾n 20

2.4 Lai suat thnc te vái 2 đưàng giái han tin c¾y 20

2.5 Phan dư và phan dư chuan hóa 21

2.6 Các h¾ so tương quan cua phan dư chuan hóa và bình phương phan dư chuan hóa 21 2.7 Đo th% QQ-norm cua phan dư 22

2.8 Sai so chuan có đieu ki¾n 24

2.9 Lai suat thnc te và 2 đưàng giái han tin c¾y 24

2.10 Phan dư và phan dư chuan hóa 25

2.11 Các h¾ so tương quan cua phan dư chuan hóa và bình phương phan dư chuan hóa 25 2.12 Đo th% QQ-std cua phan dư tiêu chuan 26

2.13 Giá tr% dn báo cua ARCH trong 10 bưác 27

2.14 Đo th% mô phõng chuői lai suat 29

2.15 Phân bo cua chuői mô phõng 29

vii

3.1 Đ® l¾ch chuan có đieu ki¾n 41

3.2 Lai suat thnc te và 2 đưàng giái han tin c¾y 41

3.3 Đo thì QQ-std cua phan dư 42

3.4 Phan dư và phan dư chuan hóa 42

3.5 Các h¾ so tương quan cua phan dư chuan hóa và bình phương phan dư chuan hóa 43 3.6 Ket quã dn báo cua GARCH trong 10 bưác 44

3.7 Chuői lai suat thnc te và chuői mô phõng 46

3.8 Phân bo cua chuői mô phõng 46

4.1 Sai so chuan có đieu ki¾n 51

4.2 Lai suat thnc te và 2 đưàng giái han tin c¾y 52

4.3 Đo th% QQ-std cua phan dư trung bình 52

4.4 Phan dư và phan dư chuan hóa 53

4.5 Các h¾ so tương quan cua phan dư chuan hóa và bình phương phan dư chuan hóa 53 4.6 Ket quã dn báo GARCH-M trong 10 bưác 54

5.1 Sai so chuan có đieu ki¾n 60

5.2 Lai suat thnc te và 2 đưàng giái han tin c¾y 60

5.3 Đo th% QQ-std cua phan dư 61

5.4 Phan dư và phan dư chuan hóa 61

5.5 Các h¾ so tương quan cua phan dư chuan hóa và bình phương phan dư chuan hóa 62 5.6 Chuői lai suat thnc te và chuői mô phõng 63

5.7 Phân bo cua chuői mô phõng 63

Danh sách báng

6.1 Dn báo giá quyen CHQN vái giá thnc thi $190 bang các

kieu mô hình ARCH 70

6.2 Dn báo giá quyen CHQN vái giá thnc thi $195 bang các

kieu mô hình ARCH 70

6.3 Dn báo giá quyen CHQN vái giá thnc thi $200 bang các

kieu mô hình ARCH 71

6.4 Dn báo giá quyen CHQN vái giá thnc thi $205 bang các

kieu mô hình ARCH 71

6.5 Dn báo giá quyen CHQN vái giá thnc thi $210 bang các

kieu mô hình ARCH 72

6.6 Dn báo giá quyen CHQN bang mô hình Black-Scholes 72

1

Chương 1

Nhung khái ni¾m ban đau

1.1.Quá trình dùng

1.1.1.Quá trình ngau nhiên

Cho (Ω, F, P) là không xác suat; BR là σ− trưàng Borel trên R Đ

%nh nghĩa 1.1 M®t quá trình ngau nhiên { X(t); t ∈ R} là m®t hàm hai bien xác đ%nh trên R × Ω và là hàm đo đưac đoi vái σ− trưàng BR

× F

Giã su X(t), t ∈ T là m®t quá trình (ngau nhiên), trong đó T là

t¾p chi so thài gian T¾p chi so T có the là t¾p thài gian liên tnc R =

(−∞; +∞); R+ = [0; +∞) ho¾c rài rac Z = {0; ±1; ±2; }

Đ%nh nghĩa 1.2 Quá trình X(t), t ∈ R đưac GQI là m®t quá trình cap

2 neu E | X (t )|2 < ∞; ∀ t ∈ R

1.1.2.Hàm trung bình và hàm hi¾p phương sai

Đ%nh nghĩa 1.3 Hàm trung bình cua quá trình ngau nhiên X (t) kí hi¾u là

m(t) và đưac tính theo công thnc m(t) = EX (t).

Hàm hi¾p phương sai cua quá trình ngau nhiên kí hi¾u là r(s, t) và

đưac tính theo công thnc

r (s; t) = Cov [X (s) ; X (t)] = E [(X (s ) − m (s)) (X (t ) − m (t))]

.

X(t + h), ∀h ∈ R

Đ%nh nghĩa 1.5 Quá trình X(t), t ∈ R đưac GQI là quá trình dnng manh thì hàm phân phoi đong thài cua { X(t1 + h); X(t2 + h); ; X(t n

+ h )} và (hay dnng theo nghĩa hep) neu vái MQI h ∈ R, và vái MQI t1 <

t2 < < t n cua { X(t1); X(t2); ; X(t n )} là như nhau.

ta t%nh tien b® chi so thài gian (t1; t2; ; t n)

Đieu đó có nghĩa là phân phoi huu han chieu không thay đői khi

Đ%nh nghĩa 1.6 Chuői thài gian { X(t), t ∈ T } hay X(t), t ∈ T là t¾p hap các giá tr% quan sát theo thài gian t, t ∈ T ve cùng m®t đoi tưang Neu T là t¾p rài rac thì X (t) đưac GQI là chuői thài gian rài rac Neu T là liên tnc thì

X (t) đưac GQI là chuői thài gian liên tnc.

Đ%nh nghĩa 1.7 Chuői thài gian X(t) đưac GQI là dnng neu X(t) là

quá trình dnng.

Ví dn ve chuői thài gian

=

1

Hình 1.1: Giá cő phieu IBM hàng tuan (3/1/2000 - 21/10/2013)(So li¾u đưac lay tù http://ichart.finance.yahoo.com)

1.1.4.Hàm tn tương quan và hàm tương quan riêng

Đ%nh nghĩa 1.8 Cho { X(t )} là chuői thài gian dnng Hàm tn hi¾p phương sai (ACVF) vái đ® tre h cua { X(t )} là

1.2.Mô hình ARMA

1.2.1.Quá trình trung bình trưat tn hoi quy ARMA

Đ%nh nghĩa 1.9 Quá trình ngau nhiên { Z t ; t ∈ T } đưac GQI là dãy

on trang, kí hi¾u { Z t } ∼ WN 0; σ neu nó thõa mãn các đieu ki¾n

sau:

EZ t Z s = 0, ∀t ƒ= s

EZ t = 0; EZ2 = σ2; ∀t

∈ T

tn hoi quy cap p, kí hi¾u X t ∼ AR (p) neu { X t ; t ∈ Z} thõa mãn Đ

%nh nghĩa 1.10 Quá trình ngau nhiên { X t ; t ∈ T } đưac GQI là quá trình

a i L i = 0 nam ngoài vòng tròn đơn v%

trung bình trưat cap q, kí hi¾u X t ∼ MA (q) neu thõa mãn Đ

%nh nghĩa 1.11 Quá trình ngau nhiên { X t , t ∈ T } đưac GQI là quá trình

X t = Z t + b1 Z t −1 + b2 Z t −2 + + b q Z t − q Trong đó { Z t } ∼ WN 0; σ2 ,b i ∈ R, b q ƒ= 0

Đieu ki¾n đe quá trình MA(q) khã ngh%ch là các nghi¾m cua phương

b i L i = 0 nam ngoài vòng tròn đơn v%

(p;q), kí hi¾u X t ∼ ARMA(p; q) neu { X t } thõa mãn Đ

%nh nghĩa 1.12 { X t } là m®t quá trình trung bình trưat tn hoi quy cap

.Σ

.Σ

φ i L i = 0 nam ngoài

vòng tròn đơn vi

1.2.2.Đánh giá ve mô hình ARMA

Mô hình ARMA thu đưac thành công lán khi áp dnng chocác chuői thài gian xuat phát tù các lĩnh vnc khoa HQC tn nhiên

và ky thu¾t nhưng that bai khi áp dnng cho các chuői thài giankinh te và tài chính Nguyên nhân chính là giã thiet ve m¾ttoán HQC phương sai cua các chuői thài gian tài chính không thayđői theo thài gian là không phù hap Vì v¾y mô hình ARMA có the

dn báo đưac kỳ vQNG nhưng that bai khi dn báo phương sai cuachuői thài gian tài chính như dãy lai nhu¾n cua m®t tài sãn (cőphieu) Đã có nhieu ví dn the hi¾n rõ sn không phù hap cua mô hìnhARMA đoi vái chuői thài gian tài chính

M¾c dù mô hình ARMA tõ ra không phù hap vái chuői thài giantài chính nhưng nhung ky thu¾t mà nó cung cap là m®t cơ sã ratquan TRQNG và mang lai nhieu gai ý cho các công trình nghiên cúu vechuői thài gian sau Box-Jenkins Chính Box-Jenkins là nhung ngưàiđau tiên đưa ra các ky thu¾t lay sai phân đe khu khuynh hưáng tat đ

%nh nham tăng khã năng dùng cua m®t chuői thài gian Vái nhungv¾n dnng sáng tao khái ni¾m khuynh hưáng này, nhung ngưàinghiên cúu đi sau Box - Jenkins đã cho ra đài hai láp mô hình ratquan TRQNG đoi vái chuői thài gian tài chính Đó là mô hình c®ngtích, Cointegration (Granger,1981) và mô hình phương sai có đieuki¾n thay đői tn hoi quy ARCH Mô hình ARCH là cong hien mang

tính khai phá cua Engle, nó có the giãi thích sn bat thưàng cuaphương sai mà chi su dnng nhung thông tin quá khú cua bãn thânnhieu Mô hình ARCH và m®t so mã r®ng cua nó se đưac tác giã lan

lưat trình bày trong các chương tiep theo cua lu¾n văn

1.3.Lai suat co phieu

Trong thnc te, có rat nhieu du li¾u tài chính như chuői lai suat cőphieu đưac coi như m®t là chuői thài gian Tuy v¾y, vi¾c nam batđưac các đ¾c trưng cua chuői thài gian tài chính là đieu rat khókhăn Trong

mnc này tác giã se trình bày m®t so tính chat đ¾c trưng cua lai suat

và co gang minh HQA đieu đó bang nhung ví dn

• Chuői lai suat có phan đuôi n¾ng hơn chuői có phân phoi chuan.

So sánh đo th% m¾t đ® cua chuői lai suat vái m¾t đ® phân phoichuan có cùng trung bình và phương sai, ta có the thay rangchuői lai suat có phân bo cao hơn và gay hơn nhưng có phan

đe r®ng hơn so vái m¾t đ® phân bo chuan

Hình 1.2: Bieu đo phân bo lai suat hàng tuan và phân phoi chuan

Hình 1.3: Bieu đo lai suat hàng tuan

• M¾c dù nhung bien đ®ng cua t¾p các giá tr% lai suat ta không

quan sát đưac nhưng chúng có nhung tính chat đ¾c trưng là xuhưáng bay đàn Túc là lai suat có the bien đ®ng cao trong nhungthài kì này và thap trong các thài kì khác

Nhìn vào bieu đo 1.3 ta thay, lai suat hàng tuan cua cő phieuIBM cao vào giai đoan (2000-2003) và (2007-2009)- khi cu®ckhung hoãng kinh te bat đau Trong suot tùng thài kì nhung snthay đői lán thưàng đưac xuat hi¾n theo sau nhung sn thay đőilán Lai suat IBM tương đoi őn đ%nh (ít có sn thay đői lán)trong giai đoan (2003-2007)

• Nhung bien đ®ng cua lai suat có tính chat đòn bay Đieu đó có

nghĩa là đ® bien đ®ng cua lai suat thưàng xuat hi¾n đe tácđ®ng trã lai sn tăng hay giãm cua giá cã

• Lai suat bien đ®ng theo thài gian theo cơ che liên tnc, túc là ít

có các bưác nhãy cua đ® bien đ®ng lai suat

• Lai suat không phân kì đen vô vùng, nghĩa là lai suat bien thiên

trong m®t mien xác đ%nh nào đó Ve m¾t toán HQC thì lai suattài sãn thưàng là m®t chuői dùng

Chương 2

Mô hình ARCH

Các mô hình kinh te truyen thong thưàng giã đ%nh rang phươngsai ã các thài kì dn báo là bat bien Tuy nhiên, trong thnc te đieu nàykhông th¾t sn đúng đan Vì the Robert Engle đã đe xuat m®t mô hìnhmái đe phù hap vái các quá trình có gia so đ®c l¾p mà ã đó phươngsai có the thay đői theo thài gian nhưng van thõa mãn phương saikhông có đieu ki¾n là hang so Mô hình này đưac ông giái thi¾u lanđau tiên vào năm 1982 [15] và đưac GQI là mô hình phương sai cóđieu ki¾n cua

sai so thay đői tn hoi quy (ARCH)

2.1 Cau trúc cúa mô hình

Cho {X t } là chuői thài gian

quy b¾c p, kí hi¾u ARCH(p) là mô hình có dang Đ

%nh nghĩa 2.1 Mô hình phương sai có đieu ki¾n cua sai so thay đői tn

Var (a t | F t −1) là phương sai cua a t vái đieu ki¾n F t −1 và là hàmxác đ%nh không âm, phn thu®c vào thài gian và tham so α

ε t là dãy đ®c l¾p cùng phân phoi vái trung bình = 0, phương sai =1

a t đưac GQI là cú soc hay phan dư cua X t tai thài điem t

hi¾u ARCH(p) neu Đ

%nh nghĩa 2.2 Mô hình ARCH đưac GQI mô hình tuyen tính b¾c p, kí

Đ%nh nghĩa 2.3 Mô hình ARCH đưac GQI là mô hình tuyen tính b¾c vô

cùng, kí hi¾u ARCH(∞) neu

∞

σ t2 = α0 + ∑ α i a2 ; α0 > 0; αi ≥ 0, ∀ i ≥ 1

i= 1

t − i

Mô hình ARCH(p) tuyen tính đưac su dnng r®ng rãi trong vi¾c

mô hình hóa chuői tài chính vì có khã năng nam bat các tính chat cuabien đ®ng và the hi¾n nó m®t cách đơn giãn

2.2 Tính chat

2.2.1.Sn bieu dien tn hoi quy và hi¾p phương sai dùng

Giã su a t F t −1 ∼ N 0; σ2 túc là phân bo cua a t vái đieu ki¾n F t −1

là phân bo chuan có trung bình 0 và phương sai σ2 Đ¾t η t = a2 − σ2

Ta có Eη t = 0 và η t là không tương quan (Tsay, 2005, trang 107) Khi

giong như vi¾c xác đ%nh các giá tr% quan TRQNG khác là trung bình vàphương sai.

Đ%nh lí 2.1 Quá trình ARCH(p) có hi¾p phương sai dnng neu và chi neu

p tat cã các nghi¾m cua phương trình đ¾c trưng 1

đưàng tròn

đơn v% hay các nghi¾m cua phương trình đ¾c trưng nam ngoài vòngtròn đơn v% (Anderson (1994) trang 177 [7])

Khi đó lim E (wt F t k) = (I A)−1 b Vì v¾y

k →∞

t 1 ∑ αi p

= 1

2.2.2.Moment không có đieu ki¾n

Moment cua ARCH(p) có the tìm đưac bang cách su dnng lu¾t kì

vQNG có đieu ki¾n Cho X và Y là các bien ngau nhiên, khi đó

E (X) = E (E (X | Y ))

Vái giã thiet a t F t −1 ∼ N 0; σ2ta có

E (a t) = E (E (a t | F t −1 )) = 0Theo chúng minh ã mnc 2.2.1 , vái mői quá trình dùng ARCH(p) ta

3α2ΣTrong Tsay (2005)[24], tác giã đã trình bày m®t cách chúng minh đơngiãn như sau:

Cho mô hình ARCH(1) thõa mãn (2.2.2), ε t ∼ N (0; 1) Ta có

Do đó, a t n¾ng đuôi hơn phân bo chuan Tính chat này van đúng cho

mô hình ARCH tőng quát Các công thúc cho các mô hình ARCH

b¾c càng cao thì càng phúc tap hơn và se không đưac thão lu¾n ã đây

Phương sai có đieu ki¾n σ2

đưac tính đ¾ quy Hàm hap lí (có đieuki¾n) cua mô hình ARCH(p)

Lay logarit cơ so tn nhiên cua hàm hap lí (có đieu ki¾n) cua quá trình

ARCH(p) ta thu đưac

ln 2

1 ln

2Σ 1

a2 ΣΣσ

là vectơ tham so cua phương sai đieu ki¾n, g = g (F t −1, b) là hàm trungbình Theo đ%nh nghĩa cua Engle (1982)[15], quá trình ARCH(p) là đoixúng, túc là mô hình ưác lưang phương sai có đieu ki¾n cua nhungtrình ARCH(p) chính quy và đoi xúng thì các khoi ngoài đưàngchéo cú soc dương (tích cnc) và âm (tiêu cnc) là như nhau VáiMQI quá đ%nh cua α và g (F t −1, b) có the đưac tien hành m®t cáchriêng bi¾t bang 0 (Engle,1982) Đieu này có nghĩa là nhung ưáclưang và kiem đó tham so b cua (F t −1, b) là ưác lưang ban đautheo bình phương bé Engle đã đe xuat m®t quy trình ưác lưang cua

mô hình ARCH mà ã nhat cua phan dư a t Khi đó ưác lưang hi¾uquã ^ cua α đưac tìm ra

bang phương pháp ưác lưang hap lí cnc đai ( MLE) Uác lưang hi¾uquã cua b đưac xây dnng bang cách su dnng ^ Tù đó ta thu đưac

m®t t¾p hap mái gom các so dư cua a t Các bưác này đưac l¾p đil¾p lai cho đen khi h®i tn và cho ta các ưác lưang hap lí cnc đai cua

b và α.

Sn ưác lưang mô hình ARCH(p) đưac nói ã trên là dna vào giãthiet phan dư a t có phân phoi chuan Tuy nhiên giã thuyet này có the

không đúng và l không còn đưac bieu dien như trên Weiss (1986)

[25] đã chi ra rang, th¾m chí khi đieu ki¾n phân phoi chuan b% vipham, mien là hai moment đau tiên đưac chi ra chính xác, vi¾c ưáclưang tham so là phù hap và ti¾m c¾n chuan Do đó ưác lưang cáctham so có the van thnc hi¾n đưac bang cách cnc đai l và đưac GQI làưác lưang tna hap lí cnc đai (QMLE) Đoi vái phân phoi có đieu

ki¾n đoi xúng, QMLE là gan chính xác như MLE, nhưng vái phân

phoi không đoi

α α

xúng thì sn khác bi¾t là tương đoi lán.

2.4 Kiem đ%nh hi¾u úng ARCH

Bollerslev (1994) [12] nhan manh rang kiem đ%nh hi¾u úng

ARCH(p) ARCH(p) phãi lán hơn 0 M®t cách thưàng đưac su dnng

đe kiem đ%nh hi¾u úng ARCH(p) là phương pháp kiem đ%nh nhân tuLagrange đưac xây dnng như m®t kiem đ%nh đuôi vì các tham so cua quá trình

R2 là bình phương moi tương quan b®i giua f 0 và z, T là kích

thưác mau Theo giã thet, ξ là ti¾m c¾n theo m®t phân phoi χ-bình

phương vái p b¾c tn do Engle (1982 ) [15] cho rang đây là m®t bài

kiem đ%nh ti¾m đ%a phương manh nhat, tương tn như kiem đ%nhkhã năng hap lí và kiem đ%nh Wald Ý tưãng cua bài kiem đ%nh ratđơn giãn, neu có hi¾u úng ARCH thì nhung cú soc a t se dn đoán

đưac (ví như nhung cú soc lán đưac theo sau bãi nhung cú soc lán)ngưac lai nó se bien đői m®t cách ngau nhiên và không the dn đoánđưac Neu chúng ta có the mô hình hóa bien đ®ng m®t cách thíchhap , thì nhung gì còn lai không giãi thích đưac trong mô hình (như

là các so dư) se xuat hi¾n như m®t quá trình ngau nhiên Chúng ta

có the su dnng kiem đ%nh đe kiem tra hi¾u úng ARCH trưác khi co

gang mô hình hóa bien đ®ng , và sau đó thnc hi¾n kiem đ%nh lai

mô hình mà ta vùa lap vào

du li¾u Ta se thu đưac mô hình phù hap neu mô hình có the nam batđưac kieu bien thiên cua du li¾u Neu mô hình chưa phù hap , ta cóthe l¾p lai quá trình trên cho đen khi mô hình vưat qua đưac cáckiem đ%nh Tuy nhiên, như Bollerslev(1994) [12] đã đe c¾p, kiem đ

%nh LM là m®t kiem đ%nh cho nhung bien đ®ng có tính bay đànhơn là phương sai cua sai so có đieu ki¾n

Vì

a2 có the đưac xem như là m®t quá trình tn hoi quy b¾c p

-AR(p) nên ta cũng có the su dnng thong kê Q (Ljung-Box, 1978) đoivái chuői a2

H0: p h¾ so tương quan đau tiên ACF cua chuői a2 đeu bang không

H1 : có ít nhat m®t trong p h¾ so đau tiên khác không

∼ χ2 (p) Trong các kiem đ%nh trên neu H0 đưac chap nh¾n thì không

có hi¾u úng ARCH, ngưac lai neu H0 b% bác bõ thì có hi¾u úng

ARCH

2.5 Dn báo

Dn báo mô hình ARCH đưac thnc hi¾n theo phương pháp đ¾ quy

như dn báo đoi vái mô hình AR Xét mô hình ARCH(p) Giã su ãđiem goc dn báo h, dn báo cho σ2 là

Bang phương pháp quy nap ta có

Trong ví dn này và các ví dn tiep theo tác giã đeu su dnng du

li¾u là chuői giá lúc đóng cua cua cő phieu IBM (3/1/2000

-21/10/2013) đã đưac trình bày trong chương 1 Giã su P t là giá tai

thài điem t cua

cő phieu Đ¾t r t = ln pt

t −1

Σ Khi đó ta thu đưac chuői quan sát { r t }

và GQI là chuői lai suat cő phieu IBM Bây già ta se su dnng phan mem

R đe xây dnng m®t mô hình ARCH có the miêu tã đưac chuői giá tr

% vùa quan sát Các gói l¾nh đưac su dnng trong R là tseries,

Timeseries, f Garch, rugarch và f orecast

Đe lap m®t mô hình vào chuői du li¾u thì vi¾c đau tiên là ta phãi

CHQN đưac mô hình phù hap Ve cơ bãn, ta se co gang thu m®t vài

phõng đoán Sau đó ta CHQN mô hình có h¾ so BIC, AIC nhõ nhat

Vi¾c

phõng đoán có the dna vào cơ sã là trong mô hình ARCH(p) thì

dãy phan dư bình phương có the đưac bieu dien bãi quá trình

AR(p) Chú ý rang, hàm tn tương quan cua chuői lai suat là

không tương quan nên

ta không the lap bat kì mô hình ARMA cho du li¾u này Do đó

bình phương cua chuői lai suat có the đưac xem như bình phương

cua dãy

phan dư a t Ve m¾t lý thuyet, quá trình AR(p) có PACF gan như bang

0 vái MQI đ® tre l > p Vì v¾y nhìn vào đo th% PACF cua dãy { a2} ta có

p

t

the xác đ%nh b¾c phù hap cho mô hình ARCH.

Hình 2.1: Đo th% ACF cua lai suat hàng tuan (IBM)

Hình 2.2: Đo th% PACF cua bình phương lai suat

Ta thay PACF cua dãy bình phương lai suat có giá tr% cao cho tái đ®

vái mô hình ARCH(8) đe phân tích Trưác tiên ta giã su cú soc a t

có tre 13, nó bat đau có xu hưáng giãm sau đ® tre 8 nên ta bat đau

thu phân phoi chuan

Giã su mô hình có dang:

Su dnng phan mem R ta thu đưac ket quã như sau:

r t σ t= 2 = 2, 138.105, 081.10−3 −+ 4 + a t 0, 118a2 + 0, 03893.a2 + 0, 1589.a2

Hình 2.3: Sai so chuan có đieu ki¾n

Hình 2.4: Lai suat thnc te vái 2 đưàng giái han tin c¾y

Hình 2.5: Phan dư và phan dư chuan hóa

Hình 2.6: Các h¾ so tương quan cua phan dư chuan hóa và bình phương phan dư chuan hóa