Bài viết đề xuất một phương pháp tự động giải nghiệm và vẽ biểu đồ nội lực cho hệ khung phẳng siêu tĩnh một cách nhanh chóng, bằng cách ứng dụng phần mềm Excel, Bài viết giới thiệu kết quả áp dụng cho một ví dụ khung phẳng siêu tĩnh đối xứng với kích thước cho trước, chịu tải trọng tác dụng cụ thể.
Trang 1ỨNG DỤNG PHẦN MỀM EXCEL ĐỂ VẼ BIỂU ĐỒ NỘI LỰC CHO MỘT
VÍ DỤ KHUNG PHẲNG ĐỐI XỨNG SIÊU TĨNH
Trần Tuấn Nam1, Nguyễn Thiên Vĩnh Phú2
1Khoa Xây dựng, Trường Đại học Công nghệ TP Hồ Chí Minh (HUTECH)
2Lớp 17DXDA3, Trường Đại học Công nghệ TP Hồ Chí Minh (HUTECH)
TÓM TẮT
Giải hệ siêu tĩnh là một trong những bài toán phức tạp của môn Cơ học kết cấu, đòi hỏi nhiều thời gian và công sức giải hệ phương trình nhiều ẩn Bài báo đề xuất một phương pháp tự động giải nghiệm và vẽ biểu đồ nội lực cho hệ khung phẳng siêu tĩnh một cách nhanh chóng, bằng cách ứng dụng phần mềm Excel, Bài báo giới thiệu kết quả áp dụng cho một ví dụ khung phẳng siêu tĩnh đối xứng với kích thước cho trước, chịu tải trọng tác dụng cụ thể Thông qua đó, bài báo gợi ý và hướng dẫn các sinh viên đang học môn Cơ học kết cấu có thêm một phương pháp hiệu quả trong việc giải bài tập, nhằm kích thích sinh viên tìm tòi và thêm yêu thích môn học này
Từ khóa: Khung phẳng, siêu tĩnh, hệ chịu tải đối xứng, hệ chịu tải phản xứng, biểu đồ nội lực
1 MỞ ĐẦU
Cơ học kết cấu là một bộ môn khoa học kĩ thuật nghiên cứu về ứng xử cơ học của các kết cấu máy và công trình Đối tượng nghiên cứu của Cơ học kết cấu là: thanh, hệ thanh, khung, dàn, dầm, tấm, vỏ Bộ
môn này cung cấp cho các kỹ sư và sinh viên các phương pháp phân tích và tính toán tính chất chịu lực của kết cấu máy, kết cấu xây dựng, tính toán kết cấu khi chịu các nguyên nhân tác dụng thường gặp trong thực tế [1] Giải hệ siêu tĩnh là một trong những bài toán phức tạp của môn học này, đòi hỏi nhiều thời gian và công sức giải hệ phương trình nhiều ẩn
Giảng viên thường giao bài tập lớn cho sinh viên trong quá trình học môn Cơ học kết cấu, nhằm giúp sinh viên hệ thống hóa kiến thức và luyện tập thành thạo quá trình phân tích, tính toán và xác định biểu đồ nội lực Nhằm rút ngắn thời gian và công sức giải bài tập lớn, tác giả ứng dụng phần mềm Excel trong việc thiết lập bảng tính và các hàm để giải nghiệm, sau đó dùng công cụ “graph” (đồ thị) để vẽ tự động các biểu đồ momen, lực cắt, lực dọc cho hệ kết cấu
Trong khuôn khổ bài báo, tác giả giới thiệu kết quả áp dụng cho một ví dụ cụ thể, là khung phẳng đối xứng 1 nhịp 2 tầng, siêu tĩnh bậc 6, với kích thước và độ cứng tiết diện cho trước, chịu tác dụng của các tải trọng theo đề bài đã cung cấp Thông qua đó, bài báo gợi ý và hướng dẫn các sinh viên đang học môn
Cơ học kết cấu có thêm một phương pháp hiệu quả trong việc giải bài tập lớn, nhằm kích thích sinh viên
tìm tòi và thêm yêu thích môn học này
2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT
2.1 Định nghĩa về hệ siêu tĩnh
Hệ siêu tĩnh là những hệ mà chỉ với các phương trình cân bằng tĩnh học không thôi thì chưa đủ để xác định toàn bộ các phản lực và nội lực trong hệ Nói cách khác, đó là hệ bất biến hình và có liên kết thừa Bậc siêu tĩnh là số liên kết thừa trong hệ Để giải hệ siêu tĩnh, có 2 phương pháp: Phương pháp lực và
Phương pháp chuyển vị [2-3]
Trang 22.2 Phương pháp lực
Hệ cơ bản của phương pháp lực là hệ được suy ra từ hệ ban đầu bằng cách loại bỏ một số hay tất cả các liên kết thừa Chẳng hạn, cho hệ siêu tĩnh bậc 2 chịu tác dụng của tải trọng P, bỏ qua biến thiên nhiệt độ, chuyển vị cưỡng bức tại các gối tựa Để hệ cơ bản làm việc giống hệ siêu tĩnh ban đầu, trên hệ cơ bản cần đặt thêm các ẩn số lực (X1, X2) tương ứng vị trí và phương các liên kết bị loại bỏ
Tiếp theo, thiết lập điều kiện chuyển vị tương ứng vị trí và phương các liên kết bị loại bỏ sao cho bằng 0
Từ đó, ta có hệ phương trình chính tắc của phương pháp lực như dưới đây (trong đó và được xác định bằng phương pháp nhân biểu đồ Vêrêxaghin)
Biểu đồ momen của hệ được xác định bằng nguyên lý cộng tác dụng, với X1, X2 là các nghiệm được giải
từ hệ phương trình chính tắc:
2.3 Phương pháp chuyển vị
Hệ cơ bản của phương pháp chuyển vị là hệ được suy ra từ hệ ban đầu bằng cách đặt các liên kết phụ thêm vào hệ nhằm ngăn cản chuyển vị của các nút và các khớp không nối đất Chẳng hạn, cho hệ siêu tĩnh (có bậc siêu động = 2) chịu tác dụng của tải trọng P, bỏ qua biến thiên nhiệt độ, chuyển vị cưỡng bức tại các gối tựa Để hệ cơ bản làm việc giống hệ siêu tĩnh ban đầu, cần tạo ra các chuyển vị cưỡng bức (Z1, Z2) tương ứng với các liên kết phụ thêm vào
Tiếp theo, thiết lập điều kiện phản lực tại các liên kết phụ thêm vào sao cho bằng 0 Từ đó, ta có hệ phương trình chính tắc của phương pháp chuyển vị như dưới đây (trong đó và được xác định bằng phương trình cân bằng)
{
(3) Biểu đồ momen của hệ được xác định bằng nguyên lý cộng tác dụng, với Z1, Z2 là các nghiệm được giải
từ hệ phương trình chính tắc:
2 VÍ DỤ ÁP DỤNG
2.1 Đề xuất phương pháp giải bằng Excel
Để giải bài toán hệ siêu tĩnh đối xứng bằng Excel, có các bước chính như sau:
Bước 1: Phân tích hệ đối xứng ban đầu chịu tải bất kỳ thành 2 loại (Hình 1): hệ đối xứng chịu tải trọng
phản xứng (giải theo phương pháp lực) và hệ đối xứng chịu tải trọng đối xứng (giải theo phương pháp chuyển vị) Với mỗi loại hệ, ta tách đôi để giải nửa hệ bằng cách gán thêm các liên kết phù hợp để tạo hệ
cơ bản Bằng cách này, ta có thể giảm đáng kể số ẩn nhằm đơn giản hóa hệ phương trình chính tắc
Bước 2: Với mỗi loại hệ, lần lượt giải nghiệm các hệ phương trình chính tắc (1), (3) ở trên Bằng cách
khai báo điều kiện đầu vào (bao gồm: kích thước, độ cứng các thanh trong khung, độ lớn và chiều tác dụng của tải trọng) vào bảng tính được thiết lập sẵn trong Excel (Hình 2), từ đó sẽ giải được nghiệm là
các ẩn số và đối với phương pháp lực, và đối với phương pháp chuyển vị
Bước 3: Dùng công cụ “graph” để vẽ biểu đồ nội lực cho khung Theo Hình 2-c, ta mô tả trục thanh bằng
đường cơ bản (gọi là ddầm, dcột lần lượt cho dầm và cột) Sau đó, dựa trên các đường cơ bản này, ta lập hàm thể hiện biểu đồ nội lực M = f(d) với d là tọa độ vị trí điểm trên thanh; M là độ lớn nội lực, có xét đến
Trang 3dấu âm/dương theo quy ước của môn Cơ học kết cấu Lưu ý, kích thước các đường này được chuẩn hóa theo một độ lớn tượng trưng nhằm đảm bảo tính thẩm mỹ cân đối cho hình vẽ biểu đồ nội lực, mà không cần mô tả chính xác chiều dài thực của thanh hoặc độ lớn thực của nội lực
Bước 4: Dùng phép đối xứng và phản xứng để xác định biểu đồ cho nửa hệ còn lại
Bước 5: Dùng nguyên lý cộng tác dụng, để cộng 2 biểu đồ của 2 hệ, từ đó sẽ xác định được biểu đồ nội
lực đầy đủ của hệ kết cấu ban đầu
H nh Phân tách hệ chịu tải bất kỳ thành 2 hệ chịu tải đối xứng và tải phản xứng
(a) Ký hiệu tải trọng và kích thước (b) Bảng tính trong Excel (c) Biểu đồ vẽ bằng graph
H nh Giải nghiệm hệ phương trình chính tắc và vẽ biểu đồ bằng Excel
2.2 Đề bài áp dụng
Cho hệ siêu tĩnh (khung phẳng 2 tầng, 1 nhịp) đối xứng về cấu tạo và hình học, chịu tác dụng của tải trọng bất kỳ như Hình 3 Các giá trị nhập vào bảng tính bao gồm: kích thước a, độ cứng EI, độ lớn tải trọng M, P, q Kết quả giải các hệ số và nghiệm phương trình chính tắc được thể hiện trong Bảng 1
Bảng 1: Dữ liệu đầu vào và kết quả giải nghiệm
H nh Khung phẳng đối xứng siêu tĩnh 2 tầng 1 nhịp
-0,50 0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00
-1,00 -0,50 0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50
ddầm
dcột
Mdầm=f(ddầm)
Mcột=f(dcột)
Trang 43 KẾT QUẢ GIẢI BẰNG EXCEL
Bài toán được phân tách thành 2 hệ đối xứng chịu tải phản xứng (giải bằng phương pháp lực) và hệ đối xứng chịu tải đối xứng (giải bằng phương pháp chuyển vị) Kết quả biểu đồ nội lực lần lượt được thể hiện trên Hình 4 và 5 Kết quả biểu đồ tổng cho hệ ban đầu được xác định bằng cách cộng kết quả của từng
hệ, và được thể hiện trên Hình 6 Để tránh bị rối hình ảnh, giá trị biểu đồ được ẩn đi trên các hình
H nh Biểu đồ nội lực cho hệ đối xứng chịu tải phản xứng
H nh Biểu đồ nội lực cho hệ đối xứng chịu tải đối xứng
H nh Biểu đồ nội lực tổng cho hệ ban đầu
-0,50
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
3,00
-0,50 0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50
Momen (M)
-0,50 0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00
-1,00 -0,50 0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00
Lực Cắt (Q)
-0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5
Lực Dọc (N)
-0,50
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
3,00
-0,50 0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50
Momen (M)
-0,50 0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00
-1,00 -0,50 0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00
Lực Cắt (Q)
-0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5
Lực Dọc (N)
-0,50
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
3,00
-0,50 0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50
Momen (M)
-0,50 0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00
-1,00 -0,50 0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00
Lực Cắt (Q)
-0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5
Lực Dọc (N)
Trang 54 KẾT LUẬN
Thông qua ví dụ áp dụng cụ thể cho một bài toán khung phẳng đối xứng siêu tĩnh, việc ứng dụng công cụ tính toán và graph của Excel đã giúp tiết kiệm thời gian công sức giải nghiệm và vẽ biểu đồ nội lực Phương pháp này có nhược điểm là chỉ có thể áp dụng cho một đề bài cụ thể, với các thông số và tải trọng cho trước Tuy nhiên, việc ứng dụng Excel có một số ưu điểm, như vừa sức với khả năng tiếp thu của sinh viên, thể hiện kết quả tính toán và biểu đồ trực quan, có thể tùy chỉnh dễ dàng nhằm tăng tính thẩm mỹ cho hình ảnh biểu đồ Sinh viên biết cách áp dụng sẽ yêu thích hơn môn học và kích thích thêm tinh thần tìm tòi, học hỏi, ứng dụng tin học trong quá trình học tập ở trường và quá trình hành nghề sau này
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Lều Thọ Trình (2011) Cơ học kết cấu – Tập 2 – Hệ siêu tĩnh NXB Khoa học kỹ thuật
[2] Lều Thọ Trình, Nguyễn Mạnh Yên (2011) Bài tập Cơ học kết cấu – Tập 2 – Hệ siêu tĩnh NXB Khoa học kỹ thuật
[3] Võ Minh Thiện, Trần Hữu Huy (2014) Cơ học kết cấu 2 Tài liệu học tập cho sinh viên HUTECH (lưu hành nội bộ)
