Dãy số và một số phương pháp giải toán về dãy số

N®i dung chn yeu cna đe tài "Dãy so và m®t so phương pháp giaitoán ve dãy so" là h¾ thong m®t so phương pháp giai toán ve dãy so và m®t socách xây dnng bài toán mói ve dãy so.. Đó là m®t

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN

-Đ¾ng Th% Thao

DÃY SO VÀ M®T SO PHƯƠNG PHÁP GIAI TOÁN VE DÃY SO

LU¾N VĂN THAC SĨ TOÁN HOC

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CAP

2.1 M®t so phương pháp giai bài toán tìm so hang tőng quát cna

2.1.1 Phương pháp quy nap 182.1.2 Phép the lưong giác 202.1.3 Phương pháp su dung phương trình sai phân, tính chat

cna hàm so 242.1.4 Ky thu¾t tuyen tính hóa 312.2 M®t so phương pháp giai bài toán tìm giói han cna dãy so 382.2.1 Giói han cna dãy so l¾p 382.2.2 Giói han cna dãy trung bình Cesaro 412.2.3 Giói han cna dãy phân tuyen tính 432.3 M®t sophương pháp giai bài toán ve dãy so trong so HQc 482.3.1 Phương pháp quy nap 482.3.2 Nguyên lý Dirichlet 502.3.3 Dãy so sinh boi phan nguyên 522.4 M®t so phương pháp ưóc lưong tőng và tích cna m®t so dãy so

552.4.1 Phương pháp sai phân 552.4.2 Phương pháp đai so 582.4.3 Su dung so phúc 62

2

3 M®t so phương pháp thiet l¾p bài toán mái ve dãy so 64

3.1 Xây dnng dãy so h®i tu sinh boi các đai lưong trung bình 64

3.1.1 Trưòng hop cùng chi so 64

3.1.2 Trưòng hop l¾ch chi so 67

3.1.3 Phoi hop ba dãy so 76

3.2 Xây dnng dãy so là nghi¾m cna m®t HQ phương trình 79

Ket lu¾n 86

Me ĐAU

Đe tài ve dãy so thu®c m®t lĩnh vnc rat khó và r®ng (xem [1] - [8]), su dungnhieu kien thúc khác nhau cna toán hQc Muc tiêu cna lu¾n văn này nham đec¾p đen m®t so van đe cơ ban cna dãy so liên quan đen chương trình toán b¾cphő thông N®i dung chn yeu cna đe tài "Dãy so và m®t so phương pháp giaitoán ve dãy so" là h¾ thong m®t so phương pháp giai toán ve dãy so và m®t socách xây dnng bài toán mói ve dãy so Đó là m®t so phương pháp giai bài toánxác đ%nh so hang tőng quát cna dãy so, bài toán tìm giói han cna dãy so, bàitoán ve dãy so trong so HQc và bài toán ưóc lưong tőng và tích cna dãy so Vàm®t so cách thiet l¾p bài toán mói ve dãy so như thiet l¾p dãy so tù các đailưong trung bình, dãy so là nghi¾m cna HQ phương trình Đe giai quyet đưocnhung bài toán này, ta can nhung kien thúc tőng hop ve tính chat dãy so, gióihan cna dãy so, Muc tiêu cna lu¾n văn là h¾ thong phương pháp và xây dnngbài toán minh HQA, tőng quát ve các van đe đã nêu o trên

N®i dung cna lu¾n văn gom phan Mo đau, Ket lu¾n và đưoc phân thành

ba chương, đe c¾p đen các van đe sau

• Chương 1 trình bày m®t so kien thúc cơ ban cna dãy so gom m®t so đ

%nh nghĩa, đ%nh lý, m®t vài dãy so đ¾c bi¾t và m®t so bài toán ápdung

• Chương 2 h¾ thong m®t so phương pháp giai toán ve dãy so Vói bàitoán xác đ%nh công thúc tőng quát cna dãy so h¾ thong các phươngpháp như quy nap, phép the lưong giác, su dung phương trình saiphân, tính chat cna hàm so, ky thu¾t tuyen tính hóa Vói bài toán tìmgiói han cna dãy so, xét các dang bài toán dãy so dang l¾p, dãy trungbình Cesaro, dãy phân tuyen tính Vói bài toán ve dãy so trong so HQc

có các phương pháp như quy nap, nguyên lý Dirichlet, dãy sinh boiphan nguyên Vói bài toán ưóc lưong tőng và tích cna dãy so, h¾thong các phương pháp như sai phân, đai so, su dung so phúc

• Chương 3 trình bày m®t so cách thiet l¾p bài toán mói ve dãy so nhưthiet l¾p dãy so tù các đai lưong trung bình (trung bình c®ng, trungbình nhân, trung bình đieu hòa), dãy so là nghi¾m cna HQ phươngtrình.

Tác gia xin bày to sn kính TRQng và lòng biet ơn sâu sac đenGS.TSKH Nguyen Văn M¾u Thay đã t¾n tình hưóng dan, chi bao cho HQctrò trong quá trình HQc t¾p, nghiên cúu và giúp tác gia hoàn thành đưoc lu¾nvăn này

Tác gia cũng xin gui lòi cam ơn chân thành tói các thay giáo, cô giáo KhoaToán - Cơ - Tin HQc và seminar Phương pháp Toán sơ cap cna trưòng Đai HQcKhoa HQc Tn Nhiên- Đai HQc Quoc gia Hà N®i đã nh¾n xét, góp ý cho ban lu¾nvăn này

Xin bày to tình cam chân thành tói gia đình, ban bè đã quan tâm, đ®ng viên

và giúp đõ tác gia trong suot quá trình HQc t¾p tai trưòng

M¾c dù đã có nhieu co gang, song trong quá trình thnc hi¾n không tránhkhoi nhung sơ suat vì v¾y tác gia rat mong đưoc các thay cô giáo, các banđong nghi¾p góp ý đe ban lu¾n văn đưoc hoàn thi¾n hơn

Tác gia xin chân thành cam ơn!

Hà N®i, ngày 25 tháng 11 năm 2011

HQc viên

Đ¾ng Th% Thao

1 DÃY SO

Chương này giói thi¾u nhung khái ni¾m cơ ban ve dãy so, đó là các đ

%nh nghĩa, đ%nh lý và m®t so dãy so đ¾c bi¾t Nhung kien thúc này emxem và trình bày lai trong [1], [2]

1.1 Đ%nh nghĩa và các đ%nh lý cơ ban

Đ%nh nghĩa 1.1 Dãy so là m®t hàm so tù N∗ (ho¾c N) vào m®t t¾p hop so

(N, Q, R, C) hay m®t t¾p con nào đó cna các t¾p hop trên Các so hangcna dãy so thưòng đưoc kí hi¾u là u n , v n , x n , y n thay vì u(n), v(n), x(n), y(n) Ban thân dãy so đưoc kí hi¾u là {x n }

Nh¾n xét 1.1 Vì dãy so là m®t trưòng hop đ¾c bi¾t cna hàm so nên nó

cũng có các tính chat cna m®t hàm so

Đ%nh nghĩa 1.2 Dãy so {u n } đưoc GQI là dãy so tăng (giam) neu vói MQI

n ta có u n+1 ≥ u n (u n+1 ≤ u n) Dãy so tăng ho¾c giam đưoc GQI chung là dãyđơn đi¾u

Dãy so {u n } đưoc GQI là b% ch¾n trên neu ton tai so thnc M sao cho vói MQI

n ∈ N ta có u n ≤ M

Dãy so {u n } đưoc GQI là b% ch¾n dưói neu ton tai so thnc m sao cho vói MQI

n ∈ N ta có u n ≥ m

M®t dãy so vùa b% ch¾n trên, vùa b% ch¾n dưói đưoc GQI là dãy b% ch¾n

Đ%nh nghĩa 1.3 Dãy {u n } đưoc GQI là m®t dãy tuan hoàn (c®ng tính) neu tontai so nguyên dương l sao cho

u n+l = u n , ∀n ∈ N. (1.1)

So nguyên dương l nho nhat đe dãy {u n } thoa mãn (1.1) đưoc GQI là chu kỳ cơ

so cna dãy

Dãy {u n } đưoc GQI là m®t dãy phan tuan hoàn (c®ng tính) neu ton tai so nguyên dương l sao cho

u n+l = −u n , ∀n ∈ N. (1.2)

So nguyên dương l nho nhat đe dãy {u n } thoa mãn (1.2) đưoc GQI là chu kỳ

cơ so cna dãy

Ví dn 1.1 Chúng minh rang dãy so {u n } tuan hoàn c®ng tính chu kỳ 2 khi và chi khi dãy có dang

Suy ra u nlà dãy tuan hoàn chu kỳ 2

Ví dn 1.2 Chúng minh rang MQI dãy so {u n } phan tuan hoàn c®ng tính chu

2 (v n − v n+r) = 2 (u n − u n+r) = 2 (u n + u n ) = u n .

Ngưoc lai , ta thay MQI dãy xác đ%nh theo (1.3) đeu là dãy phan tuan hoàn

chu kỳ r Th¾t v¾y

u n+r =

2 (v n+r − v n+2r) = 2 (v n+r − v n ) = −u n .

Ta có đieu phai chúng minh

Nh¾n xét 1.2 Dãy tuan hoàn chu kỳ 1 khi và chi khi đó là dãy hang

Đ%nh nghĩa 1.4 Dãy {u n } đưoc GQI là m®t dãy tuan hoàn nhân tính neu tontai so nguyên dương s (s > 1) sao cho

u sn = u n , ∀n ∈ N. (1.4)

So nguyên dương s nho nhat đe dãy {u n } thoa mãn (1.4) đưoc GQI là chu kỳ

cơ so cna dãy

Dãy {u n } đưoc GQI là m®t dãy phan tuan hoàn nhân tính neu ton tai

so nguyên dương s (s > 1) sao cho

u sn = −u n , ∀n ∈ N. (1.5)

So nguyên dương s nho nhat đe dãy {u n } thoa mãn (1.5) đưoc GQI là chu kỳ

cơ so cna dãy

Ví dn 1.3 Chúng minh rang dãy {u n } tuan hoàn nhân tính chu kỳ 2 khi và chikhi dãy có dang

Ngưoc lai, de thay {u n } xác đ%nh như trên là dãy tuan hoàn nhân tính chu kỳ 2

Ví dn 1.4 Chúng minh rang dãy {u n } phan tuan hoàn nhân tính chu kỳ 2 khi

và chi khi dãy có dang

Giai Nh¾n thay vói MQI n ∈ N đeu có the viet dưói dang n = 2 s (2k + 1),vói MQI s ∈ N Do đó

Đ%nh nghĩa 1.5 Ta nói dãy so {x n } có giói han huu han a khi n dan đen

vô cùng neu vói MQI ε > 0, ton tai m®t so tn nhiên N0 (phu thu®c vào dãy so

x n và ε) sao cho vói MQI n > N0 ta có |x n − a| < ε

lim

n→+

∞

x n = a ⇔ ε > 0, ∃N0 ∈ N : ∀n > N0, |x n − a| < ε.

Ta nói dãy so {x n } dan đen vô cùng khi n dan đen vô cùng neu vói MQI

so thnc dương M lón tùy ý, ton tai m®t so tn nhiên N0 (phu thu®c vào dãy so

x nvà M ) sao cho vói MQI n > N0 ta có |x n | > M

hop dãy so thương, ta gia su y nvà b khác không)

Đ%nh lý 1.2 (Chuyen qua giói han trong bat đang thúc) Cho dãy so {x n } có giói han huu han l, neu ∃N0 ∈ N : ∀n > N0ta có a ≤ x n ≤ b thì a ≤ l ≤ b

Đ%nh lý 1.3 (Đ%nh lý kep) Cho ba dãy so {x n }, {y n }, {z n } trong đó x n và z n

có cùng giói han huu han a và N0 ∈ N : ∀n > N0ta có x n ≤ y n ≤ z n Khi đó y n

cũng có giói han là a

Đ%nh lý 1.4 (Sn h®i tu cna dãy đơn đi¾u) M®t dãy tăng và b% ch¾n trên

hay m®t dãy giam và b% ch¾n dưói thì h®i tu Nói ngan GQN hơn, m®t dãy đơnđi¾u và b% ch¾n thì h®i tu

Đ%nh lý 1.5 (Ve dãy các đoan thang long nhau) Cho hai dãy so thnc {a n },

{b n } sao cho

a) ∀n ∈ N, a n ≤ b n;

b) ∀n ∈ N, [a n+1 , b n+1 ] ⊂ [a n , b n];

c) b n − a n → 0 khi n → ∞.

Khi đó ton tai duy nhat so thnc a sao cho ∩[a n , b n ] = {a}

Đ%nh lý 1.6 (Bolzano-Weierstrass) Tù m®t dãy b% ch¾n luôn có the trích

ra m®t dãy con h®i tu

Đ%nh nghĩa 1.6 Dãy x n đưoc GQI là dãy Cauchy neu ∀ε > 0, ∃N0 ∈ N :

sai cna cap so đã cho.

Vói d > 0 ta có cap so c®ng tien và d < 0 ta có cap so c®ng lùi

Ví dn 1.5 Dãy các so tn nhiên le: 1, 3, 5, , 2n − 1, là m®t cap

so c®ng vói công sai d = 2

Ví dn 1.6 Dãy −3, 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25 là m®t cap so c®ng vói công sai d = 4

Tính chat 1.1 Neu {u n } là m®t cap so c®ng thì ke tù so hang thú hai, moi sohang (trù so hang cuoi đoi vói cap so c®ng huu han) đeu là trung bình c®ngcna hai so hang đúng ke nó trong dãy, túc là

u = k u k−1 + u k+1

2

Tính chat 1.2 (So hang tőng quát cna m®t cap so c®ng) Neu m®t cap so

c®ng có so hang đau là u1 và công sai d thì so hang tőng quát u n cna nóđưoc tính theo công thúc sau

u n = u1 + (n − 1)d.

Tính chat 1.3 (Tőng n so hang đau tiên cna m®t cap so c®ng) Gia su {u n }

là m®t cap so c®ng Vói moi so nguyên dương n, GQI S n là tőng cna n so hangđau tiên cna nó (S n = u1 + u2 + + u n) Khi đó, ta có

Ví dn 1.8 Dãy −2, 6, −18, 54, −162 là m®t cap so nhân vói so hang đau u1 = −2

và công b®i q = −3

Tính chat 1.4 Neu {u n } là m®t cap so nhân thì ke tù so hang thú hai, bìnhphương moi so hang (trù so hang cuoi đoi vói cap so nhân huu han) bangtích cna hai so hang đúng ke nó trong dãy, túc là

u2 = u k−1 u k+1

Tính chat 1.5 (So hang tőng quát cna m®t cap so nhân) Neu m®t cap so

nhân có so hang đau là u1 và công b®i q ƒ= 0 thì so hang tőng quát u n cna

nó đưoc tính theo công thúc sau

Nh¾n xét 1.5 Neu |q| < 1 thì {u n } đưoc GQI là cap so nhân lùi vô han

Tőng cna cap so nhân lùi vô han đưoc tính theo công thúc

có the xem như m®t cap so suy r®ng (khi a = 1 ta thu đưoc m®t cap so c®ng, khi b = 0 ta thu đưoc m®t cap so nhân).

Cap so đieu hòa

Đ%nh nghĩa 1.10 Dãy so u nthoa mãn đieu ki¾n

2 u n − u n +1

u =

u n−1 + u n+1

đưoc gQI là cap so đieu hòa

Ví dn 1.9 Chúng minh rang dãy so {u n }(u n ƒ= 0, ∀n ∈ N) l¾p thành m®t cap

so đieu hòa khi và chi khi

V¾y dãy so Fibonacci là dãy so như the

nào? Ban đau, ông Fibonacci xét bài toán

sau:

Gia su có m®t c¾p tho man đe cú cuoi moi tháng lai sinh ra m®t c¾pmói Neu moi c¾p mói đó cũng lai đe sau m®t tháng và neu không có connào b% chet ca thì sau m®t năm có bao nhiêu c¾p tho?

Và đó là tien thân cna dãy so đưoc xác đ%nh bang cách li¾t kê các phan

tu như sau:

1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987

Trong đó các phan tu nam trong dãy so này luôn luôn bang tőng cna 2 solien trưóc nó Neu lay tőng hay hi¾u cna các so liên tiep chúng ta se đưocm®t dãy so tương tn

n

n+

n

Đ%nh nghĩa 1.11 Dãy so Fibonacci là dãy so đưoc đ%nh nghĩa boi

f0 = 0, f1 = 1, ∀n ∈ N, f n+2 = f n+1 + f n

Dãy so Fibonacci có rat nhieu tính chat thú v% và xuat hi¾n m®t cách tnnhiên trong nhieu lĩnh vnc khác nhau Chúng ta có công thúc sau đe tìm sohang tőng quát cna dãy so Fibonacci:

Nói chung, các dãy so xác đ%nh boi công thúc truy hoi f n+2 = f n+1 + f n (vói f0, f1

bat kỳ) đưoc GQI là dãy Fibonacci mo r®ng

5 1 5 4

1 2 1 3 2

, , , , ,

3 5 2 5 3

Bài toán 1.1 Chúng minh rang đieu ki¾n can và đn đe dãy so {a n } l¾p thànhm®t cap so c®ng là dãy đã cho phai thoa mãn h¾ thúc

2a m+n = a 2m + a 2n , ∀m, n ∈ N. (1.7)

Do đó, ta có đieu can chúng minh.

Đieu ki¾n đu Gia su dãy {a n } thoa mãn đieu ki¾n (1.7) Ta chúng minh dãy {a n } là m®t cap so c®ng vói công sai d = a1 − a0

Thay m = 0 vào (1.7) ta đưoc

l¾p thành m®t cap so nhân là dãy đã cho phai thoa mãn h¾ thúc

Giai Đ¾t ln a n = b n , ∀n ∈ N, khi đó a n = e b n và (1.11) có dang

e 2bm +n = e b 2m +b 2n , ∀m, n ∈ Nhay

2b m+n = b 2m + b 2n , ∀m, n ∈ N. (1.12)Theo bài toán 1.1 thì (1.12) chính là đieu ki¾n can và đn đe dãy {b n } l¾p

thành cap so c®ng vói công sai d = b1 − b0

Theo nh¾n xét 1.4 ta có đieu phai chúng minh

Bài toán 1.3 Cho dãy so {u n } là m®t cap so suy r®ng thoa mãn đieu ki¾n

Bài toán 1.4 (VMO, 1994, Bang B) Cho dãy so Fibonacci {u n }, (n = 1, 2, )

thoa mãn tính chat

f : {1, 2, , n} → {1, 2, 3, 4, 5}

n > 2 cho trưóc taluôn có f (n) ƒ= 3.

2, 3, 4, 5} thoa mãntính chat đã cho úngvói f (n) tương úng lanlưot bang 1,2,4,5

a

n

+ 2

=

e

n

+ 1

+

d

n

+ 1

=

a

n

+ 1

+

b

n

+ 1

=

a

n

+ 1

theo,

ta

thay

a

2

=2

=

F

2

và

1) Các bài toán tìm so hang tőng quát cna dãy so(ban chat đai so).

2) Các bài toán tìm giói han cna dãy so(ban chat giai tích)

3) Các bài toán ve dãy so trong so HQc

4) Các bài toán ưóc lưong dãy so

Các phương pháp cơ ban đe giai các bài toán dãy so trên khá đa dang Chúng ta đi xét cu the m®t so phương pháp đó

2.1 M®t so phương pháp giai bài toán tìm so hang

tong quát cua dãy so

2.1.1 Phương pháp quy nap

Nguyên lý quy nap

Neu khang đ%nh S(n) thoa mãn hai đieu ki¾n sau:

a) Đúng vói n = k0(so tn nhiên nho nhat mà S(n) xác đ%nh)

b) Tù tính đúng đan cna S(n) đoi vói n = t (ho¾c đoi vói MQI giá tr% cna

n, k0 ≤ n ≤ t) suy ra tính đúng đan cna S(n) đoi vói n = t + 1, thì

S(n) đúng vói MQI n ≥ k0

Gia su khang đ%nh T (n) xác đ%nh vói MQI n ≥ t0 Đe chúng minh T (n)

đúng vói MQI n(n ≥ t0) bang quy nap, ta can thnc hi¾n hai bưóc

a Cơ so quy nap.

Thnc hi¾n bưóc này túc là ta thu xem sn đúng đan cna T (n) vói n = t0, nghĩa là xét T (t0) có đúng hay không?

b Quy nap

Gia su khang đ%nh T (n) đã đúng vói n = t, (t ≥ t0) (ho¾c đoi vói MQI n,

(t0 ≤ n ≤ t)) Trên cơ so gia thiet này mà suy ra tính đúng đan cna T

Th¾t v¾y, theo trên thì (2.1) đã đúng tói n =

3 Gia su (2.1) đúng tói n, khi đó

V¾y (2.1) đúng vói n + 1 nên (2.1) đúng vói MQI n ∈ N∗

Bài toán 2.2 Cho dãy {u n } xác đ%nh boi công thúc

V¾y u n = 3 n+1 − 2 n+1 vói MQI n ∈ N∗.

2.1.2 Phép the lưang giác

Nhieu dãy so có công thúc phúc tap có the tro thành các dãy so đơn giannhò phép the lưong giác Đe áp dung đưoc thn thu¾t này, đieu can thiet là bietcác công thúc lưong giác và m®t chút nhay cam toán HQc

Bài toán 2.3 Cho dãy so (u n) xác đ%nh boi công thúc

1

u1 = 2

u n = 2u2

n−1 − 1, ∀n ≥ 2.

Xác đ%nh công thúc tőng quát cna dãy (u n)

Giai Tù công thúc truy hoi cna dãy ta liên tưong đen công thúc nhân đôi cna

4π

3 ⇒ u4 = cos

Vói n = 2 ta có u2 =

cos

22−1 π = cos3

tacó

2 2n−2 π

3

− 1

= cos

2n−1 π

3 ·

V

¾y

u

=cos

u n = 2u n−1 − 1, ∀n ≥ 2.

n−

1

trình: a2 − 2u1a + 1 = 0

Vì phương trình này có hai

nghi¾m tích bang 1 nên ta

có the viet công thúc tőng

quát cna dãy như sau

2

.

bang cách đ¾t u n

đ%nh công thúc tőng quát cna dãy

.

Bang quy nap tachúngminh đưoc

u n =

cos

6 ·

Th¾t v¾y

Vó

i

n

=2

tacó

u

2

π

=cos36

(đúng)

Giasu

ta

cos

%nh công thúc tőng quát cna dãy so

(u n)

xác đ

%nh boi

.3ta

làmnhưsau:

u n

= 4

u n = cos

3n−1 α

Neu |p|

> 1, ta đ¾t u

=

.a +

Σ (trong

đó a ƒ= 0 và cùng dau vói

u )

11

Bang quy nap

ta chúng minhđưoc u = 1

.a3 n−1 + 1

Σ, ∀n ≥ 1 Trong đó a lànghi¾m (cùng dau vói

u1) cna phương trình:

a2 − 2u1a +

1 = 0 Vì phương trìnhnày có hai nghi¾m tích bang 1 nên ta

có the viet công thúc tőng quát cnadãy

u

−

2) Tùtrưòngh

op2

cna

bài

toán

trên,

ta

có

cách

tì

m

công

thúc

tőng

quát

cna

dãy

so

bang cách đ¾t u = 1 .a − 1 Σ Khi đó bang quy nap ta chúng minh đưoc

1

1

u n =

π

u n−1

+ tan

x2 = cot 3

1 + sin π

=

1 +cos π

sin π

= cot

π π

du n−1 = f n , n ≥ 2, trong đó a, b, c, d, α, β, γ là các hang so, a ƒ= 0

và f n là bieu thúc cna n cho trưóc (đa thúc, hàm mũ, hàm lưong giác), ta su

dung các kien thúc ve phương trình sai phân

Bài toán 2.8 Tìm u n biet

3

2

·

Giai Phương trình đ¾c trưng λ2 − 2λ + 1 = 0 có các nghi¾m kép λ = 1 Ta có

u n = u n + u ∗ , trong đó u n = (A + Bn).1 n = A + Bn và u ∗ = n2(an + b)

Thay u ∗

n vào phương trình, ta đưoc

(n + 1)2[a(n + 1) + b] − 2n2(an + b) + (n − 1)2[a(n − 1) + b] = n + 1.

u1 = 1, u2 = 0, u n+1 − 2u n − 3u n−1 = n + 2 n , n ≥

2.

Giai Phương trình đ¾c trưng λ2 − 2λ − 3 = 0 có nghi¾m λ1 = −1 và λ2 =

n vào phương trình u n+1 − 2u n − 3u n−1 = n, ta đưoc

a(n + 1) + b − 2(an + b) − 3[a(n − 1) + b] = n.

Bài toán 2.11 Xác đ%nh các dãy so {u n } thoa mãn đieu ki¾n

0