Một số phương pháp song song dạng runge kutta giải bài toán không cương

Do đó, vói mong muon xem xét cácthu¾t toán và thay the các thu¾t toán cũ m®t cách phù hop hơn, chúngtôi đưa ra muc tiêu chính cna lu¾n án là: xây dnng và phân tích cácthu¾t toán mói đe g

NGUYỄN THU THỦY

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP SONG SONG

DẠNG RUNGE - KUTTA

GIẢI BÀI TOÁN KHÔNG CƯƠNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI - 2014

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN



NGUYỄN THU THỦY

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP SONG SONG

DẠNG RUNGE - KUTTA

GIẢI BÀI TOÁN KHÔNG CƯƠNG

Chuyên ngành: Toán học tính toán

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Nguyễn Hữu Công

HÀ NỘI - 2014

LèI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cúu cna riêng tôi Các ketqua nêu trong lu¾n án là trung thnc và chưa tùng đưoc ai công bo trongbat kỳ công trình nào khác

Tác gia

Nguyen Thu Thuy

LèI CAM ƠN

Lu¾n án đưoc hoàn thành dưói sn hưóng dan cna GS TSKH.Nguyen Huu Công Thay đã dan dat tác gia làm quen vói nghiên cúukhoa HQc tù khi tác gia đang là HQc viên cao HQc Ngoài nhung chidan ve m¾t khoa HQc, sn đ®ng viên và lòng tin tưong cna thay dành chotác gia luôn là đ®ng lnc lón giúp tác gia tn tin và say mê trong nghiêncúu Qua đây tác gia xin bày to sn biet ơn sâu sac và lòng quý men đoivói thay

Tác gia cũng xin đưoc bày to lòng biet ơn đen các thày cô và các banđong nghi¾p trong xemina B® môn Toán HQc tính toán, trưòng Đai HQcKhoa hQc Tn nhiên-Đai HQc Quoc Gia Hà N®i đã tao môi trưòng HQct¾p và nghiên cúu thu¾n loi giúp tác gia hoành thành lu¾n án này.Tai đây tác gia đã nh¾n đưoc nhieu chi dan, góp ý cũng như m®t môitrưòng nghiên cúu sôi női và thân thi¾n, đieu không the thieu trongquá trình nghiên cúu, hoàn thành lu¾n án cna tác gia

Tác gia xin gui lòi cám ơn tói các thày cô trong khoa Toán-Cơ-Tin

HQc, Phòng Sau đai HQc, Trưòng Đai HQc Khoa HQc Tn nhiên- Đai HQcQuoc Gia Hà N®i, nơi tác gia đã HQc t¾p và nghiên cúu

Tác gia xin đưoc bày to lòng biet ơn đen Ban Giám hi¾u, Ban chnnhi¾m khoa Toán-Tin và B® môn Toán úng dung trưòng Đai HQc

Sư pham Hà N®i đã tao nhung đieu ki¾n thu¾n loi trong quá trình tácgia HQc t¾p, công tác và hoàn thành lu¾n án này

Trong quá trình HQc t¾p và hoàn thành lu¾n án, tác gia đã nh¾nđưoc sn quan tâm giúp đõ và góp ý cna GS.TSKH Pham Kỳ Anh,PGS.TSKH Vũ Hoàng Linh, Tác gia xin chân thành cam ơn các Giáo

sư ve sn giúp đõ quý báu này

Cuoi cùng, tác gia xin đưoc bày to lòng biet ơn đen ông bà, bo me,anh ch% em hai bên n®i ngoai, cùng chong và ban bè đã góp ý và đ®ngviên tác gia trong quá trình HQc t¾p và hoàn thành lu¾n án

Tác gia

MUC LUC

MUC LUC 1

M®T SO KÍ HIfiU CHUNG 4

DANH MUC CÁC TÙ VIET TAT 5

Me ĐAU 7

Chương 1 M®T SO KIEN THÚC CƠ Se 11 1.1 Phương pháp Runge-Kutta 12

1.1.1 Cap chính xác cna phương pháp Runge-Kutta 14

1.1.2 Tính őn đ%nh cna phương pháp Runge-Kutta 15

1.2 Các phương pháp Runge-Kutta hien 16

1.3 Các phương pháp Runge-Kutta an 18

1.4 Phương pháp Runge-Kutta l¾p song song (PIRK) 21

1.4.1 N®i dung phương pháp PIRK 23

1.4.2 Cap chính xác cna phương pháp PIRK 24

1.4.3 Sn őn đ%nh cna phương pháp PIRK 24

1.4.4 Sn h®i tu cna quá trình l¾p 26

1.5 M®t so mã tính toán tuan tn 26

1.5.1 Phương pháp kep thêm có cap chính xác 5 - mã DOPRI5 27

1.5.2 Phương pháp kep thêm có cap chính xác 8- mã DOPRI853 28

1.5.3 Phương pháp ngoai suy- mã ODEX 31

1.6 Ba bài toán thu 37

Chương 2 PHƯƠNG PHÁP L¾P SONG SONG DANG RUNGE-

KUTTA HAI BƯéC M®T DUA TRÊN CÁC ĐIEM TRÙNG KHéP

5

GAUSS-LEGENDRE 40

2.1 Phương pháp dang Runge-Kutta hai bưóc m®t dna trên

các điem trùng khóp Gauss-Legendre 41

2.1.1 Őn đ%nh tuyen tính 44

2.1.2 Thu nghi¾m so 49

2.2 Phương pháp l¾p song song dang Runge-Kutta hai bưóc m®t dna trên các điem trùng khóp Gauss-Legendre 50

2.2.1 Đieu ki¾n b¾c 52

2.2.2 Sn h®i tu cna quá trình l¾p 54

2.2.3 Mien őn đ%nh 55

2.2.4 Thu nghi¾m so 57

2.2.5 So sánh vói các phương pháp song song 59

2.2.6 So sánh vói các mã tuan tn 62

Chương 3 PHƯƠNG PHÁP L¾P SONG SONG GIA RUNGE-KUTTA HAI BƯéC VéI CHIEN LƯeC ĐIEU KHIEN BƯéC LƯéI 65 3.1 Phương pháp gia Runge-Kutta hai bưóc kep thêm vói bưóc lưói thay đői 66

3.1.1 Đieu ki¾n b¾c 68

3.1.2 Công thúc kep thêm 72

3.2 Phương pháp PIPTRK vói chien lưoc đieu khien bưóc lưói 73 3.2.1 Đieu ki¾n b¾c cho công thúc dn báo 75

3.2.2 Sn h®i tu cna quá trình l¾p 77

3.2.3 Đieu khien bưóc lưói 77

3.3 Thu nghi¾m so 79

3.3.1 Xác l¾p phương pháp PIPTRKSC 79

3.3.2 So sánh vói các mã song song 81

3.3.3 So sánh vói các mã tuan tn 83

6

Chương 4 PHƯƠNG PHÁP GIA RUNGE-KUTTA BA BƯéC 89

4.1 Phương pháp gia Runge-Kutta ba bưóc (EPThRK) 90

4.1.1 Đieu ki¾n b¾c 92

4.1.2 Tính őn đ%nh 97

4.2 Các thu nghi¾m so 98

4.2.1 CHQN phương pháp EPThRK 98

4.2.2 So sánh vói các mã song song 100

4.2.3 So sánh vói các mã tuan tn 102

4.2.4 So sánh phương pháp EPThRK vói phương pháp TBTPIRKG và PIPTRKSC 104

KET LU¾N 108

KIEN NGH± M®T SO HƯéNG NGHIÊN CÚU TIEP THEO 109 DANH MUC CÔNG TRÌNH KHOA HOC CUA TÁC GIA LIÊN QUAN ĐEN LU¾N ÁN 110

TÀI LIfiU THAM KHAO 111

7

M®T SO KÍ HIfiU CHUNG

1 M®t so kí hi¾u thông thưàng.

• R d − không gian các véc tơ thnc d− chieu.

• C− t¾p so phúc.

• C − − t¾p so phúc vói phan thnc không dương.

• Vói so phúc z ∈ C, Re(z), Im(z) lan lưot là phan thnc và phan ao

DANH MUC CÁC TÙ VIET TAT

Phương pháp gia Runge-Kutta ba bưóc

Phương pháp l¾p song song gia Runge-Kutta hai bưócPIPTRKSC Parallel-iterated pseudo two-step Runge-Kutta method with

step size controlPhương pháp l¾p song song gia Runge-Kutta hai bưóc vóichien lưoc đieu khien bưóc lưói

Phương pháp gia Runge-Kutta hai bưócTBTIRKG Two-step-by-two-step IRK methods based on Gauss-

Legendre collocations pointsPhương pháp dang Runge-Kutta an hai bưóc m®t dna trêncác điem trùng khóp Gauss-Legendre

based on Gauss-Legendre collocation pointsPhương pháp hi¾u chinh dang Runge-Kutta hai bưóc m®tdna trên điem trùng khóp Gauss-Legendre

TBTPIRKG two-step-by-two-step parallel-iterated Runge-Kutta-type PC

methods based on Gauss-Legendre collocation points

Phương pháp l¾p song song dang Runge-Kutta hai bưóc m®t dna trên các điem trùng khóp Gauss-Legendre

Me ĐAU

1 L%ch sE van đe và lí do c HQN đe tài

Trong các lĩnh vnc khoa HQc và ky thu¾t có rat nhieu bài toánqui ve vi¾c tìm nghi¾m cna h¾ phương trình vi phân thưòng thoa mãnm®t so đieu ki¾n nào đó (đieu ki¾n ban đau, đieu ki¾n biên, ) Đa

so các h¾ phương trình vi phân mô ta các h¾ cơ HQc, v¾t lý, hóa

HQc, sinh HQc, đeu rat phúc tap và rat khó tìm đưoc nghi¾m đúngcna bài toán mà thông thưòng ta phai giai gan đúng nghi¾m cnabài toán Phương pháp giai gan đúng hi¾u qua nhat là phương pháp

so Vi¾c nghiên cúu các phương pháp so đe giai gan đúng phươngtrình vi phân thưòng đã đưoc nghiên cúu trong nhieu năm qua.Phương pháp so phő bien nhat là phương pháp tuyen tính đa bưóc

và phương pháp Runge-Kutta, có nguon goc tù the ky trưóc, đ¾cbi¾t nó có sn đ®t phá manh ke tù khi máy tính đi¾n tu ra đòi vàonhung năm 1950 Ke tù đó, nhieu phương pháp hi¾u qua đã đưocxây dnng và đã có m®t so mã tính toán (code tính toán) hi¾u qua

và đáng tin c¾y cho vi¾c giai so phương trình vi phân thưòng

Do nhieu thu¾t toán so đưoc thiet ke cho máy tính tuan tn, cácphương pháp hi¾n có không phai là tot nhat Đieu này đ¾c bi¾t đúngcho các phương pháp so giai bài toán thòi gian thnc cna phương trình

vi phân thưòng có kích thưóc lón Do đó, vói mong muon xem xét cácthu¾t toán và thay the các thu¾t toán cũ m®t cách phù hop hơn, chúngtôi đưa ra muc tiêu chính cna lu¾n án là: xây dnng và phân tích cácthu¾t toán mói đe giai hi¾u qua hơn bài toán giá tr% ban đau khôngcương cna h¾ phương trình vi phân thưòng Bài toán giá tr% ban đaukhông cương cna h¾ phương trình vi phân có dang:

yJ (t) = f (t, y(t)), y(t0) = y0, t0 ≤ t ≤ T.

ho¾c o dang autonom:

yJ (t) = f (y(t)), y(t0) = y0, t0 ≤ t ≤ T.

Vói sn phát trien không ngùng cna khoa HQc ky thu¾t, sn xuat hi¾ncna máy tính song song đã mang lai m®t sn phát trien manh me cna cácphương pháp so Các thu¾t toán đã đưoc nghiên cúu can t¾n dung loithe cna "siêu máy tính"

2 Mnc đích, đoi tưang và pham vi nghiên cÉu

Muc đích cna lu¾n án là nghiên cúu và xây dnng các phương phápsong song mói dang Runge-Kutta đe giai m®t cách hi¾u qua bài toán giátr% ban đau không cương trên siêu máy tính (máy tính song song)

3 Phương pháp nghiên cÉu

Trong lu¾n án này, vi¾c nghiên cúu và xây dnng các phương phápsong song mói dang Runge-Kutta đưoc bat đau bang vi¾c đe xuat cautrúc cna phương pháp Tiep theo, ky thu¾t trùng khóp ket hop vói kythu¾t khai trien Taylor đưoc su dung đe xác đ%nh h¾ so cna phương pháptheo đieu ki¾n cap chính xác Vi¾c nghiên cúu cap chính xác và mien

őn đ%nh cna các phương pháp đưoc dùng đe chúng to tính ưu vi¾t cnacác phương pháp mói đưoc nghiên cúu trên phương di¾n lý thuyet Cuoicùng các phương pháp mói đưoc su dung đe giai m®t so bài toán thukinh đien Ket qua tính toán đưoc so sánh vói các ket qua khi giai cùngbài toán thu cna các phương pháp thu®c loai tot và tin c¾y hi¾n hành đekhang đ%nh tính ưu vi¾t cna các phương pháp mói ve phương di¾n thnchành

4 Cau trúc và các ket qua cua lu¾n án

Ngoài phan mo đau và ket lu¾n, lu¾n án gom 4 chương:

- Chương 1 giói thi¾u bài toán giá tr% ban đau và m®t so kien thúc cơ ban ve phương pháp Runge-Kutta Trong chương này, chúng tôi cũng

giói thi¾u m®t so phương pháp song song và mã tính toán (code) hi¾uqua có san Đây là nhung phương pháp và mã tính toán mà chúng tôi

se su dung đe so sánh vói các phương pháp mà chúng tôi đưa ra

- Chương 2 đe xuat và nghiên cúu các phương pháp dn báo hi¾uchinh l¾p song song dang Runge-Kutta (RK) hai bưóc m®t dna trên cácđiem trùng khóp (collocation) Gauss-Legendre Phương pháp dn báo cócông thúc dang Adams Phương pháp hi¾u chinh đưoc xây dnng trên cơ

khóp c1, , c s và phương pháp RK trùng khóp 2s nac vói vectơ trùng

so b® h¾ so cna phương pháp RK Gauss-Legendre s nac vói vectơ trùng khóp c1, , c s , 1 + c1, , 1 + c s Tai bưóc lay tích phân thú n, các

giá

t n + (1 + c1)h, , t n + (1 + c s )h có the su dung thay cho các giá tr% xap

tr% xap xi nac cna phương pháp RK trùng khóp 2s nac đưoc tính tai

xi nac cna phương pháp RK Gauss-Legendre tai bưóc lay tích phân thú

(n+2) Bang cách này, chúng tôi có phương pháp hi¾u chinh có quá trình

lay tích phân hai bưóc m®t Vì v¾y, phương pháp dn báo hi¾u chinh l¾psong song thu đưoc cũng có quá trình tích phân hai bưóc m®t và cho taquá trình tích phân nhanh hơn Các thu nghi¾m so chúng to các phươngpháp dn báo hi¾u chinh l¾p song song dang RK hai bưóc m®t dna trêncác điem trùng khóp Gauss-Legendre (Phương pháp TBTPIRKG) hi¾uqua hơn m®t so đai di¾n cna phương pháp song song và các mã tuan tnhi¾n có (phương pháp PIRK, mã ODEX, DOPRI5 và DOP853)

- Trong Chương 3, chúng tôi trình bày phương pháp l¾p song songgia Runge-Kutta hai bưóc vói chien lưoc đieu khien bưóc lưói

Trong chương này, hai công thúc vói cap chính xác s và s − 1 xây

dnng kèm đưoc dùng đe đánh giá sai so đ%a phương phuc vu chovi¾c cHQN bưóc lưói tn đ®ng Các thu nghi¾m so cho thay phươngpháp mói cna chúng tôi hi¾u qua hơn so vói các mã có tù trưóc đó.Chien lưoc đieu khien bưóc lưói cũng cho ket qua tot hơn so vóiphương pháp vói bưóc lưói co đ%nh

- Trong Chương 4, chúng tôi trình bày m®t lóp phương pháp song

song gia Runge-Kutta ba bưóc Bang cách su dung ky thu¾t trùng khóp

và các cHQN các điem trùng khóp phù hop chúng ta có the thu đưoc m®t

phương pháp s nac őn đ%nh gia Runge-Kutta ba bưóc (phương

pháp

EPThRK) có cap chính xác p = 2s mà khi tính trên máy tính vói s b®

xu lý song song đòi hoi chi m®t lan tính toán hàm ve phai f trên moi b®

xu lý Bang vi¾c giai so m®t vài bài toán thu thông dung, chúng tôi chi

ra rang các phương pháp mói EPThRK đưoc đưa ra trong chương nàyhi¾u qua hơn các mã song song PIRK và các mã tuan tn ODEX, DOPRI5

và DOP853 đã biet

5 Ý nghĩa cua các ket qua cua lu¾n án

Các ket qua cna lu¾n án góp phan nghiên cúu và xây dnng cácphương pháp song song dang Runge-Kutta đe giai so bài toán giá tr%ban đau không cương, nham góp phan vào lĩnh vnc nghiên cúu thòi snnày M®t so ý tưong và phương pháp đưoc dùng trong lu¾n án có thedùng đe nghiên cúu giai các bài toán trong phương trình vi phân ngaunhiên và phương trình vi phân có tre

N®i dung chính cna lu¾n án này đã đưoc công bo trên các công

trình đưoc li¾t kê o muc Danh mnc công trình cua tác gia (trang

110), và đưoc báo cáo tai:

- Xemina Toán hQc tính toán, trưòng Đai hQc Khoa HQc Tn Nhiên- ĐHQuoc Gia Hà N®i

- H®i ngh% Toi ưu và Tính toán khoa HQc, Ba Vì - 2011, 2014

- H®i ngh% - Đai h®i Toán HQc Toàn quoc, Nha Trang - 2013

- H®i ngh% khoa HQc Khoa Toán -Tin, Trưòng Đai HQc Sư pham Hà N®i -

2011, 2012, 2014

CHƯƠNG 1

M®T SO KIEN THÚC CƠ Se

Muc đích chính cna lu¾n án là nghiên cúu và đưa ra các thu¾t toán

đe giai so bài toán giá tr% ban đau không cương (IVPs) cho h¾ phươngtrình vi phân cap m®t (xem Muc 2.2 trong [7]):

liên tnc trên mien D = {(t, y) : t0 ™ t ™ T, y ∈ R d } vái t0, T huu han.

Đ%nh lý ve sE ton tai nghi¾m Cho hàm so f : R × R d → R d xác đ%nh Gia su ton tai m®t hang so L sao cho:

||f (t, y) − f (t, y ∗ )|| ™ L||y − y ∗ ||vái MQI (t, y) , (t, y ∗ ) ∈ D

Khi đó vái MQI y0 ∈ R d luôn ton tai duy nhat nghi¾m cua bài toán

giá tr% ban đau (1.1) sao cho y(t) liên tnc, kha vi vái MQI t ∈ [t0, T ].

Trong lu¾n án này, chúng tôi se gia đ%nh rang bài toán (1.1) luôn thoamãn các gia thiet cna đ%nh lý trên Ngoài ra, ta gia thiet thêm nghi¾m

y cna bài toán là đn trơn.

Trong chương này, chúng tôi trình bày m®t so kien thúc cơ ban vephương pháp Runge-Kutta, m®t so phương pháp song song và mã tuan

tn tiêu bieu đã có mà se đưoc su dung đe so sánh vói các phương phápmói đưoc đe xuat o các chương sau Phan cuoi chương này nêu m®t sobài toán thu nghi¾m kinh đien, đưoc dùng đe so sánh tính hi¾u qua cnacác phương pháp đưoc nghiên cúu trong lu¾n án.

Phương pháp so đơn gian nhat đe giai so bài toán (1.1) là phươngpháp Euler Tuy nhiên, phương pháp Euler có đ® chính xác thap và capchính xác bang 1 Năm 1895, Runge đã mo r®ng phương pháp Eulerbang cách thêm m®t bưóc Euler vào điem giua cna đoan lay tích phân.Năm 1901 Kutta đã xây dnng m®t phương pháp có cap chính xác 3 và 4.Đen đau nhung năm 1960, Butcher đe xuat phương pháp Runge-Kutta

hien s nac Sau đó, đen năm 1963, 1964, Butcher đã có nhung

nghiên cúu sâu sac ve phương pháp Runge-Kutta (xem [10, 11, 12, 13, 14,

15, 16, 17]) Phương pháp Runge-Kutta là phương pháp có nhieu tính chat

ưu vi¾t như cap chính xác cao, tính őn đ%nh tot Trong muc này chúngtôi giói thi¾u m®t so kien thúc ve phương pháp Runge-Kutta

Phương pháp Runge-Kutta s nac tőng quát đưoc cho boi công thúc:

trong đó A = (a ij)s×s và các vectơ s chieu c = (c1, , c s)T , b = (b1, , b s)T

là ma tr¾n và vectơ tham so cna phương pháp

Yn,i là vectơ nac bieu dien nghi¾m xap xi cna nghi¾m chính xác

tai các điem nac t n + c i h, túc là Yn,i ≈ y(t n + c i h ); i = 1, , s; y n

≈

y(t n); yn+1 ≈ y(t n+1 ); h = t n+1 − t n là đ® dài bưóc lưói.

ΣΣ

luôn đưoc thoa mãn.

Đe thu¾n ti¾n cho vi¾c trình bày ta ghi các h¾ so xuat hi¾n trong cáccông thúc (1.3) vào m®t bang GQI là bang Butcher:

Đ¾t Yn = [Y n,1 , , Yn,s]T , e = [1, , 1] T ∈ R s là các vectơ s chieu Khi (1.1) là bài toán vô hưóng (d = 1) thì phương pháp RK (1.3) có

dang đơn gian sau:

• Neu a ij = 0, vói MQI j ≥ i, i = 1, s hay A là ma tr¾n tam giác

dưói ch¾t thì phương pháp Runge-Kutta (1.3) GQI là phương phápRunge-Kutta hien (hay phương pháp Runge-Kutta cő đien)

• Neu a ij = 0, vói MQI j > i, i = 1, s hay A là ma tr¾n tam giác

dưói thì phương pháp Runge-Kutta (1.3) đưoc GQI là phươngpháp Runge-Kutta nua an (hay phương pháp đưòng chéo an)

• Trong các trưòng hop còn lai thì phương pháp Runge-Kutta (1.3)

1.1.1 Cap chính xác cua phương pháp Runge-Kutta

Cap chính xác cna m®t phương pháp phan ánh sai so đ%a phương cnaphương pháp Vi¾c xây dnng m®t phương pháp so có cap chính xác cao

và giam thieu khoi lưong tính toán là can thiet Trong muc này, chúng

tôi trình bày ve cap chính xác cna phương pháp Runge-Kutta s nac tőng

quát (1.3)

cna phương pháp RK (1.3) tai t n+1 đưoc xác đ%nh boi công thúc: Đ

%nh nghĩa 1.1.1 Vói gia thiet yn = y(t n), sai so ch¾t cut đ%a phương

T n+1 := y(t n+1 ) − y n+1

Đ%nh nghĩa 1.1.2 Cap chính xác cna phương pháp Runge-Kutta (1.3)

là so nguyên p lón nhat sao cho:

y(t n + c i h ) − Y n,i = O(h q+1 ),

vói MQI i = 1, 2, , s Cap chính xác nac đ%a phương là q + 1.

Cap chính xác p và cap chính xác nac q cna m®t phương pháp có vai

trò rat quan TRQNG khi chúng ta giai các bài toán cương Các đ%nh lý sau

đây chi ra đieu ki¾n đe phương pháp Runge-Kutta có cap chính xác p

và cap chính xác nac lón nhat cna phương pháp Runge-Kutta s-nac ([7,

tr 80])

Đ%nh lí 1.1.1 Phương pháp Runge-Kutta (1.3) có cap chính xác w

neu các đieu ki¾n C (w), B(w) thóa mãn.

Đ%nh lí 1.1.2 Cap chính xác nac lán nhat cua phương pháp

Runge-Kutta s nac là s.

Đe nghiên cúu tính őn đ%nh cna phương pháp Runge-Kutta

(1.3), chúng ta dna vào phương trình thu: y J = λy, λ ∈ C, Re(λ)

< 0 Áp dung phương pháp Runge-Kutta (1.3) vào phương trìnhthu và gia su

(I − zA) −1 ton tai, ta thu đưoc hàm őn đ%nh cna phương pháp Kutta (1.3) là:

• Phương pháp Runge-Kutta (1.3) đưoc GQI là L-őn đ%nh neu nó là

A-őn đ%nh và R (z) = 0 khi z = −∞ (hay R(−∞) = 0) ([17, 42]).

• Phương pháp Runge-Kutta (1.3) đưoc GQI là A-őn đ%nh manh neu

nó là A-őn đ%nh và R(−∞) < 1.

• Neu phương pháp Runge-Kutta (1.3) là phương pháp hien (ERK)

thì det(I − zA) = 1 nên hàm őn đ%nh cna nó là m®t đa thúc Do

đó phương pháp ERK không őn đ%nh tuy¾t đoi

• Neu phương pháp Runge-Kutta (1.3) là phương pháp an (IRK)

thì hàm őn đ%nh cna nó là m®t hàm phân thúc R(z) = P Q k (z) ,

m (z) trong đó P k , Q m là các đa thúc b¾c k, m tương úng (k, m ≤ s) Vì

v¾y, mien őn đ%nh có the là vô han Tù đó suy ra đieu ki¾n can đephương pháp RK őn đ%nh tuy¾t đoi là phương pháp RK đó phai là

phương pháp RK an Neu cap chính xác cna xap xi này so vói e z là

k + m, thì ta GQI là (k, m) c¾p xap xi Ehle (1969) đã chúng

minh đưoc rang phương pháp RK vói c¾p xap xi (s − 1, s) và (s

− 2, s) là L- őn đ%nh và phong đoán rang phương pháp RK có

c¾p xap xi (k, s) là A-őn đ%nh khi và chi khi s − 2 ≤ k ≤ s Đieu

Trong nhung năm 60 cna the ky XX, khi công cu tính toán chưa pháttrien thì ngưòi ta chn yeu nghiên cúu lóp các phương pháp Runge-Kuttahien (ERK) Các phương pháp hien không őn đ%nh tuy¾t đoi nhưng van

là các phương pháp so hi¾u qua khi giai bài toán không cương (1.1).Vi¾c nghiên cúu xây dnng các phương pháp ERK có cap chính xác cao làquá trình xu lý hoàn toàn khác vói các phương pháp IRK Butcher làngưòi

ΣΣ

−

đau tiên co gang xây dnng các phương pháp ERK có cap chính xác cao

và đã thu đưoc m®t so ket qua sau (xem [13, 14, 15],[7, tr.89])

Đ%nh lí 1.2.1 Không ton tai phương pháp Runge-Kutta hien s nac có

cap chính xác p = s vái p ≥ 5.

Đ%nh lí 1.2.2 Không ton tai phương pháp Runge-Kutta hien s nac có

cap chính xác p mà p + δ = s (δ = 1 ho¾c δ = 2) vái p ≥ 6 + δ.

Phương pháp ERK 6 nac có cap chính xác 5 và phương pháp ERK

7 nac có cap chính xác 6 đưoc đưa ra boi Butcher (1964) (xem [12]).Phương pháp ERK 11 nac có cap chính xác 8 đưoc đưa ra boi Curtis(1970), Cooper và Verner(1972) ([17, tr 179]) Trong moi trưòng hopcác hoành đ® dna trên công thúc cau phương Lobatto vói 3 điem Cácphương pháp có cap chính xác bang 9 đã không thu hút đưoc nhieu snquan tâm và không biet trên thnc te can bao nhiêu nac đe có đưoc capchính xác này Phương pháp có cap chính xác 10 vói 18 nac đã đưoc đưa

ra boi Curtis năm 1975 [36] Tuy nhiên, vói sn ket hop khéo léo các gia đ

%nh đơn gian khác nhau, Hairer (1978) đã đưa ra đưoc phương pháp cócap chính xác 10 vói 17 nac (xem [39]) Và hi¾n tai, van chưa cóphương pháp nào đưoc đưa ra vói so nac ít hơn Bang 1.1 dưói đây cho ta

moi quan h¾ giua cap chính xác p, so nac lý thuyet và so nac thnc te nh¾n

1.3 Các phương pháp Runge-Kutta an

Các phương pháp Runge-Kutta an có đ® phúc tap trong tính toán ratlón Tai moi bưóc chúng ta can phai giai m®t h¾ phương trình (thưòng

là phi tuyen) (1.3a) gom s.d phương trình vói s.d an M®t câu hoi tn

nhiên là h¾ phương trình này luôn có nghi¾m hay không? Câu hoi này

đã đưoc Butcher (1964) đưa ra câu tra lòi như sau ([12],[41, tr.206])

Đ%nh lí 1.3.1 Neu f : R × R d → R d là liên tnc và thóa mãn đieu ki¾n Lipschitz vái hang so L (theo y) và neu:

1

L max

|a ij | thì h¾ phương trình (1.3a) có nghi¾m duy nhat, nghi¾m thu đưac bang phương pháp l¾p Neu f (x, y) kha vi liên tnc đen cap p thì hàm Y n,i (hàm cua bien h) cũng kha vi liên tnc đen cap p.

Do có đ® phúc tap cao trong tính toán nên các phương pháp an chiđưoc quan tâm và su dung phő bien khi Butcher (1976) đe xuat ky thu¾t

đưa ma tr¾n A ve dang chuan tac Jordan Lóp các phương pháp IRK

đau tiên (phương pháp Gauss hay Gauss-Legendre) đưoc Butcher (1964)đưa ra dna trên công thúc cau phương Gauss ([58, tr.190]) Các phương

pháp IRK s nac dang này se có cap chính xác là 2s.

Dna trên công thúc cau phương Radau vói c1 = 0 ho¾c c s = 1, chúng

ta thu đưoc các phương pháp Radau Các phương pháp Radau có theđat đưoc cap chính xác toi đa là 2s − 1 vói các phương pháp s nac.Női tieng nhat là các phương pháp Radau IA, Radau IIA đưoc đưa raboi Ehle (1969) và Chipman (1971) ([58, tr.191])

Dna trên công thúc cau phương Lobatto vói c1 = 0, c s = 1, chúng

ta thu đưoc lóp các phương pháp IRK mà theo phân loai cna Butcherthì nhung phương pháp này thu®c loai ba (xem [11]) và đưoc GQI là lóp

Σ

j=

1

i

phương pháp Lobatto III Các phương pháp này có so nac s ≥ 2 và cap

chính xác toi đa là 2s − 2 Các phương pháp đien hình là LobattoIIIA, Lobatto IIIB cna Ehle (1969) và Lobatto IIIC cna Chipman(1971) ([58, tr 193,194]) Ca ba phương pháp này đeu có cap chínhxác là 2s − 2

Butcher (1964) đã đưa ra đưoc lóp các phương pháp IRK s nac có

cap chính xác 2s ([11]) Các h¾ so cna phương pháp này đưoc xác đ%nhnhư sau ([17, tr.201]):

Đ%nh lí 1.3.2 M®t phương pháp RK s nac có cap chính xác 2s khi và

chs khi các h¾ so thóa mãn các đieu ki¾n sau:

(i) Các h¾ so c1, c2, , c s là nghi¾m cua đa thúc Legendre P s (x) trên [0, 1].

(ii) Các h¾ so b1, , b s thóa mãn đieu ki¾n B(s).

(iii)Các h¾ so a ij1, i, j d n = 1, , s thóa mãn đieu ki¾n C(s).

Đ%nh nghĩa 1.3.1 Neu c1, c2, , c s là nghi¾m cna đa thúc P s (x)

thì vectơ c = (c1, c2, , c s)T đưoc GQi là vectơ s chieu Gauss-Legendre.

Các phương pháp IRK cũng có the đưoc xem xét xem chúng có

là phương pháp trùng khóp (collocation) hay không Sn trùng khóp

là ý tưong có tù lâu và đưoc úng dung r®ng rãi trong giai tích so và

nó bao gom m®t hàm đưoc cHQN (thưòng là đa thúc) và t¾p cácđiem trùng khóp

Đ%nh nghĩa 1.3.2 Vói s là so nguyên dương và c1, , c s phân bi¾t thu®c

(0, 1), đa thúc trùng khóp u(x) có b¾c s đưoc xác đ%nh boi:

u (t n ) = y n ,

u J (t n + c i h ) = f (t n + c i h, u (t n + c i h )), i = 1, , s.

Guillo, Soulé (1969) và Wright (1970) đã đưa ra cách tính các h¾ socna phương pháp RK dang trùng khóp như sau ([41, tr.212]):

Đ%nh lí 1.3.3 Phương pháp RK dang trùng kháp là phương pháp IRK

s nac vái các h¾ so đưac xác đ%nh bái:

Đ%nh lí 1.3.4 M®t phương pháp IRK vái các c i phân bi¾t có cap chính xác p ≥ s là phương pháp IRK dang trùng kháp khi và chs khi đieu ki¾n

C (s) thóa mãn.

Tù đ%nh lý này ta nh¾n thay các phương pháp Gauss, Radau IIA vàLobatto IIIA là phương pháp IRK dang trùng khóp Các phương phápRadau IA, Lobatto IIIB, Lobatto IIIC không là phương pháp IRK dangtrùng khóp

Đ%nh lý sau đây cho ta cap chính xác cna phương pháp IRK dangtrùng khóp ([41, tr.212])

Chúng ta có the xây dnng đưoc các phương pháp IRK dang

trùng khóp bang cách lna cHQN vectơ trùng khóp c, sau đó ma tr¾n A vàvectơ

b đưoc xác đ%nh bang các đieu ki¾n B(s), C(s) (xem [21]).

,

.,

.2

Vói cách xây dnng này chúng ta đưoc m®t phương pháp IRK dang

trùng khóp có cap chính xác cao và A- őn đ%nh đó là các phương pháp

Gauss-Legendre, Radau IIA, Lobatto IIIA

song (PIRK)

Cùng vói sn ra đòi cna siêu máy tính và kha năng tính toán songsong cna loai máy tính này, túc là kha năng cho phép nhieu quá trìnhtính toán đưoc thnc hi¾n đong thòi trên các b® xu lý khác nhau, cácphương pháp song song cũng xuat hi¾n Ngay tù khi xuat hi¾n cácphương pháp song song the hi¾n đưoc ưu điem vưot tr®i cna mình

Có rat nhieu cách khác nhau đe tiep c¾n vói các thu¾t toán song songnhư: thay đői và thiet ke lai các thu¾t toán tuan tn thành thu¾t toánsong song, xây dnng các thu¾t toán song song mói, song song hóa bangcách chia bài toán thành các bài toán nho có kha năng giai đong thòitrên các b® xu lý cna máy song song, song song hóa qua các bưóc tínhtoán Năm 1988, Gear [38] đã đưa ra hai hưóng khác nhau đe pháttrien các ky thu¾t song song cho IVPs dna trên: song song qua bài toán

2

và song song qua thu¾t toán Ban đau, có cách khá tot là phân chia cácthành phan khác nhau cna h¾ ODEs

vào các b® xu lý có san Đieu này đ¾c bi¾t có hi¾u qua trong cácphương pháp hien, khi can tính giá tr% cna hàm ve phai f tai m®t vectơ ynhat đ%nh, do đó các thành phan cna f có the đưoc đánh giá đ®c l¾p vóinhau.

Theo Gear, đieu này đưoc GQI là song song qua bài toán M®t cách thú v%hơn đó là song song theo thu¾t toán Theo cách này ta su dung song songvon có san trong phương pháp Cách thúc song song theo thu¾t toán này

cũng hi¾u qua trong trưòng hop bài toán vô hưóng (d = 1), và rat hi¾u

qua khi ta song song bài toán trong trưòng hop kích thưóc bài toán lón.Năm 1990, Bellen [4] đã chi ra rang cách song song này se rat có hi¾uqua trong trưòng hop bài toán có kích thưóc lón ho¾c hàm ve phai f làrat đat M®t cách đe khai thác song song theo thu¾t toán là thnc hi¾nm®t so tính toán hàm ve phai f đong thòi trên các b® xu lý khác nhau.Đieu này chi có the áp dung đưoc cho các phương pháp đa nac nhưphương pháp Runge-Kutta Nhieu công trình nghiên cúu ve cácphương pháp song song dang RK đã ra đòi, tiêu bieu là các công trìnhcna các tác gia Burrage [5, 6, 7, 8, 9], Houwen [43, 44, 45, 46, 47],Nørsett [51], R.Weiner

[49, 50, 52, 53, 62], Chu [61], e Vi¾t Nam, GS Nguyen Huu Công làngưòi đau tiên nghiên cúu và đã đat đưoc rat nhieu ket qua trong lĩnhvnc này [18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34,35]

Trong lu¾n án này, chúng tôi xét song song theo thu¾t toán

M®t trong nhung phương pháp song song đau tiên đưoc tiep c¾ntheo hưóng song song hóa qua các bưóc tính toán là phương phápPIRK (Parallel Iterated Runge-Kutta) do hai giáo sư Houwen vàSommeijer xây dnng vào năm 1990 Đây là m®t phương pháp RKsong song kinh đien đưoc đánh giá là hi¾u qua, tin c¾y và đen nay vanđưoc su dung đe giai bài toán không cương Phương pháp PIRK này

se đưoc chúng tôi dùng đe so sánh vói các phương pháp mà chúng tôiđưa ra trong các chương sau

1.4.1 N®i dung phương pháp PIRK

Xét phương pháp RK goc dang (1.3):

1

Σs

a ij f (t n + c j h, Y(l−1) ), i = 1, , s; l = 1, , m.

(m)

s thành phan o vectơ s chieu f (Y(i)) có the đưoc tính trên m®t máy

song song vói b® s xu lý So lan tính toán ve phai trên moi b® xu lý là:

O A O

.

O O A O

0T 0T 0T bT

e đây: O là ma tr¾n cõ s × s vói các thành phan bang 0 và 0 là vectơ s

chieu có các thành phan bang 0

ΣΣ

1.4.2 Cap chính xác cua phương pháp PIRK

Gia su hàm f là liên tuc Lipschitz và yn = u n = y(t n) Ta có cap

[41, tr.260]

Đ%nh lí 1.4.1 Neu phương pháp RK goc (1.3) có cap chính xác bang p,

và neu m = p− 1 thì phương pháp PIRK (1.9) tương úng se có cap chính

xác là p.

So m = p − 1 đưoc gQI là so lan l¾p toi ưu Phương pháp PIRK(1.9) còn đưoc GQI là phương pháp RK toi ưu (xem [44])

1.4.3 SE on đ%nh cua phương pháp PIRK

vói Re(λ) < 0, ta đưoc:

k=1 m

ΣΣ

k=0

Đ%nh nghĩa 1.4.1 Vói so thnc m cho trưóc,

• So thnc β re (m) đưoc GQI là biên őn đ%nh thnc cna phương pháp

PIRK (1.9) neu β re (m) là so thnc lón nhat sao cho trên truc thnc [−β re (m); 0] ⊂ S stab (m).

• So thnc β im (m) đưoc GQI là biên őn đ%nh ao cna phương pháp

PIRK (1.9) neu β im (m) là so thnc lón nhat sao cho trên truc ao đoan [−iβ im (m); iβ im (m)] ⊂ S stab (m).

Bang 1.2 dưói đây cho ta c¾p biên őn đ%nh thnc β re (p − 1) và ao

là phương pháp IRK Gauss-Legendre (xem [44])

Bang 1.2: C¾p (β re (p − 1), β im (p − 1)) cna phương pháp PIRK toi ưu.

2.82)

(3.55, 0.00)

(4.31, 3.39)

(5.07, 0.00)

k=

1.4.4 SE h®i tn cua quá trình l¾p

Đe xét tính h®i tu cna phương pháp PIRK, chúng ta áp dung

vào phương trình thu y J (t) = λy(t), trong đó λ là giá tr% riêng cna ma tr¾n Jacobian ∂f /∂y, thu đưoc:

Giá tr% ρ(A) đưoc GQI là nhân tu h®i tn và

cna phương pháp PIRK

ρ (A

)

đưoc GQI là biên h®i tn

Đ%nh nghĩa 1.4.2 Mien h®i tu cna phương pháp PIRK (1.9) đưoc xác

Đ%nh lí 1.4.2 Vái đieu ki¾n h®i tn thoa mãn thì hàm őn đ%nh R m (z)

cua phương pháp PIRK (1.9) h®i tn đen hàm őn đ%nh R (z) cua phương

pháp IRK (1.3) khi m → ∞.

Trong muc này, chúng tôi giói thi¾u m®t so mã tuan tn hi¾n có vàđưoc đánh giá vào loai hi¾u qua nhat hi¾n nay trong vi¾c giai bài toánkhông cương như ODEX, DOPRI5, DOP853 Các mã này se đưoc su dung

đe so sánh vói các phương pháp mà chúng tôi đưa ra o các chương sau

1.5.1 Phương pháp kep thêm có cap chính xác 5 -

mã DOPRI5

Các phương pháp ERK có cap chính xác cao thưòng đưoc xây dnngdưói dang m®t phương pháp kep thêm cna m®t phương pháp cócap chính xác cao và m®t phương pháp có cap chính xác thap hơnđưoc dùng đe đánh giá sai so đ%a phương phuc vu cho vi¾c cHQN bưóc

lưói h tn đ®ng trong quá trình tính toán vói chien lưoc bưóc lưói thay

đői Xét phương pháp Runge-Kutta hien vói hai công thúc kep thêm có

ra phương pháp ERK hien vói công thúc kep thêm có cap chính xác là

ΣΣ

5 và 4 tương úng Phương pháp cna Fehberg đưa ra xét vói c¾p p(pˆ) vói

p < pˆ Do đó xap xi b¾c thap đưoc dùng đe tính giá tr% ban đau chobưóc tiep theo Đe thnc hi¾n đưoc phương pháp cna mình Fehberg đã

co gang giam toi thieu sai so khi tính y n Tuy nhiên, đieu này có thelàm cho sai so ưóc tính có the nho hơn rat nhieu so vói sai so thnc te

1980 Dormand và Prince đã đưa ra đe xuat thêm giá tr% yn+1

như là Vói mong muon làm giam sai so cna nhung ket qua b¾c

ra đưoc HQ

phương pháp ERK cap chính xác 5 và cap chính xác kep là 4 như sau:

(1.12)

5179 57600

7571 16695

39 3 64 0

9209

7 33920 0

là 8(6) như sau:

0

1 5

3 40 44 45 19372 6561 9017 3168

35 384

9 40 56

500 1113

212

− 729

49 176 125 192

3 10 4 5 8 9 1 1

y n+1 35 384 0 500 1113 125192 − 21876784 1184 0

yˆ n+1 0

−

Gia su s = 12 Ta xét các h¾ so c i , b i , a ij thoa mãn h¾ phương trình:

đ%nh m®t h¾ tuyen tính vói an là b1, b6, , b12 H¾ này có nghi¾m duy

nhat Các h¾ so b i , a ij đưoc tính theo c i Tù (1.13g), đieu ki¾n (1.13a) xác

s i

neu c1, c6, , c12 là phân bi¾t Vói moi i co đ%nh (1 ≤ i ≤ 8), các

đieu ki¾n (1.13b)-(1.13f) xác đ%nh m®t h¾ tuyen tính vói an là a i1 ,

, a i,i−1 Do so an nho hơn so phương trình nên can phai cHQN c i Ta có

s

q 1 j

j=1

Tù đieu ki¾n (1.13i) và (1.15) vói j = 10 ta tính đưoc a 12,10 và a 11,10

Tiep theo chúng ta tính các h¾ so a ij (i = 9, , 12; j = 4, 5) tù 8 phương

trình cna (1.13i)-(1.13l) Cuoi cùng, su dung các đieu ki¾n (1.13b)-(1.13f)

xay ra là khi i = 9, ta chi có 4 an vói 5 phương trình H¾ phương trình

này se có nghi¾m neu:

3 6

5, c11 = 7.

Các h¾ so bˆ i đưoc xác đ%nh bang h¾ đieu ki¾n:

trình (1.18) gom 12 phương trình vói 12 an Tương tn như đieu

ki¾n

(1.13), ta có b1, , b12 là nghi¾m cna h¾ (1.18) Ngoài ra, h¾ phươngtrình (1.15) có nghi¾m không tam thưòng, nên ta có the lay:

ˆb i = b i + αe i

sao cho ˆb i là nghi¾m cna h¾ (1.18) vói MQi α.

Dormand và Prince đã cHQN α sao cho ˆb6 = 2 Sau đó thu¾t toán này đã đưoc Hairer và Wanner l¾p trình (xem [41]) và GQI là mã

DOPRI853

Xét bài toán (1.1) và H > 0 là bưóc lưói cơ so Ta cHQN m®t dãy các so dương:

H

và xác đ%nh các bưóc lưói h1 > h2 > h3 > vói h i = n i Sau đó, ta cHQN

m®t phương pháp so có cap chính xác p và tính toán so ket qua cna bài toán (1.1) bang cách thnc hi¾n n i bưóc vói bưóc lưói h i ta đưoc:

Và xét đa thúc n®i suy:

p (h) = yˆ − e p h p − e p+1 h p+1 − − e p+k−2 h p+k−2 , (1.21)

s i

sao cho:

p (h i ) = T i,1 , i = j, j − 1, , j − k + 1. (1.22)

ki¾n(1.22) là m®t h¾ gom k phương trình vói k an yˆ, e p , , e p+k−2

Cuoi cùng, cho h → 0 và su dung p(0) = yˆ =: T j,k là ket qua so Đieu

Đ%nh lí 1.5.1 (Xem [41, tr.225]) Giá tr% T j,k xác đ%nh m®t phương pháp so có cap chính xác p + k − 1.

h2) có the đưoc xu lý bang cách coi sn sai khác y(x0 + H) − yˆ là sai

so Nh¾n xét 1.5.1 Trưòng hop p = 1 (cũng như p = 2 vói mo r®ng cna

cna phép n®i suy

Phương pháp này có m®t ưu điem lón là nó cung cap m®t bang đay

đn các ket qua so:

T11

(1.23)

và nó tao thành m®t chuoi các phương pháp kep thêm và de dàng tínhđưoc sai so đ%a phương và chien lưoc thay đői cap chính xác M®t so dãythưòng đưoc su dung cho (1.19) như sau:

dung lai cho bưóc lưói h i nho hơn Hơn nua, lim inf(n i+1 /n i) b%ch¾n boi Các dãy trên có tính chat là các giá tr% cna hàm f có theđưoc su 1 cho phép các chúng minh h®i tu khi j = k → ∞.

Thu¾t toán Aitken- Neville

Vói p = 1 thì (1.21) và (1.22) tro thành bài toán n®i suy cő đien và

ta có the tính các giá tr% T j,k bang cách su dung các phương pháp cő

đien Khi ta chi can tính giá tr% cna đa thúc n®i suy tai h = 0, thì hi¾u

qua nhat là dùng thu¾t toán Aitken- Neville (Aitken 1932, Neville 1934)dan đen

toán Aitken-Neville vói sua đői này Đieu đó dan đen:

thay the cho (1.26)

dung cna phép ngoai suy Richardson Theo đó đai lưong S h (x) đưoc

xác