Một số kỹ năng giải bài toán tiếp tuyến cực trị của các hàm số cơ bản

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN -PHAN TH± HƯèNG M®T SO KY NĂNG GIAI BÀI TOÁN TIEP TUYEN, CUC TR± CUA CÁC HÀM SO CƠ BAN Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CAP Mã

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN

-PHAN TH± HƯèNG

M®T SO KY NĂNG GIAI BÀI TOÁN TIEP TUYEN,

CUC TR± CUA CÁC HÀM SO CƠ BAN

LU¾N VĂN THAC SY TOÁN HOC

HÀ N®I- 2014

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN

-PHAN TH± HƯèNG

M®T SO KY NĂNG GIAI BÀI TOÁN TIEP TUYEN,

CUC TR± CUA CÁC HÀM SO CƠ BAN

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CAP

Mã so: 60460113

LU¾N VĂN THAC SY TOÁN HOC

Ngưài hưáng dan khoa HQC PGS TS NGUYEN VŨ LƯƠNG

HÀ N®I- 2014

Mnc lnc

1 Các dang toán cEc tr%, tiep tuyen cua y =

2 +cx+d; y

=

ax2 + bx +

c

6

dx + c

1.1 y = ax3 + bx2 + cx + d 6

1.1.1 Bài toán cnc tr% 6

1.1.2 Bài toán tiep tuyen cna hàm b¾c 3 14

ax2 + bx + c 1.2 Hàm y = dx + e 19

1.2.1 Bài toán cnc tr% 19

1.2.2 Bài toán tiep tuyen 22

2 M®t so dang bài toán cEc tr% 31 2.1 Bài toán cnc tr% không su dung đao hàm 31

2.2 Bài toán cnc tr% su dung đao hàm 38

2.3 Bài toán cnc tr% lưong giác 49

2.4 Bài toán cnc tr% tő hop 60

Ket lu¾n 85

Tài li¾u tham khao 86

3

Lài cam ơn

Tôi xin đưoc bày to lòng kính TRQNG và biet ơn sâu sac đen PGS.TS Nguyen

Vũ Lương Thay đã dành nhieu thòi gian hưóng dan cũng như giai đáp các thac maccna tôi trong suot quá trình tôi thnc hi¾n đe tài

Tôi xin gui lòi cam ơn chân thành tói các thay cô Khoa Toán - Cơ - Tin

HQc, Phòng Sau đai HQc - Trưòng Đai HQc Khoa HQc Tn nhiên- Đai HQc Quoc gia HàN®i; các thay cô đã tham gia giang day khóa cao HQc 2011-2013

Cuoi cùng, tôi xin chân thành cam ơn gia đình và ban bè đã luôn đ®ng viên tôitrong suot quá trình HQc t¾p và thnc hi¾n lu¾n văn

Lài nói đau

Bài toán tiep tuyen, tìm giá tr% lón nhat và nho nhat cna hàm so luôn luôn là m®ttrong nhung chn đe quan TRQNG và hap dan trong chương trình giang day b®môn toán o nhà trưòng phő thông Trong các đe thi môn Toán cna các kì thiĐai HQc, Cao đang 10 năm gan đây (2004 - 2014) các bài toán liên quan tiep tuyenxuat hi¾n khá nhieu, các bài toán liên quan đen vi¾c tìm giá tr% lón nhat, nhonhat cna hàm so thưòng xuyên có m¾t và thưòng là m®t trông nhung câu khónhat trong đe thi Đây là m®t n®i dung khá r®ng, không phai là mói nhưng luônluôn an chúa không ít thách thúc gan vói nhung bài toán khó trong các kỳ thi tao

ra nhieu khó khăn cho ngưòi HQc khi muon nam vung n®i dung này Chúng ta cóm®t so phát hi¾n

• Chia toàn b® n®i dung trình bày thành nhung dang cơ ban nhat (không nhieu)

và tìm ra phương pháp giai se giúp cho ngưòi ĐQc kha năng tot nhat khi tìm lòigiai cna m®t bài toán cu the

• Sn bat đau cho moi dang toán phai th¾t đơn gian và sn phát trien se đưoc trìnhbày h¾ thong tao cơ h®i thnc hành tot nhat cho ngưòi HQc

• Tìm ra sn thú v% "Niem vui trí tu¾" đoi vói nhung cách giai hay se làm chongưòi ĐQc nhó lâu

• Cái đích mà chúng ta can đi tói là cam thay de dàng khi giai các bài toán ven®i dung này

Trong lu¾n văn M®t so ky năng giai bài toán tiep tuyen, cUc tr% cia

các hàm so cơ ban này, HQc viên se cung cap cho ban HQc tőng hop các ky năngthông dung nhat, cơ ban nhat có the ví như chìa khóa đe giai quyet nhungbài toán tiep tuyen, cnc tr% cna các hàm so cơ ban, các bài toán cnc tr%, tù đó bietcách áp dung đe giai nhieu bài toán liên quan đen các dang toán này Đ¾c bi¾ttrong lu¾n văn đã co gang đi sâu vào các bài toán cnc tr% tő hop bang cách đưa rahàng loat các bài toán còn khá mói me vói ngưòi HQc, vói mong muon ngưòi hQc cóthe tiep c¾n, làm quen vói m®t lĩnh vnc mói trong toán HQc sơ cap

Lu¾n văn gom phan mo đau, hai chương, ket lu¾n và danh muc tài li¾u tham khao

1 Các dang toán cEc tr%, tiep tuyen cua y =

đã trình bày cácbài toán tiep tuyen và cnc tr%cna

hai hàm so cơ ban, g¾p nhieu trong các kỳ thi đai HQc y = ax3

+ bx2 + cx + d;

y =

ax2 + bx + c

dx c

đai di¾n cho hàm đa thúc và hàm phân thúc.Chương I là tài li¾u

rat huu ích chogiáo viên và HQcsinh các trưòng

giai bài toántiep

tuyen, cnctr% cóphan

GQN

nhegiúpchongưòi

hQcdedàngl¾plu¾nbienđői đeđatđưoc

ket qua cna bài toán hơn so vói các

cách giai bài toán này trong các cuon

sách tham khao khác, cu the

• Bài toán cnc tr% cna hàm y = ax3 +

bx2 + cx + d đã phân thành các

dang: dang bien đői thành tích nhò

m®t nghi¾m, dang tách tham so,

dang t%nh tien, dang b¾c hai cna

tham so, dang tính đưoc nghi¾m

cna yJ, dang chia cho yJ

• Bài toán tiep

tuyen cna

hàm y =

ax2 + bx + c

đe tìm ra đưoc phương trình

2 M®t so dang bài toán cEc tr%.

Chương II là n®i dung chính cna lu¾n

văn, trình bày bon dang bài toán cnc tr%

cơ ban: bài toán cnc tr% không su dung

đao hàm, bài toán cnc tr% su dung đao

hàm, bài toán cnc tr% lưong giác, bài

toán cnc tr% tő hop, cu the

• Bài toán cnc tr% không đao hàm:

đã đưa ra tám ky năng cơ ban: ky

năng su dung nh¾n xét neu 0 ™ x

™ 1 thì xn < x vói n ∈ N; ky năng

su dung các bat đang thúc cő đien

AM − GM, Cauchy − Bunyakovsky

− Schwarz, Bu − Nhi − A − Cop

− Xki; ky năng su dung tính chat

cna giá tr% tuy¾t đoi; ky năng su

• Bài

toán

cnc

tr

%

su

dung

đao

hàm:

đã

phâ

nthànhcácdangcơban:dangphânthúcđongb

¾c

• Bài toán cnc tr% lưong giác: đãđưa ra cách chúng minh cách batđang thúc lưong giác bang cách sudung tính chat loi lõm cna các hàm

so lưong giác tù đó v¾n dung cácbat đang thúc Karamata, Jensenngoài ra lu¾n văn còn chú TRQNG

đen vi¾c su dung các đang thúclưong giác đe xây dnng m®t so

dang bat đang thúc trong tam giác; áp dung m®t dang bat đang thúc cóđieu ki¾n trong tam giác.

• Bài toán cnc tr% tő hop: đưa ra các bài toán cnc tr% tő hop su dungnguyên lý Pigeonhole trong bài 2.93; 2.94; ky năng đem tő hop trong bài

2.86; 2.89; 2.102; 2.109; 2.110; 2.115; 2.117; 2.118; bài toán liên quanđen tô màu trong bài 2.119; 2.1212.122; 2.123; 2.124; 2.125; 2.126; 2.127; đ¾c bi¾t các bài toán tìm giá tr% lón nhat và nho nhat cna bieu thúc F

(x1, x2, , x n) khi x1, x2, , x n hoán v% trong bài 2.106; 2.107; 2.108, và m®t

so bài toán cnc tr% tő hop khác

1.1.1 Bài toán cEc tr%

Đoi vói hàm so b¾c ba y = ax3 + bx2 + cx + d ta có ket lu¾n sau

• ycnc tieu.ycnc đai < 0 ⇔ đo th% cat truc hoành tai ba điem phân bi¾t

• ycnc tieu.ycnc đai = 0 ⇔ đo th% tiep xúc vói truc hoành

• ycnc tieu.ycnc đai > 0 ⇔ hàm so có cnc tr% và cat truc hoành tai điem duy nhat Nh¾n

xét 1 Kĩ năng giúp chúng ta giai nhanh các bài toán thu®c n®i dung này chính là

các tính chat ve dang cua bieu thúc f (x) = ax3 + bx2 + cx + d

Dang bien đoi thành tích nhà m®t nghi¾m

Bài toán 1.1 Cho y = x3 + 2mx2 + (m + 1)x − 10m − 10 Hãy tìm m đe hàm so

có cnc tr% thóa mãn y cnc tieu y cnc đai < 0

Giai Yêu cau bài toán khi và chi khi đo th% hàm so cat hoành đ® tai ba điem phân

bi¾t hay phương trình sau có ba nghi¾m phân bi¾t

V¾y m ∈ (−∞, −1) ∪ (4, +∞)

9 }

Bài toán 1.2 Cho hàm so y = x3 − 3mx2 + (2m2 − m + 2)x + m2 − 2m Tìm m đe hàm so có cnc tr% thóa mãn y cnc tieu y cnc đai < 0

Giai Yêu cau bài toán khi và chi khi đo th% hàm so cat hoành đ® tai ba điem phân

bi¾t hay phương trình sau có ba nghi¾m phân bi¾t

Bài toán 1.3 Cho hàm so y = mx3 − 3mx2 − 9mx − m − 1 , hãy tìm m đe hàm so

có cnc tr% thóa mãn y cnc tieu y cnc đai < 0

Giai Yêu cau bài toán khi và chi khi đo th% hàm so cat hoành đ® tai ba điem phân

bi¾t hay phương trình sau có ba nghi¾m phân bi¾t

bang bien thiên suy ra −27 < m + 1 < 5 ⇔ m ∈ .−1

đo th% trên nh¾n đưoc tù y = x3 − 3x2 bang cách t%nh tien song song theo truc hoành

Do v¾y khoang cách cna hai điem cnc tr% chính bang khoang cách cna hai điem cnc tr

% chính bang khoang cách giua hai điem cnc tr% cna đo th% y = x3 − 3x2

Dang b¾c hai cua tham so m

Bài toán 1.5 Cho hàm so y = x3 + mx2 − x + m(m + 1) Hãy tìm m đe hàm so

có cnc tr% thóa mãn y cnc tieu y cnc đai < 0

suy ra y = (m + x + 1)(m + x2 − x)

yêu cau bài toán tương đương đo th% hàm so giao vói Ox tai ba điem phân bi¾t khi

và chi khi phương trình sau có ba nghi¾m phân bi¾t

Dang tính đưac nghi¾m cua y’

Bài toán 1.6 Cho hàm so y = x

3 (m + 1)x2

+ mx + m Hãy tìm m đe đo th% hàm

so cat trnc hoành tai ba điem phân bi¾t.

Giai Bài toán thoa mãn khi và chi khi ycnc tieu.ycnc đai < 0 (1)

y = x2 (m + 1)x + m = (x m)(x 1) = 0 x = m

x = 1

• m = 1 ta có y J “ 0 hàm so luôn đong bien (loai)

• m ƒ= 1 suy ra phương trình y J = 0 có hai nghi¾m phân bi¾t nên hàm so có hai

Dang chia cho y’

Bài toán 1.7 Cho hàm so y = x3 + 3x2 + mx + m Hãy tìm m đe hàm so có cnc tr

% và hai điem cnc tr% cùng vái A (2; −2) thang hàng.

Giai y J = 3x2 + 6x + m, hàm so có cnc tr% khi và chi khi phương trình y J = 0 có

hai nghi¾m phân bi¾t

Ta chia y cho yJ ta đưoc

suy ra đưòng thang y = .2m

− 2Σ x + 2m (d) đi qua hai điem cnc đai và cnc tieu

d đi qua A (2; −2) nên −2 = .2m

đo th% hàm so nh¾n đưoc tù đo th% hàm so y = x3 − 3x + 2 bang cách t%nh tien

song song theo truc hoành nên ycnc tieu + ycnc đaikhông đői

⇒ ycnc tieu + ycnc đai = 16 ∀ m

V¾y vói MQI giá tr% cna m đeu thoa mãn yêu cau bài toán

Bài toán 1.9 Cho hàm so y = x3 + (2m − 3)x2 + (2 − 7m)x + 3m − 6 Hãy tìm giá

tr% cua tham so m đe hàm so có cnc tr% thóa mãn y max y min > 0.

Giai Yêu cau bài toán tương đương vói đo th% hàm so có cnc tr% và đo th% hàm

so giao vói truc hoành tai m®t điem, khi đó ta có

Bài toán 1.10 Cho hàm so y = x3 − 3x2 + mx + m , hãy tìm m đe hàm so có cnc tr

% thóa mãn y cnc đai + y cnc tieu = 2.

Giai Hàm so có cnc tr% khi và chi khi phương trình y J = 3x2 − 6x + m = 0

có hai nghi¾m phân bi¾t Khi và chi khi

ta thu đưoc

y

cnc đai + ycnc

Bài toán 1.11 Cho hàm so y = x3 + (2 − m)x2 + x − m2 + m , hãy tìm m đe hàm

so có cnc tr% thóa mãn y cnc đai y cnc tieu < 0.

Giai Ta có y = (x − m + 1)(x2 + x + m)

Yêu cau bài toán tương đương vói đo th% hàm so giao vói truc hoành tai ba điem

phân bi¾t, khi đó phương trình x2 + x + m = 0 có hai nghi¾m phân bi¾t ƒ= m −

Bài toán 1.12 Cho hàm so y = x3 + (m + 1)x2 + 2mx + m2, hãy tìm giá tr%

tham so m đe hàm so có cnc tr% thóa mãn y cnc đai y cnc tieu < 0.

Theo đ%nh lý Lagrange suy ra phương trình fJ (x) = 0 có hai

nghi¾m phân bi¾t xcnc đai; xcnc tieu thoa mãn c < xcnc đai < b < xcnc tieu

Bài toán 1.14 Cho hàm so y = f (x) = 2x3 + 3(m − 1)x2 + 6(m − 2)x − 1 Vái giá tr% nào cua m đe hàm so có cnc tr% và đưàng thang qua các điem cnc đai và điem

cnc đai trên đưàng thang song song vái đưàng thang y = kx ( k cho trưác) Bi¾n lu¾n theo k giá tr% cua m.

21

Bi¾n lu¾n Neu ∆J

(1) < 0 ⇔ −k < 0 ⇔> 0 suy ra không tìm đưoc giá tr% cna

m nên không có đo th% nào

Neu ∆J

(1) = 0 ⇔ −k = 0 ⇔= 0 ⇒ m = 3 suy ra không tìm đưoc giá tr%cna m nên không có đo th% nào Neu ∆J

(1) > 0 ⇔ −k > 00 ⇔< 0 suy ra tìm đưochai giá tr% cna m ƒ= 3 nên có hai đo th%

Yêu cau bài toán khi và chi khi hàm so có hai cnc tr%

đo th% hàm so giao và truc hoành có m®t giao điemhàm so có hai cnc tr% khi và chi khi phương trình f J (x) = 0 có hai nghi¾m phân bi¾t

∆J = m2 − m > 0 m ∈ (−∞; 0) ∪ (1;

+∞)

đo th% hàm so giao và truc hoành có m®t giao điem khi và chi khi

yêu cau bài toán khi và chi khi hai đo th% hàm so sau có m®t giao

điem

y = m3

y =

x3 −

3x2Xét hàm y = 1 − x

Ket hop vói đieu ki¾n suy ra m > 1

1.1.2 Bài toán tiep tuyen cua hàm b¾c 3

Bài toán 1.16 Cho hàm so y = x3 + 3x2 − 4 Viet phương trình tiep tuyen cua đo th% hàm so biet tiep tuyen qua A (2, 9)

Giai Phương trình tiep tuyen tai điem M (x0; x3 + 3x2 − 4)

105 + 6.

1 ± √105

Bài toán 1.17 Cho hàm so y = x3 − 2x , viet phương trình tiep tuyen cua đo th% l¾p vái chieu dương trnc hoành m®t góc 450.

Giai Phương trình tiep tuyen tai x = x0

Giai Theo ý nghĩa hình HQc cna đao hàm ta có

0 0

0 1

0

2 02

=

(x01 +

x02)22

= 2 = y u

suy ra hai điem mà tiep tuyen tai đó song song đoi xúng vói nhau qua điem uon

Bài toán 1.19 Cho hàm so y = x3 + 3x2, gia su A, B là hai điem trên m¾t phang đoi xúng vái nhau qua điem uon Chúng minh rang vái MQI tiep tuyen cua đo th% đi qua A , luôn ton tai tiep tuyen cua đo th% đi qua B song song vái tiep tuyen ay.

Giai Giá su tiep tuyen qua điem A tiep xúc đo th% tai A1 Kéo dài A1U cat đo th%

tai B1 Ta có A1U = B1U (Vì U là tâm đoi xúng cna đo th%)

Tai B1 ke tiep tuyen cat AU kéo dài tai B∗, áp dung ket qua bài toán 1.18 suy ra

B1B ∗ //AA1

⇒ OAA1U = OB ∗ B1U (g.c.g) ⇒ AU = B ∗ U

M¾t khác theo gia thiet AU = BU ⇒ B ≡ B ∗

Bài toán 1.20 Cho hàm so y = x3 + 3x2, chúng minh rang trên đo th% ton tai vô

han c¾p điem mà hai tiep tuyen tai đó vuông góc vái nhau.

Giai Bài toán thoa mãn khi và chi khi ton tai vô han ba b® so (x1; x2; k) thoa mãn

2

1

3x2 + 6x2 = −1 (2)

(1) ⇔ 3x2 + 6x1 − k = 0 ton tai khi và chi khi OJ = 9 + 3k > 0 ⇔ k > −3

(2) ⇔ 3x2 + 6x2 + 1 = 0 ton tai khi và chi khi OJ = 9 − 3 > 0 ⇔ k ∈ (−∞; 0) ∪ .1

; +∞Σ

Hai đang thúc ton tai khi và chi khi k thoa mãn k ∈ (−3; 0) ∪ 1 ; +∞ (3)

Có vô han k thoa mãn (3) ⇒ có vô han c¾p điem hoành đ® x1; x2 trên đo th% mà hai

tiep tuyen tai đó vuông góc vói nhau

Bài toán 1.21 Cho hàm so y = x3 + 3x , chúng minh rang trên đo th% không ton

tai hai điem mà hai tiep tuyen tai đó vuông góc vái nhau

Giai Ta có y J = 3x2 + 3 > 0 ⇒ ∀x1.x2 ta có y J (x1).y J (x2) > 0 ⇒ y J (x1).y J (x2) ƒ= −1

Suy ra không ton tai hai điem trên đo th% hoành đ® x1; x2 mà tiep tuyen tai hai điem

đó vuông góc vói nhau

Bài toán 1.22 Cho y = x3 − 3x2 + 2

1 Chúng minh rang tiep tuyen tai điem uon có h¾ so góc nhó nhat 2.Tìm

điem trên đo th% có hoành đ® 0 ≤ x ≤ 3 và có h¾ so góc lán nhat.

Giai. 1.Ta có k = 3x2 − 6x0 ⇒ k min = k(1) = −3 (xu= 1) nên tiep tuyen tai điemuon có h¾ so góc nho nhat

2.Xét k = 3x2 − 6x0khi 0 ≤ x0 ≤ 3 ⇒ k max = max{k(0)}, k(3)) = Max{0, 9} = 9

v¾y tiep tuyen tai tiep điem có hoành đ® x0 = 3 có h¾ so góc lón nhat

Bài toán 1.23 Cho y = x3 − 3x + 2 , GQI A là m®t điem bat kỳ thu®c đo th% khác

điem uon Hói có bao nhiêu tiep tuyen cua đo th% đi qua A

3

0

0

Giai M (x0, x3 − 3x0 + 2) thu®c đo th%, phương trình tiep tuyen tai M là

Bài toán 1.24 Cho hàm so y = x3 − 3x2, tù m®t điem bat kỳ trên đưàng thang x = 1

( x uon = 1) ké đưac bao nhiêu tiep tuyen tái đo th%

Giai CHQN A(x0, x3 − 3x2) thu®c đo th%, tiep tuyen tai A có phương trình là

So tiep tuyen ke tù B tói đo th% bang so nghi¾m cna phương trình (1), và cũng bang

so giao điem cna đo th% y = 2x3 − 3(m + 1)x2 + 6mx − 2 Vói truc hoành Ta có

• Neu m = 1 ta có yJ = 6(x − 1)2 ≥ 0 hàm so luôn đong bien nên cat truc hoành

– Neu m = 1 ± √3 ta có ymax y min = 0 suy ra đo th% cat truc hoành tai m®t

điem và tiep xúc tai m®t điem

– Neu m < 1 − √ 3 ∪ m > 1 + √3 ke đưoc m®t tiep tuyen

* Ket lu¾n:

• Neu m < 1 + √ 3 ∪ m > 1 + √3 ke đưoc ba tiep tuyen

• Neu m = 1 ± √3 ke đưoc hai tiep tuyen

• Neu 1 − √ 3 < m < 1 + √3 ke đưoc m®t tiep tuyen

Bài toán 1.26 Cho hàm so y = x3 + x2 − 5x + 3

1 Viet phương trình tiep tuyen đi qua điem A(3; 16)

2 Tìm điem trên đưàng thang y = 11x − 17 mà tù điem ay có the thêm hai tiep

tuyen khác vuông góc vái nhau

Giai. 1 B(x0, x3 + x2 − 5x0 + 3) thu®c đo th%, phương trình tiep tuyen tai B là

2.Lay điem C (m; 11m − 17) thu®c đưòng thang y = 11x − 17 Tiep tuyen đi qua Cnên

Kí hi¾u x1, x2là nghi¾m cna (3) suy ra hai tiep tuyen khác tiep xúc vói đo th%

tai hai điem hoành đ® x1; x2

Hai tiep tuyen vuông góc vói nhau

là điem thoa mãn yêu cau bài

1.2 Hàm y = ax2 + bx + c

1.2.1 Bài toán cEc tr%

Xây dnng m®t cách chung hi¾u qua cho tat ca các bài toán cnc tr% cua hàm so

(Dx + e)2 và xác đ%nh đieu ki¾n ton tai cnc tr%

• Bưác 2: Xét dau y J và xác đ%nh cn the TQ a đ® cua các điem cnc đai, cnc tieu.

• Bưác 3: Tra lài các câu hói cn the.

Như v¾y tat ca các lài giai cua dang toán này đeu có chung bưác 1, bưác 2.

x2 + (m − 2)x + m + 1

Bài toán 1.27 Cho hàm so x − 2

1 Hãy tìm m đe hàm so có cnc tr% sao cho hai điem cnc đai, cnc tieu và A (4, 7) thang hàng.

2 Hãy tìm m đe khoang cách giua hai điem cnc tr% bang 6.

3 Hãy tìm m đe y max + y min = 6

•

−

(x −

1.H¾ so góc cna đưòng thang đi qua hai điem cnc tr% bang k = y max − y min =

(* Nh¾n xét: Phương trình đưòng thang đi qua hai điem cnc tr% chính là đao

hàm cna tu so cna bieu thúc hàm)

Điem A mà hai điem cnc tr% thang hàng khi và chi khi A ∈ y = 2x+m−2 ⇔ m = 1

2 − √ 3m

+ 1

Σ = 63

5.Ta có x min = 2 + √ 3m + 1, y min = m + 2 + 2 √ 3m + 1

⇒ √ 3m + 1 = x min − 2 > 0 ⇒ x min > 2

và

y min = m + 2 + 2(x min − 2) = 2x min + m − 2

V¾y khi m thay đői các điem cnc tieu chay trên đưòng

x2 + 2x 3

x > 23

2 Tìm m đe |y max − y min | = 4

3 Tìm m đe y max y min < 0

4 Tìm m đe y max + y min = 4

x max x min

5 Tìm m đe y max x min + y min x max = 4

6 Tìm m đe √ 2 + y max+ √ 2 + y min= 4

7 Tìm m đe điem A (2, 5) cùng vái hai điem cnc đai, cnc tieu nam trên cùng m®t đưàng thang.

8 Tìm m đe khoang cách giua hai điem cnc đai và cnc tieu bang 4

9.Tìm m đe điem A (2, 3) cách đeu hai điem cnc tr%.

1.2.2 Bài toán tiep tuyen

Bài toán 1.29 (Khoi B - 2004) Cho hàm so y =

1 − 1 +

x + 2 là0

) +

x0

1

+ x0 + x (x0 + 2)2 0

(C) Chúng tó có tiep tuyen cua (C)

đi qua A(1; 0) và vuông góc vái nhau.

x0 + 1) cna (C) là

) +

x0

1 + 1 +

x0 + 1

(d)

y = 1 1 x x

(x0 + 1)2 0

+ x0 + x (x0 + 1)2 0

1)2 x0 +

1

(x0 + 1)2 (x0 +

1)2 x0 +

1

x0 +1

Phương trình tiep tuyen cna (C) đi qua A(1; 0) là

+ −3(1 +

Σ

− 2 7 + 9 − 7

Tiep tuyen song song đưòng thang ∆ : 2x + y − 5 = 0 nên ta có

1 + − 9 = −2 ⇔ 9 = 9 ⇔ 1 = 1

4 (4x0 + 6)2 (4x0 + 6)2 4 (4x0 + 6)2 4

phương trình tiep tuyen là

y = 2x

132

6)

4 (4x0 + 6)2 2(4x0 +

6)2 2(4x0 +

−