Hàm riêng của biến đổi chính tắc tuyến tính OF(a,b,c,d) cho trường hợp

F ΣΣ c d Tiep theo ta trìnhbàym®t so phép toán là trưòng hop đ¾c bi¾t cna LCTchang han như bien đőiFourierFT, bien đőiFourierphân thú FRFT, bienđőiFresnel,phép toán cogiãn... Bien đői ch

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I

TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN

-TĂNG TH± ĐÚC

HÀM RIÊNG CUA BIEN ĐOI

CHÍNHTACTUYEN TÍNHOF(a,b,c,d)CHO TRƯèNG HeP | a+d|“2

Chuyên ngành: Giai tích

Mã so: 60460102

LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC

NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC:

PGS.TS.NGUYEN MINH TUAN

HÀ N®I -2 0 1 6

Mnc lnc

Lài nói đau

ToánHQcgiaitíchlàm®ttrongnhungchuyênngànhnghiêncúuquanTRQNGhàngđaucnatoánHQchi¾nđai.NóbaogomnhieulĩnhvncđưocMQIngưòiquantâm,nghiêncúu.Và

bienđőiFourierlàm®ttrongsođóvìnócóratnhieuúngdungkhoaHQc,vídunhưtrongv¾tlý,soHQc,xácsuat,thongkê,haidươngHQc,hìnhHQcvànhieulĩnhkhác.Ngàynaycácnh

àkhoaHQcvanđangcogangkhámpháranhungketquacótamquanTRQNGnhamnângcaođưocúngdungcnanó

Tronglu¾nvănnàychúngtasetìmhieuvetrưònghopđ¾cbi¾tbienđőitíchphânFouriervàúngdungcnanótrongquangHQc

Bo cuc lu¾n văn gom phan mo đau, ba chương, phan ket lu¾n và danh muctài li¾u

Chươngmođaulàkienthúcchuanb

%,chúngtasenhaclaibienđőichínhtactuyentínhvàcáctrưònghopbienđőiđ¾cbi¾tcna

bienđőinày,hàmriêngcnabienđőiFourierphânthú,m®tsoketquađađưocxâydnngvecáchàmriêngcnaLCT.CuoicùngtatrìnhbàyhaitínhchatquanTRQNGseđưocdùngtr

ongsuotlu¾nvăn

Chươngh a i , p h a n đ a u t a t r ì n h bàyh à m r i ê n g c n a L C T t r o n g t r ư ò n g h o p

trongtrưòngh o p| a+d|

> 2.Trongt r ư ò n g h o p nàyt a t r ì n h bàyh à m r i ê n g c n a L C T k h i

Trongchươngc u o i tatrìnhbàyquanh¾c n a LCTvóih¾quangHQcvàgiaiquyetbàitoántaoanh

Các ket qua chính cna lu¾n văn dna trên bài báo "Eigenfuntions of linear

canonical transform" Soo-Chang Pie và Jian-Jiun Ding.

Trongquátrìnhthnchi¾nlu¾nvăntôiđãnh¾nđưocsnchibao,hưóngdant¾ntìnhcnaPGS.TSNguyenMinhTuan.CácthaycôtrongkhoaToán-Cơ-

TinHQctrưòngđaiHQcKhoaHQ

cTnnhiên-ĐaiHQcQuocGiaHàN®iđãgiúpđõtôicóthêmnhieukienthúcđecóthehoànthànhlu¾nvănvàkhóaHQcm®tcáchtotđep.Bêncanhđócòncósngiúpđõnhi¾ttìnhcnacácthaycôphòngSauĐaiHQcđãtaođieuki¾nthu¾nloigiúpđõtôihoànthànhcácthntucbaov¾,cácthaycôvàcácbantrongseminarToánGiaiTíchđãcónhunggópýhuuíchđetôihoànthànhlu¾nvăntotnhat.C uoi c ù n g, tôixinguilòibiêtơ n tóigiađình,ngưòithânđãluônđ®ngviên,nngh®tôitrongsuotthòigianHQct¾pvàhoànthànhkhóalu¾n

M¾c dù đã có nhieu co gang nhưng ban lu¾nvănkhó tránh khoi nhung thieusót.Tôirat mong nh¾n đưoc nhung ý kien đóng góp cna quýthaycôvàcácban

HàN®i,tháng10năm2015

Tăng Th% ĐÉc

Chương 1

KienthÉcchuanb%

Bien đői chính tac tuyen tính (LCT)[1]-[4] là bienđőitíchphânvóibont h a m so{a,b,c,d}.BienđőiLCTđưocgióithi¾ulanđautiênvàonăm1970[5], [6] M®t so phép toán như, bien đőiFourier (Fouriertransform-FT),bien đőiFourierp h â n t h ú ( f r a c t i o n a l Fouriert r a n s f o r m - F R F T ) [ 7 ] -[ 9 ] , b i e n đ ő i Fresnel

[10]vàphéptoáncogiãnlàtrưònghopđ¾cbi¾tcnaLCT.Trongm®tsobàibáo,phépbienđőiLCTđưocGQIlàphépbienđőiFourierafin(affineFouriertransform-AFT)[2],

[11],bienđőiFresneltőngquát[12],côngthúcC o llin s [6],bienđőiABCD[3]

(ABCDtransform),ho¾cbienđőiFouriervàbienđőiFresnel.PhépbienđőiLCTđưocúngdungtrongphântíchh¾rada,phântíchh¾môitrưòngGrin,thietkemáyLQcvànhieuúngdungkhác

Taxétm®tsotrưònghopđ¾cbi¾tcnaLCT.Vídu,hàmriêngcnaFRFTlàhàmHer

miteđưocnhânthêmvóiexp(−t2/2).HàmriêngcnaLCTkhi{a,b,c,d}=

{1,b,0,1} (tr ưò ngh o p nàyL C T t r o t h à n h b i e n đ ő i Fresnel)l à h à m t u a n h o à n(hàmtuanhoànnàyGQIlàhi¾uúngTalbot[16],[17]).Trongtrưònghop{a,b,c,d}=

{1/d,0,0,1}

(fractal).Nhunghàmnàybatbienvóiphéptoáncogiãn.Tronglu¾nvănnàyta se tőng

quát cácketqua đãđưocxâyđnngvàsuyrahàmriêngcnaLCTchotatcacáctrưònghop.Sauđó,hàmriêngcnaLC

Tđưocsudungđegiaithíchhi¾ntưongtaoanhtrongquangHQc

Tasudungkýhi¾uO F(a,b,c,d)ho¾cO (a,b,c,d)chobienđőichínhtactuyentính.Phanđaucn

a lu¾nvăntôisetrìnhbàylaim®tc áchnganGQNkienthúcvebienđőichínhtactuyentính,hàmriêngcnabienđőiFourierphânthúvàm®tsoketquađãđưocxâydnngvecáchàmriê

ngcnaLCT,tínhchatsuyrahàm

F

ΣΣ

c d

Tiep theo ta trìnhbàym®t so phép toán là trưòng hop đ¾c bi¾t cna LCTchang han như bien đőiFourier(FT), bien đőiFourierphân thú (FRFT), bienđőiFresnel,phép toán cogiãn

a) Bien đőiFourier(FT) Bien đői chính tac tuyen tính (LCT) là bien

=.1∫∞e −i.u.t g(t)dt.

F

b) Bien đőiFourierphân thú(FRFT) Bien đői chính tac tuyen tính (LCT) là

bien đőiFourierphân thú (FRFT) khi{a, b, c, d}={cosα,sinα,−sinα,cosα}

c) Bien đőiFresnel.Bien đőiFresnellà phép toán mô ta vi¾c truyen ánhs á n g

đơn sac qua môi trưòng trong suot Bien đői Fresnel đưoc đ%nh nghĩa như sau

z

Bien đői chính tac tuyen tac tuyen tính LCT là bien đőiFresnel1 - D k h i

O

{a, b, c, d}={1, zλz/2π,0,1}

e i2πz/z/λ

= √ iλzz .

Nhưv¾y,bien đőiFourier,bien đőiFourierphân thú, bien đőiFresnelvàphép toán

co giãn là trưòng hop đ¾c bi¾t cna LCT

O α (φ m (t)) =e −i.m.α φ m (t).

Hàmriêngc n a FRFT(hàmriêngc n a FRFTđưocGQIlàhàmFourierphânthú)đưocúngdungtrongphântíchh¾quangHQcvàsn lantruyensó ng Đ¾cbi¾t,trongphântíchhi

¾ntưongtaoanh[17]vàhi¾ntưongc®nghưong[23]

TacũngchirarangFRFTlàLCTvóithamso{cosα,sinα,−sinα,cosα} đưoc nhân thêmvói (e iα)1/2[10] LCTvóitham so{cosα,sinα,−sinα,cosα}cũng có các hàmriêng như công thúc (1.9) nhưng giátr%riêng là(e −iα)1/2 exp(−imα)

O (cosα,sinα, −sinα,cosα) (φ m (t)) = (e −iα)1/2 e −i.m.α φ m (t).

∫

∞

√

2

−

1.3 M®t soketqua đã đưacxâydEngvecác hàm riêng cua LCT

Trong [12] hàm riêng cna bien đői chính tac tuyen tính (LCT) vói tham so

Canchúý rang, cácketqua trong [12] làphùhopvóitrưòng hop|a+d|

<2.Tuynhiên, trong trưòng hop|a+d|<2cácketqua trong công thúc (1.12) cũng làchưa đayđn N®i dung cna lu¾nvănse trìnhbàyhoànchinh chocáctrưòng hop hàm riêng cna LCT Hình 1.1 7 trưòng hop đe thao lu¾n hàm riêngcna LCT

a + d = 2−

|a+d|=2

a+d=2 bƒ= 0

a+d=−2 a+d>2

F F

tkỳtachicanxâydnnghàmriêngchoLCTvóib®thamso{a2,b2,c2,d2}.Trongđócácthamso{a2,b2,c2,d2}đưoclnacHQNsaochohàmriêngcnaLCTtươngúnglàdedàngđưocxâydnng.Xuyênsuotphantrìnhbàycnalu¾nvăn,tínhchatnàyseđưocsudungđexâydnngchohàmriêngcnaLCT

o{ a2,b2,c2,d2}phùhop.C u the,trongc áctrưònghoplu¾nvănxétđentalnacHQNcácb®thamsotươngúngnhưsau:

Chương 2 cna lu¾nvănse đivàotrìnhbày chitiet vi¾cxâyd n n g h à m

r i ê n g choLCT trong các trưòng hop cut he

Chương 2

Hàm riêng cua bien

àngh a p

|a+d|“2

2.1 Hàm riêng cua LCTchotrưàng hap |a+d|=2

Đoi vói trưòng hop|a+d|= 2, chúng ta xét các trưòng hop sau đây trong cácmuc tương úng

%chđao.Tabiet hàm hau tuan hoàn cũng là hàm riêng cna bien đőiFresneltrùhàm tuan hoàn.Tasu dung bien đőiFresnelvàbien đőiFresnelkethopvóiphéptoánngh%chđao đe xét hàm riêng cna LCTchotrưòng hop|a+d|= 2

=exp.ich Σ.

Σ

22

F

ΣΣ

khoang cách Talbot, Nlà so nguyên.

Như v¾y, ket hop công thúc (1.7) và (1.8)tacó the ket lu¾ne(t)tuan hoàn vói chu kỳ cnaq Khi đó, hàm riêng cna LCT vói tham so{1, Nq2,0,1}, N là so

nguyên, có dang

Xét ma tr¾n

O (1,Sq2/πz/,0,1) (e(t))=τ.e(t)neue(t) =e(t+q). (2.6)

Đa thúc đ¾c trưng cna A

Giasug(t)=g(t+q)vàg0(v)làLCTcnag(t)vóithamso{1, ,0.1},chu

kỳ ánh sáng đơn sac qua khoang cáchz T N , trong đóz T l à k h o a n g c á c hTalbot,khi đó [26]

tachirarangg(x)làhàmriêngcnaLCT{1, Nq2,0,1}vóigiátr%riêngtươngúng cũng

làλz M¾c dù, không có bieu thúc đơn giancho véctơ riêng cna ma tr¾ntrongcôngthúc(2.9)nhưnggiátr%riêngcóthebieudiendưóidang

Nhưv¾y,tù Tínhchat(1.4.2) ta su dung bien đőiFourierchohàm riêng cna LCTvóitham so{1,0,−b,1}thì cũng là hàm riêng cna LCTvóitham so{1, b,0,1}.

Σ− ψ(t)=FTφ

ΣΣ

.Σ

| b|

KhiđóbienđőiFresnellàbienđőiLCTvóithamso{1, zλz ,0,1}nhânvóihi¾u so phakhông đői [xem công thúc (1.7)và(1.8)], tù công thúc (2.10) hàm riêng tőng quátcna bien đőiFresnell à

bietranghàmtuanhoànlàhàmriêngcnabienđőiFresnelnhưngtùcôngthúc

∞

ketq u a b i e n đ ő i c n a F T choh à m r i ê n g c n a L C T vóit h a m s o{ − 1,0,−b,−1}

[xem công thúc (2.3)và(2.4)] là hàm riêng cna LCTvóitham so{ − 1, b,0,−1}

2.1.4 Trưànghapa +d=2vàb ƒ=ƒƒ=0

Trong trưòng hop này, tù Tính chat (1.4.1),a2+d2= 0và áp dung Tính chat (1.4.2) đe tìm hàm riêng cna LCT vói tham so{a2, b2, c2, d2} Th¾t v¾y, ta thay

{1, η,0,1}bang{a2, b2, c2, d2}trong công thúc (1.13) Khi đó

Khia=dgiátr%cna{a, b, c, d}phai bang{1, b,0,1} Trưòng hop này đưoc thao lu¾n trong phan sau

Áp dung Tínhchat(1.4.2) taketlu¾n rang khia+d= 2vàbƒ= 0, neuf(t)làhàm riêng cna LCTvóitham so{1, b ,0,1 }

2 1

Σ

| b|

Sauketqua o trên, ta có thechira tham soa1bat bien Boi vìa1,d1tùyý,n e u t a

d ù n g t h a m s oρthay choa1,d1thìρtùyý.Ket qua trong công thúc (2.19)đưocvietlaiđơngiannhưdưóiđây

(2.17)-Neug(t)là hàm riêng cna LCT vói tham so{1, b,0,1}

ρ= 0,

−

∞

i2π ρ

+a1c1η i

g(t)là hàm riêng cna LCTvóitham so{−1, b ,0,−1} Khiđ ó

φ(t)=O (a1,(2b(d1−a−1)/(d−a)),((d−a)a1/2b),d1 )g(t), d tùy ý

se là hàm riêng cna LCT khia+d=2vàbƒ= 0vóigiá tr% riêng tương úngcũnglàλz.

Tacó the đơn gianketqua o trên trong trưòng hopa+d= 2vàbƒ= 0.Tùcáchtìm như công thúc (2.20)-(2.23) ta đưocketqua sau

Σ

22

λz (b,h)

λz (b,h)

Phương trình (2.28)-(2.30) là hàm riêngvàgiátr%riêng cna LCT

xúng (ho¾c hàm hau tuan hoàn phan đoi xúng)

Đeđơngiancôngthúc(2.28)tacHQNρ=0.Khiđócôngthúc(2.28)cótheđưocđơngiannhư

tìmhàmriêngcnaLCTkhi|a+d|>2.NeutamuonphântíchLCTvóithamso

,

F F

F

F

F

F F

Trưóc khi thao lu¾n hàm riêng cna LCT khi|a+d|>2ta thao lu¾n hàm riêng cna LCT vói tham so{σ −1 ,0,0, σ}và{−σ −1 ,0,0,−σ}trưóc

2.2.1 HàmriêngcuaLCTkhi {a,b,c,d}={±σ −1 ,0,0,±σ}

Bien đői LCT vói tham so{σ −1 ,0,0, σ}là phép toán co giãn và LCT vói tham

so{σ −1 ,0,0,σ}.

Tathao lu¾n hàm riêng cna LCTvóitham so{−σ1,0,0,−σ} Hàm riêng thoa mãn hai ràng bu®c sau se là hàm riêng cna LCTvóitham so{−σ −1 ,0,0,−σ}

(a) f(σ.t) =λz.f(t), (b)

(2.35)t a t c a t h o a m ã n h a i r à n g b u ® c t r ê n N h u n g h à m nàyl à h à m r i ê n g c n aLCT vói tham so{−σ −1 ,0,0,−σ}nhưng giátr%riêng tương úng thay đői trong

√

−σ, √ −σ −1 ,(−σ) n √

−σ.M¾c dù, có nhieu hàm không thoa mãn hai ràng bu®ctrên và là hàm riêng cna LCT vói tham so{−σ −1 ,0,0,−σ}nhung hàm này phúctap ta se không xét chúng

Vóiketqua o trênvàTínhchat(1.4.2) ta có the tìm đưoc hàm riêng

cnaL C T chotrưòng hopa+d >2vàa+d <−2

2.2.2

Trongtrưònghopa+d>2tacHQN{a2,b2,c2,d2} bang {σ −1 ,0,0,σ} trongcôngth

úc(1.14).Khiđó,a+d=a2+d2phaithoamãn

−2a1.s.c

neuf(t)là hàm bat bien co giãn vói ty so1vói giá tri riêng làλz

Vìg(t)=f(a −11)làhàmbatbiencogiãnvóityso1

nên tham soa1không anh

hưong Vì v¾y , ket qua trong công thúc (2.37)-(2.41) có the đưoc đơn gian nhưsau

Trong trưòng hopa+d >2, neug(t)là hàm bat bien co giãn vói ty so1, vóigiá tr% riêng làλz

vì the

√ σ.g(σ.t) =λz.g(t)

là hàm riêng cna LCT vói giá tr% riêng tương úng cũng làλz.

CónhieucáchcHQNchog(t)trongcôngthúc(2.43).TacóthecHQNg(t)làhàmpháttrientùlýthuyetphânsoho¾ccáchàmtrongcôngthúc(2.32)-

(2.35)ho¾chàmbatbiencogiãn.Thncte,tatcacáchàmđólàbatbiencogiãnvóityso1.Vídu,trongcôngthúc(2.43)tacóthecHQNg(t)làhàmdeltaδ(t)

Hàm này là hàm riêng cna LCT khia+d >2

Tù công thúc (2.43)tacó the ket lu¾n hàm riêng cna LCT khia+d >2là

phép nhân cna hàm bat bien co giãn Đieu này là đúng khi

−1

b= 0.

phép nhân trong công thúc (2.43) có the giu nguyên Trong trưòng hop này khi

c= 0thìτ= 0phép nhân trong công thúc (2.43) đưoc giu nguyên

Vìphéptoáncogiãnnêntatcacá chàmriêngđúngchoLCTtrongtrưònghopa+d

%nhưngtrongtrưònghopkhia+d>2giátr%riêngcnaLCTkhônglàphantuđơnv

giátr%riêng là phan tu đơnv%nhưng công thúc (2.45) chi thoa mãn trong trưòng hop

−∞

Tuynhiên, trong nhieu hàm bat bien co giãn như trong công thúc (2.32), (2.33),(2.35) ràng bu®c trong công thúc (2.46) không thoa mãn Do đó, hàm riêng cnaLCT trong trưòng hopa+d >2không thoa mãn tínhchatlũy thùavàgiátr

%riêngtươngúngkhônglàphantuđơnv%

2.2.3 Trưànghapa+d < −2

Trongtrưònghopkhia+d<−2,trongcôngthúc(1.14)tacHQN{a2,b2,c2,d2}

Tù quá trình tương tn như trong công thúc (2.42)-(2.44) ta tìm đưoc neug(t)

là hàm bat bien co giãn đoi xúng (ho¾c bat bien co giãn phan đoi xúng) thì

selàhàmriêngcnaLCTkhia+d<−2vóigiátr

%riêngtươngúnglàλz.CónhieucáchcHQNchog(t).Vídu,hàmhang,hàmdelta,t n vàhàm

/phanphanđoixúngvóitysocogiãnσnπhưg(t)đesuyrahàmriêngcnaLCT khia+d

<−2

Vìv¾y,tù công thúc (2.48), hàm riêng cna LCT khia+d <−2là phép nhâncna hàm bat bien co giãn đoi xúng (ho¾c bat bien co giãn phan đoi xúng).Nhưtrongtrưònghopa+d<−2,trongm®tsotrưònghopđ¾cbi¾t,hàmriêngcnaLCT

đưoc giu nguyênvàtrong trưòng hopc= 0phép nhân đưoc giu nguyên như trongcông thúc( 2 4 8 )

Nhưtrongtrưònghopa+d>2,tatcagiátr%cnagiátr%riêngthayđőitrong

trưònghopa+d<−2.Giátr%riêngcnaLCTkhia+d<−2khôngbang1

Nhưtrongtrưònghop|a+d|=2,cũngcóvôsohàmriêngđ®cl¾ptuyentính cna LCT

LCTchocác trưònghop

Trên đây ta đã tìm hieu hàm riêng cna bien đői chính tac tuyen tính V¾y chúng

có áp dung ra sao ? Chúng ta se đi tìm hieu trong chương cuoi

Hàm riêng Giá tr% riêng Trưòng hop A

Σ∞

mđây0™=0D mexp.h <4π/|c|,C −it√4mπ|b| −1+hΣΣ ,o

n ,D m tùyý, S=Σ∞ n=0(|C n |2+|D n |2).

τ= s (d−a)+( a+d) − √ 2s c 2−4 ,η=√ s b (a+d)2−4 ,

z λ

Chương 3

Úng dnng trong bài toán tao anh

Tù nhung nghiên cúuvebien đőiFourierphân thú (FRFT) có ba úng dung tùhàm riêng cnaL C T :

1 Bài toán tao anh (self-imaging problem);

2 Bài toán c®ngh ư o n g ;

3 Phương pháp lnacHQN

Tươngtn,tacóthedùnghàmriêngcnaLCTđesuyracáccácúngdungtrên.Trongchươngnày,tasethaolu¾ncáchdùnghàmriêngcnaLCTđegiaithíchbàitoántaoanh.Trưóckhithaolu¾nđieunày,tathaolu¾ncáchdùnghàmriêngcnaLCTđebieudienh¾quangHQc

vàđưaram®ttínhchatquanTRQNG

3.1 Quanh¾giEabienđoiLCTvàh¾quangHQC

BienđőiLCTcómoiquanh¾m¾tthietvóiquangHQcvìnhieuphéptoántrongsnlantruyensóngcótheđưocbieudiennhưtrưònghopđ¾cbi¾tcnaLCT[13]-

[15].Vídu,tùcôngthúc(1.7)tasudunghàmriêngcnaLCTvóithamso

g cáchz.

Bêncanhđó,ánhsángđơnsacvóibưócsóngλzxuyênπquathaukínhcótiêu cn tiêu

flen

s g(x)=e i(πz//λ)n∆ e −i(πz//f.λ)x2g(x), nπ:c h i e t suat,∆ :đ®dàythaukính

O

Công thúc trên tương úng vói bien đői LCT vói tham so{1,0, −2πz/ ,1}

Tínhchat3.1.1(Đieuki¾nđehaiLCTtươngđươngtrongh¾quangHQctrong

[29]).Tabietrangkhi a1

2 =b1, ket qua bien đői LCT vái tham so {a1,b1, c1, d1,}

và {a2, b2, c2, d2} , tương úng thóa mãn h¾ thúc sau

O

−2 πz/

fλ

=

uheth¾quangHQccósnthayđőigiuahàmđưocđưavàovóihi¾ntưongtntaoanh.Trưònghopnàytasexétngaydưóiđây.

b

3.2 Giaithớchbài toỏn taoa n h

VỡquanhắgiuaLCTvàhắquangHQc,tac úthedựnghàmriờngcn a LCTđegiaithớchhi

ắntưongtaoanhtronghắquangHQc,tỡmanhđauvàosecúanh

đauratươngỳng.NeumoihắquangHQclàsntőhopcnanhieuthaukớnhvàmụitrưũngtrongsuotkhiđútựthaoluắntrongmuc(3.1)tacúthebieudienhắquangHQcnàyboiLCTvúithamso{a1,b1,c1,d1,}.Vỡvắy,neuỏnhsỏngđưavàocúsnphõnbogiongnhưhàmriờngcnabienđőiLCTvúithamso{a1,b1,c1,d1,}segiaithớchnguyờnnhõntaoanhtronghắquan

gHQcnày

Tuynhiờn,tronghắquangHQc,chixộtcưũngđđỏnhsỏng,vàkhigiaithớchhiắntưongtaoanhthỡboquahiắusocogión.Vỡvắy,neumđthắquanghQccúthebieudienLCTvúithamso{a1,b1,c1,d1,}thỡhàmriờngcnaLCTvúithamso{a1,b1,c1,d1,}cúthegiaithớchhiắntưongtaoanh.TựTớnhchat3.1.1tatcahàmriờngcnaLCTvúithamso{a,b,c,d, }thoamóna1:b1=a2:b2cúthegiaithớchhiắntưongtaoanh.Vỡvắy,khithaoluắnhiắntưongtaoanhcnamđthắquangHQctacúthedựngthuắttoỏnsau

1 Tỡmthamso{a1,b1,c1,d1,} cnaLCTbieudienhắquangH Qcnày

Nhưvắy, tat ca tham so{a, b, c, d,}cna LCT thoa móna:b=a1:b1cú thetỡm đưoc Hàm riờng cna LCTvúitham so{a, b, c, d,}tỡm đưoc o trờn cúthe giai thớch hiắn tưong tao anh khiboqua hiắu so co giónvàtyso co